Penyelesaian Persamaan Schrodinger Lima Dimensi pada

Penyelesaian Persamaan Schrodinger Lima Dimensi pada
Potensial Kratzer plus Potensial Tangen Kuadrat
Trigonometrik dengan Asymptotic Iteration Method (AIM)
Agung Budi Prakoso, A Suparmi, C Cari
Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan Jebres Surakarta 57126, Indonesia
E-mail: [email protected]
Abstrak
Energi ikat non-relativistik dari molekul diatomik yang dipengaruhi potensial non-sentral dalam
ruang lima dimensi yang diselesaikan menggunakan AIM. Potensial pada ruang lima dimensi ini
terdiri dari potensial Kratzer pada bagian radial dan potensial tangen kuadrat pada bagian sudut.
Variasi bilangan kuantum nr, n1, n2, n3, dan n4 pada molekul diatomik CO, NO, dan I2 dapat
mempengaruhi besarnya energi ikat. Hal ini diketahui dari data numeriknya.
Kata kunci : Persamaan Schrodinger, D-dimensi, Potensial Kratzer, Potensial tangen kuadrat,
AIM
Abstract
Non-relativistic bound-energy of diatomic molecules determined by non-central potentials in five
dimensional solution using AIM. Potential in five dimensional space consist of Kratzer’s
potential for radial part and Tangent squared potential for angular part. By varying nr, n1, n2, n3,
dan n4 quantum number on CO, NO, dan I2 diatomic molecules affect bounding energy values. It
knows from its numerical data
Keyword : Schrodinger equation, D-dimension, Kratzer’s potential, Tangent squared potential,
AIM
Pendahuluan
Penyelesaian energi secara non-relativistik dapat diperoleh dari persamaan Schrodinger.
Persamaan Schrodinger adalah dasar untuk mendeskripsikan suatu kejadian fisis yang berkaitan
dengan mekanika kuantum. Ada banyak tipe persamaan yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan kasus mekanika kuantum, diantaranya: persamaan Dirac [1], persamaan KleinGordon [2], dan persamaan Schrodinger [3].Di dalam persamaan tersebut dapat digunakan
gangguan berupa potensial-potensial untuk sistem tertentu, misal potensial Poschl-Teller [4],
potensial Deng-Fan dan potensial Hulthen[5]. Persamaan-persamaan tersebut dapat diterapkan
pada suatu ruang higher dimension [6] dengan gangguan suatu potensial. Higher dimension
adalah suatu ruang yang memiliki komponen ruang lebih dari dimensi tiga.
Penelitian ini untuk mencari nilai eigen energi pada persamaan Schrodinger pada ruang lima
dimensi dengan gangguan potensial Kratzer dan potensial tangen kuadrat trigonometrik..
Potensial Kratzer [7] menjelaskan tentang kejadian disosiasi pada molekul diatomik. Potensial
Kratzer digunakan pada bagian radial dengan variabel r. Sehingga, potensial Kratzer yang
digunakan untuk bagian radial yaitu
 a 1 a2 
.
(1)
V (r )  2 De  
 r 2 r2 


dimana De adalah energi disosiasi, r adalah jarak antar inti molekul diatomik dan a adalah jarak
antar inti dalam keadaan setimbang. Potensial tangen kuadrat [8] menjelaskan suatu potensial
yang dipengaruhi oleh perubahan sudut. Potensial tangen kuadrat pada bagian sudut dengan
variabel θ1, θ2, θ3, dan θ4. Sehingga, potensial yang digunakan untuk bagian


