Selamat Datang di Media Pembelajaran Berbasis Website Pada

Selamat Datang di Media Pembelajaran
Berbasis Website
Pada materi
Barisan dan deret geometri
L O A D I N G ...
Created : Novialdi
Bengkalis, 12 November 1993
B. Barisan Geometri
Apa anda sudah
mengetahui tentang
barisan Geometri?
Misalnya , pada saat praktikum biologi kamu melakukan pengamatan tentang
perkembangbiakan bakteri tersebut dapat membelah diri menjadi 2 setiap 5 menit.
Jika pada saat mula pengamatan terdapat 10 bakteri, apakah bisa kamu menghitung
berapa banyaknya bakteri saat tepat 30 menit kemudian?
Karena pada awalnya, banyak bakteri adalah 10 bakteri, dan setiap 5 menit kemudian
bakteri akan membelah dirinya menjadi 2. maka banyaknya bakteri akan bertambah 2
kali lipat dari sebelumnya setiap 5 menit sekali. Berarti dapat kita buat barisan
bilangannya: 10, 20, 40, 80,…dan seterusnya.
Nah. Dari barisan bilangan diatas
merupakan Barisan Geometri yang
mempunyai rasio yang sama atau tetap = 2
Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan :
U1, U2, U3, …Un-1, Un
Merupakan barisan geomateri jika :
𝑈2
𝑈
𝑈
= 3=….= 𝑛 = rasio = r
𝑈1
𝑈2
𝑈𝑛−1
Rumus umum suku ke – n barisan geometri
dengan suku pertama a dan rasio r dapat
ditentukan sebagai berikut :
Berdasarkan uraian tersebut, suku ke n dari
barisan geometri dirumuskan sebagai berikut:
Keterangan :
a : suku pertama
r : rasio atau perbandingan
Un : suku ke-n dari suatu barisan bilangan
UJI PEMAHAMAN 2
SILAKAN KLIK MULAI DIBAWAH INI
START
SOAL 1
Apakah dari barisan bilangan berikut : 20, 40, 80, 160. termasuk barisan
geometri?
A. YA
B. TIDAK
SOAL 2
Berapakah suku dari barisan bilangan berikut : 20, 40, 80, 160.
A. 4
B. 5
SOAL 3
Berapakah nilai rasio dari barisan bilangan berikut : 20, 40, 80, 160.
A. 5
B. 2
SOAL 4
Apakah sama nilai
A. YA
B. TIDAK
𝑈2
𝑈1
𝑈
= 𝑈3 dari barisan bilangan 20, 40, 80, 160.
2
SOAL 5
Barisan giometri adalah barisan yang mempunyai …
A. Beda yang tetap
B. Rasio yang tetap
SILAKAN KLIK TOMBOL DI BAWAH INI UNTUK
MELIHAT SKOR ANDA
CEK NILAI
Contoh soal 1
Diketahui barisan geometri 3, 9, 27, 81. tentukan suku pertama, rasio, rumus suku ke-n, dan
suku ke-6
Suku pertama = 𝑈1 = 𝑎 = 3
𝑈
𝑈
Rasio = 𝑟 = 𝑈2 = 𝑈3 = 3
1
2
Rumus suku ke-n :
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
𝑈𝑛 = 3(3)𝑛−1
𝑈𝑛 = 3(3𝑛 )(3−1 )
𝑈𝑛 = 3𝑛
Suku ke-6 :
𝑈𝑛 = 3𝑛
𝑈6 = 36
𝑈6 = 729
Cek pengerjaan dengan
menggunakan rumus 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
𝑈6 = 3(3)6−1
𝑈6 = 3(3)5
𝑈6 = 36
𝑈6 = 729
Jadi, suku pertama barisan
tersebut adalah a = 3, rasio adalah
r = 3,rumusan suku ke-n nya
adalah 𝑈𝑛 = 3𝑛 dan suku ke-6
nya
adalah
𝑈6 =
729
Contoh soal 2
1
1
Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 3, dan rasio = 3 , maka suku ke-9 barisan
geometri tersebut adalah…
