OBJECTIVES

6/15/2015
OBJECTIVES
MINIMALISASI BIAYA
MENGGUNAKAN
 Understand why and where optimization occurs
GOLDEN SECTION
AND HOOK JEEVES METHODS
 Be able to distinguish between linear and
in engineering problem solving.
 Understand the major elements of the general
optimization problem: (1) objective function, (2)
decision variables, and (3) constraints.
nonlinear optimization, and between constrained
and unconstrained problems
PUSTAKA
 James B. Riggs, 1988, “An Introduction to Numerical
Methods for Chemical Engineers”, Texas: Texas Tech
University Press, Chapter 6
􀂄 Steven C. Chapra & Raymond P. Canale,
2003,“Numerical Methods for Engineers: With Software
and Programming Applications”, 4th edition, New York:
McGraw-Hill Company Inc,
Part Four
􀂄
etc.
INTRODUCTORY EXAMPLE
Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satu
proses ke proses yang lain.
Diameter pipa optimum, berdasarkan:
Biaya investasi, dan biaya operasi
$ / year
Cost
components
Pipe diamater (in)
1
Operating Costs
1,25
1,5
4697 660
2
2,5
312
164 56
Pipe capital costs 168
308
389
474 660
Pump capital
costs
401
192
150
150 150
Total
5266 1160 852
788 866
Diameter
pipa mana
yang akan
Anda pilih?
PENGANTAR-1
Definisi dan Jenis Optimasi
 Definisi optimasi
 Jenis optimasi: 1- maksimasi; 2- minimasi
 Dua hal penting dalam studi optimasi:
1- fungsi objektif dan decision variables;
2- kendala (constraints)
Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari
kondisi yang optimum, dalam arti paling
menguntungkan.
 Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidang
Engineering
 Contoh-contoh constraints yang menyertai
persoalan optimasi
PENGANTAR-2
Fungsi Objektif
Secara umum, fungsi yang akan dimaksimumkan
atau diminimumkan disebut fungsi objektif
(objective function), sedangkan harga-harga yang
berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel
(perubah) atau decision variable.
Secara analitik, nilai maksimum atau minimum dari
suatu persamaan: y = f(x)
dapat diperoleh pada harga x yang memenuhi:
y’ = f’(x) = 0
Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau
mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya,
proses optimasi dapat dilakukan secara numerik.
Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi.
Jika berkaitan dengan masalah keuntungan, maka
keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan
keuntungan maksimum (maksimasi).
Jika berkaitan dengan masalah
pengeluaran/pengorbanan, maka keadaan optimum
adalah keadaan yang memberikan
pengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi).
Ilustrasi maksimasi (secara grafik):
Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Engineering
Beberapa istilah:
Maksimum lokal
Maksimum global
 Design pump and heat transfer equipment for maximum
efficiency
 Design waste water treatment system to meet water-quality





standards of least cost
Optimal planning and scheduling
Optimal pipeline network
Inventory control
Maintenance planning to minimize cost
etc.
A unimodal function
One hump or
one valley
Catatan: Analog,
untuk kasus minimasi
1
6/15/2015
PENGANTAR-4
PENGANTAR-3
Maksimum dan minimum lokal dan global:
Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu
variabel sbb.:
METODE GOLDEN SECTION
y = f(x)
Golden section merupakan salah satu cara atau
Ingin dicari harga x yang memberikan harga y
maksimum (maksimasi) atau minimum
(minimasi). Dalam hal ini, x yang diperoleh
merupakan nilai x optimum fungsi.
metode optimasi numerik yang bisa dipakai untuk
fungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipe
optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat
diselesaikan dengan cara ini.
Golden-section (search) method merupakan
Beberapa metode yang akan dibahas
metode optimasi satu variabel yang sederhana,
dan mempunyai pendekatan yang mirip dengan
metode bisection dalam penentuan akar
persamaan tak linier.
Metode golden section
Metode Newton
Metode interpolasi kuadrat
dsb.
􀂄
􀂄
􀂄
􀂄
PENGANTAR-5
Perbedaan antara persoalan optimasi dengan
pencarian/ penentuan akar persamaan:
Ilustrasi grafik optimasi dua variabel:
METODE GOLDEN
SECTION
Tinjaulah fungsi f(x) yang
akan ditentukan maksimumnya,
pada rentang x = xl dan x = xu
(perhatikan gambar di samping).
, ide dasar metode ini adalah
memanfaatkan nilai yang lama
sebagai nilai yang baru.
Secara matematik:
ALGORITMA (kasus maksimasi):
METODE GOLDEN SECTION
Karena:
l0  l1  l2 ,
maka:
l1
l
 2
l1  l2 l1
R
l2
l1
Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan:
l1  l2 l1

