Nilai, Vektor, dan Ruang Eigen

Nilai, Vektor, dan Ruang Eigen
Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
November 2015
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
1 / 41
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1, 2014, oleh Adiwijaya.
2
Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
3
Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
4
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti
Aminah.
5
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
2 / 41
Bahasan
1
Motivasi: Pengenalan Wajah
2
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
3
Metode Mencari Vektor Eigen
4
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
3 / 41
Motivasi: Pengenalan Wajah
Bahasan
1
Motivasi: Pengenalan Wajah
2
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
3
Metode Mencari Vektor Eigen
4
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
4 / 41
Motivasi: Pengenalan Wajah
Eigenfaces
Eigenfaces
Eigenfaces adalah himpunan vektor-vektor eigen yang digunakan dalam computer
vision untuk mengenali tipe-tipe wajah manusia. Metode ini dikembangkan oleh
Sirovich dan Kirby pada tahun 1987 dan digunakan oleh Turk dan Pentland untuk
melakukan klasi…kasi terhadap tipe-tipe wajah. Vektor-vektor eigen yang
digunakan diperoleh dari suatu matriks kovariansi (mungkin dipelajari pada kuliah
Probabilitas dan Statistika) yang terkait kemungkinan tipe wajah-wajah manusia.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
5 / 41
Motivasi: Pengenalan Wajah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
6 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bahasan
1
Motivasi: Pengenalan Wajah
2
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
3
Metode Mencari Vektor Eigen
4
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
7 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan
Diberikan matriks A =
w=
5
4
2 0
4 1
, vektor u =
1
4
,v=
0
4
, dan
. Periksa apakah
1
terdapat
2
terdapat
3
terdapat
2 R sehingga Au = u
2 R sehingga Av = v
2 R sehingga Aw = w
Solusi: Perhatikan bahwa
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
8 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan
Diberikan matriks A =
w=
5
4
2 0
4 1
, vektor u =
1
4
,v=
0
4
, dan
. Periksa apakah
1
terdapat
2
terdapat
3
terdapat
2 R sehingga Au = u
2 R sehingga Av = v
2 R sehingga Aw = w
Solusi: Perhatikan bahwa
2 0
1
Au =
=2
4 1
4
MZI (FIF Tel-U)
1
4
Ruang Eigen
November 2015
8 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan
Diberikan matriks A =
5
4
w=
2 0
4 1
1
4
,v=
0
4
, dan
. Periksa apakah
1
terdapat
2
terdapat
3
terdapat
2 R sehingga Au = u
2 R sehingga Av = v
2 R sehingga Aw = w
Solusi: Perhatikan bahwa
2 0
1
Au =
=2
4 1
4
Av =
, vektor u =
2
4
0
1
MZI (FIF Tel-U)
0
4
=1
1
4
0
4
Ruang Eigen
November 2015
8 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan
Diberikan matriks A =
5
4
w=
2 0
4 1
1
4
,v=
0
4
, dan
. Periksa apakah
1
terdapat
2
terdapat
3
terdapat
2 R sehingga Au = u
2 R sehingga Av = v
2 R sehingga Aw = w
Solusi: Perhatikan bahwa
2 0
1
Au =
=2
4 1
4
Av =
, vektor u =
2
4
0
1
0
4
=1
1
4
0
4
2 0
5
10
5
=
6=
untuk berapapun (jika ada yang
4 1
4
24
4
memenuhi, maka diperoleh 10 = 5 dan 24 = 4 , akibatnya = 2 dan = 6).
Aw =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
8 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Secara geometris kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
9 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
De…nisi
Diberikan sebuah matriks persegi A yang berukuran n n. Vektor tak nol
~v 2 Rn dikatakan sebagai vektor eigen (atau vektor karakteristik) dari A apabila
A~v adalah kelipatan skalar dari ~v , yaitu
A~v = ~v ,
(1)
untuk suatu 2 R. Nilai selanjutnya dinamakan nilai eigen (atau nilai
karakteristik) dari A, dan ~v disebut sebagai vektor eigen yang bersesuaian dengan
nilai eigen .
Catatan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
10 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
De…nisi
Diberikan sebuah matriks persegi A yang berukuran n n. Vektor tak nol
~v 2 Rn dikatakan sebagai vektor eigen (atau vektor karakteristik) dari A apabila
A~v adalah kelipatan skalar dari ~v , yaitu
A~v = ~v ,
(1)
untuk suatu 2 R. Nilai selanjutnya dinamakan nilai eigen (atau nilai
karakteristik) dari A, dan ~v disebut sebagai vektor eigen yang bersesuaian dengan
nilai eigen .
Catatan
Vektor eigen adalah vektor tak nol. Hal ini dilakukan mengingat vektor nol
senantiasa memenuhi persamaan (1). Jika ~v = ~0, kita memperoleh
A~v = A~0 = ~0 = ~0 = ~v untuk sembarang matriks persegi A dan 2 R, yang
tidak memberikan informasi penting apapun.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
10 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Persamaan Karakteristik
Permasalahan
Diberikan sebuah matriks persegi A yang berorde n. Bagaimana cara menentukan
semua nilai eigen dari A? Apakah kita harus mengetahui semua vektor eigen dari
A terlebih dulu?
Teorema
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
11 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Persamaan Karakteristik
Permasalahan
Diberikan sebuah matriks persegi A yang berorde n. Bagaimana cara menentukan
semua nilai eigen dari A? Apakah kita harus mengetahui semua vektor eigen dari
A terlebih dulu?
Teorema
Diberikan matriks persegi A yang berorde n, suatu bilangan
dari A jika dan hanya jika
det ( I A) = 0.
adalah nilai eigen
(2)
Catatan
Persamaan (2) disebut persamaan karakteristik dari suatu matriks persegi A.
Kondisi det ( I A) = 0 juga setara dengan kondisi det (A
I) = 0.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
11 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat A~v = ~v . Tinjau bahwa
A~v
=
~v
,
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat A~v = ~v . Tinjau bahwa
,
MZI (FIF Tel-U)
A~v
=
~v
, A~v
=
I~v
Ruang Eigen
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat A~v = ~v . Tinjau bahwa
, ( I
MZI (FIF Tel-U)
A~v
=
, A~v
=
A) ~v
Ruang Eigen
~v
I~v
~
= 0.