suku ke-9
Langkah awal : mencari nilai a
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
1 5−1
1
𝑈5 = 𝑎( )
=
3
3
1 4
1
𝑎( ) =
3
3
1 −2
𝑎=( )
3
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
1
1
𝑈9 = ( )−2 ( )9−1
3
3
1 −2 1 8
𝑈9 = ( ) ( )
3
3
1 5
𝑈9 = ( )
3
1
𝑈9 =
243
Contoh soal 3
Suku ke-3 dan suku ke -7 suatu barisan geometri berturut-turut 16 dan 256. suku ke-10
barisan tersebut adalah…
𝑈3 = 16
𝑈7 = 256
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
Langkah awal mencari nilai a dan r
𝑈3 = 𝑎𝑟 3−1 = 16
𝑎𝑟 2 = 16
16
𝑎 = 2 = 16𝑟 −2 … … … 1
𝑟
Kemudian
𝑈7 = 𝑎𝑟 7−1 = 256
𝑎𝑟 6 = 256 … … … 2
Cara yang digunakan untuk
mencari nilai a dan r adalah
menggunakan metode subsitusi
16
Substitusikan nilai 𝑎 = 𝑟 2 =
16𝑟 −2 ke dalam persamaan (2)
𝑎𝑟 6 = 256
(16𝑟 −2 )𝑟 6 = 256
16𝑟 4 = 256
𝑟 4 = 16
𝑟=2
Untuk mencari nilai a, maka kita
substitusikan nilai r=2 ke dalam
persamaan(1)
Karena yang ditanya adalah
suku ke-10 barisan tersebut,
maka
𝑎 = 16𝑟 −2
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
𝑎 = 16(2)−2
𝑈10 = 𝑎𝑟10−1
1
𝑎 = 16
4
𝑈10 = 4(2)9
𝑎=4
𝑈10 = 4 512
𝑈10 = 2048
Jadi suku ke-10 barisan tersebut adalah 𝑈10 = 2048
Deret Geometri
Apakah anda mengetahui tentang
deret geometri setelah belajar
barisan geometri.
Banyaknya tim pada kepanitian adalah 5 tim, yaitu tim A, B, C,
D, dan E. karena, jumlah anggota tim B tiga kali anggota tim A
dan tim C tiga kali tim B, begitu seterusnya, maka jumlah
anggota tim adalah 3 kali banyak anggota tim sebelumnya.
Karena banyak anggota tim A adalah 2 orang. Maka barisan
geometri yang dapat terbentuk :
2, 6, 18, 54, 162
Jumlah seluruh anggota panitia adalah:
2 + 6 + 18 + 54 + 162
Penjumlahan tersebut dinamakan Deret Geometri.
Secara umum dapat dinyatakan
definisi deret geometri
Jika 𝑈1 , 𝑈2, 𝑈3 , 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛 merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka
𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛
Disebut “Deret Geometri”,
Dengan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
Jika 𝑆𝑛 merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus
untuk 𝑆𝑛 dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛 . Maka
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1
Kalikan 𝑆𝑛 dengan r
𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1
Kurangkan 𝑟𝑆𝑛 terhadap 𝑆𝑛
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1
𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1 _
𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟 𝑛
𝑆𝑛 1 − 𝑟 = 𝑎 1 − 𝑟 𝑛
𝑎 1 − 𝑟𝑛
𝑆𝑛 =
(1 − 𝑟)
Dari uraian tersebut, diperoleh kesimpulan berikut:
𝑎 1 − 𝑟𝑛
𝑆𝑛 =
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 1 𝑎𝑡𝑎𝑢
1−𝑟
𝑎 𝑟𝑛 − 1
𝑆𝑛 =
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 1.
