Matematika Yunani - Universitas Mercu Buana Yogyakarta

E-Learning
Sejarah Matematika (MAT 1203)
Matematika Yunani
Oleh
Nanang Khuzaini, S.Pd.Si
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU KEPENDIDIKAN
UNIVERSITAS MERCU BUANA YOGYAKARTA
2014
SEJARAH PERKEMBANGAN MATEMATIKA YUNANI
Sejarah Matematika Yunani
Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani
yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός
(mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".
Peradaban Yunani kuno berlangsung hingga sekitar 600 SM.Pengaruh Mesir dan
Babilonia itu terbesar di Miletus, kota Lonia di Asia Kecil dan tempat kelahiran filsafat
Yunani, matematika dan ilmu pengetahuan.Dari sudut pandang matematika nya, yang
terbaik adalah untuk untuk membedakan antara dua periode: periode klasik dari sekitar
600 SM sampai 300 SM dan Aleksandria atau periode Helenistik dari 300 SM sampai 300
AD Memang, dari sekitar 350 SM pusat matematika pindah dari Athena ke Alexandria (di
Mesir), kota ini dibangun oleh Alexander Agung (358 -323 SM). Ini tetap menjadi pusat
matematika selama seribu tahun sampai perpustakaan dihentikan oleh umat Islam pada
sekitar 700 AD
Zaman keemasan bangsa Yunani Kuno diperkirakan terjadi pada tahun 600 SM.
sampai dengan 300 SM. Pada zaman itu banyak bermunculan ahli-ahli matematika dari
Yunani beserta temuan teorinya, seperti Euclides, Archimides, Appollonius. Matematika
Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani antara tahun 600
SM sampai 300 M. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota sepanjang Mediterania
bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka dibersatukan oleh budaya
dan bahasa yang sama. Matematikawan Yunani pada periode setelah Iskandar Agung
kadang-kadang disebut Matematika Helenistik.
Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan
oleh kebudayaan-kebudayaan pendahulunya.Semua naskah matematika pra-Yunani
yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan
yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis.Sebaliknya,
matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif.Bangsa Yunani menggunakan
logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan
kekakuan matematika untuk membuktikannya.
Matematika Yunani diyakini dimulakan oleh Thales dari Miletus (kira-kira 624
sampai 546 SM) dan Pythagoras dari Samos(kira-kira 582 sampai 507 SM). Meskipun
perluasan pengaruh mereka dipersengketakan, mereka mungkin diilhami oleh
Matematika Mesir dan Babilonia.Menurut legenda, Pythagoras bersafari ke Mesir untuk
mempelajari matematika, geometri, dan astronomi dari pendeta Mesir.
Thales menggunakan
geometri
untuk
menyelesaikan
soal-soal
perhitungan ketinggian piramida dan jarak perahu dari garis pantai.Dia dihargai sebagai
orang pertama yang menggunakan penalaran deduktif untuk diterapkan pada
geometri, dengan menurunkan empat akibat wajar dari teorema Thales.Hasilnya,
dia dianggap sebagai matematikawan sejati pertama dan pribadi pertama
yang menghasilkan
temuan
matematika.Pythagoras
mendirikan Mazhab
Pythagoras, yang mendakwakan bahwa matematikalah yang menguasai semesta
dan semboyannya adalah "semua adalah bilangan". Mazhab Pythagoraslah
yang menggulirkan istilah "matematika", dan merekalah yang memulakan
pengkajian matematika. Mazhab Pythagoras dihargai sebagai penemu bukti pertama
teorema Pythagoras, meskipun diketahui bahwa teorema itu memiliki sejarah
yang panjang, bahkan dengan bukti keujudan bilangan irasional.