(2)
V  2   V0 tan 2  2  ,  2   2 , 2
(3)
V 1   V0 tan 2 1  , 1   2 , 2
 
V 3   V0 tan 2 3  , 3   2 , 2 
V  4   V0 tan 2  4  ,  4   2 , 2 
(4)
(5)
dengan V0 adalah potensial awal yang digunakan untuk masing-masing komponen sudut yang
dianggap sama dan θ1, θ2, θ3, dan θ4 sudut elevasi. Penelitian ini diselesaikan dengan metode
AIM [9]. Agar dapat diselesaikan dengan AIM, persamaan Schrodinger direduksi ke dalam
persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik.
Asymptotic Iteration Method
Dari persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik tersebut, kemudian diambil
bagian persamaan differensial yang termasuk tipe AIM. Persamaan differensial orde dua dengan
tipe AIM, yaitu [10]
y" x    0 ( x) y' ( x)  s0 ( x) y( x)
(6)
Dari Persamaan (6) didapatkan nilai χ0 dan s0, kemudian dilakukan suatu iterasi dengan pola
seperti pada Persamaan (7) dan (8)
 k   k 1 ' ( x)  sk 1 ( x)   0 ( x)  k 1 ( x)
(7)
sk  sk 1 ' ( x)  s0 ( x)  k 1 ( x)
(8)
k  1, 2, 3, . . .
dari Persamaan (7) dan (8) dapat digunakan mencari nilai eigen dengan Persamaan (9)
 k  s k ( x)  k 1 ( x)  s k 1 ( x)  k ( x)  0
(9)
k  1, 2, 3, . . .
Kemudian untuk menentukan fungsi eigen dari Persamaan (6), digunakan Persamaan (10) untuk
mencari fungsi gelombangnya
 x


yx   C 2 exp    ( x' )dx' 




dengan
s k ( x) s k 1 ( x)

  ( x)
 k ( x)  k 1 ( x)
(10)
(11)
dari Persamaan (10) dapat digeneralisasikan menjadi Persamaan (12)

yn x    1n C2 N  2 n 2 F1  n, p  n,  , bx N 2

(12)
dengan
(𝜎)𝑛 =
2 F1
Γ(𝜎+𝑛)
Γ(𝜎)
,𝜎 =
2𝑐+𝑁+3
 n, p  n, , bx
𝑁+2
N 2
,𝑝 =
(2𝑐+1)𝑏+2𝑡
(𝑁+2)𝑏
 n n  p  n n
    
n
n 0

(13)
bx 
N 2 n
(14)
n!
dengan n adalah bilangan kuantum, C2 adalah konstanta normalisasi, 2F1 adalah fungsi
hipergeometrik. Sedangkan parameter-parameter lain pada Persamaan (13) dan Persamaan (14)
diperoleh dengan membandingkan Persamaan (6) dengan Persamaan (15) sebagai berikut
𝑡𝑥 𝑁+1
𝑦 ′′ (𝑥 ) = 2 (1−𝑏𝑥 𝑁+2 −
𝑐+1
𝑥
𝑊𝑥 𝑁
) 𝑦 ′ (𝑥 ) − 1−𝑏𝑥 𝑁+2
(15)
Pemisahan Variabel
Persamaan Schrodinger dengan menggunakan satuan alam (ħ  c 1) dan dalam ruang lima
dimensi, dapat ditulis dengan
5 2   2m E  V    0
(16)
Persamaan (16) terdapat Laplacian pada koordinat lima dimensi. Laplacian itu dapat dituliskan
menjadi
 52 
1  4  1
r

r 4 r  r  r 2

1
2
1

 2
2
2
2
2
2
 sin  2 sin  3 sin  4  1 sin  3 sin  4
 1  
 


sin  2

 2 
 sin  2   2

  2
 
  3
  
 1
 1  1
(17)
 sin  3
 
 sin  4


2
2
3










sin 2  4 
sin

r
sin


3
3
4
4




3
4




Kemudian potensial pada Persamaan (1) – (5) digabung dalam bentuk
 a 1 a2 
V0 tan 2 1
V0 tan 2  2
V0 tan 2  3

V r ,1 , 2 , 3 , 4   2 De  


 r 2 r 2  r 2 sin 2  sin 2  sin 2 
r 2 sin 2  3 sin 2  4 r 2 sin 2  4


2
3
4


1
V0 tan 2  4
r2
(18)
dengan 0  1  2π dan 0  2 = 3 = 4  π.
Pada Persamaan (16) juga terdapat variabel Ψ diterapkan dalam lima dimensi menjadi
(19)
(r ,1 , 2 , 3 , 4 )  R(r ) P1 (1 ) P2 ( 2 ) P3 ( 3 ) P4 ( 4 ),
Kemudian Persamaan (17) – (19) disubtitusikan ke dalam Persamaan (16) untuk memperoleh
suatu persamaan Schrodinger untuk bagian radial, sudut θ1, θ2, θ3, dan θ4.
Persamaan Energi Radial
Persamaan Schrodinger bagian radial yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu
 a 1 a2 
1   4 R 
2