1−𝑟
𝑎 adalah suatu suku pertama dan r adalah rasio dan untuk mencari
𝑈𝑛 dengan menggunakan 𝑆𝑛 adalah :
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
Keterangan
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑆𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛
𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
𝑎 𝑟𝑛 − 1
𝑆𝑛 =
𝑟−1
𝑎 𝑟 𝑛−1 − 1
𝑆𝑛−1 =
𝑟−1
𝑎 𝑟 𝑛 𝑟 −1 − 1
=
𝑟−1
𝑟𝑛
𝑎 𝑟 −1
=
𝑟−1
𝑟𝑛 − 𝑟
𝑎
𝑟
=
𝑟−1
𝑎 𝑟𝑛 − 𝑟
=
𝑟 𝑟−1
𝑎(𝑟 𝑛 − 1)
=
𝑟−1
𝑎(𝑟 𝑛 − 𝑟)
−
𝑟(𝑟 − 1)
𝑎𝑟(𝑟 𝑛 − 1) − (𝑎(𝑟 𝑛 − 𝑟))
=
𝑟(𝑟 − 1)
𝑛
𝑎(𝑟𝑟 − 1) − (𝑎(𝑟 𝑛 − 𝑟))
=
𝑟(𝑟 − 1)
𝑎(𝑟𝑟 𝑛 − 𝑟 − 𝑟 𝑛 + 𝑟
=
𝑟(𝑟 − 1)
𝑎(𝑟𝑟 𝑛 − 𝑟 𝑛 )
=
𝑟(𝑟 − 1)
𝑎𝑟 𝑛 (𝑟 − 1)
=
𝑟(𝑟 − 1)
𝑎𝑟 𝑛
=
𝑟
𝑛−1
= 𝑎𝑟
= 𝑈𝑛
Contoh soal 1
Suku ke-3 dan suku ke -7 suatu deret geometri berturut 16 dan 256. jumlah tujuh suku pertama deret tersebut
adalah…
𝑎𝑟 𝑛−1
𝑈𝑛 =
𝑈3 = 𝑎𝑟 3−1 = 16
𝑎𝑟 2 = 16
16
𝑎 = 2 = 16𝑟 −2 … … … 1
𝑟
𝑈7 = 𝑎𝑟 7−1 = 256
𝑎𝑟 6 = 256 … … … 2
Substitusikan nila 𝑎 = 16𝑟 −2
kedalam persamaan (2)
𝑎𝑟 6 = 256
(16𝑟 −2 )𝑟 6 = 256
16𝑟 4 = 256
𝑟 4 = 16
𝑟=2
Contoh soal 2
1
Diketahui deret geometri + 1 + 2 + 4 + ⋯
2
a. Tentukan rasio
b. Hitunglah jumlah 8 suku pertamanya.
𝑈
𝑈
Rasio = 𝑟 = 𝑈2 = 𝑈3 = 2
1
2
Jumlah 8 suku pertama
𝑎 𝑟𝑛 − 1
𝑆𝑛 =
𝑟−1
1
(2 (2)8 −1
𝑆8 =
2−1
1
= 2 (256 − 1)
= 127.5
Jadi, nilai rasio dari barisan tersebut adalah 2 dan jumlah 8 suku
pertama barisan tersebut 𝑆8 = 127.5
Untuk mencari nila 𝑎, maka
kita substitusikan nilai r = 2
ke dalam persamaan(1)
𝑎 = 16𝑟 −2
= 16(2)−2
1
4
= 16( )
=4
Karena yang ditanya jumlah
7 suku pertama deret
tersebut, maka
𝑎 𝑟𝑛 − 1
𝑆𝑛 =
𝑟−1
4 27 − 1
𝑆7 =
2−1
= 4 128 − 1
= 4 127
= 508
Contoh soal 2
Umur aldi, rozi dan dudi membentuk barisan geometri. Jumlah usia mereka adalah 14 tahun. Perbandingan
usia yoga dan rozi adalah 2 : 1 puji berumur paling muda. Usia puji adalah ….
𝑎 𝑟𝑛 − 1
𝑆𝑛 =
𝑟−1
𝑎 23 − 1
𝑆3 =
= 14
2−1
𝑎 8 − 1 = 14
7𝑎 = 14
𝑎=2
Karena puju berumur paling muda, berarti usia puji adalah 2
tahun.
RANGKUMAN
Barisan Geometri
Suatu barisan bilangan 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , …, 𝑈𝑛−1, 𝑈𝑛 disebut barisan
geometri jika berlaku
𝑈2 𝑈3
𝑈𝑛
=
=⋯=
= 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 = 𝑟
𝑈1 𝑈2
𝑈𝑛−1
Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
Deret Geometri
Jumlah n suku petama dari suatu barisan geometri adalah:
𝑎 1 − 𝑟𝑛
𝑆𝑛 =
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 1 𝑎𝑡𝑎𝑢
1−𝑟
𝑎 𝑟𝑛 − 1
𝑆𝑛 =
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 1
1−𝑟
dan untuk mencari 𝑈𝑛 dengan menggunakan rumus 𝑆𝑛 adalah:
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
Keterangan
𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎
𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑆𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