Eudoxus (kira-kira 408 SM sampai 355 SM) mengembangkan metoda kelelahan,
sebuah rintisan dari Integral modern.Aristoteles (kira-kira 384 SM sampai 322 SM) mulai
menulis hukum logika.Euklides (kira-kira 300 SM) adalah contoh terdini dari format yang
masih digunakan oleh matematika saat ini, yaitu definisi, aksioma, teorema, dan
bukti.Dia juga mengkaji kerucut. Bukunya, Elemen, dikenal di segenap masyarakat
terdidik di Barat hingga pertengahan abad ke-20. Selain teorema geometri yang
terkenal, seperti teorem Pythagoras, Elemen menyertakan bukti bahwa akar kuadrat
dari dua adalah irasional dan terdapat tak- hingga banyaknya bilangan prima. Saringan
Eratosthenes (kira-kira 230 SM) digunakan untuk menemukan bilangan prima.
Archimedes (kira-kira 287 SM sampai 212 SM) dari Syracuse menggunakan
metoda kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur paraboladengan penjumlahan
barisan tak hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi.Dia juga
mengkaji spiral yang mengharumkan namanya, rumus-rumus volume benda putar, dan
sistem rintisan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar.
Sistem Numerasi Yunani kuno Attic
Sistem Attic sering disebut sistem Acrophonic dan sistem Herodian. “Acrophonic”
maksudnya adalah bahwa simbol bilangan tersebut berasal dari huruf pertama nama
bilangan tersebut. Menggunakan sifat aditif, contohya :
2879 = 2000 + 500 + 300 + 50 + 20 + 5 + 4 = 2 x 1000 + 500 + 3x100 + 50 + 2 x 10 +5 + 4x1
Sistem Yunani ini berbasis 10 sistem serupa dengan sebelumnya Mesir satu (dan bahkan
lebih mirip dengan kemudian Romawi sistem), dengan simbol-simbol untuk 1, 5, 10,, 50
100, 500 dan 1.000 diulangi sebanyak yang diperlukan untuk mewakili nomor yang
diinginkan . Penambahan dilakukan dengan menjumlahkan secara terpisah simbol (1s,
10s, 100s, dll) di nomor yang akan ditambahkan, dan perkalian merupakan proses
yang melelahkan berdasarkan doubling berturut (pembagian didasarkan pada kebalikan
dari proses ini). Dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat
dilambangkan dengan lambang tongkat, misal: 2→ ll
Sistem Numerasi Yunani kuno Alfabetik
Sejarah perkembangan alfabetik merupakan tulisan tertua dari
masyarakat purba yang telah melahirkan dua jalur proses perkembangan
sistem penulisan. Jalur penulisan Phonetis yang pada akhirnya menjadi
tulisan alphabetis adalah pilihan bagi sistem menulis yang dikembangkan oleh dua pusat
peradaban tertua di kawasan Asia Barat (timur Tengah), yakni Mesir dan
Mesopotania.Sedangkan bangsa Tionghoa di kawasan Timur Jauh tetap
mempertahankan sistem perlambangan gambar (pictografis-ideografis) dalam penulisan
mereka, bahkan sampai saat ini.Kira-kira tahun 450 SM. bangsa Ionia dari Yunani telah
mengembangkan suatu sistem angka, yaitu alphabet Yunani sendiri yang terdiri dari 27
huruf. Bilangan dasar yang mereka pergunakan adalah 10.Digunakan setelah S.N. Yunani
kuno attic.
Contoh-contoh:
1. 12 = ι β
2. 21 = κ α
3. 247 = σ μ ς
Sebagaimana kita lihat pada contoh-contoh di atas sampai ratusan, sistem angka
alphabet yunani ini mempunyai lambang tersendiri. Untuk menyatakan ribuan, di atas
sembilan angka dasar yang pertama (dari ... sampai ...) dibubuhi tanda aksen („) sebagai
contoh α‟ = 1000, ε‟ = 5000. Sedangkan kelipatan 10.000 dinyatakan dengan menaruh
angka yang bersangkutan di atas tanda M.
Contoh.
4. 5000 = ε „
5. 3567 = γ‟ φ ξ ς
Dibandingkan dengan sistem angka Mesir Purba, maka penulisan dengan sistem angka
alphabet Yunani ini lebih singkat dan sistematis. Sebagai contoh untuk penulisan
bilangan 500 dalam sistem angka Mesir Purba lambang 9 ditulis sampai 5 kali tetapi
dalam sistem angka alphabet yunani telah mempunyai lambang tersendiri yaitu φ.
