BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Persamaan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunan dari
satu atau lebih variabel tak bebas
terhadap satu atau lebih variabel bebas
dan
dituliskan dengan
(
)
Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model matematika yang
menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Sebagai contoh, turunan-turunan
dalam fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan, dalam geometri sebagai
kemiringan (tanjakan), dalam biologi sebagai laju pertambahan populasi dan
sebagainya.
Variabel bebas merupakan variabel yang tidak bergantung pada variabel
lain. Berdasarkan jumlah variabel bebas, persamaan diferensial dibagi menjadi
dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Berdasarkan bentuknya, terdapat persamaan diferensial homogen dan persamaan
diferensial tak homogen. Persamaan diferensial dikatakan linear apabila variabel
tak bebas dan derivatifnya hanya berderajat satu dan tidak ada perkalian antara
variabel tak bebas dan derivatifnya serta antara derivatifnya. Sedangkan
persamaan diferensial nonlinear merupakan persamaan yang memuat variabel tak
bebas dan turunannya yang berderajat lebih dari satu, atau perkalian antara
variabel tak bebas dan turunannya. Umumnya, solusi yang didapat dari persamaan
diferensial nonlinear hanyalah sebuah solusi pendekatan, bahkan terdapat suatu
persamaan diferensial yang solusinya tidak dapat dinyatakan secara eksplisit.
Di samping itu, berdasarkan orde (tingkat)-nya, terdapat persamaan
diferensial orde satu, persamaan diferensial orde dua, persamaan diferensial orde
tiga, sampai dengan persamaan diferensial orde-n (orde tinggi). Persamaan
diferensial yang disertai syarat awal di suatu titik disebut masalah syarat awal.
2
Dalam teori persamaan diferensial masalah utama yang dihadapi adalah
mengetahui adanya penyelesaian persamaan diferensial. Oleh karena itu,
diperlukan teorema yang menjamin adanya suatu penyelesaian. Persamaan
diferensial yang disertai syarat awal periodik akan menghasilkan suatu solusi yang
periodik. Solusi periodik dari persamaan diferensial merupakan solusi yang
menggambarkan proses berulang secara teratur, contohnya ayunan pada bandul.
Solusi periodik dari sistem persamaan diferensial
(
mempunyai solusi
)
(
( ), terdiri dari fungsi periodik
)
yang mempunyai
periode yang sama. Dengan kata lain,
(
untuk setiap dan untuk
)
( )
, disebut periode dari solusi.
Persamaan diferensial orde tinggi (khususnya orde tiga) memegang peranan
penting dalam berbagai bidang ilmu fisika, ilmu ekonomi, biologi dan berbagai
macam disiplin ilmu. Penulis tertarik membahas tentang solusi periodik positif
persamaan diferensial nonlinear orde tiga. Dalam mempelajari persamaan
(
diferensial, khususnya persamaan diferensial orde tiga, yaitu
), untuk
menunjukkan eksistensi dari solusi periodik, selanjutnya persamaan diubah
menjadi sistem persamaan diferensial orde pertama dengan mendefinisikan
. Akan tetapi, hal tersebut belum cukup untuk
membuktikan eksistensi dari solusi periodik positif, karena syarat
dari
sifat positif untuk persamaan diferensial orde tinggi berbeda dari syarat
kepositifan natural (natural positivity condition) (
)
untuk sistem
yang bersesuaian.
Dalam tesis ini pendekatan yang akan dilakukan adalah mentransformasi
persamaan diferensial orde ketiga menjadi persamaan integral yang bersesuaian
dan membangun eksistensi solusi periodik positif dari persamaan diferensial
nonlinear orde tiga. Pendekatan ini membutuhkan representasi eksplisit dari
fungsi Green untuk persamaan diferensial yang bersesuaian dan dalam membangun
eksistensi dari solusi periodik positif akan digunakan teorema indeks titik tetap dalam
kerucut.
3
1.2.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini disampaikan sebagai berikut.
1. Mengkonstruksi fungsi Green dari empat tipe persamaan diferensial
orde tiga dengan syarat batas periodik.
2. Membahas eksistensi dan ketunggalan solusi periodik dari persamaan
diferensial nonlinear orde tiga dengan koefisien konstan.
3. Membahas eksistensi solusi positif dari persamaan diferensial nonlinear
orde tiga dengan time-varying.
4. Membahas eksistensi dari solusi positif dari persamaan diferensial
nonlinear orde tiga dengan bentuk persamaan secara umum.
1.3. Manfaat Penelitian
Secara umum diharapkan dapat memberikan sumbangan terhadap
perkembangan ilmu pengetahuan serta untuk menambah wawasan pengetahuan
dalam bidang matematika terapan terutama dalam bidang persamaan diferensial
nonlinear. Secara khusus memberikan gambaran tentang eksistensi dari solusi
periodik positif untuk persamaan diferensial nonlinear orde tiga dengan koefisien
konstan, time-varying dan bentuk persamaan secara umum, serta masalah masaah
dasar yang berkaitan dengan indeks titik tetap.