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat A~v = ~v . Tinjau bahwa
, ( I
A~v
=
, A~v
=
A) ~v
~v
I~v
~
= 0.
Karena ~v 6= ~0 maka ( I
A) ~v = ~0 jika dan hanya jika
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat A~v = ~v . Tinjau bahwa
, ( I
Karena ~v 6= ~0 maka ( I
MZI (FIF Tel-U)
A~v
=
, A~v
=
A) ~v
~v
I~v
~
= 0.
A) ~v = ~0 jika dan hanya jika I
Ruang Eigen
A singular
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat A~v = ~v . Tinjau bahwa
, ( I
A~v
=
, A~v
=
A) ~v
~v
I~v
~
= 0.
Karena ~v 6= ~0 maka ( I A) ~v = ~0 jika dan hanya jika I A singular (jika
1
1
I A invertibel, maka kita memiliki ( I A) ( I A) ~v = ( I A) ~0,
sehingga ~v = ~0).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat A~v = ~v . Tinjau bahwa
, ( I
A~v
=
, A~v
=
A) ~v
~v
I~v
~
= 0.
Karena ~v 6= ~0 maka ( I A) ~v = ~0 jika dan hanya jika I A singular (jika
1
1
I A invertibel, maka kita memiliki ( I A) ( I A) ~v = ( I A) ~0,
sehingga ~v = ~0). Akibatnya adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika
I A singular. Mengingat I A singular jika dan hanya jika
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat A~v = ~v . Tinjau bahwa
, ( I
A~v
=
, A~v
=
A) ~v
~v
I~v
~
= 0.
Karena ~v 6= ~0 maka ( I A) ~v = ~0 jika dan hanya jika I A singular (jika
1
1
I A invertibel, maka kita memiliki ( I A) ( I A) ~v = ( I A) ~0,
sehingga ~v = ~0). Akibatnya adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika
I A singular. Mengingat I A singular jika dan hanya jika
det ( I A) = 0, maka adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Bukti
Tinjau bahwa adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat ~v 6= ~0,
~v 2 Rn dengan sifat A~v = ~v . Tinjau bahwa
, ( I
A~v
=
, A~v
=
A) ~v
~v
I~v
~
= 0.
Karena ~v 6= ~0 maka ( I A) ~v = ~0 jika dan hanya jika I A singular (jika
1
1
I A invertibel, maka kita memiliki ( I A) ( I A) ~v = ( I A) ~0,
sehingga ~v = ~0). Akibatnya adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika
I A singular. Mengingat I A singular jika dan hanya jika
det ( I A) = 0, maka adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika
det ( I
MZI (FIF Tel-U)
A) = 0.
Ruang Eigen
November 2015
12 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan: Kalkulasi Nilai Eigen
Latihan
Tentukan persamaan karakteristik dari matriks-matriks persegi berikut. Kemudian,
tentukan pula nilai eigen2 dari setiap matriks.
3
2
3
4 0 1
0 0 12
3
0
A=
, B = 4 2 1 0 5, C = 4 1 0 13 5,
8
1
0 1
0
2
3 2 0 1
0 0 0
36
6 1 0 0
0 7
7.
D=6
4 0 1 0
13 5
0 0 1
0
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
13 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan: Kalkulasi Nilai Eigen
Latihan
Tentukan persamaan karakteristik dari matriks-matriks persegi berikut. Kemudian,
tentukan pula nilai eigen2 dari setiap matriks.
3
2
3
4 0 1
0 0 12
3
0
A=
, B = 4 2 1 0 5, C = 4 1 0 13 5,
8
1
0 1
0
2
3 2 0 1
0 0 0
36
6 1 0 0
0 7
7.
D=6
4 0 1 0
13 5
0 0 1
0
Solusi: Untuk matriks A, kita memiliki persamaan karakateristik
3
0
det ( I A) =
=(
3) ( + 1) = 0. Jadi Nilai eigen dari A
8
+1
adalah 1 = 1 dan 2 = 3.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
13 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks B, kita memiliki persamaan karakteristik
4
0
1
2
1
0 = 0.
det ( I B) =
2
0
1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
14 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks B, kita memiliki persamaan karakteristik
4
0
1
2
1
0 = 0. Melalui ekspansi kofaktor di baris
det ( I B) =
2
0
1
pertama diperoleh
0
=
(
4)
=
(
4) (
=
(
1) ((
=
(
1)
1
2
1( 2(
1) (
2
1
1
1)
Jadi diperoleh nilai eigen
MZI (FIF Tel-U)
0
0
= 1,
1
0
1)) = (
2
4) (
1) + 2 (
1)
4) + 2)
5 +6 =(
1
2
2
2
1) (
= 2, dan
Ruang Eigen
2) (
3
3)
= 3.
November 2015
14 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks C, kita memiliki persamaan karakteristik
0
12
1
13 = 0.
det ( I C) =
0
1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
15 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks C, kita memiliki persamaan karakteristik
0
12
1
13 = 0. Melalui ekspansi kofaktor di kolom
det ( I C) =
0
1
pertama, diperoleh
0
=
MZI (FIF Tel-U)
13
=
1
2
( 1)
13 + 1 ( 12) =
Ruang Eigen
0
1
3
12
13
(3)
12.
November 2015
15 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks C, kita memiliki persamaan karakteristik
0
12
1
13 = 0. Melalui ekspansi kofaktor di kolom
det ( I C) =
0
1
pertama, diperoleh
0
13
=
=
1
2
( 1)
13 + 1 ( 12) =
0
1
3
12
13
(3)
12.
Dari pengetahuan yang didapat di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa jika
1 ; 2 ; 3 adalah akar-akar dari (3), maka 1 2 3 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
15 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks C, kita memiliki persamaan karakteristik
0
12
1
13 = 0. Melalui ekspansi kofaktor di kolom
det ( I C) =
0
1
pertama, diperoleh
0
13
=
=
1
2
( 1)
13 + 1 ( 12) =
0
1
3
12
13
(3)
12.