Latar Belakang Sejarah
Walau sekarang terdapat ungkapan “ Matematika Yunani”, maka yang
kemungkinan terbayang dalam pikiran seseorang bahwa yang dimaksud adalah
matematika yang berkembang pada suatu negeri tertentu yakni yunani. Tetapi
pemikiran demikian tidaklah tepat karena daerah perkembangan matematika yunani
bukanlah hanya di yunani saja melainkan tersebar luas.
Periode terakir dari zaman yunani kuno adalah didominasi oleh kekuasaan
romawi, karena yunani adalah kota yang paling aman damai dalam sejarah termasuk
juga mesir. Jadi yunani adalah tempat untuk berlindung yang aman bagi para kaum
cendekiawan dalam kurun waktu yang sangat lama.
Dalam tahun 212 S.M syracusp dikuasai oleh bangsa romawi dan dalam tahun
146 S.M chartago juga jatuh ketangan kekuasaan Romawi serta kota terakir yunani
Gorinth juga dikuasai bangsa Romawi sehingga menjadikan Yunani sebagai salah satu
propinsi dari kekaisaran Romawi. Mulai saat itu kekuasaan Yunani mulai menyebar
keseluruh kehidupan bangsa Romawi.
Kaisar Constantine Agung adalah penguasa romawi pertama yang memeluk
agama Kristen dan memerintahkan kepada seluruh pegawai tinggi kerajaan untuk
masuk Islam. Dalam tahun 330, konstantine memindahkan ibu kotanya dari Roma ke
Byzantium, yang kemudian merubah nama kota itu menjadi constantinopel. Tahun 395,
kekaisaran romawi dibagui atas dua wilayah, yaitu kekaisaran Timur dan Kekaisaran
Barat, dimana Yuanani termasuk kedalam wilayah Romawi Timur.
Sumber-sumber Matematika Yunani
Dalam kenyataannya, pengetahuan langsung kita tentang matematika Yunani kurang
dapat diandalkan dibandingkan dengan Mesir yang lebih tua dan Babilonia, karena tidak
ada naskah asli masih ada. Ada dua sumber:
Naskah kuno Yunani Bizantium (buku naskah) yang ditulis 500-1500 tahun setelah
karya-karya Yunani tenang.
Arab terjemahan karya-karya Yunani dan terjemahan Latin dari versi bahasa
Arab.
Selain itu, kami tidak tahu bahkan jika karya-karya ini dibuat dari aslinya. Sebagai
contoh, Heron membuat sejumlah perubahan Euclid 's Elemen, menambahkan kasus
baru, memberikan bukti yang berbeda dan converses. Demikian juga untuk Theon dari
Alexandria (400 M).
Orang Yunani menulis sejarah Matematika:
Eudemus (abad SM), anggota sekolah Aristoteles menulis sejarah aritmatika dan
geometri.
Theophrastus (sekitar 372-c 287 SM.)Menulis sebuah sejarah fisika.
Pappus menulis Koleksi Matematika, account matematika klasik dari Euclid
ke Ptolemeus Pappus menulis Keuangan Analisis, koleksi karya-karya
Yunani sendiri.
Bilangan-Bilangan Prima
Dalam sejarah awal perkembangannya, pengertian bilangan prima adalah bagian dari
himpunan bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan
bilangan itu sendiri. Jika definisinya diperluas menjadi himpunan bilangan bulat, maka
dikenal bilangan prima negatif dan bilangan prima positif.Bilangan-bilangan selain
bilangan prima disebut bilangan komposit.Cara yang paling sederhana untuk menentukan
bilangan prima dalam suatu rentang tertentu adalah dengan menggunakan Sieve of
Erastosthenes (Saringan Erastothenes).Bilangan prima dapat disebut sebagai batu
pembangun bilangan bulat positif seperti yang sudah dibuktukan dalam Teorema
Fundamental Aritmetik.
