struktur aljabar

SUB GRUP
Definisi.
Suatu sub himpunan tak kosong H dari
Grup G dikatakan subgrup dari G, jika
dengan operasi perkalian dalam G, H
membentuk Grup.
LEMMA 2.4.1
Suatu sub himpunan tak kosong H dari grup
G adalah sub grup dari G jika dan hanya
jika
1.
Jika a, b H maka ab H
2.
Jika a H maka a 1 H
LEMMA 2.4.2
Jika H adalah sub himpunan tak kosong
hingga dari grup G dan H tertutup terhadap
operasi perkalian, maka H adalah Sub Grup
dari G.
CONTOH
1.
2.
Misalkan G grup bilangan bulat dengan
operasi penjumlahan, H sub himpunan
yang terdiri dari kelipatan 5. Tunjukan
bahwa H sub grup dari G.
Misalkan G grup bilangan bulat dengan
operasi penjumlahan. H(n) sub himpunan
dari G yang terdiri kelipatan n. H(n) sub
grup untuk setiap n. Apa yang dapat
dikatakan dengan H(n)H(m)?
CONTOH
3. Misalkan S sembarang himpunan, A(S) himpunan
dari pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada
dari S pada S. Jika x0 S, misalkan
H(x0)={A(S): (x0)=x0}. H(x0) adalah sub grup
dari A(S). Jika x1  x0 S kita definisikan dengan
cara yang sama H(x1), H(x0) H(x1) sub grup
dari A(S)
4. Misalkan G grup, aG. Misalkan (a)={ai:i
bilangan bulat}. (a) adalah sub grup dari G
5. Misalkan G grup bilangan real tak nol terhadap
operasi perkalian, dan misalkan H sub himpunan
dari bilangan rasional positif. Maka H sub grup
dari G
CONTOH
6. Misalkan
 a b  G grup dari matriks bilangan real


2x2,  c d  dengan ad-bc  0 dibawah
operasi
 a b 


  G : ad  0
H


perkalian matriks. Misalkan
 0 d 

maka H adalah sub grup dari G.
7.
Misalkan H Grup seperti pada contoh 6, dan
1 b 
 maka K sub grup dari H.
K  
 0 1
7.
Misalkan G grup dari semua bilangan
kompleks tak nol a+bi (a,b bilangan real
tidak keduanya nol) dibawah operasi
perkalian, dan misalkan H={a+biG:a2 + b2
=1}. Tunjukan bahwa H sub grup dari G
DEFINISI
Misalkan G grup, H sub grup dari G; untuk
a,bG kita katakan a kongruen b mod H,
ditulis ab mod H jika ab-1H
LEMMA
Relasi ab mod H adalah relasi ekivalen
DEFINISI
Jika H adalah sub grup dari G, aG,
maka Ha={ha:hH}. Ha disebut koset
kanan dari H dalam G.
LEMMA
1. Untuk setiap aG, Ha={xG:ax mod H}.
2.
Terdapat
korespondensi
satu-satu
diantara dua koset kanan dari H dalam
G.
3. Jika G adalah Grup Hingga dan H sub
grup dari G, maka (H) adalah membagi
(G).
DEFINISI
1.
2.
Jika H adalah sub grup dari G, maka
index dari H dalam G adalah banyak
koset kanan yang berbeda dari H dalam
G. (notasi iG(H))
Jika G grup dan aG, maka order (atau
periode) dari a adalah bilangan positif
terkecil m sedemikian sehingga am=e.
AKIBAT
1.
2.
3.
4.
5.
Jika G adalah grup hingga dan aG, maka
(a)(G).
Jika G adalah grup hingga dan aG, maka
a(G)=e
Jika n bilangan bulat positif dan a adalah
relatif prim ke n, maka a(n) 1 mod n
Jika p bilangan prima dan a sembarang
bilangan bulat, maka ap a mod p.
Jika G grup hingga yang mempunyai orde
suatu bilangan prima, maka G adalah grup
siklis.
A COUNTING PRINCIPLE
1.
2.
3.
4.
Misalakan H, K subgrup dari G. HK adalah
subgrup dari G jika dan hanya jika HK=KH
Jika H, K adalah subgrup dari grup
komutatif, maka HK adalah subgrup dari
G.
Jika H dan K subgrup hingga dari G
dengan orde (H) dan (K) masingmasing, maka  HK   HH KK
Jika H dan K adalah subgrup dari G dan
(H)>  G  , (K)>  G  , maka H  K  e
SUBGRUP NORMAL DAN GRUP
HASIL BAGI
DEFINISI
Subgrup N dari G dikatakan subgrup normal
dari G jika untuk setiap gG dan nN,
gng-1N
LEMMA
1.
2.
3.
N adalah sub grup normal dari G jika dan
hanya jika gNg-1=N untuk setiap gG.
Subgrup N dari G adalah subgrup normal
dari G jika dan hanya jika setiap koset kiri
dari N dalam G adalah koset kanan dari N
dalam G.
Suatu subgrup N dari G adalah subgrup
normal dari G jika dan hanya jika perkalian
dari dua koset kanan dari N dalam G adalah
juga koset kanan dari N dalam G
TEOREMA
Jika G adalah grup, N subgrup normal dari G,
Maka G/N adalah juga grup. Grup seperti ini
disebut grup hasil bagi atau grup faktor
LEMMA
Jika G adalah grup hingga dan N adalah
subgrup
Normal
dari
G,
maka
(G/N)=(G)/(N).