Dari pengetahuan yang didapat di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa jika
1 ; 2 ; 3 adalah akar-akar dari (3), maka 1 2 3 = 12 dan 1 + 2 + 3 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
15 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks C, kita memiliki persamaan karakteristik
0
12
1
13 = 0. Melalui ekspansi kofaktor di kolom
det ( I C) =
0
1
pertama, diperoleh
0
13
=
=
1
2
( 1)
13 + 1 ( 12) =
0
1
3
12
13
(3)
12.
Dari pengetahuan yang didapat di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa jika
1 ; 2 ; 3 adalah akar-akar dari (3), maka 1 2 3 = 12 dan 1 + 2 + 3 = 0.
Dengan aturan Horner, kita akan mencoba 1 = 4,
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
15 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks C, kita memiliki persamaan karakteristik
0
12
1
13 = 0. Melalui ekspansi kofaktor di kolom
det ( I C) =
0
1
pertama, diperoleh
0
13
=
( 1)
1
2
=
13 + 1 ( 12) =
0
1
3
12
13
(3)
12.
Dari pengetahuan yang didapat di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa jika
1 ; 2 ; 3 adalah akar-akar dari (3), maka 1 2 3 = 12 dan 1 + 2 + 3 = 0.
Dengan aturan Horner, kita akan mencoba 1 = 4,
4
Jadi
3
13
MZI (FIF Tel-U)
1
#
1
0
4
4
13
16
3
12
12
0
(+)
12 =
Ruang Eigen
November 2015
15 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks C, kita memiliki persamaan karakteristik
0
12
1
13 = 0. Melalui ekspansi kofaktor di kolom
det ( I C) =
0
1
pertama, diperoleh
0
13
=
( 1)
1
2
=
13 + 1 ( 12) =
0
1
3
12
13
(3)
12.
Dari pengetahuan yang didapat di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa jika
1 ; 2 ; 3 adalah akar-akar dari (3), maka 1 2 3 = 12 dan 1 + 2 + 3 = 0.
Dengan aturan Horner, kita akan mencoba 1 = 4,
4
Jadi
3
13
MZI (FIF Tel-U)
12 = (
1
#
1
4)
0
4
4
2
13
16
3
12
12
0
(+)
+4 +3 =
Ruang Eigen
November 2015
15 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks C, kita memiliki persamaan karakteristik
0
12
1
13 = 0. Melalui ekspansi kofaktor di kolom
det ( I C) =
0
1
pertama, diperoleh
0
13
=
( 1)
1
2
=
0
1
13 + 1 ( 12) =
3
12
13
(3)
12.
Dari pengetahuan yang didapat di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa jika
1 ; 2 ; 3 adalah akar-akar dari (3), maka 1 2 3 = 12 dan 1 + 2 + 3 = 0.
Dengan aturan Horner, kita akan mencoba 1 = 4,
4
1
#
1
0
4
4
13
16
3
12
12
0
Jadi 3 13
12 = (
4) 2 + 4 + 3 = (
Akibatnya nilai eigen dari C adalah 1 = 3, 2 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
(+)
4) ( + 1) ( + 3).
1, dan 3 = 4.
November 2015
15 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks D, kita memiliki persamaan karakteristik
0
0
36
1
0
0
det ( I D) =
= 0.
0
1
13
0
0
1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
16 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Untuk matriks D, kita memiliki persamaan karakteristik
0
0
36
1
0
0
det ( I D) =
= 0. Melalui ekspansi kofaktor di kolom
0
1
13
0
0
1
pertama diperoleh
0
0=
MZI (FIF Tel-U)
1
0
0
13
( 1)
1
Ruang Eigen
0
1
0
0
36
13
1
November 2015
16 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
1
13 =
0
1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
17 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
13
0 0
1
13 =
( 1)
=
1
1
0
1
2
13 .
Kemudian dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
36
1
13 =
0
1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
17 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
13
0 0
1
13 =
( 1)
=
1
1
0
1
2
13 .
Kemudian dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
36
0 36
1
13 = ( 1)
= 36. Jadi diperoleh persamaan
1
0
1
karakteristik
0
MZI (FIF Tel-U)
=
Ruang Eigen
November 2015
17 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
13
0 0
1
13 =
( 1)
=
1
1
0
1
2
13 .
Kemudian dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
36
0 36
1
13 = ( 1)
= 36. Jadi diperoleh persamaan
1
0
1
karakteristik
0
=
2
13
+ 36
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
17 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
13
0 0
1
13 =
( 1)
=
1
1
0
1
2
13 .
Kemudian dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
36
0 36
1
13 = ( 1)
= 36. Jadi diperoleh persamaan
1
0
1
karakteristik
0
=
MZI (FIF Tel-U)
2
=
4
13
13
2
+ 36
+ 36 =
Ruang Eigen
November 2015
17 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
13
0 0
1
13 =
( 1)
=
1
1
0
1
2
13 .
Kemudian dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
36
0 36
1
13 = ( 1)
= 36. Jadi diperoleh persamaan
1
0
1
karakteristik
0
2
=
=
4
13
13
2
+ 36
+ 36 =
2
9
2
4
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
17 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
13
0 0
1
13 =
( 1)
=
1
1
0
1
2
13 .
Kemudian dengan ekspansi kofaktor di kolom pertama kita memiliki
0
0
36
0 36
1
13 = ( 1)
= 36. Jadi diperoleh persamaan
1
0
1
karakteristik
0
2
=
4
=
=
(
13
13
2
2
+ 36 =
1
=
Ruang Eigen
2
9
4
2) ( + 2) .
3) ( + 3) (
Jadi nilai-nilai eigen untuk D adalah
MZI (FIF Tel-U)
+ 36
3,
2
=
2,
3
= 2, dan
4
= 3.
November 2015
17 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Nilai Eigen Matriks Segitiga
Latihan
Berikan persamaan karakteristik untuk setiap matriks berikut
nilai eigen
dari setiap matriks.3
2
2
a11
a1n
b11
O
6
6 ..
.. 7
6
6
a22
. 7
b22
7, B = 6 .
A=6
6
7
6
.
.
.
..
..
.. 5
4
4 ..
.
O
ann
bn1
bnn
2
3
c11
O
6
7
c22
6
7
C=6
7
..
4
5
.