Dalam beberapa usaha penemuan yang bertujuan mengkaji hubungan antar bilangan
prima, dikenal pula bilangan prima kembar (twin primes) yang merupakan pasangan
bilangan prima yang memenuhi kaidah p dan p+2 dengan p adalah bilangan prima.
Sebagai contoh, 3 dan 5, 11 dan 13, 29 dan 31.
Sejarah bilangan prima dimulai pada zaman Mesir Kuno dengan ditemukannya sebuah
catatan yang menyatakan penggunaan bilangan prima pada zaman tersebut.Namun,
bilangan prima dan komposit pada saat itu berbeda dengan bilangan prima dan komposit
yang kita kenal sekarang. Bukti lain permulaan sejarah bilangan prima adalah sebuah
catatan penelitian bilangan prima oleh bangsa Yunani Kuno.
Dalam sejarah Yunani Kuno, Pythagoras (570 SM-500 SM) terkenal melalui ‘Theorem of
Pythagoras’ dan memunculkan Pythagorean Triples yang sebenarnya sudah ada sejak
1000 tahun sebelum masa Pythagoras. Sebelumnya, bangsa Babilonia telah mengenal
Pythagorean Triples tersebut dengan nama Babylonian triples. Babylonian Triples terdapat
dalam Plimpton 322 yang diperkirakan berasal dari tahun 1900 SM. Terdapat perbedaan
antara Pythagorean Triples dengan Babylonian Triples. Pada Babylonian Triples
disyaratkan bahwa u dan v sebagai generator 2uv, u2-v2 dan u2+v2 yang merupakan
ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku, harus relatif prima dan tidak mempunyai faktor prima
selain 2, 3 atau 5. Sebagai contoh, 56, 90 dan 106 adalah Babylonian Triples karena u=9
dan v=5. Contoh lain, 28, 45 dan 53 adalah Pythagorean Triples, tetapi bukan Babylonian
Triples karena u=7 dan u memiliki faktor prima 7.
Bilangan prima dalam Rumusan Bilangan Sempurna terdapat pada karya Euclid dalam
buku IX Elements (300 SM) yang berisi beberapa teorema penting mengenai bilangan
prima, termasuk ketakberhinggaan bilangan prima dan teorema fundamental aritmatik.
Euclid juga memperlihatkan cara menyusun sebuah bilangan sempurna (perfect number)
dari sebuah bilangan prima Mersenne yang ditemukan kemudian. Bilangan prima
Mersenne adalah sebuah bilangan prima dengan rumus M n=2n-1. Dalam karya Euclid
tersebut, terdapat proporsi bahwa ‘jika 2n-1 adalah bilangan prima maka (2n-1)+(2n-1)
adalah bilangan sempurna. Pada masa itu, bangsa Yunani telah menemukan 4 bilangan
sempurna, yaitu 6, 28, 496 dan 8128. Berkaitan dengan bilangan sempurna, sekitar 2000
tahun kemudian seorang matematikawan, Euler pada tahun 1947 telah mampu
menunjukkan bahwa semua bilangan sempurna adalah genap.
Archimedes
Archimedes terkenal dengan teorinya tentang hubungan antara permukaan dan
volume dari sebuah bola terhadap selinder.Dia juga dikenal dengan teori dan rumus dari
prinsip hydrostatic dan peralatan untuk menaikkan air – ‘Archimedes Screw’ atau sekrup
Archimedes, yang sampai sekarang masih banyak digunakan di negara-negara
berkembang.Walaupun pengungkit atau ungkitan telah ditemukan jauh sebelum
Archimedes lahir, Archimedes yang mengembangkan teori untuk menghitung beban yang
dibutuhkan untuk pengungkit tersebut. Archimedes juga digolongkan sebagai salah satu
ahli matematika kuno dan merupakan yang terbaik dan terbesar di jamannya. Perhitungan
dari Archimedes yang akurat tentang lengkungan bola di jadikan konstanta matematika
untuk Pi atauπ .
Archimedes lahir pada tahun 287 Sebelum Masehi di suatu kota pelabuhan Syracuse, Sicily
(sekarang Italia). Dalam masa mudanya, Archimedes diperkirakan mendapatkan
pendidikannya di Alexandria, Mesir.
