MATEMATIKA

1
2
Paket Rumus Matematika Dasar
(Bilangan dan Perbandingan, Deret Matematika, Himpunan dan
Peluang, Bangun Datar dan Bangun Ruang)
Bilangan
Bilangan asli (A)
A = {1,2,3,4,…}
Himpunan bagian A antara lain:
Himpunan bilangan ganjil
= {1,3,5,7,…}
Himpunan bilangan genap
= {2,4,6,8,…}
Himpunan bilangan prima
= {2,3,5,7,…}
Bilangan Cacah (C)
C = {0,1,2,3,…}
Bilangan Bulat (B)
B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Bilangan Rasional
Bentuk umum: , dimana a dan b adalah bilangan bulat
Bilangan Irrasional
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian dua bilangan bulat
Contoh : π, √2, log 3
Bilangan Riil
Penggabungan bilangan rasional dan irrasional
Contoh : ½, π, ¼, √2, log 3
Bilangan Imajiner
Bilangan yang pada kenyataan nyata tidak bias terwujud
Contoh : √(-1)
Pengukuran
Ukuran Panjang
km
hm
Dam
Ukuran Berat
Kg
Hg
dag
m
g
dm
dg
cm
cg
mm
mg
Standar lainnya:
3
Ukuran Berat dan Panjang
1 kuintal
= 100kg
1 ton
= 1,000kg
1 kg
= 2 pon
Ukuran waktu
1menit = 60 detik
1 jam = 60 menit
1jam = 3,6 00 detik
1 kg
=10 ons
1 ons = 1,000 gram
1 pon = 5 ons
1 inchi
1 kaki
1 yard
1 mil
1 hari
1minggu
1 warsa
1 lustrum
= 5 tahun
1 dekade
= 10 tahun
1 dasawarsa = 10 tahun
1 abad
= 100 tahun
= 24 jam
= 7 hari
= 1 tahun
= 2,54 cm
= 12 inchi
= 3 kaki
= 1760 yard
Ukuran luas
Standar: dari km² → mm² tiap turun tangga dikali 100, tiap naik satu tangga dibagi 100
Lainnya:
1 hm² = 1 ha
1 dam² = 1 are
1 m² = 1 ca
Ukuran Volume
Standar: dari km³ → mm³ tiap turun tangga dikali 1,000, tiap naik satu tangga dibagi 1,000
Lainnya:
1 liter = 1 dm³
1 cc
= 1 cm³
Ukuran Jumlah
1 rim = 500 lbr
1 lusin = 12 buah
1 kodi = 20 helai
1 gros = 144 buah = 12 lusin
Deret
Deret Arimatika
Suku ke-n =
Jumlah n suku pertama
Deret Geometri
Suku ke-n
=
Jumlah n suku pertama
,r>1
=
Sisipan pada barisan
Beda baru =
,r<1
Sisipan pada barisan
Beda baru =
Banyaknya suku baru =
Banyaknya suku baru =
Suku tengah =
Suku tengah =
Operasi hitung pada bilangan bulat
a + b = a – (-b)
4
a – b = a + (-b)
-a – b = -(a+b)
-a + b = b – a
Eksponen
.
:
=
Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat.
1.
2.
apabila diketahui akar akarnya
3.
, apabila diketahui titik puncak A(p,q)
4.
, jika diketahui jumlah dan hasil kali akar-akarnya
Untuk persamaan kuadrat
, berlaku hal sbb.
1.
2.
3.
Nilai maksimum dan minimum.
1. Nilai maksimum diperoleh apabila a<0
2. Nilai minimum diperoleh apabila a>0
Besarnya nilai minimum atau maksimum, A(p,q) ditentukan sbb.
Perbandingan
Perbandingan Senilai : jika suatu faktor dinaikan, maka faktor yg lain juga akan naik.
Perbandingan berbalik nilai: jika suatu faktor diturunkan, maka faktor yang lain akan naik.
Skala dan peta : perbandingan antara jarak pada peta dengan jarak yang sebenarnya.
