Buktikan bahwa Z8 adalah grup siklik. Kemudian tentukan sub grup sikliknya!
Penyelesaian :
Diketahui : Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Ditanya : - apakah Z8 grup siklik?
- tentukan subgrup siklik dari Z8
Jawab :
Bukti
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
<0> = {n (0) | n
Z}
= {…, (-1).0, 0.0, 1.0,…}
= {0}
<1> = {n (1) | n
Z}
= {…, (-8).1, (-7).1, (-6).1, (-5).1, (-4).1, (-3).1, (-2).1, (-1).1, 0.1, 1.1, 2.1,
3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1, …}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}
<2> = {n (2) | n
Z}
= {…, (-4).2, (-3).2, (-2).2, (-1).2, 0.2, 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …}
= {2, 4, 6, 0}
<3> = {n (3) | n
Z}
= {…, (-8).3, (-7).3, (-6).3, (-5).3, (-4).3, (-3).3, (-2).3, (-1).3, 0.3,1.3, 2.3,
3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3, …}
5
= {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}
<4> = {n (4) | n
Z}
= {…, (-2).4, (-1).4, 0.4, 1.4, 2.4, …}
= {4, 0}
<5> = {n (5) | n
Z}
= {…, (-8).5, (-7).5, (-6).5, (-5).5, (-4).5, (-3).5, (-2).5, (-1).5, 0.5,1.5, 2.5,
3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, …}
= {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}
<6> = {n (6) | n
Z}
= {…, (-4).6, (-3).6, (-2).6, (-1).6, 0.6, 1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …}
= {6, 4, 2, 0}
<7> = {n (7) | n
Z}
= {…, (-8).7, (-7).7, (-6).7, (-5).7, (-4).7, (-3).7, (-2).7, (-1).7, 0.7,1.7, 2.7,
3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7, …}
= {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}
Karena terdapat <a> = G yaitu 1, 3, 5 dan 7 maka Z8 adalah Grup Siklik.
Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu
<2> = {2, 4, 6, 0}
<4> = {4, 0}
<6> = {6, 4, 2, 0}