Air dipindahkan keatas melalui sebuah ulir pada sebuah Archimedes Screw
Kisah tentang Archimedes yang banyak diceritakan oleh orang adalah kisah saat
Archimedes menemukan cara dan rumus untuk menghitung volume benda yang tidak
mempunyai bentuk baku. Menurut kisah tersebut, sebuah mahkota untuk raja Hiero II
telah dibuat dan raja memerintahkan Archimedes untuk memeriksa apakah mahkota
tersebut benar-benar terbuat dari emas murni ataukah mengandung tambahan
perak.Karena Raja Hiero II tidak mempercayai pembuat mahkota tersebut.Saat
Archimedes berendam dalam bak mandinya, dia melihat bahwa air dalam bak mandinya
tertumpah keluar sebanding dengan besar tubuhnya.Archimedes menyadari bahwa efek
ini dapat digunakan untuk menghitung volume dan isi dari mahkota
tersebut.Dengan membagi berat mahkota dengan volume air yang dipindahkan,
kerapatan dan berat jenis dari mahkota bisa diperoleh. Berat Jenis mahkota akan lebih
rendah daripada berat jenis emas murni apabila pembuat mahkota tersebut berlaku
curang dan menambahkan perak ataupun logam dengan berat jenis yang lebih rendah.
Karena terlalu gembira dengan penemuannya ini, Archimedes melompat keluar dari bak
mandinya, lupa berpakaian terlebih dahulu, berlari keluar ke jalan dan
berteriak ”EUREKA!” atau ‘Saya menemukannya’ .
Trigonometri
Trigonometri (dari bahasaYunani trigono=tiga sudut dan metro=mengukur)
adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi
trigonometri seperti sinus,cosinus, dan tangen.trigonometri memiliki hubungan dengan
geometri, meskipund ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya bagi beberapa
orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.Awal trigonometri dapat dilacak hingga
zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban lembah Indus, lebih dari 3000 tahun
yang lalu.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun table trigonometri untuk
menyelesaikan segitiga.Matematikawan Yunani lainnya Ptolemy sekitar tahun 100
mengembangkan perhitungan trigonometri lebih lanjut.
1 Mengkuadratkan Lingkaran
Salah satu tulisan matematika tertua tertulis dalam papyrus Rhind, dinamakan
setelah seorang ahli tentang Mesir, A Henry Rhind yang ditemukan di Luxor tahun 1858.
Panjang gulungan tersebut sekitar 6 meter dan lebarnya ⅓ meter dan ditulis sekitar
1650 SM oleh seorang ahli menulis, Ahmes yang mengkopi dokumen tersebut 200 tahun
lebih tua. Data waktu pada papyrus asli sekitar 1850 SM tetapi beberapa ahli percaya
bahwa papirus hind dibuat pada tahun 3400 SM *14+.Pada papirus hind, hmes
menerangkan peraturan untuk membangun kuadrat yang hampir sama dengan
lingkaran. Peraturannya adalah harus memotong
dari diameter lingkaran dan
membangun kuadratnya pada tempat yang tersisa. Walaupun hal tersebut bukan
bangunan geometri, tetapi hal tersebut memperlihatkan masalah dalam membangun
kuadrat dari bidang yang sama pada lingkaran kembali pada awal dari matematika. Hal
itu adalah perkiraan yang bagus sesuai nilai 3.1605 daripada 3.14159 untuk π.
Permasalahan mengkuadratkan lingkaran seperti yang kita pikirkan saat ini
berawal dari matematika Yunani dan tidak selalu dapat dimengerti seluruhnya.