5
Kecepatan
Rumus umum:
v = kecepatan
s = Jarak
t = waktu
v=sxt
Saling menyusul dan saling berpapasan
a. saling menyusul (dari arah yang sama)
s1 = s2
b. saling berpapasan (dari arah yang berbeda)
s1 + s2 = s total
Bagian Pekerjaan
Misalkan suatu pekerjaan apabila dikerjakan n orang memerlukan T waktu, dan apabila
dikerjakan sendiri-sendiri t1,t2,t3,…,tn, maka akan terjadi hubungan
T/t1 + T/t2 + T/t3 + … + T/tn = 1
Kecepatan rata-rata
= (s1 +s2)/t total
=(v1.t1 + v2.t2)/(t1 + t2)
Himpunan
n(A B) = n (A) + n(B) n(A B)
n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(B C) – n(A C) + n(A B C)
n(A–B) = n(A) n(A B)
n(A + B) = n(A B) – n(A B)
Peluang
Menentukan jumlah cara
Notasi faktorial
n faktorial diberi notasi
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1
contoh : 0!=1
Permutasi
Suatu susunan dari suatu elemen elemen yang berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada
elemen yang sama.
1. Permutasi n elemen
nPn = n!
Contoh: angka 1,2,3,4,5 akan disusun menjadi bilangan lima angka, maka banyak
susunan yang dihasilkan adalah 5P5 = 5! = 120 bilangan
2. Permutasi r elemen dari n elemen
nPr =
Contoh: angka 1,2,3,4,5 akan disusun menjadi bilangan yang terdiri dari tiga angka,
maka banyak bilangan yang terbentuk = 5P3 =
6
3. Permutasi n elemen apabila ada elemen yang sama
P=
4. Permutasi siklis
P=(n-1)!
Kombinasi
Susunan dari beberapa atau semua elemen dari suatu himpunan yang tidak
mementingkan urutan elemen.
nKr=
Menentukan Peluang
1. Peluang suatu Kejadian
a. P(A)=
A
n(A)
n(S)
= suatu kejadian
= banyak elemen A
= banyak elemen ruang sampel
b. 0<P(A)<1
c. Apabila P(A)=1 maka disebut kejadian pasti; sehingga P(A) = 0 disebut sebagai kejadian
mustahil
2. Frekuensi Harapan
FH(A) = P(A). x
x = jumlah percobaan
-
Kejadian majemuk
1.
= Komplemen dari A atau bukan A
P(A)=P(
)=1
2. Peluang gabungan dua kejadian
a. A dan B saling lepas
P(A B)= P(A)+P(B)
b. A dan B tidak saling lepas
P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)
3. A dan B saling bebas
P(A B) = P(A). P(B)
Statistik
Rata-rata(mean)
Rata-rata gabungan
Median
Modus
data yang berada di tengah pada kumpulan yang
sudah diurutkan
data yang paling sering muncul, dan dalam suatu
7
kumpulan data bisa terdapat kebih dari satu
modus
Bangun Datar dan Bangun Ruang
Bangun datar
Persegi
Luas = sisi x sisi
Keliling = 4 x sisi
Jajar Genjang
Luas = alas x tinggi
Persegi Panjang
Luas = panjang x lebar
Keliling =
2 x (panjang + lebar)
Lingkaran
Luas =
Keliling = 2.
Segitiga
Luas = x alas x tinggi
layang-layang
Luas =
Keliling = sisi1+sisi2+sisi3
Trapesium
Luas =
x (jumlah panjang
belah ketupat
Luas =
sisi sejajar) x tinggi
Bangun Ruang
Kubus
Volume =
Luas permukaan =
Diagonal sisi =
Diagonal ruang =
Balok
Volume =
Luas permukaan =
Diagonal sisi, ada tiga yaitu:
=
;
;
Diagonal ruang =
Limas
Volume = x luas alas x tinggi
Luas permukaan = luas alas + luas sisi tegak
Kerucut
Volume =
8
Luas permukaan =
Panjang garis pelukis =
Prisma
Volume = luas alas x tinggi
Luas permukaan = (2 x luas alas) + luas sisi tegak
Luas sisi tegak = keliling alas x tinggi
Tabung
Volume =
Luas permukaan =
Bola
Volume =
Luas permukaan =
9
Paket Rumus Matematika Analitis
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika merupakan materi yang berhubungan dengan pernyataan dan membentuk
pernyataan yang benar dalam konteks matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan
pernyataan dan menarik kesimpulan dari premis (pernyataan) yang ada. Dalam menghadapi tes
CPNS wajib hukumnya memahami logika matematika.
a.
i.
ii.
iii.
1.
2.
3.
4.
b.