O
MZI (FIF Tel-U)
dan tentukan pula
3
7
7
7,
7
5
cnn
Ruang Eigen
November 2015
18 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
19 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Solusi: Untuk matriks A persamaan karakteristiknya adalah
det ( I
A) =
n
Y
(
aii ) = 0,
i=1
jadi nilai eigennya adalah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
19 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Solusi: Untuk matriks A persamaan karakteristiknya adalah
det ( I
A) =
n
Y
(
aii ) = 0,
i=1
jadi nilai eigennya adalah a11 ; a22 ; : : : ; ann .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
19 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Solusi: Untuk matriks A persamaan karakteristiknya adalah
det ( I
A) =
n
Y
(
aii ) = 0,
i=1
jadi nilai eigennya adalah a11 ; a22 ; : : : ; ann . Untuk matriks B persamaan
karakteristiknya adalah
det ( I
B) =
n
Y
(
bii ) = 0,
i=1
jadi nila eigennya adalah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
19 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Solusi: Untuk matriks A persamaan karakteristiknya adalah
det ( I
A) =
n
Y
(
aii ) = 0,
i=1
jadi nilai eigennya adalah a11 ; a22 ; : : : ; ann . Untuk matriks B persamaan
karakteristiknya adalah
det ( I
B) =
n
Y
(
bii ) = 0,
i=1
jadi nila eigennya adalah b11 ; b22 ; : : : ; bnn .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
19 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Solusi: Untuk matriks A persamaan karakteristiknya adalah
det ( I
A) =
n
Y
(
aii ) = 0,
i=1
jadi nilai eigennya adalah a11 ; a22 ; : : : ; ann . Untuk matriks B persamaan
karakteristiknya adalah
det ( I
B) =
n
Y
(
bii ) = 0,
i=1
jadi nila eigennya adalah b11 ; b22 ; : : : ; bnn . Untuk matriks C persamaan
karakteristiknya adalah
det ( I
C) =
n
Y
(
cii ) = 0,
i=1
jadi nilai eigennya adalah c11 ; c22 ; : : : ; cnn .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
19 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Teorema terkait Persamaan Karakteristik
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga, maka persamaan karakteristik dari A adalah
0 = det ( I
A)
=
=
(
(A)11 ) (
n
Y
(
(A)ii )
(A)22 )
(
(A)nn )
i=1
dan nilai eigen dari A adalah (A)11 ; (A)22 ; : : : ; (A)nn .
De…nisi
Suatu polinom dalam variabel x dengan derajat maksimal n dikatakan monik
(monic) apabila koe…sien dari xn adalah 1.
Contoh
Polinom x2 + 2x + 1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
20 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Teorema terkait Persamaan Karakteristik
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga, maka persamaan karakteristik dari A adalah
0 = det ( I
A)
=
=
(
(A)11 ) (
n
Y
(
(A)ii )
(A)22 )
(
(A)nn )
i=1
dan nilai eigen dari A adalah (A)11 ; (A)22 ; : : : ; (A)nn .
De…nisi
Suatu polinom dalam variabel x dengan derajat maksimal n dikatakan monik
(monic) apabila koe…sien dari xn adalah 1.
Contoh
Polinom x2 + 2x + 1 adalah polinom monik, polinom x2015 + 2x2014 + 3x2013
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
20 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Teorema terkait Persamaan Karakteristik
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga, maka persamaan karakteristik dari A adalah
0 = det ( I
A)
=
=
(
(A)11 ) (
n
Y
(
(A)ii )
(A)22 )
(
(A)nn )
i=1
dan nilai eigen dari A adalah (A)11 ; (A)22 ; : : : ; (A)nn .
De…nisi
Suatu polinom dalam variabel x dengan derajat maksimal n dikatakan monik
(monic) apabila koe…sien dari xn adalah 1.
Contoh
Polinom x2 + 2x + 1 adalah polinom monik, polinom x2015 + 2x2014 + 3x2013
adalah polinom monik, dan polinom x2013 + 2x2014 + 3x2015
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
20 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Teorema terkait Persamaan Karakteristik
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga, maka persamaan karakteristik dari A adalah
0 = det ( I
A)
=
=
(
(A)11 ) (
n
Y
(
(A)ii )
(A)22 )
(
(A)nn )
i=1
dan nilai eigen dari A adalah (A)11 ; (A)22 ; : : : ; (A)nn .
De…nisi
Suatu polinom dalam variabel x dengan derajat maksimal n dikatakan monik
(monic) apabila koe…sien dari xn adalah 1.
Contoh
Polinom x2 + 2x + 1 adalah polinom monik, polinom x2015 + 2x2014 + 3x2013
adalah polinom monik, dan polinom x2013 + 2x2014 + 3x2015 bukan polinom
monik.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
20 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
De…nisi
Jika A adalah suatu matriks persegi berorde n, maka pA ( ) = det ( I
disebut polinom karakteristik (characteristic polynomial) dari A.
A)
Teorema
Untuk sembarang matriks persegi A yang berorde n, polinom karakteristik dari A,
yaitu pA ( ) = det ( I A), adalah polinom monik dalam variabel . Dengan
perkataan lain
pA ( ) =
=
MZI (FIF Tel-U)
det ( I
n
+ c1
Ruang Eigen
A)
n 1
+
+ cn .
November 2015
21 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Permasalahan
Apakah ada matriks persegi A dengan entri-entri real yang tidak memiliki nilai
eigen real?
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
22 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Permasalahan
Apakah ada matriks persegi A dengan entri-entri real yang tidak memiliki nilai
eigen real?
Solusi: Tinjau matriks A =
0
1
1
0
. Kita memiliki
1
= 2 + 1. Tidak ada nilai
1
hingga 2 + 1 = 0. Jadi A tidak memiliki nilai eigen real.
pA ( ) = det ( I
A) =
2 R sedemikian
Akibat
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
22 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Permasalahan
Apakah ada matriks persegi A dengan entri-entri real yang tidak memiliki nilai
eigen real?
Solusi: Tinjau matriks A =
0
1
1
0
. Kita memiliki
1
= 2 + 1. Tidak ada nilai
1
hingga 2 + 1 = 0. Jadi A tidak memiliki nilai eigen real.
pA ( ) = det ( I
A) =
2 R sedemikian
Akibat
Setiap matriks persegi A yang berorde n paling banyak memiliki n nilai eigen
real.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
22 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Pernyataan-pernyataan yang Ekivalen
Teorema
Jika A adalah sebuah matriks berukuran n
berikut ekivalen.