  2mr 2 RE  R  0
r

4
mr
RD


e 
2 
r 
r
2
r 2 r 
r


(20)
Dimana R adalah fungsi gelombang bagian radial. Kemudian digunakan permisalan untuk
mereduksi Persamaan (20):
R  Ur 2
A  2mDe
(21)
(22)
 2  2mE
(23)
C  2 Aa
(24)
1
9
(25)
D 
   Aa 2
2
4
Persamaan (21) – (25) disubtitusikan ke dalam Persamaan (20), sehingga didapat Persamaan (26)
C DD  1) 

  2  
U  0
r
r
r2


 2U
(26)
2
Persamaan (26) agar dapat diterapkan dalam AIM, harus menggunakan variabel
U (r )  r D1 exp(r ) f (r )
sehingga Persamaan (26) menjadi
D  1
2 D  1  C

f ' ' (r )  2   
f (r )
 f ' (r ) 

r 
(27)
(28)
r
dengan membandingkan Persamaan (28) dengan Persamaan (6) didapat nilai χ0 dan s0 untuk
bagian radial.
D 1

 0 (r )  2   

r 

2 D  1  C
s 0 (r ) 
(29)
(30)
r
Persamaan (29) – (30) dilakukan iterasi dengan menggunakan Persamaan (7) – (8) untuk
mendapatkan nilai parameter χ1 dan s1, χ2 dan s2, χ3 dan s3,.... χk dan sk. Nilai-nilai parameter
tersebut digunakan untuk mencari k. k tersebut disamadengankan nol untuk mencari energi,
sehingga didapatkan persamaan energi
2m
 2 De 2 a 2

(31)
E
2


1
9
2m
 nr  
   2 De a 2 

2
4



Penyelesaian energi diperoleh secara numerik, dengan parameter yang diberikan pada Tabel 1
untuk CO, NO dan I2.
Tabel 1 Massa tereduksi dan besaran spektroskopik dari variasi molekul diatomik pada saat ground state
Parameter
De (eV)
a (/eV)
m (eV)
CO
10.84514471
5.7174×10-4
6.3904×109
NO
8.043782568
5.8319×10-4
6.9566×109
I2
1.581791863
13.000×10-4
59.104×109
Persamaan Bagian Sudut θ1
Persamaan Schrodinger bagian sudut θ1 yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu
  2 P1   2m
(32)
 2    2 V0 tan 2 1  1  P1  0

  1   
dimana P1 adalah fungsi gelombang bagian sudut θ1 dan λ1 adalah parameter subtitusi bagian
sudut θ1. Persamaan (32) direduksi menggunakan permisalan pada Persamaan (33) – (34).
(33)
tan 1  1  2 z1  i
d2
d12


 4 z1  z12 1  2 z1 


 4 z1  z12
z1

2
2
z12
(34)
Sehingga diperoleh Persamaan (35) berikut
1

z
1
 z1 2

 2 P1
z1
2
A
1 A1 

 1



P1  A1
 1  2 z1 

 4 16  4 16   P1  0
z1  4
z1
z1  1 




(35)
kemudian digunakan permisalan
P1 1   z1 1 1  z1  1 f n z1 
(36)
dari permisalan tersebut, didapatkan persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik berikut
 2 z 1   1   1   2 1  1 
 f n ' z1  
f n ' ' z1    1
z1 1  z1 


1   1 1   1  1 
z1 1  z1 
A1
4 f z 
n 1
(37)
Dengan nilai parameter δ1 dan γ1 yaitu
1 
A
1
 1  1
2
4
(38)
1 
A
1
 1  1
2
4
(39)
Persamaan (37) dibandingkan dengan Persamaan (6), sehingga diperoleh nilai χ0 dan s0.
2 z 1   1   1   2 1  1
(40)
 0 ( z1 )  1
z1 1  z1 
s0 ( z1 ) 
1   1 1   1  1  
z1 1  z1 
(41)
dengan ε = A1/4. Nilai χ0 dan s0 digunakan Persamaan (7) – (9) untuk mencari nilai k. Nilai k
disamadengankan nol, sehingga didapatkan nilai ε1, ε2, ε3, ..., εk. Parameter-parameter tersebut
dapat digunakan untuk mendapatkan parameter subtitusi λ1

