OPERASI BINER - WordPress.com

BAB II
TEORI GRUP
Pada bab II ini kita akan mulai mempelajari suatu struktur aljabar dengan suatu operasi
biner yang disebut grup. Sebelum melihat definisi struktur aljabar ini, kita terlebih dahulu
mempelajari operasi biner suatu himpunan.
2.1 STANDAR KOMPETENSI
Setelah mempelajari bab ini diharapkan kita mengenal Operasi biner himpunan, aksiomaaksioma Grup dan Grup Abelian, Sifat-sifat dalam suatu Grup, Subgrup, SubGrup Siklik, dan
grup siklik.
2.2 KOMPETENSI DASAR
Setelah mempelajari bab ini diharapkan kita dapat:
a
Menunjukan suatu operasi biner pada sebarang himpunan
b Menentukan apakah suatu himpunan merupakan Grup, juga apakah merupakan Grup
Abelian.
c
Menggunakan sifat-sifat yang dalam suatu grup
d Menentukan apakah himpunan bagian suatu grup juga merupakan grup yang disebut
Subgrup
e
Menyusun suatu Subgrup Siklik dan Grup Siklik.
2.3 OPERASI BINER
DEFINISI 2.1 (Operasi Biner)
Misalkan H sembarang himpunan tak kosong ( H  Ø ). Operasi Biner (Binary Operation)
”  ” pada H adalah suatu aturan perkawanan yang mengawankan setiap pasangan berurutan
elemen H  H dengan tepat satu elemen H.
Perhatikan bahwa pasangan H  H  {( h1 , h2 ) h1 , h2  H } urutannya diperhatikan,
(h1 , h2 )  (h2 , h1 )
: H  H
 H
df
(h1 , h2 )  h1  h2  H
(h1 , h2 )
yaitu ( h1 , h2  H )( !h  H ) h  h1  h2  H
CONTOH 1
 {1, 2, 3, ...... } , maka
Himpunan bilangan asli
”+” pada

 {(n1 , n2 ) n1 , n2  } Operasi biner
adalah
 :


df
(n1 , n2 )  n1  n2
(n1 , n2 )
pasangan
n1 , n2 
dikawankan oleh pemetaan ”+” ke
(n1 , n2 )
 n1  n2  . Jika 3, 4 
Jadi operasi biner ”+” pada
dapat didefinisikan, 1,5 
 3 4  7
n1  n2 
. Untuk setiap
.
dapat didefinisikan (Well Defined) tetapi operasi biner ”-” tidak
 1  5  4 
□
CONTOH 2
Himpunan
 {1, 2,3, ...... } dengan operasi biner min( a, b) , a, b 

min :
dapat didefinisikan

( a, b)
min(a, b)
Jadi pasangan (a, b) dikawankan oleh pemetaan ”min” ke min(a, b) 
min(1, 10)  1
dan min(15,9)  15 
, misalkan
□
2.4 AKSIOMA-AKSIOMA GRUP
DEFINISI 2.2 (Grup)
Himpunan G  Ø yang dilengkapi dengan operasi biner  , disebut Grup (Group) jika G
memenuhi aksioma-aksioma :
(i). Tertutup (g1, g2  G)(! g  G)
g  g1  g2 ,
10
(ii). Asosiatif ( g1 , g 2 , g 3  G) ( g1  g 2 )  g 3  g1  ( g 2  g 3 ) ,
(iii). Ada elemen netral/identitas ( e  G )( g  G ) g  e  e  g  g ,
(iv). Setiap elemen dalam G mempunyai invers.
( g  G )( h  G ) g  h  h  g  e
dapat ditulis h  g 1 .
Selain keempat aksioma di atas jika G masih masih memenuhi aksioma
(v). Komutatif ( g1 , g 2  G) g1  g 2  g 2  g1
maka G disebut Grup Komutatif atau Grup Abelian. Suatu grup G dengan operasi biner 
ditulis G,  .
CONTOH 3

Himpunan bilangan bulat
merupakan grup terhadap operasi penjumlahan  ,  .
(i). Tertutup, penjumlahan setiap dua elemen dalam
(ii). Asosiatif, sifat asosiatif berlaku dalam
(iii).Ada elemen netral dalam
(iv). Setiap elemen dalam
Karena dalam
berada dalam
.
.
elemen netralnya bilangan 0.
mempunyai invers.
berlaku juga aksioma (v). komutatif maka dikatakan
merupakan Grup
Abelian.
Perlu diingat bahwa
terhadap operasi pergandaan bukan merupakan grup karena
aksioma (iii) tidak dapat dipenuhi, elemen 2 

Himpunan bilangan real
mempunyai invers
merupakan grup terhadap operasi penjumlahan dan merupakan
grup terhadap pergandaan jika elemen 0 dikeluarkan dari

Himpunan bilangan kompleks

Jika
*
1
 .
2
.
merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.
adalah himpunan semua bilangan rasional yang tidak sama dengan nol maka
*
merupakan grup terhadap operasi pergandaan.