1
2
3
4
n, maka pernyataan-pernyataan
adalah nilai eigen dari A
SPL ( I A) ~x = ~0 memiliki solusi tak trivial
n o
~0
ker ( I A), akibatnya nulitas ( I A)
1
Ada vektor tak nol ~v yang memenuhi A~v = ~v
5
adalah solusi dari persamaan karakteristik pA ( ) = det ( I
A) = 0.
Bukti
Latihan.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
23 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan
2
3
1 1 1
Diberikan matriks A = 4 0 3 3 5, vektor ~u = (0; 2; 2), ~v = ( 4; 6; 2),
2 1 1
dan w
~ = ( 2; 1; 1). Periksa apakah ~u, ~v , maupun w
~ merupakan vektor eigen dari
A. Jika ya, tentukan nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen
tersebut.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
24 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan
2
3
1 1 1
Diberikan matriks A = 4 0 3 3 5, vektor ~u = (0; 2; 2), ~v = ( 4; 6; 2),
2 1 1
dan w
~ = ( 2; 1; 1). Periksa apakah ~u, ~v , maupun w
~ merupakan vektor eigen dari
A. Jika ya, tentukan nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen
tersebut.
Solusi: Kita memiliki
A~u =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
24 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan
2
3
1 1 1
Diberikan matriks A = 4 0 3 3 5, vektor ~u = (0; 2; 2), ~v = ( 4; 6; 2),
2 1 1
dan w
~ = ( 2; 1; 1). Periksa apakah ~u, ~v , maupun w
~ merupakan vektor eigen dari
A. Jika ya, tentukan nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen
tersebut.
Solusi: Kita memiliki
2
A~u = 4
1
0
2
1
3
1
32
1
3 54
1
3 2
3
2
0
0
2 5 = 4 0 5 = 04
2
0
3
0
2 5,
2
jadi ~u adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan niliai eigen 0. Kemudian
A~v =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
24 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Latihan
2
3
1 1 1
Diberikan matriks A = 4 0 3 3 5, vektor ~u = (0; 2; 2), ~v = ( 4; 6; 2),
2 1 1
dan w
~ = ( 2; 1; 1). Periksa apakah ~u, ~v , maupun w
~ merupakan vektor eigen dari
A. Jika ya, tentukan nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen
tersebut.
Solusi: Kita memiliki
2
A~u = 4
1
0
2
1
3
1
jadi ~u adalah nilai eigen yang
2
1 1
A~v = 4 0 3
2 1
32
1
3 54
1
3 2
3
2
0
0
2 5 = 4 0 5 = 04
2
0
bersesuaian dengan
32
3 2
1
4
3 54 6 5 = 4
1
2
niliai eigen 0.
3
2
8
12 5 = 2 4
4
jadi ~v adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 2.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
3
0
2 5,
2
Kemudian
3
4
6 5,
2
November 2015
24 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Terakhir
Aw
~=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
25 / 41
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
Terakhir
2
Aw
~= 4
untuk sembarang
MZI (FIF Tel-U)
1 1
0 3
2 1
32
1
3 54
1
3 2
3
2
0
1 5 = 4 6 5 6=
1
6
2
4
3
2
1 5
1
2 R. Jadi w
~ = ( 2; 1; 1) bukan vektor eigen dari A.
Ruang Eigen
November 2015
25 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Bahasan
1
Motivasi: Pengenalan Wajah
2
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
3
Metode Mencari Vektor Eigen
4
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
26 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Mencari Vektor Eigen
Permasalahan
Diberikan sebuah matriks persegi A dan
adalah suatu nilai eigen dari A.
Bagaimana cara mencari semua vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
?
Misalkan ~v adalah sembarang vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai
memenuhi hubungan
eigen , maka ~v dan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
27 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Mencari Vektor Eigen
Permasalahan
Diberikan sebuah matriks persegi A dan
adalah suatu nilai eigen dari A.
Bagaimana cara mencari semua vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
?
Misalkan ~v adalah sembarang vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai
memenuhi hubungan
eigen , maka ~v dan
A~v =
~v atau (
I
A) ~v = ~0.
Ini berarti ~v 2
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
27 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Mencari Vektor Eigen
Permasalahan
Diberikan sebuah matriks persegi A dan
adalah suatu nilai eigen dari A.
Bagaimana cara mencari semua vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
?
Misalkan ~v adalah sembarang vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai
memenuhi hubungan
eigen , maka ~v dan
A~v =
~v atau (
I
A) ~v = ~0.
Ini berarti ~v 2 ker ( I A). Dengan demikian mencari semua kemungkinan
vektor eigen ~v cukup dilakukan dengan menentukan basis bagi ker ( I A).
Catatan
Untuk setiap matriks persegi A berorde n, jika
adalah nilai eigen dari A, maka
vektor eigen ~v yang bersesuaian dengan
pastilah memenuhi
~v 2 ker (
MZI (FIF Tel-U)
I
A) dan ~v 6= ~0.
Ruang Eigen
November 2015
27 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Permasalahan
Jika Eig (A) adalah himpunan seluruh vektor eigen dari A yang bersesuaian
dengan nilai eigen , apa kaitan antara Eig (A) dan ker ( I A)?
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
28 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Permasalahan
Jika Eig (A) adalah himpunan seluruh vektor eigen dari A yang bersesuaian
dengan nilai eigen , apa kaitan antara Eig (A) dan ker ( I A)?
n o
Kita memiliki Eig (A) = ker ( I A) r ~0 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
28 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Ruang Eigen
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n dan
adalah suatu nilai
eigen dari A, maka ruang eigen (eigenspace) dari A yang bersesuaian dengan ,
dinotasikan dengan E , dide…nisikan sebagai
E
= ker (
I
A) .
Latihan
Tentukan ruang eigen dari
berikut
2 matriks-matriks
3
2
0 0
2
1
3
0
1 5, C = 4 0
A=
,B=4 1 2
8
1
1 0
3
1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
0
1
0
3
2
2 5
0
November 2015
29 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk A adalah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
30 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk A adalah
pA ( ) =
3
8
sehingga nilai eigen untuk A adalah
MZI (FIF Tel-U)
0
+1
1
=
=(
1 dan
Ruang Eigen
3) ( + 1) = 0,
2
= 3.