l1
l2
l
l
1
atau 1  2  1 atau : 1  R 
l1 l2
R
Nilai akar positifnya :
5 1
 0,61803 ......
2
(kasus maksimasi):
1. Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl
dan xu, yang mengapit titik maksimum.
2. Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang
xl dan xu, sesuai dengan golden ratio (R)
5 1
X u  X l 
2
x1  x1  d
d
Sehingga: R 2  R  1  0
R
ALGORITMA
(R biasa disebut sebagai
Golden ration atau golden number)
x2  xu  d
3. Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2), diharapkan ada
sebagian interval yang dapat dieliminasi, sehingga salah satu titik lama
bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya. Jadi hanya diperlukan
1 titik baru.
Ada 2 kasus:
(a) Jika: f(x1) > f(x2)
Maka: domain x antara xl dan x2 dieliminasi
x2 lama = xl baru
x1 lama = x2 baru
xu lama = xu baru
x1 baru
ditentukan
(b) Jika: f(x2) > f(x1)
Maka: domain x antara x1 dan xu dieliminasi
x1 lama = xu baru
x2 lama = x1 baru
xl lama = xl baru
x2 baru
ditentukan
2
6/15/2015
METODE GOLDEN SECTION
Algoritma untuk kasus minimasi
kebalikan dari
algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas.

EXAMPLE : DETERMINING MINIMATION FUNCTION
Y = 2X2 – 8X + 12
KNOWN
Efektivitas evaluasi dengan metode golden section:
Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0,001 dari
semula, maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah:
L
Jumlah evaluasi = 2 + (N – 1) x 1 = 16



5 1
 0.618
2

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0
XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4
TOL = 0.001 (SAMPLE)
X=XA = 0
YA = (2*02) - (8*0) + 12 = 12
(0,618)N = 0,001
N = 14,3 ≈ 15



XP=XA + (1 – L) * (XB – XA)
= 0 + ( 1 – 0.618) * (4 – 0) =1,53
YP = (2 * 1,5322) – (8*1,53) +12 = 4,44
XQ=XA + L*(XB – XA)
= 0 + 0.618*(4 – 0) = 2,472
YQ= (2*2,4722) – (8*2,472) + 12 = 4,45
XPNEW=1,53 + (1 – L)*(2,472 – 1,53) = 1,8898
YPNEW=( 2*1,88982) – (8*1,8898) + 12 = 4,02

