dasar grup - MAFIADOC.COM

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 3
DASAR – DASAR GRUP
Tujuan Instruksional Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan
mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
Tujuan Instruksional Khusus :
Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar suatu Grup, mahasiswa
minimal 80% dapat :
a. Mengidentifikasi suatu himpunan tak kosong terhadap operasi tertentu
merupakan suatu Grup
b. Membuktikan sifat-sifat sederhana suatu Grup
c. Mengidentifikasi suatu himpunan bagian dari suatu Grup merupakan suatu
Subgrup atau bukan
d. Menentukan orde suatu Grup
Deskripsi Singkat :
Grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Dalam bab ini akan
dibahas mengenai sifat-sifat atau syarat-syarat suatu Grup, himpunan bagian dari
Grup yang merupakan Subgrup, serta menentukan orde suatu Grup.
33
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
3.1. Sifat-sifat Grup
Pada bab 2, telah kita pelajari konsep semigrup yaitu suatu struktur
aljabar dengan satu operasi biner (grupoid terhadap penjumlahan atau
perkalian) yang memiliki prasyarat tertutup dan assosiatif. Sedangkan
monoid adalah suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (semigrup
terhadap penjumlahan atau perkalian) yang setiap anggotanya memiliki
unsur satuan atau identitas.
Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari definisi atau syaratsyarat dasar dari suatu Grup dan mengaplikasikannya kedalam contohcontoh soal sederhana, baik itu terhadap penjumlahan maupun terhadap
perkalian. Adapun definisi mengenai Grup adalah :
Definisi 3.1 :
Suatu monoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika setiap anggotanya memliki
unsur balikan atau invers, yaitu :
∀ a ∈ G ∃ a-1 ∈ G sehingga a * a-1 = a-1 * a = e
Dengan kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syaratsyarat dari suatu Grup yaitu memenuhi sifat monoid dan setiap
anggotanya memiliki unsur balikan atau invers. Adapun untuk lebih
jelasnya mengenai syarat-syarat suatu Grup akan dijabarkan dalam
definisi berikut ini :
Definisi 3.2 :
Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat :
1. Tertutup
Misalkan a dan b adalah anggota G,
maka a dan b tertutup bila a * b ∈G
34
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
2. Assosiatif
Misalkan a,b,c ∈ G
maka (a * b) * c = a * (b * c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan a ∈ G
maka a * e = e * a = a
4. Adanya unsur balikan atau invers
Misalkan a ∈ G
maka a * a-1 = a-1 * a = e
Contoh 3.1 :
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan.
Tunjukan bahwa G adalah suatu Grup terhadap perkalian (G, .).
Penyelesaian :
Tabel 3.1.
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, .)
.
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
Dari tabel 3.1. akan ditunjukan bahwa G = {-1, 1} merupakan suatu Grup
terhadap perkalian (G, .), yaitu :
35
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari G
misalkan -1 dan 1 ∈ G
-1 . 1 = -1
karena hasilnya -1 ∈ G, maka tertutup terhadap G
b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari G
misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 ∈ G
(a . b) . c = (-1 . -1) . 1 = 1 . 1 = 1
a . (b . c) = 1 . (-1. -1) = 1 . 1 = 1
Sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1
maka G assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian)
Ambil sebarang nilai dari G
•
misalkan -1 ∈ G
-1 . e = e . (-1) = -1
•
misalkan 1 ∈ G
1.e= e.1= 1
maka G ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 ∈ G, pilih -1 ∈ G,
sehingga -1. (-1) = 1 = e, maka (-1)-1 = -1
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 ∈ G, pilih 1 ∈ G,
sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (1)-1 = 1
maka G ada unsur balikan atau invers
Jadi, G = {-1, 1} merupakan Grup terhadap perkalian (G, .).
36
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 3.2 :
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu
Grup terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
Tabel 3.2.
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +)
+
-1
1
-1
-2
0
1
0
2
Berdasarkan daftar Cayley dari tabel 3.2.
Operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}.
Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan
G = {-1, 1}, maka operasi penjumlahan
G = {-1, 1} tidak tertutup
terhadap himpunannya.
Sehingga
G=
{-1,
1}
adalah
bukan
suatu
Grup
terhadap
penjumlahan (G, +).
Contoh 3.3 :
Misalkan G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah merupakan himpunan dari Z6
Tunjukan bahwa G adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +).
37
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Penyelesaian :
Tabel 3.3.