November 2015
30 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk A adalah
pA ( ) =
3
8
0
+1
sehingga nilai eigen untuk A adalah
menentukan ker ( 1 I A) = ker ( I
4
8
0
0
Cukup jelas bahwa jika ~x 2 ker ( I
E 1=
MZI (FIF Tel-U)
1
=(
= 1 dan
A).
x1
x2
=
3) ( + 1) = 0,
2
= 3. Pertama kita akan
0
0
A), maka ~x = (0; s), s 2 R. Jadi
Ruang Eigen
November 2015
30 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk A adalah
pA ( ) =
3
8
0
+1
sehingga nilai eigen untuk A adalah
menentukan ker ( 1 I A) = ker ( I
4
8
0
0
Cukup jelas bahwa jika ~x 2 ker ( I
E 1 = span f(0; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
1
=(
= 1 dan
A).
x1
x2
=
3) ( + 1) = 0,
2
= 3. Pertama kita akan
0
0
A), maka ~x = (0; s), s 2 R. Jadi
Ruang Eigen
November 2015
30 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk A adalah
pA ( ) =
3
8
0
+1
sehingga nilai eigen untuk A adalah
menentukan ker ( 1 I A) = ker ( I
4
8
1
0
0
Cukup jelas bahwa jika ~x 2 ker ( I
E 1 = span f(0; 1)g.
0
4
= 1 dan
A).
x1
x2
=
3) ( + 1) = 0,
2
= 3. Pertama kita akan
0
0
A), maka ~x = (0; s), s 2 R. Jadi
Selanjutnya kita akan menentukan ker (
0
8
=(
2I
x1
x2
A) = ker (3I
=
A).
0
0
Jika ~x 2 ker (3I A), maka ~x = (x1 ; x2 ) dengan 8x1 + 4x2 = 0. Dengan
demikian ~x pasti berbentuk 12 t; t dengan t 2 R. Jadi E3 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
30 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk A adalah
pA ( ) =
3
8
0
+1
sehingga nilai eigen untuk A adalah
menentukan ker ( 1 I A) = ker ( I
4
8
1
0
0
Cukup jelas bahwa jika ~x 2 ker ( I
E 1 = span f(0; 1)g.
0
4
= 1 dan
A).
x1
x2
=
3) ( + 1) = 0,
2
= 3. Pertama kita akan
0
0
A), maka ~x = (0; s), s 2 R. Jadi
Selanjutnya kita akan menentukan ker (
0
8
=(
2I
x1
x2
A) = ker (3I
=
A).
0
0
Jika ~x 2 ker (3I A), maka ~x = (x1 ; x2 ) dengan 8x1 + 4x2 = 0. Dengan
demikian ~x pasti berbentuk 12 t; t dengan t 2 R. Jadi E3 = span f(1; 2)g
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
30 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk B adalah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
31 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk B adalah
pB ( ) = det ( I
B) =
1
1
0
2
0
2
1
3
= 0.
Melalui ekspansi kofaktor di baris pertama kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
31 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk B adalah
pB ( ) = det ( I
0
2
0
1
1
B) =
2
1
3
= 0.
1
1
2
0
Melalui ekspansi kofaktor di baris pertama kita memiliki
1
1
0
2
0
2
1
3
2
0
=
=
(
1
3
2) (
=
(
2) ( (
=
(
2) (
Jadi nilai eigen dari B adalah
1
MZI (FIF Tel-U)
= 1,
2
+2
3) + 2 (
3) + 2) = (
2) (
=
Ruang Eigen
2)
3
2)
2
3 +2
1) .
= 2.
November 2015
31 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Pertama kita akan menentukan
2
1
4 1
1
ker (
0
1
0
B) = ker (I B).
32
3 2
3
2
x1
0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5
2
x3
0
1I
x1 + 0x2 + 2x3 = 0
. Misalkan x3 = s, maka x1 =
x1 + x2 + x3 = 0
x3 = 2s s = s. Jadi jika ~x 2 ker (I B), ~x berbentuk
Kita memiliki SPL
x2 =
x1
2s,
~x = ( 2s; s; s) , s 2 R.
Akibatnya E1 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
32 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Pertama kita akan menentukan
2
1
4 1
1
ker (
0
1
0
B) = ker (I B).
32
3 2
3
2
x1
0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5
2
x3
0
1I
x1 + 0x2 + 2x3 = 0
. Misalkan x3 = s, maka x1 =
x1 + x2 + x3 = 0
x3 = 2s s = s. Jadi jika ~x 2 ker (I B), ~x berbentuk
Kita memiliki SPL
x2 =
x1
2s,
~x = ( 2s; s; s) , s 2 R.
Akibatnya E1 = span f( 2; 1; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
32 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Selanjutnya kita akan menentukan ker ( 2 I B) = ker ( 3 I
2
32
3 2
3
2 0
2
x1
0
4 1 0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5
1 0
1
x3
0
B) = ker (2I
B).
Kita memiliki SPL x1 + 0x2 + x3 = 0. Nilai x2 tidak terkait dengan x1 maupun
x3 , jadi x2 = t 2 R. Jika x3 = u 2 R, maka x1 = u. Akibatnya jika
~x 2 ker (2I B), ~x berbentuk
~x
=
( u; t; u) , p; q 2 R
= t (0; 1; 0) + u ( 1; 0; 1) .
Sehingga E2 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
33 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Selanjutnya kita akan menentukan ker ( 2 I B) = ker ( 3 I
2
32
3 2
3
2 0
2
x1
0
4 1 0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5
1 0
1
x3
0
B) = ker (2I
B).
Kita memiliki SPL x1 + 0x2 + x3 = 0. Nilai x2 tidak terkait dengan x1 maupun
x3 , jadi x2 = t 2 R. Jika x3 = u 2 R, maka x1 = u. Akibatnya jika
~x 2 ker (2I B), ~x berbentuk
~x
=
( u; t; u) , p; q 2 R
= t (0; 1; 0) + u ( 1; 0; 1) .