1.4. Tinjauan Pustaka
Salah satu model matematika dari permasalahan real adalah persamaan
diferensial. Permasalahan persamaan diferensial telah banyak dipelajari oleh
peneliti, diantaranya Jingli Ren, Stefan Siegmund, dan Yeuli Chen. Pada
persamaan diferensial biasa, yaitu persamaan diferensial yang terdiri dari satu atau
lebih variabel terikat dengan satu variabel bebas, teknis penyelesaian maupun
teori eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dikerjakan dengan teorema titik
tetap Banach (Ross, 1984).
Persamaan diferensial bersama satu atau lebih syarat awal di satu titik
disebut masalah syarat awal. Suatu syarat atau kondisi yang harus dipenuhi pada
batas-batas domain yang terkait dengan ruang disebut syarat batas, sedangkan
4
masalah yang terdiri dari suatu persamaan diferensial yang dilengkapi dengan
syarat batas disebut masalah syarat batas. Masalah syarat batas yang terkait
dengan persamaan diferensial biasa nonhomogen dapat diselesaikan dengan
mengkonstruksikan fungsi Green. Metode fungsi Green adalah salah satu metode
terpenting dalam menyelesaikan masalah syarat batas (Agarwal, 1986). Agarwal
memberikan bentuk eksplisit dari fungsi Green untuk persamaan diferensial orde
ke-n.
Anderson (2003) dalam papernya yang berjudul Green’s Function For
Third Order Generalized Right Focal Problem, menentukan fungsi Green untuk
persamaan diferensial orde tiga dengan masalah syarat batas, yang kemudian
menggunakan teorema titik tetap Krasnoselskii untuk membuktikan eksistensi dari
masalah persamaan diferensial nonlinear.
Sedangkan untuk masalah persamaan diferensial nonlinear singular orde
tiga dengan masalah syarat batas periodik, dengan memanfaatkan fungsi Green,
masalah eksistensi dari solusi positif untuk persamaan diferensial dengan syarat
batas periodik dapat ditentukan. Pembuktian persamaan diferensial nonlinear
singular orde tiga dengan syarat batas periodik menggunakan Leray–Schauder
dan teorema titik tetap dalam kerucut (Zhou dan Chu, 2005).
Di dalam menggunakan titik tetap dalam kerucut, terlebih dahulu
didefinisikan tentang kerucut dalam ruang banach, yaitu diketahui
Banach dan
jika
subset dari
maka
. Himpunan
dikatakan kerucut jika
, untuk skalar
ruang
* + serta
(Kaus Keimel, 1992).
Teknis penyelesaian dalam menentukan eksistensi solusi positif periodik dari
persamaan diferensial fungsional skalar juga berdasarkan pada teorema titik tetap
dalam kerucut (Dan Ye, Meng Fan, dan Haiyan Wang, 2005).
Pembahasan tentang ruang Banach yaitu ruang bernorma yang setiap
barisan Cauchynya konvergen, telah dibahas dalam buku Introductory Functional
Analisys With Applications, oleh Erwin Kreyszig (1987). Zeidler (1985) dalam
bukunya yang berjudul Applied Functional Analisys, membahas teorema titik
tetap Banach dan aplikasinya. Kemudian Kesavan (2004) memberikan bahasan
tentang derajat pemetaan, Leray - Schauder degree, dan indeks titik tetap, yang
digunakan untuk menjamin eksistensi dari titik tetap.
5
Dimotivasi dari apa yang telah ditulis oleh penulis-penulis di atas, Jingli
Ren, Stefan Siegmund, dan Yeuli Chen dalam jurnalnya yang berjudul Positive
Periodic Solutions For Third-Order Nonlinear Differential Equations (2011),
memberikan bentuk eksplisit dari fungsi Green untuk beberapa persamaan
diferensial orde tiga dengan syarat batas periodik dan menyajikan syarat cukup
untuk eksistensi dari solusi periodik positif.
1.5. Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dengan mempelajari dan
memahami beberapa karya tulis berupa buku teks dan jurnal-jurnal ilmiah, dengan
literatur utamanya adalah karya yang disusun oleh J.Ren, Stefan Siegmund, dan
Yueli Chen (2011), yaitu “Positive Periodic Solutions for Third Order Nonlinear
Differential Equations”. Teorema-teorema pada karya yang disusun oleh J.Ren,
Stefan Siegmund, dan Yueli Chen (2011) tersebut akan dibahas dan dilengkapi
buktinya. Penelitian ini akan dilakukan terlebih dahulu dengan mempelajari ruang
metrik, pemetaan kontraktif, titik tetap dan teorema titik tetap Banach, kerucut,
operator linear, operator linear kompak, solusi periodik, dan fungsi Green.
,
Didefinisikan
terdefinisi
pada
,
interval
* ( )
Dinotasikan
* ( )
- merupakan himpunan semua fungsi kontinu yang
( )
(
- dengan
( )
)
juga memiliki periode
norma
(
‖ ‖
)
,
( )+
( )|
dan
( )+. Jika ( ) memiliki periode
Jika
-|
, maka ( )
adalah periode terkecil maka disebut
periodik. Pembahasan dalam tesis ini dibagi menjadi empat bagian, yaitu
(1). Mengkonstruksi fungsi Green dari empat jenis persamaan diferensial orde
tiga dengan syarat batas periodik, persamaan yang pertama yaitu
( ) dengan masalah syarat batas
a.