1
1 2m 
1  2 V0    n1  

V0 
2
4 2



2m
2
(42)
Persamaan Bagian Sudut θ2
Persamaan Schrodinger bagian sudut θ2 yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu
P   2m
 
1
 
(43)
 sin  2 2    2 V0 tan 2  2  2  21  P2  0
sin  2  2 
 2   
sin  2 
dimana P2 adalah fungsi gelombang bagian sudut θ2 dan λ2 adalah parameter subtitusi bagian
sudut θ2, kemudian digunakan permisalan:
Q2
P2 
(44)
sin  2
Persamaan (44) disubtitusikan ke dalam Persamaan (43), sehingga didapatkan Persamaan (45)
1

  2  1 cot 2  2  2m V0 tan 2  2  1 Q2  0

(45)
4
2
sin 2  2 
 2 2  2
Persamaan (45) tersebut harus disederhanakan dengan permisalan pada Persamaan (46) – (47),
sehingga diperoleh Persamaan (48)
 2Q2
cos2 2  z2
(46)
d2
d 2 2
 21  2 z2 
z2 1  z2 
 2Q2
z22




2
 4 z  z2 2
z2
z2 2
(47)


1
1  2 z2  Q2   1  42  mV20  mV2 0  1  41  Q2  0
2
z2  16
2
2 z2 161  z2  
(48)
Persamaan (48) harus direduksi ke persamaan differensial orde dua tipe hipergeometri,
dengan permisalan
(49)
Q2  2   z 2 2 1  z 2  2 f n z 2 
sehingga didapatkan Persamaan (50)

2 1  A2  4 2
  2   2  
 z 2 2 2  2 2  1  2 2  1 
16
2
f n ' ' z 2   
f n ' z 2   







z
1

z
z
1

z
2
2
2
2






 f n z 2 



dengan nilai parameter δ2 dan γ2 yaitu
1 1
2  
 2  2mV0
2 2
2 
(50)
(51)
1 1

5  41
2 4
(52)
Persamaan (50) dibandingkan dengan Persamaan (6), sehingga diperoleh nilai χ0 dan s0.
0 (z2 ) 
s0 ( z 2 ) 
z 2 2 2  2 2  1  2 2  12
(53)
z 2 1  z 2 
 2   2 2  
z 2 1  z 2 
(54)
Dari Persamaan (53) – (54) dapat dicari nilai k dengan menggunakan Persamaan (7) – (9). Nilai
k tersebut digunakan untuk mencari persamaan parameter subtitusi λ2

2mV
1 2m
1
 2   2 V0   4n2  4  2 1  2 0  5  41 
4 
4


2
(55)
Parameter λ1 pada Persamaan (55) diperoleh dari Persamaan (42).
Persamaan Bagian Sudut θ3
Persamaan Schrodinger bagian sudut θ3 yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu
2 
1
  2 P3   2m
 P3  0
 sin  3
   2 V0 tan 2  3  3 
2
 3   
sin  3  3 
sin 2  3 
(56)
dimana P3 adalah fungsi gelombang bagian sudut θ3 dan λ3 adalah parameter subtitusi bagian
sudut θ3, kemudian digunakan permisalan:
Q3
P3 
(57)
sin  3
Persamaan (57) disubtitusikan ke dalam Persamaan (56), sehingga didapatkan Persamaan (58)
 2 Q3
 3 2
 2m
2 
  2 V0 tan 2  3  3  1 
Q3  0

sin 2  3 

(58)
Persamaan (58) direduksi menggunakan permisalan:
cos2 3  z3
d2
d 32
(59)
 21  2 z3 



2
 4 z3  z3 2
z3
z32
(60)
sehingga didapatkan Persamaan (61)