Sehingga E2 = span f(0; 1; 0) ; ( 1; 0; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
33 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk C adalah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
34 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk C adalah
pC ( ) = det ( I
C) =
1
0
1
0
1
0
2
2
= 0.
Melalui ekspansi kofaktor di kolom kedua kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
34 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Persamaan karakteristik untuk C adalah
pC ( ) = det ( I
1
0
1
C) =
0
1
0
2
2
= 0.
Melalui ekspansi kofaktor di kolom kedua kita memiliki
1
0
1
0
1
0
2
2
Jadi nilai eigen dari C adalah
MZI (FIF Tel-U)
=
0+(
1) ( 1)
= (
= (
1) [(
1)
=
1) (
1
=
(
1,
2
2
+0
2]
2
2) ( + 1) .
= 1, dan
Ruang Eigen
1
1) ( )
2
1
2+2
3
= 2.
November 2015
34 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Pertama kita akan menentukan
2
2
4 0
1
ker (
0
2
0
C) = ker ( I C).
32
3 2
3
2
x1
0
2 5 4 x2 5 = 4 0 5
1
x3
0
1I
Dengan
OBE diperoleh
3 matriks diperbesar dalam bentuk EB:
2
1 0
1 0
x
x3 = 0
4 0 1
1 0 5, akibatnya diperoleh SPL 1
. Misalkan
x2 + x3 = 0
0 0
0 0
x3 = s, maka x1 = s dan x2 = s. Akibatnya jika ~x 2 ker ( I C), ~x berbentuk
~x
=
(s; s; s) , s 2 R
= s (1; 1; 1) .
Sehingga E
1
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
35 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Pertama kita akan menentukan
2
2
4 0
1
ker (
0
2
0
C) = ker ( I C).
32
3 2
3
2
x1
0
2 5 4 x2 5 = 4 0 5
1
x3
0
1I
Dengan
OBE diperoleh
3 matriks diperbesar dalam bentuk EB:
2
1 0
1 0
x
x3 = 0
4 0 1
1 0 5, akibatnya diperoleh SPL 1
. Misalkan
x2 + x3 = 0
0 0
0 0
x3 = s, maka x1 = s dan x2 = s. Akibatnya jika ~x 2 ker ( I C), ~x berbentuk
~x
=
(s; s; s) , s 2 R
= s (1; 1; 1) .
Sehingga E
1
= span f(1; 1; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
35 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Selanjutnya kita akan menentukan
2
0 0
4 0 0
1 0
ker ( 2 I C) = ker (I
32
3 2
3
2
x1
0
2 5 4 x2 5 = 4 0 5
1
x3
0
C).
3
1 0 0 0
Dengan OBE diperoleh matriks diperbesar dalam bentuk EB: 4 0 0 1 0 5,
0 0 0 0
x1 = 0
akibatnya diperoleh SPL
. Nilai x2 tidak terkait dengan x1 dan x3 .
x3 = 0
Misalkan x2 = t 2 R, maka ~x 2 ker (I C), ~x berbentuk
~x
=
=
2
(0; t; 0) , t 2 R
t (0; 1; 0) .
Sehingga E1 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
36 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Selanjutnya kita akan menentukan
2
0 0
4 0 0
1 0
ker ( 2 I C) = ker (I
32
3 2
3
2
x1
0
2 5 4 x2 5 = 4 0 5
1
x3
0
C).
3
1 0 0 0
Dengan OBE diperoleh matriks diperbesar dalam bentuk EB: 4 0 0 1 0 5,
0 0 0 0
x1 = 0
akibatnya diperoleh SPL
. Nilai x2 tidak terkait dengan x1 dan x3 .
x3 = 0
Misalkan x2 = t 2 R, maka ~x 2 ker (I C), ~x berbentuk
~x
=
=
2
(0; t; 0) , t 2 R
t (0; 1; 0) .
Sehingga E1 = span f(0; 1; 0)g.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
36 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Terakhir kita akan menentukan ker ( 3 I C) = ker (2I C).
2
32
3 2
3
1 0
2
x1
0
4 0 1
2 5 4 x2 5 = 4 0 5
1 0
2
x3
0
Dengan
OBE diperoleh
3 matriks diperbesar dalam bentuk EB:
2
1 0
2 0
x + 2x3 = 0
4 0 1
2 0 5, akibatnya diperoleh SPL 1
. Misalkan
x2 2x3 = 0
0 0
0 0
x3 = u 2 R, maka x2 = 2u dan x1 = 2u. Akibatnya ~x 2 ker (2I C), ~x
berbentuk
~x
=
=
( 2u; 2u; u) , u 2 R
u ( 2; 2; 1) .
Sehingga E3 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
37 / 41
Metode Mencari Vektor Eigen
Terakhir kita akan menentukan ker ( 3 I C) = ker (2I C).
2
32
3 2
3
1 0
2
x1
0
4 0 1
2 5 4 x2 5 = 4 0 5
1 0
2
x3
0
Dengan
OBE diperoleh
3 matriks diperbesar dalam bentuk EB:
2
1 0
2 0
x + 2x3 = 0
4 0 1
2 0 5, akibatnya diperoleh SPL 1
. Misalkan
x2 2x3 = 0
0 0
0 0
x3 = u 2 R, maka x2 = 2u dan x1 = 2u. Akibatnya ~x 2 ker (2I C), ~x
berbentuk
~x
=
=
( 2u; 2u; u) , u 2 R
u ( 2; 2; 1) .
Sehingga E3 = span f( 2; 2; 1)g.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
37 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
Bahasan
1
Motivasi: Pengenalan Wajah
2
De…nisi Nilai dan Vektor Eigen
3
Metode Mencari Vektor Eigen
4
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
38 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
Multiplisitas Aljabar Suatu Nilai Eigen
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n dengan polinom karakteristik
pA ( ) =
n
+ c1
n 1
+
+ c1 .
Multiplisitas aljabar dari suatu nilai eigen , ditulis ma (
kemunculan
dalam himpunan penyelesaian pA ( ) = 0.
Latihan
2
1 0
Berikan semua nilai eigen dari matriks A = 4 0 1
0 0
multiplisitas aljabar dari nilai-nilai eigen tersebut.