XQNEW=1,53 + 0,618*(2,472 – 1,53) = 1,915
YPNEW = (2*1,9152) – (8*1,915) +12 = 4,01

DST……

X=XB=4
YB = (2*42 )– (8*4) +12 =12
Silakan Pelajari Contoh Soal
METODE NEWTON
METODE INTERPOLASI KUADRAT
Metode ini menggunakan pendekatan yang sama dengan
metode Newton dalam penentuan akar persamaan tak linier,
melalui pendefinisian fungsi: g(x) = f’(x)
Karena pada kondisi optimum:
f '(x*) = g (x*) = 0
(x* menyatakan nilai x optimum)
maka, nilai x* dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut:
xi 1  xi 
f ' ( xi )
f " ( xi )
Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut
OPTIMASI BANYAK VARIABEL
Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb:
y = f(x1, x2, x3, ….., xn)
Ingin dicari harga x1, x2, x3, ….., xn yang memberikan harga
y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi).
METODE INTERPOLASI KUADRAT
Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0, x1,
dan x2) yang mengapit titik optimumnya, maka sebuah parabola dapat difit-kan melalui ketiganya.
Metode ini dapat digunakan
untuk melakukan optimasi
secara numerik.
Diferensiasikan persamaan yang diperoleh, set hasilnya menjadi sama
dengan nol, dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini
sebagai x3) sbb.:
Hal ini disebabkan oleh
penggunaan polinomial
orde-dua yang menghasilkan
pendekatan cukup baik
terhadap bentuk f(x) di dekat
titik optimumnya.
f ( x0 )( x1  x2 )  f ( x1 )( x2  x0 )  f ( x2 )( x0  x1 )
2 f ( x0 )( x1  x2 )  2 f ( x1 )( x2  x0 )  2 f ( x2 )( x0  x1 )
2
x3 
(Perhatikan gambar di
samping…)
2
2
X1
X2
Y
Komentar
METODE HOOKE-JEEVES
1
2
16
36,5
Basis
Prinsip metode Hooke-Jeeves:
2
16
31,5
Sukses
2
18
47,5
Gagal
2
14
19,5
Sukses
(1) Eksplorasi nilai Δxi
(2) Mengulangi langkah sukses
Mengulangi langkah sukses
12
8,5
Sukses
Pengelompokan metodenya secara garis besar: (1) non gradient
methods, dan (2) gradient methods
4
10
3,5
Sukses
y = (x1 – 4)2 + 0,5.(x2 – 9)2 + 3
5
8
4,5
Gagal
Beberapa metode yang akan dibahas:
Sebagai cek, dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi
pada x1 = 4, x2 = 9, dan harga ymin =3.
5
10
4,5
Gagal
3
10
4,5
Gagal
4
12
7,5
Gagal
4
8
3,5
Gagal
Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1,
x2 = 16, serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2.
Hooke Jeeves -2
Eksplorasi dengan Δ x1 = 1, Δ x2 =2
3
Metode Hooke-Jeeves
Metode langsung/ random search
Metode steepest ascent (ascending)/ descent (descending)
2
Penentuan x3 dilakukan secara iteratif, melalui strategi yang sama dengan
metode golden section, hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen.
Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh
berikut. Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi:
􀂄
􀂄
􀂄
2
Hasil
Perhitungan
Eksplorasi dengan Δ x1 = 1, Δ x2 =2
3
6/15/2015
X1
X2
Y
Hooke Jeeves -4
Komentar
Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,2, x2 =0,4
4,2
10
3,54
Gagal
3,8
10
3,54
Gagal
4
10,4
4,96
Gagal
4
9,6
3,18
Sukses
Hooke Jeeves -3
Mengulangi langkah sukses
4
9,2
3,02
Sukses
4
8,8
3,02
Gagal
X1
9,2
3,06
Gagal
3,8
9,2
3,06
Gagal
4
9,6
3,18
Gagal
4
8,8
3,02
Gagal
Y
Komentar
Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,04, Δ x2 =0,08
Hasil
Perhitungan
Eksplorasi dengan Δx1 = 0,2 ; x2 =0,4
4,2
X2
4,04
9,2
3,021
Gagal
3,96
9,2
3,021
Gagal
4,00
9,28
3,039
Gagal
4,00
9,12
3,007
Sukses
METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)
 Sesuai dengan namanya, metode ini secara berulang-ulang
mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas
tertentu (selected values) secara acak. Jika banyaknya sampel
yang dicoba mencukupi, maka kondisi optimumnya akan
teramati.
tidak efisien…!
 Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous
dan non-differentiable sekalipun.
 Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik
optimum global (bukan optimum lokal)
Mengulangi langkah sukses
4,00
9,04
3,0008
Sukses
4,00
8,96
3,0008
Gagal
Silahkan Pelajari Contoh
PENCARIAN TITIK OPTIMUM
METODE STEEPEST ASCENT/DESCENT
􀂄
Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana.
􀂄
Terminologi:
􀂄
steepest ascent 􀂄 untuk pencarian maksimum fungsi
steepest descent 􀂄 untuk pencarian minimum fungsi
Prinsip pencarian optimum:
Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah
sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensional
function) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal
(one-dimensional function), berdasarkan gradien arah pencarian.
Sebagai ilustrasi, f(x,y)
tinjaulah fungsi 2
variabel f(x,y) yang
akan ditentukan titik
maksimumnya. (lihat
Secara Numerik:
Misal, untuk sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y)
yang akan dicari titik optimumnya, dengan nilai awal:
gambar di samping)
Berdasarkan nilai
awal x = x0 & y = y0,
dapat ditentukan
nilai gradien (atau
arah steepest
ascent)-nya, yakni
sebesar h0.
Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara
berulang-ulang (iteratif).
x = x0 dan y = y0
Pada langkah iterasi pertama, nilai x dan y yang baru
dapat ditentukan dengan:
x  x0 
Berdasarkan h0, nilai maksimum fungsi
dapat ditentukan, yakni pada titik “1”.
Demikian seterusnya, proses ini
dilakukan berulang-ulang hingga
diperoleh titik optimum sesungguhnya.
f
x
h
x 0 , y0
and
y  y0 
f
y
h
x 0 , y0
Contoh Aplikasi:
f
f merupakan turunan parsial fungsi f(x,y)
and
terhadap x dan y
x
y
Dalam hal ini, vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg:
f 
f  f 
i
j
x
y
Pada kasus ini, sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan y,
f(x,y), ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satu
variabel dalam h, g(h).
LOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU
Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xi,yi)
menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi. Akan dibangun
suatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebut.
Ongkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbah
berbanding lurus dengan debit pangkat 0,6. Ingin ditentukan posisi
(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutan
limbah minimum.
Ongkos transport total:
Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimum.
Misal:
Analisis:
H arg a  k ( jarak )(debit) 0,6
Misal: Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP, yP)
Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya
menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya. Demikian
seterusnya.
Jarak pabrik (xi,yi) ke lokasi pengolah limbah:
di  ( x p  xi ) 2  ( y p  yi ) 2
Ongkos transport dari pabrik (xi, yi):
Silahkan Pelajari Contoh
Dimisalkan pula: nilai k = 1
Ci  k.Qi0,6 ( x p  xi ) 2  ( y p  yi ) 2
4
6/15/2015
OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIK
(sebuah perbandingan)
􀂄
􀂄
Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y)
Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori:
f(x,y) mempunyai minimum lokal:
jika det(H) > 0 dan
f(x,y) mempunyai maksimum lokal:
jika det(H) > 0 dan
f(x,y) mempunyai titik belok (saddle point):
jika det(H) < 0
det(H) merupakan nilai
determinan matriks Hessian yang
dinyatakan sebagai
5