Himpunan bilangan asli
dalam
terhadap operasi penjumlahan bukan merupakan grup karena
tidak ada elemen netral. □
11
CONTOH 4

Misalkan operasi biner * didefinisikan pada
dengan definisi a  b  ab 2 maka

dengan operasi * merupakan grup.
(i).
Tertutup, a  b  ab 2 
(ii). Asosiatif, (a * b) * c 

untuk setiap a, b 

ab
abc
bc abc
*c 
dan a *(b * c)  a * 
2
4
2
4
(iii). Ada elemen identitas, elemen 2 merupakan elemen identitas dalam
2a 
(iv). Setiap elemen
a
2a
a2
a
 a  2 untuk setiap a 
2
2



mempunyai invers, elemen a 1  4 a merupakan invers dalam
4
a 4
4 a a4

 2  a  * a untuk setiap a 
a 2
2 a


.
□
CONTOH 5
Misalkan didefinisikan
 a b 

M 22  
 a, b, c, d  
 c d 

himpunan matriks 2  2 dengan setiap elemennya bilangan real maka  M 22 ,  . Ditunjukkan
sebagai berikut:
(i).
Tertutup, ( M1 , M 2  M 22 )( M  M 22 ) M  M1  M 2 .
Ambil sebarang M1 , M 2  M 22
a b  a
M1  M 2   1 1    2
 c1 d1   c2
b2   a1  a2

d 2   c1  c2
untuk setiap a1 , a2 , b1, b2 , c1, c2 , d1, d2 
b1  b2 
M
d1  d 2 
maka
a1  a2 , b1  b2 , c1  c2 , d1  d2 
Jadi untuk setiap M1 , M 2  M 22 , ada M  M1  M 2  M 22 atau tertutup terhadap
operasi penjumlahan
(ii). Asosiatif, ( M 1 , M 2 , M 3  M 22 ) (M 1  M 2 )  M 3  M 1  (M 2  M 3 )
12
 a
( M 1  M 2 )  M 3   1
 c1
 a  a 2
  1
 c1  c 2
b1   a 2

d1   c 2
b1  b2   a3
  
d1  d 2   c3
b2   a3
  
d 2   c3
b3   (a1  a 2 )  a3
 
d 3   (c1  c2 )  c3
 a  (a 2  a3 ) b1  (b2  b3 )   a1
  
  1
c

(
c

c
)
d

(
d

d
)
1
2
3
1
2
3

  c1
a
  1
 c1
b1   a 2
  
d1   c 2
b2   a3

d 2   c3
b3 

d 3 
(b1  b2 )  b3 

(d1  d 2 )  d 3 
b1   a 2  a3
  
d1   c 2  c3
b2  b3 

d 2  d 3 
b3 
  M 1  ( M 2  M 3 )
d 3 
Jadi untuk setiap M 1 , M 2 , M 3  M 22 ) ( M 1  M 2 )  M 3  M 1  ( M 2  M 3 ) atau berlaku
asosiatif .
(iii). Ada elemen netral, ( e  M 22 )( M  M 22 ) M  e  e  M  M .
Misal elemen netral itu e    M 22 ,  M    M , untuk sebarang M  M 22
 a b   1  2   a b 
  
  
 , a, b, c, d 
M    
 c d   3  4   c d 
,  1 ,  2 ,  3 ,  4 
setiap elemen matriks M adalah bilangan real yang mana mempunyai invers sehingga
kita dapat menulis bentuk berikut
  a  b   a b  1  2    a  b   a b 
  

  
  
  

  c  d   c d   3  4    c  d   c d 
 0 0  1  2   0 0
  

  

 0 0   3  4   0 0 
  2   0 0
  
  e merupakan elemen netral dalam M 22 .
elemen    1
 3  4   0 0 
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan untuk e    M 22 ,    M  M .
 0 0
  M 22 )( M  M 22 ) M  e  e  M  M .
Jadi ( e  
 0 0
(iv). Setiap elemen M 22 mempunyai invers,
(  M 22 )( M 1  M 22 ) M  M 1  M 1  M  e  0
Misalkan invernya diwakili oleh M '  M 22 sedemikian hingga
13