), adalah banyaknya
3
1
0 5 dan tentukan
2
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
39 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
Multiplisitas Aljabar Suatu Nilai Eigen
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n dengan polinom karakteristik
pA ( ) =
n
+ c1
n 1
+
+ c1 .
Multiplisitas aljabar dari suatu nilai eigen , ditulis ma (
kemunculan
dalam himpunan penyelesaian pA ( ) = 0.
Latihan
2
1 0
Berikan semua nilai eigen dari matriks A = 4 0 1
0 0
multiplisitas aljabar dari nilai-nilai eigen tersebut.
), adalah banyaknya
3
1
0 5 dan tentukan
2
Solusi: karena A adalah matriks diagonal, maka diperoleh
2
pA ( ) = (
1) (
2).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
39 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
Multiplisitas Aljabar Suatu Nilai Eigen
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berorde n dengan polinom karakteristik
pA ( ) =
n
+ c1
n 1
+
+ c1 .
), adalah banyaknya
Multiplisitas aljabar dari suatu nilai eigen , ditulis ma (
kemunculan
dalam himpunan penyelesaian pA ( ) = 0.
Latihan
2
1 0
Berikan semua nilai eigen dari matriks A = 4 0 1
0 0
multiplisitas aljabar dari nilai-nilai eigen tersebut.
3
1
0 5 dan tentukan
2
Solusi: karena A adalah matriks diagonal, maka diperoleh
2
pA ( ) = (
1) (
2). Nilai-nilai eigen dari A adalah
ma (1) = 2, dan 2 = 2, dengan ma (2) = 1.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
1
= 1, dengan
November 2015
39 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
Multiplisitas Geometri Suatu Nilai Eigen
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah matriks persegi dan
adalah suatu nilai eigen dari A.
Multiplisitas geometri dari , ditulis mg ( ), adalah dimensi dari ruang eigen
E . Dengan perkataan lain mg ( ) = dim (E ).
Latihan
Tentukan multiplisitas aljabar dan muliplisitas
untuk matriks A apabila
2
1
1
1
A=4 0
0
0
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
geometri dari setiap nilai eigen
3
1
1 5.
1
November 2015
40 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
Solusi: polinom karakteristik dari A adalah pA ( ) =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
41 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
3
Solusi: polinom karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) . Diperoleh
3
persamaan karakteristik pA ( ) = (
1) = 0. Jadi nilai eigen dari A adalah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
41 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
3
Solusi: polinom karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) . Diperoleh
3
persamaan karakteristik pA ( ) = (
1) = 0. Jadi nilai eigen dari A adalah 1
dan ma (1) = 3. Selanjutnya kita akan menentukan E1 = ker (I A). Dari
2
32
3 2
3
0 1 1
x1
0
4 0 0 1 5 4 x2 5 = 4 0 5
0 0 0
x3
0
diperoleh
x2 + x3 = 0
, jadi
x3 = 0
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
41 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
3
Solusi: polinom karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) . Diperoleh
3
persamaan karakteristik pA ( ) = (
1) = 0. Jadi nilai eigen dari A adalah 1
dan ma (1) = 3. Selanjutnya kita akan menentukan E1 = ker (I A). Dari
2
32
3 2
3
0 1 1
x1
0
4 0 0 1 5 4 x2 5 = 4 0 5
0 0 0
x3
0
diperoleh
x2 + x3 = 0
, jadi x2 = x3 = 0 dan x1 =
x3 = 0
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
41 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
3
Solusi: polinom karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) . Diperoleh
3
persamaan karakteristik pA ( ) = (
1) = 0. Jadi nilai eigen dari A adalah 1
dan ma (1) = 3. Selanjutnya kita akan menentukan E1 = ker (I A). Dari
2
32
3 2
3
0 1 1
x1
0
4 0 0 1 5 4 x2 5 = 4 0 5
0 0 0
x3
0
x2 + x3 = 0
, jadi x2 = x3 = 0 dan x1 = t 2 R. Akibatnya jika
x3 = 0
~x 2 E1 , maka ~x = (t; 0; 0), t 2 R. Jadi E1 =
diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
41 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
3
Solusi: polinom karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) . Diperoleh
3
persamaan karakteristik pA ( ) = (
1) = 0. Jadi nilai eigen dari A adalah 1
dan ma (1) = 3. Selanjutnya kita akan menentukan E1 = ker (I A). Dari
2
32
3 2
3
0 1 1
x1
0
4 0 0 1 5 4 x2 5 = 4 0 5
0 0 0
x3
0
x2 + x3 = 0
, jadi x2 = x3 = 0 dan x1 = t 2 R. Akibatnya jika
x3 = 0
~x 2 E1 , maka ~x = (t; 0; 0), t 2 R. Jadi E1 = span f(1; 0; 0)g. Akibatnya
mg (1) = dim (E1 ) = 1.
diperoleh
Permasalahan
Pada latihan ini, kita melihat bahwa mg (1) ma (1). Apakah ini berlaku untuk
setiap nilai eigen pada sembarang matriks persegi?
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Eigen
November 2015
41 / 41
Multiplisitas Aljabar dan Multiplisitas Geometri Nilai Eigen
3
Solusi: polinom karakteristik dari A adalah pA ( ) = (
1) . Diperoleh
3
persamaan karakteristik pA ( ) = (
1) = 0. Jadi nilai eigen dari A adalah 1
dan ma (1) = 3. Selanjutnya kita akan menentukan E1 = ker (I A). Dari
2
32
3 2
3
0 1 1
x1
0
4 0 0 1 5 4 x2 5 = 4 0 5
0 0 0
x3
0
x2 + x3 = 0
, jadi x2 = x3 = 0 dan x1 = t 2 R. Akibatnya jika
x3 = 0
~x 2 E1 , maka ~x = (t; 0; 0), t 2 R. Jadi E1 = span f(1; 0; 0)g. Akibatnya
mg (1) = dim (E1 ) = 1.
diperoleh
Permasalahan
Pada latihan ini, kita melihat bahwa mg (1) ma (1). Apakah ini berlaku untuk
setiap nilai eigen pada sembarang matriks persegi?
Teorema
Jika A adalah matriks persegi dan
mg ( ) ma ( ).
MZI (FIF Tel-U)
adalah nilai eigen dari A, maka
Ruang Eigen
November 2015
41 / 41