 4 z3  z3 2
 Q
2
z 3
3
2
 21  2 z 3 
Q3  2m 
 
1 
  2 V0   1    3  1  2  Q3  0
z 3  
z3 
1  z3 

(61)
Kemudian digunakan permisalan
(62)
Q3 3   z3 3 1  z3  3 f n z3 
Dari permisalan tersebut, didapatkan persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik berikut
1
 3   3 2  A3  1  3
z3 2 3  2 3  1  2 3 
2 f ' z  
4
(63)
f n ' ' z3  
f n z3 
n 3
z3 1  z3 
z3 1  z3 
dengan nilai parameter δ3 dan γ3 yaitu
1 1
(64)
3  
1  4 A3
4 4
1 1
3  
1  4 2
(65)
4 4
Persamaan (63) dibandingkan dengan Persamaan (6), sehingga diperoleh nilai χ0 dan s0.
z 3 2 3  2 3  1  2 3  12
(66)
 0 ( z3 ) 
z 3 1  z 3 
 3   3 2  A3  1  3
4
s0 ( z 3 ) 
z3 1  z3 
(67)
Nilai χ0 dan s0 tersebut dapat digunakan untuk mencari nilai k dengan menggunakan Persamaan
(7) – (9). Nilai k digunakan untuk mendapatkan nilai parameter subtitusi λ3


1
8m
3  2 V0  1   2n3  1   1  2 V0  1  42  


2




2
2m
(68)
Parameter λ2 pada Persamaan (68) diperoleh dari Persamaan (55).
Persamaan Bagian Sudut θ4
Persamaan Schrodinger bagian sudut θ4 yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu

3
1
  3 P4   2m
(69)
 sin  4
   2 V0 tan 2  4 
   P4  0
3
2
 4   
sin  4  4 
sin  4

dimana P4 adalah fungsi gelombang bagian sudut θ4 dan λ adalah konstanta subtitusi bagian sudut
θ4, kemudian digunakan permisalan:
P4 
Q4
sin  4
3
(70)
Persamaan (70) disubtitusikan ke dalam Persamaan (69), sehingga didapatkan persamaan
3 3


2m
(71)
Q4 ' '  cot 2  4  2 V0 tan 2  4  23    Q4  0
2
4

sin

4


selanjutnya digunakan permisalan:
cos2  4  z4
d2
d 4 2
(72)
 21  2 z 4 



2
 4 z4  z4 2
z 4
z 4 2
(73)
Kemudian Persamaan (72) dan Persamaan (73) disubtitusikan ke dalam Persamaan (71).
Sehingga didapatkan persamaan
3
2

2mV0 3  4
 Q4 1  9 2m
2  Q4  1
(74)
z4  z4


z


V







Q4  0
4
0
 z 4 4  4  2
 2 z4 1  z4
z 4 2  2

Kemudian digunakan permisalan pada Persamaan (75)


Q4  4   z4 4 1  z4  4 f n z4 
(75)
Dari permisalan tersebut, didapatkan persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik berikut:
1
 4   4 2  9  A4  
z 4 2 4  2 4  1  2 4 
16
2 f ' z  
(76)
f n ' ' z 4  
f n z 4 
n 4
z 4 1  z 4 
z 4 1  z 4 
dengan nilai parameter δ4 dan γ4 yaitu
1 1
 4   i 1  4 A4
(77)
2 2
1 1
4  
163  2
(78)
16 4
Persamaan (76) dibandingkan dengan Persamaan (6), sehingga diperoleh nilai χ0 dan s0 pada
Persamaan (79) – (80). Dari nilai χ0 dan s0 dapat dicari nilai k dengan menggunakan Persamaan
(7) – (9). Nilai k digunakan untuk mencari parameter subtitusi λ pada Persamaan (81).
0 (z4 ) 
s0 ( z 4 ) 
z 2 4  2 4  1  2 4  12
(79)
z 4 1  z 4 
 4   4 2 
9
 A4  
16
z 4 1  z 4 