Macam penggunaan Pernyataan
Pernyataan tunggal : dinyatakan dengan p atau q
Ingkaran (negasi) pernyataan : dinyatakan dengan ̴p atau ̴q
Contoh :
p = saya makan
̴p = saya tidak makan
Pernyataan gabungan
Konjungsi : Dan (Λ), contoh : p Λ q = saya makan dan saya kenyang
Disjungsi : Atau (V), contoh : p V q = saya makan atau saya kenyang
Implikasi : Jika-Maka (→), contoh : p → q = jika saya makan maka saya kenyang
Biimplikasi : JIka dan hanya jika (↔), contoh : p ↔ q = saya makan jika dan hanya jika saya
kenyang
Konvers, Invers dan Kontraposisi dari Implikasi
Jika diketahui operasi matematika p → q, maka berlaku :
i. Konvers : q → p
ii. Invers : p
̴ → ̴q
iii. Kontraposisi : q
̴ → ̴p
Dengan ekuivalensi :
I. p → q ≡ ̴q → ̴p
II. q → p ≡ ̴p → ̴q
c.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Kesetaraan (de Morgan)
̴( p Λ q ) ≡ ̴p V ̴q
̴( p V q ) ≡ ̴p Λ ̴ q
̴( p → q ) ≡ p Λ ̴ q
̴( p ↔ q ) ≡ (p Λ ̴q) V (q Λ ̴ p)
p → q ≡ ̴q → ̴p
p → q ≡ ̴p V q
10
d.
e.
Penarikan Kesimpulan
1.
Modus Ponens
p →q
P
Q
2.
Modus Tollens
p →q
̴q
3.
̴p
Silogisme
p →q
q→r
p→r
Pernyataan yang menunjukkan quantitas
i. Semua, negasinya adalah = beberapa / ada
ii. Ada, negasinya adalah = semua tidak/tidak ada yang
PENARIKAN KESIMPULAN (Silogisme)
a.
Silogisme Kategorial
Premis
Premis Umum (Term Mayor)
Premis Khusus (Term Minor)
Simpulan
i.
ii.
iii.
iv.
b.
c.
Fungsi pada simpulan
Contoh
Predikat
Semua manusia berkaki dua
Subjek
Andi adalah manusia
Syarat :
Simpulannya :
1.
Hapuskan kata yang ada
1.
Kata manusia dihapus
di kedua Premis
2.
Simpulan :
2.
Simpulan terdiri dari:
Andi berkaki dua
(Subjek) & Predikat
(subjek) & (Predikat)
Dari dua Premis yang negative (mempunyai unsur kata “tidak”) tidak dapat dihasilkan
kesimpulan
Bila salah satu premis negative maka kesimpulan harus negatif
Jika kedua premis adalah Premis Khusus, maka tidak dapat dihasilkan kesimpulan
Jika Term Mayor bersifat khusus, dan Term Minor bersifat negatif, tidak dapat dihasilkan
kesimpulan
Entimen
Premis
Premis Umum (Term
Mayor)
Premis Khusus (Term
Minor)
Simpulan
Silogisme Hipotetik
Premis
Premis Umum (Term
Mayor)
Fungsi pada simpulan entimen
Predikat
Contoh
Semua manusia berkaki dua
Subjek
Andi adalah manusia
Entimen:
1.
Terdiri dari (Subjek)
(Predikat) KARENA (kata yang
sama / Term Penengah)
1.
Bentuk
Proposisi “Jika (antecedent)
Maka (konsekuen)”
11
Term Penengah =
Manusia
2.
Entimen :
Andi berkaki dua karena ia
manusia
Contoh
Jika (hujan) maka (tanah akan
basah)
Premis Khusus (Term
Minor)
Simpulan
d.
Silogisme Disjungtif
Premis
Premis Umum (Term
Mayor)
Premis Khusus (Term
Minor)
Simpulan
Pernyataan Kategorik
Simpulan:
1.
Jika Term Minor mengakui
(antecedent), maka simpulan
adalah (konsekuen)
2.
Jika Term Minor
mengingkari (antecedent),
maka simpulan adalah
ingkaran (konsekuen)
3.
Begitu pula sebaliknya
Hari Hujan
Simpulan :
“Tanah basah”
1. Jika Term Minor = Tanah
tidak basah
Simpulan:
Hari tidak hujan
Bentuk
Kemungkinan / Pilihan
Contoh
Hasan Berbaju putih atau Merah
Menerima / Menolak salah satu
Pilihan
Simpulan:
1. Jika menerima salah satu
pilihan, maka simpulan =
menolak pilihan yang lain
2. Begitu pula sebaliknya
Hasan Berbaju Merah
12
Simpulan :
“Hasan tidak berbaju Putih”
13
14