Masalahnya adalah, pada lingkaran, membangun secara geometri kuadrat yang sama
pada bidang lingkaran. Metode yang menerangkan untuk membuat bangunan tersebut
tidak begitu jelas, sebenarnya jangkauan metode yang digunakan dalam geometri oleh
orang-orang Yunani diperluas melalui beberapa pengujian untuk memecahkan masalah
ini dan masalah klasik lainnya. Pappus, dalam karyanya Mathematical collection yang
dibuat pada akhir periode perkembangan Yunani, mencatat ada tiga tipe metode yang
digunakan oleh masyarakat Yunani dahulu [21] :Kami berpendapat ada tiga jenis masalah dalam geometri, yang dikenal dengan
‘plane’, ‘solid’, dan ’linear’. Plane adalah semua masalah yang dapat dipecahkan
dengan garis lurus dan lingkaran.Solid adalah masalah yang dipecahkan dengan
menggunakan satu atau lebih bagian dari kerucut.Untuk hal tersebut adalah sangat
penting dalam konstruksi untuk menggunakan permukaan angka-angka solid, dalam hal
ini, kerucut.Yang terakhir adalah tipe ketiga, yang disebut masalah ‘linear’. Untuk
konstruksi dalam hal kurva ini berbeda dengan yang telah disebutkan diatas, kurva
mempunyai lebih banyak variasi dan awalnya terdesak dan timbul dari permukan yang
tidak beraturan dan dengan gerakan yang rumit.
2 .Menggandakan Kubus
Orang Yunani telah mengetahui sejak lama cara menggandakan kubus. Seperti
contoh, buatlah kubus ABCD gambar diagonal pada DB.Konstruksikan kubus BDEF pada
BD.Lalu dapat dilihat bahwa BDEF adalah kembaran dari ABCD.Yang sedikit sulit adalah
menggandakan jajaran genjang, tetapi hal itu sudah dipresentasikan oleh Euchild dalam
buku II tentang Elements.
Untuk menentukan kubus yang rasio dua kubusnya setara dengan rasio dari dua
garis tertentu.Hippocrates menyederhanakan masalah tersebut menjadi”tentukan dua
garis, temukan dua tanda sebanding antara mereka.Sedangkan Eucild dalam Elements
menggambarkan kedua masalah tersebut adalah equivalent.Untuk menemukan bujur
sangkar yang rasio dua bujur sangkarnya setara dengan rasio dari dua garis
tertentu.Tentukan dua garis, temukan dua tanda sebanding antara mereka.
Meskipun banyak metode yang berbeda ini ditemukan untuk menggandakan
kubus dan merupakan penemuan matematika yang hebat, bangsa Yunani kuno tidak
pernah menemukan solusi yang mereka cari, katakanlah satu yang dapat dibuat dengan
susunan penggaris dan kompas.Mereka tidak akan pernah mendapatkan konstruksi
semacam ini karena tidak dapat diubah.
3. Membagi Tiga Buah Sudut
Ada beberapa ciri yang membedakan pembagian tiga sebuah sudut dengan 2
masalah klasik lainnya.Pertama tidak ada sejarah yang jelas yang menghubungkan kapan
masalah tersebut pertama kali dipelajari.kedua masalah ini mempunyai tipe yang agak
berbeda.Seseorang tidak dapat mengkuadratkan lingkaran ataupun menggandakan
kubus.Akan tetapi, adalah mungkin untuk membagi tiga sebuah sudut.Sebagai contoh
ada metode untuk membagi tiga sebuah sudut.Untuk menentukan sudut yang tepat
CAB menggambar sebuah lingkaran untuk memotong AB pada E.Gambar lingkaran
kedua(dengan radius yang sama) dengan pusat E dan biarkan bersimpangan dengan
lingkaran pertama pada D.Lalu DAE segitiga sama sisi, maka sudut DAE adalah 60 dan
DAC adalah 30 . Maka sudut CAB terbagi tiga.
Orang Yunani dahulu pasti ingin membagi sudut dengan perbandingan yang
mereka inginkan.Awalnya memang memungkinkan adanya konstruksi dari polygon biasa
dengan sudut berapa saja.Konstruksi dari polygon biasa menggunakan penggaris dan
kompas adalah salah satu tujuan utama dari matematikawan Yunani dan hal ini tidak
lagi menjadi tujuan utama saat Gauss menemukan bahwa polygon selanjutnya dapat
dikonstruksikan dengan menggunakan penggaris dan kompas yang tidak dapat
ditemukan oleh orang Yunani dahulu.