9 2m
8m
1
9
    2 V0   2i 1  2 V0  163  2  n4  
16 
4
16 


(80)
2
(81)
Parameter λ3 pada Persamaan (81) diperoleh dari Persamaan (68).
Hasil
Parameter subtitusi pada Persamaan (81) disubtitusikan ke dalam persamaan energi pada
Persamaan (31). Parameter identitas molekul pada Tabel 1 disubtitusikan ke persamaan energi
tersebut dengan menggunakan MATLAB 2008b, sehingga diperoleh data numerik pada Tabel 2.
Tabel 2 Spektrum energi partikel yang dipengaruhi oleh potensial Kratzer dan tangen kuadrat, dengan V0 = 10-6 eV
nr
n1
n2
n3
n4
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
E (eV)
CO
NO
I2
0
0
0
-0,620569
-0,624640
-0,628649
-0,316085
-0,318575
-0,321032
-0,1237857
-0,1237739
-0,1237617
0
0
0
0
-0,620569
-0,620562
-0,316085
-0,316081
-0,1237857
-0,1237856
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-0,620556
-0,620569
-0,620556
-0,316078
-0,316085
-0,316078
-0,1237854
-0,1237857
-0,1237854
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
-0,620542
-0,620569
-0,616316
-0,611919
-0,316071
-0,316085
-0,312961
-0,309746
-0,1237852
-0,1237857
-0,1238835
-0,1239813
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-0,620569
-0,610426
-0,316085
-0,310584
-0,1237857
-0,1234873
0
0
0
0
2
-0,600325
-0,305110
-0,1231891
Kesimpulan
Dari Tabel 2, terlihat bahwa pada partikel yang dipengaruhi oleh potensial Kratzer dan
potensial tangen kuadrat memiliki spektrum energi yang dipengaruhi oleh bilangan kuantum
nr, n1, n2, n3, dan n4. Nilai energi negatif menunjukkan terjadinya energi tolak menolak.
Kenaikan bilangan kuantum pada n1, n2, n3, dan n4 menyebabkan nilai energi tolak
menolaknya menurun, tapi untuk kenaikan bilangan kuantum pada nr, menyebabkan nilai
energi tolak menolaknya cenderung ikut naik. Dari keempat molekul tersebut, nilai energi
dari molekul CO memiliki energi terbesar dan I2 memiliki energi yang terkecil. Semakin
besar nilai De maka energi yang dihasilkan semakin besar juga. Semakin besar nilai m, maka
semakin besar juga nilai energinya. Akan tetapi, semakin besar nilai a, nilai energinya
semakin mengecil.
Referensi
[1] A'yun, D. Q., Suparmi, & Cari. (2015). Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial
Pöschl-Teller Trigonometrik dan Potensial Scarf Trigonometrik pada Kasus Spin
Simetri Bagian Radial menggunakan Metode Iterasi Asimtotik. Spektra.
[2] Barakat, T. (2009). Perturbed Coulomb potentials in the Klein–Gordon equation via the
asymptotic iteration method. Annals of Physics, 725–733.
[3] Arbabi, S. (2016). Exact solitary wave solutions of the complex nonlinear Schrödinger
equations. Optik, 4682–4688.
[4] Yahya, W., & Oyewumi, K. (2015). Thermodynamic properties and approximate
solutions of the l state Poschl–Teller-type potential. Journal of the Association of Arab
Universities for Basic and Applied Sciences.
[5]
[6]
Hassanabadi, M., Yazarloo, B.H., Mahmoudieh, M., & Zarrinkamar, S. (2013). Dirac
equation under the Deng-Fan potential and the Hulthen potential as a tensor interaction
via SUSYQM. The European Physical Journal Plus, 128, 111-123
Dong, Shi Hai. (2011). Wave equations in higher dimensions. New York : Springer.
[7]
Bayrak, O., Boztosun, I., & Ciftci, H. (2006). Exact Analytical Solutions to the Kratzer
Potential by the Asymptotic Iteration Method. Wiley InterScience, 107, 540–544.
[8]
Ciftchi, H., Hall, R.L., & Saad, N. (2013). Exact and approximate solutions of
Schrödinger’s equation for a class of trigonometric potentials. Central European
Journal of Physics, 11(1), 37-48.
[9]
Falaye, B. (2012). Arbitrary  -State Solutions of the Hyperbolical Potential by the
Asymptotic Iteration Method. Few-Body Syst, 53, 557–562
[10] Sari, R.A., Suparmi, A., Cari, C. (2015). Solution of Dirac equation for Eckart potential
and trigonometric Manning Rosen potential using asymptotic iteration method. Chin.
Phys. B, 25