( )
( )
( )
( )
( ) dengan
( )
( )
( )
( )
( )
( ),
c.
( )
( )
( ),
( ) dengan masalah syarat batas
b.
( )
( )
( )
( )
( ),
masalah
syarat
batas
6
( ) dengan
d.
( )
dengan
( )
( )
( )
( )
,
dan
masalah
syarat batas
( ),
-.
Selanjutnya dibuktikan bahwa empat jenis persamaan diferensial orde tiga
dengan syarat awal periodik tersebut mempunyai solusi
-periodik yang
tunggal dan diberikan sifat-sifat dari keempat fungsi Green tersebut.
(2). Dengan menggunakan teorema titik tetap Banach akan ditentukan eksistensi
dan ketunggalan solusi dan metode iterasi untuk persamaan diferensial
nonlinear dengan koefisien konstan yang berbentuk
(
dengan
(,
-
)
(
)
).
(3). Menentukan syarat cukup untuk eksistensi dari persamaan diferensial
nonlinear orde tiga dengan time-varying, yang persamaannya berbentuk
(,
-
,
),
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
))
Akan diberikan syarat cukup untuk
eksistensi dari solusi positif untuk versi linear dari persamaan (1.6.2) dan
(1.6.3).
(4). Selanjutnya, akan dibahas secara umum persamaan diferensial nonlinear
orde tiga yang berbentuk
( )
( )
dengan
(
)
untuk
merupakan
( )
(
(
,
) ,
)
(
))
-periodik fungsi di
(
)
)
untuk periode
.
Bagian pertama, kedua, ketiga, dan keempat ini yang akan disajikan pada
Bab IV yang membahas bukti teorema-teorema yang menjamin eksistensi dari
solusi periodik positif dari persamaan (1.6.1), (1.6.2), (1.6.3, (1.6.4), dan dengan
menggunakan fungsi Green dari empat jenis persamaan diferensial orde tiga
dengan syarat batas periodik maka eksistensi dan ketunggalan dapat ditentukan.
7
1.6. Sistematika Penulisan
Tesis ini terdiri atas 4 (empat) bab yaitu diawali dengan BAB I
PENDAHULUAN yang memuat Latar Belakang, Rumusan Masalah, Tujuan
Penelitian, Manfaat Penelitian, Tinjauan Pustaka, Metodologi penelitian dan
Sistematika Penulisan.
Kemudian dilanjutkan dengan BAB II LANDASAN TEORI yang memuat
Ruang metrik, pemetaan kontraktif, operator, operator kontinu lengkap, masalah
syarat awal dan masalah syarat batas.
Pada BAB III INDEKS TITIK TETAP yang memuat derajat pemetaan,
sifat-sifat derajat pemetaan, Leray–Schauder degree, dan indeks titik tetap,
digunakan untuk syarat cukup eksistensi dari persamaan diferensial nonlinear orde
tiga time varying pada Bab IV.
Bab selanjutnya adalah BAB IV PEMBAHASAN yang memuat
pengkonstruksian fungsi Green dari empat tipe persamaan diferensial orde tiga
dan sifat-sifat dari fungsi Green untuk empat tipe persamaan tersebut, eksistensi
dan ketunggalan dari solusi dan metode iterasi untuk persamaan diferensial
nonlinear dengan koefisien konstan, menyajikan syarat cukup untuk eksistensi
dari solusi positif untuk persamaan diferensial nonlinear orde tiga dengan timevarying, mempelajari persamaan diferensial nonlinear orde tiga secara umum.
Terakhir adalah BAB V
penelitian selanjutnya.
KESIMPULAN yang memuat rangkuman hasil
Diagram Alur Metodologi Penelitian.
Ruang bernorma
Ruang metrik
Teorema titik tetap Banach
Operator linear
Masalah syarat batas
Fungsi Green
Sifat-sifat fungsi Green
Operator linear kompak
(completely continuous
operator)
Indeks titik tetap
Eksistensi dan ketunggalan
solusi periodik untuk
persamaan diferensial nonlinear
𝑢′′′ − 𝜌3 𝑢 = 𝑓(𝑡, 𝑢)
Eksistensi solusi periodik positif
untuk persamaan diferensial
nonlinear
𝑢(𝑡)′′′ − 𝑎(𝑡)𝑢(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑢(𝑡)) dan
𝑢(𝑡)′′′ + 𝑎(𝑡)𝑢(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑢(𝑡))
Eksistensi solusi periodik positif
untuk persamaan diferensial
nonlinear
′′′
𝑦 + 𝑝(𝑡)𝑦 ′′ + 𝑞(𝑡)𝑦 ′ + 𝑐(𝑡)𝑦
= 𝑔(𝑡, 𝑦)