Daftar Cayley G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G, +)
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
Dari tabel 3.3. akan ditunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan
suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +), yaitu :
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari G
misalkan 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ G
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=0
38
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
karena hasilnya 0, 3, 4, 5 ∈ G, maka tertutup terhadap G
b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari G
misalkan a = 2, b = 4 dan c = 5 ∈ G
(a + b) + c = (2 + 4) + 5 = 0 + 5 = 5
a + (b + c) = 2 + (4 + 5) = 2 + 3 = 5
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 5
maka G assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)
Ambil sebarang nilai dari G
•
misalkan 0 ∈ G
0+e= e+0= 0
•
misalkan 1 ∈ G
1+e= e+1= 1
•
misalkan 2 ∈ G
2+e= e+2= 2
•
misalkan 3 ∈ G
3+e= e+3= 3
•
misalkan 4 ∈ G
4+e= e+4= 4
•
misalkan 5 ∈ G
5+e= e+5= 5
maka G ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 ∈ G, pilih 0 ∈ G,
sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 ∈ G, pilih 5 ∈ G,
sehingga 1 + 5 = 0 = e, maka (1)-1 = 5
39
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 ∈ G, pilih 4 ∈ G,
sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 3 ∈ G, pilih 3 ∈ G,
sehingga 3 + 3 = 0 = e, maka (3)-1 = 3
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 ∈ G, pilih 2 ∈ G,
sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 5 ∈ G, pilih 1 ∈ G,
sehingga 5 + 1 = 0 = e, maka (5)-1 = 1
maka G ada unsur balikan atau invers
Jadi, G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan Grup terhadap penjumlahan (G, +).
Assosiatif
SEMIGRUP
∃ Identitas
GRUPOID
Tertutup
Assosiatif
∃ Identitas
MONOID
∃ Invers
Assosiatif
∃ Identitas
∃ Invers
GRUP
Gambar 3.1.
Bagan dari suatu Grup
40
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Bila suatu Grup memenuhi sifat komutatif, dimana a * b = b * a, maka
Grup tersebut dinamakan Grup Komutatif atau Grup Abelian. Adapun
definisinya adalah sebagai berikut :
Definisi 3.3 :
Suatu grupoid (G,*) dikatakan Grup Komutatif (Grup Abelian), jika
memenuhi syarat-syarat :
1. Tertutup
Misalkan a dan b adalah anggota G,
maka a dan b tertutup bila a * b ∈G
2. Assosiatif
Misalkan a,b,c ∈ G
maka (a * b) * c = a * (b * c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan a ∈ G
maka a * e = e * a = a
4. Adanya unsur balikan atau invers
Misalkan a ∈ G
maka a * a-1 = a-1 * a = e
5. Komutatif
Misalkan a,b ∈ G
maka a * b = b * a
Contoh 3.4 :
Dari contoh 3.1, tunjukan bahwa G = {-1, 1} adalah suatu Grup Komutatif
/ Grup Abelian terhadap perkalian (G, .).
Penyelesaian :
Dari contoh 3.1, telah ditunjukan bahwa G = {-1, 1} adalah suatu Grup
terhadap perkalian (G, .).
41
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut.
Ambil sebarang nilai dari G :
misalkan -1 dan 1 ∈ G (pada tabel 4.1.)
-1 . 1 = -1
1 . (-1) = -1
sehingga -1 . 1 = 1 . (-1) = -1
Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut
adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap perkalian (G, .).
Contoh 3.5 :
Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup
Komutatif / Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
Dari contoh 3.3, telah ditunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah
suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +).
Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut.
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 dan 5 ∈ G (pada tabel 4.3.)
1+5 =0
5+1=0
sehingga 1 + 5 = 5 + 1 = 0
Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut
adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +).
Ada beberapa sifat dari suatu Grup, yang akan dijelaskan dalam
teorema berikut ini :
42
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Teorema 3.1 :
Misalkan (G, .) adalah suatu Grup, maka :
a. Jika a ∈ G, maka (a-1)-1 = a
b. Jika a, b ∈ G, maka (ab)-1 = b-1 a-1
Bukti :
a. Dari sifat unsur satuan atau identitas, diketahui a-1 . a = e = a . a-1,
maka dapat dikatakan bahwa a unsur balikan dari a-1.
Dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (a-1)-1 = a.
b. (ab) (b-1a-1) = ((ab) b-1) a-1 = (a (bb-1)) a-1 = (ae) a-1 = aa-1 = e
Dengan cara yang sama didapat :
(b-1a-1) (ab) = b-1 (a-1(ab)) = b-1 ((a-1a) b) = b-1 (eb) = b-1b = e
Sehingga dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (ab)-1 = b-1a-1
Dalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut dapat ditulis sebagai
berikut :
Teorema 3.2 :
Misalkan (G, +) adalah suatu Grup, maka :
a. Jika a ∈ G, maka -(-a) = a
b. Jika a, b ∈ G, maka -(a + b) = (-b) + (-a)
Teorema 3.3 : (Hukum Penghapusan)
Misalkan (G, .) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G, maka :
a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri)
b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan)
Bukti :
a. Misalkan xa = xb
maka :
x-1 (xa) = x-1 (xb)
(x-1x) a = (x-1x) b
43
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
ea = eb
sehingga :
a = b (penghapusan kiri)
b. Misalkan ax = bx
maka :
(ax) x-1 = (bx) x-1
a (x-1x) = b (x-1x)
ae = be
sehingga :
a = b (penghapusan kanan)
Dalam operasi penjumlahan (+), teorema 4.3, dapat ditulis sebagai
berikut :
Teorema 3.4 : (Hukum Penghapusan)
Misalkan (G, +) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G, maka :
1. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)
2. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)
3.2. Subgrup
Pada sub pokok bahasan ini akan diperkenalkan Subgrup yang
merupakan bagian dari Grup. Secara harfiah Subgrup dapat diartikan
sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari Grup. Adapun
definisinya adalah sebagai berikut :
44
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Definisi 3.5 :
Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan H ⊆ G. (H,*) dikatakan Subgrup
dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi yang ada
dalam (G,*).
Dari definisi tersebut dapat diartikan bahwa untuk membuktikan
bahwa (H,*) adalah Subgrup dari Grup (G,*), harus melalui langkahlangkah sebagai berikut :
1. Harus ditunjukan bahwa H ⊆ G
2. Harus ditunjukan bahwa (H,*) merupakan suatu Grup
Contoh 3.6 :
Dari contoh 3.1, tunjukan bahwa H = {1} adalah merupakan Subgrup dari
G = {-1, 1} terhadap perkalian (G, .).
Penyelesaian :
H = {1} merupakan himpunan bagian dari G = {-1, 1}, sehingga H ⊆ G.
Dari tabel 3.1. akan ditunjukan H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu
Grup :
a. Tertutup
misalkan 1 ∈ H dan 1 . 1 = 1
karena hasilnya 1 ∈ H, maka tertutup terhadap H
b. Assosiatif
misalkan a = 1, b = 1 dan c = 1 ∈ H
(a . b) . c = (1 . 1) . 1 = 1 . 1 = 1
a . (b . c) = 1 . (1. 1) = 1 . 1 = 1
Sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1, maka H assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian)
Ambil sebarang nilai dari G
•
misalkan 1 ∈ G
45
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
1.e= e.1= 1
maka G ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 ∈ G, pilih 1 ∈ G,
sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (1)-1 = 1
maka G ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, .)
merupakan Subgrup dari (G, .).
Contoh 3.7 :
Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan
Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H ⊆ G.
Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat
suatu Grup :
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 0, 2, 4 ∈ H
0+0=0
0+2=2
0+4=4
2+2=4
2+4=0
4+4=2
karena hasilnya 0, 2, 4 ∈ H,
maka tertutup terhadap H
46
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 ∈ H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka H assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)
Ambil sebarang nilai dari G
•
misalkan 0 ∈ G
0+e= e+0= 0
•
misalkan 2 ∈ G
2+e= e+2= 2
•
misalkan 4 ∈ G
4+e= e+4= 4
maka G ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 ∈ G, pilih 0 ∈ G,
sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 ∈ G, pilih 4 ∈ G,
sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 ∈ G, pilih 2 ∈ G,
sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2
maka G ada unsur balikan atau invers
e. Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 4 ∈ H
4+e= 4+0=4
47
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
e+4=0+4=4
Sehingga :
4+e=e+4=4
maka H ada unsur satuan atau identitas
f. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 ∈ H
4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e
(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e
Sehingga :
4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e
maka H ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +)
merupakan Subgrup dari (G, +).
Contoh 3.8 :
Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan
Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H ⊆ G.
Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 2, 3 ∈ H
Dari tabel 4.3. didapat : 2 + 3 = 5
5 ∈G tetapi 5 ∉H, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)
Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
48
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 3.9 :
G = {-1, 1} adalah Subgrup dari (Z, .), tetapi bukan merupakan Subgrup
dari (Z, +) karena operasi di Z dan di G = {-1, 1} tidak sama.
3.3. Orde Suatu Grup
Misalkan G adalah suatu Grup dan a ∈ G, a merupakan unsur atau
anggota atau elemen dari Grup. Unsur dari grup ini dapat membentuk
atau membangun suatu Subgrup, jumlah dari unsur suatu Grup atau
Subgrup tersebut disebut orde.
Definisi 3.6 :
Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup (G,*)
disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan |G|. (G,*) disebut
Grup hingga bila |G| terhingga (finite) dan disebut Grup tak hingga bila
|G| tak hingga.
Definisi 3.7 :
Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat
positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) dan
na = e (e = 0, untuk penjumlahan).
Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut
tak hingga.
Contoh 3.10 :
Orde dari Grup (Z, +) dan (Z, .) adalah tak hingga.
49
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
Contoh 3.11 :
Orde dari Grup G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah 6 dan orde dari Subgrup
H = {0, 2, 4} adalah 3.
Contoh 3.12 :
Tentukan Subgrup dari Grup (Z4,+) dan tentukan orde dari masing-masing
Subgrup.
Penyelesaian :
Grup Z4 = {0, 1, 2, 3}, orde dari Grup |Z4| = 4.
Subgrup dari unsur-unsur Z4 adalah :
Misal n = 0, 1, 2, 3 dan Ha = {na, n ∈ Z4)
a=0
H0 = {0}
sehingga |H0| = 1
a = 1,
H1 = {1, 2, 3, 0}
sehingga |H1| = 4
a = 2,
H2 = {2, 0}
sehingga |H2| = 2
a = 3,
H3 = {3, 2, 1, 0}
sehingga |H3| = 4
50
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
3.4. Rangkuman
1. Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat :
a. Tertutup
b. Assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
2. Suatu Grup dikatakan Grup Komutatif atau Grup Abelian jika
memenuhi syarat-syarat dari Grup dan mempunyai sifat Komutatif.
3. (H,*) dikatakan Subgrup dari Grup (G,*), bila memenuhi langkahlangkah sebagai berikut :
a. Harus ditunjukan bahwa H ⊆ G
b. Harus ditunjukan bahwa (H,*) merupakan suatu Grup
Dengan kata lain, (G,*) adalah suatu Grup dan H ⊆ G. (H,*) dikatakan
Subgrup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi
yang ada dalam (G,*).
4. Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup
(G,*) disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan |G|. (G,*)
disebut Grup hingga bila |G| terhingga (finite) dan disebut Grup tak
hingga bila |G| tak hingga.
5. Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat
positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian)
dan na = e (e = 0, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti
n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.
51
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
3.5. Soal-soal Latihan
1. Misalkan G = {x ∈ Z+} yang didefinisikan operasi biner pada G dengan
a * b = a + b + ab, untuk semua a, b ∈ G.
Tunjukan apakah (G,*) merupakan suatu Grup dan periksa apakah
(G,*) juga merupakan Grup Abelian.
2. Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif, didefinisikan operasi biner
a* b=
ab
untuk a, b ∈ Q+. Buktikan apakah operasi biner tersebut
3
merupakan Grup dan periksa apakah juga merupakan Grup Abelian.
3. Misal G adalah Grup matriks 2 x 2, didefinisikan:
  0 1 1 0 0 i  i 0 
G = ±
, ±0 1, ± i 0, ±0 −1
−
1
0

 
 
 


Buktikan G adalah Grup Abelian terhadap operasi biner perkalian (G, .).
4. Misalkan (G, +) adalah suatu Grup
Buktikan :
a. -(-a) = a, ∀ a ∈ G
b. -(a + b) = (-b) + (-a), ∀ a, b ∈ G
5. Misalkan (G, +) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G
Buktikan :
a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)
b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)
52
BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
6. Misalkan G adalah suatu Grup dan H ⊆ G dengan H ≠ 0 dan H
terhingga. Buktikan bahwa H suatu Subgrup dari G jika H tertutup
terhadap operasi yang ada dalam G.
7. Tentukan Subgrup yang dibangun oleh unsur-unsur dari Grup (Z9,+)
dan tentukan orde dari masing-masing Subgrupnya.
♠♣♥♣♠
53