struktur aljabar: grup - Rippi Maya

STRUKTUR ALJABAR:
GRUP
BAHAN AJAR
Oleh:
Rippi Maya
Program Studi Pendidikan Matematika
Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI
Bandung
2016
1
A.
Pendahuluan
Ilustrasi 1.1:
Perhatikan Gambar 1.1 berikut ini:
D
C
C
D
A
B
D
A
A
B
B
A
D
C
C
B
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 1.1
Gambar (b) diperoleh dari gambar (a) yang di ....
Bagaimanakah cara untuk memperoleh gambar (c) dan (d) dari gambar (a)?
Operasi apakah yang digunakan agar dari gambar (a) menjadi gambar (d)?
Rippi Maya: Draft Teori Grup
2
Perhatikan Gambar 1.2 di bawah ini:
D
C
B
C
A
B
A
D
(i)
(ii)
Gambar 1.2
Bila operasi yang tersedia hanya operasi rotasi dan refleksi (datar dan tegak), bagaimana
cara mendapatkan gambar (ii) dari gambar (i) tersebut di atas?
Ilustrasi 1.2:
Misalkan A himpunan tak kosong, dan A  a, b, c, d , e, f  .
ab  c
a b  d
ab  e
a :b  f
Simbol , , , dan : merupakan simbol operasi pada suatu himpunan. Selain empat
simbol dasar tersebut, ada simbol-simbol operasi lain, seperti *, ,  , dan lain
sebagainya, yang dapat didefinisikan sesuai dengan kebutuhan. Sebagai contoh, misalnya
A  a, b, c . Operasi * pada himpunan A didefinisikan dengan cara seperti tertulis dalam
Tabel 1, 2 dan 3 berikut ini:
Tabel 1.1
Tabel 1.2
Tabel 1.3
*
a
b
c
*
a
b
c
*
a
b
c
a
a
b
c
a
a
a
a
a
b
c
a
b
b
c
a
b
a
a
a
b
c
b
a
c
c
a
b
c
a
a
a
c
a
c
b
Rippi Maya: Draft Teori Grup
Tabel yang dapat digunakan untuk mendefinisikan operasi-operasi tersebut disebut sebagai
tabel Cayley.
Perhatikan kembali operasi tersebut. Operasi tersebut menghubungkan dua elemen dari
suatu himpunan, ke elemen lain dalam himpunan tersebut. Operasi yang demikian ini
disebut sebagai operasi biner.
Definisi 1.1:
Operasi Biner
Misalkan G suatu himpunan tak kosong. Operasi biner * pada himpunan G adalah suatu
fungsi (pemetaan) yang mengkaitkan setiap pasangan terurut dari elemen di G ke elemen
di G.
Dengan kata lain, operasi biner * pada himpunan G adalah suatu fungsi *: G  G  G dari
produk Cartesius G  G   a, b  a, b  G , ke himpunan G.
Problem 1.1:
Perhatikan beberapa tabel berikut ini.
Tabel 1.4
Tabel 1.5
Tabel 1.6
*
a
b
*
a
b
*
a
b
a
a
b
a
e
a
a
a
a
c
b
a
b
b
a
a
b
Manakah di antara tabel-tabel tersebut yang merupakan operasi biner? Berikan penjelasan!
Problem 1.2:
Berdasarkan Definisi 1 tersebut di atas, dapatkah kamu memberikan contoh beberapa
operasi biner pada suatu himpunan?
Problem 1.3:
Selidiki apakah operasi penjumlahan, pengurangan & perkalian pada himpunan bilangan
bulat
merupakan operasi biner. Berikan penjelasan!
Rippi Maya: Draft Teori Grup
4
Problem 1.4:
Operasi pembagian pada himpunan bilangan bulat
pada himpunan bilangan bulat
bukan merupakan operasi biner
. Selidiki kebenaran pernyataan tersebut dan berikan
penjelasan.
Ilustrasi 1.3:
Perhatikan persamaan linier berikut ini:
3x  4  2 x  3 .
Untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut, tahapan yang dilalui adalah sebagai
berikut:
3x  4  2 x  3
2 x   4 x  4   2 x   2 x  3
(2 x adalah invers penjumlahan dari 2 x )
 2 x  4 x   4   2 x  2 x   3
(assosiatif)
2x  4  0  3
(0 adalah elemen identitas pada penjumlahan)
2x  4  3
2x  4  4  3  4
(4 adalah invers penjumlahan dari 4)
2 x  1
1
1

  2  x   1
2
2

1
1 x  
2
1
x
2
(
1
adalah invers perkalian dari 2)
2
(1 adalah elemen identitas pada operasi perkalian)
Perhatikan proses penyelesaian persamaan linier tersebut. Ada tiga sifat penting yang
digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut, yaitu invers, assosiatif, dan elemen
identitas. Ketiga sifat tersebut merupakan syarat perlu dari suatu himpunan, yang
bersama-sama dengan operasi biner * membentuk sebuah grup.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
5
Grup
Sebuah grup adalah sebuah pasangan terurut (G,*), dengan G adalah sebuah himpunan tak
kosong, dan * adalah sebuah operasi biner pada G yang memenuhi sifat-sifat berikut:
1.
Asosiatif. Operasi tersebut bersifat asosiatif, yaitu
 a *b * c
 a *  b * c  , untuk
semua a, b, c di G.
2.
Identitas.
Terdapat
suatu
elemen
e
(disebut
identitas)
G,
di
sehingga
a * e  e * a  a , untuk semua a di G.
3.
Invers. Untuk setiap elemen a di G, terdapat suatu elemen b di G (disebut invers)
sehingga a * b  b * a  e .
Problem 1.5:
Berdasarkan
 a *b * c
definisi
tersebut,
bila
G
grup,
dan
a,
b,
c
di
G,
maka
 a *  b * c   a * b * c . Bagaimana pendapatmu tentang pernyataan tersebut?
Berikan penjelasan!
Problem 1.6:
Bila operasi biner * pada:
(a) himpunan bilangan bulat
(b) himpunan bilangan riil
didefinisikan oleh a * b  b  a , dan
didefinisikan oleh a * b  a  b  ab ,
selidiki apakah operasi biner * tersebut bersifat asosiatif. Jelaskan jawabmu!
Problem 1.7:
Selidiki apakah himpunan bilangan bulat
, rasional
, dan riil
beserta operasi
perkalian membentuk grup. Berikan penjelasan! Apakah mungkin himpunan yang
diberikan dengan operasi ini membentuk grup jika beberapa elemennya dibuang? Jelaskan
jawabmu!
Problem 1.8:
Himpunan bilangan bulat tak nol dan operasi perkalian tidak membentuk sebuah grup.
Benarkah pernyataan ini? Jelaskan jawabmu!
Rippi Maya: Draft Teori Grup
6
Problem 1.9:
Berikut ini adalah beberapa operasi biner, yaitu: +, -, dan • di
. Selidiki apakah operasi-
operasi tersebut asosiatif?
Problem 1.10:
Selidiki pula apakah operasi-operasi pada Problem 9 tersebut bersifat komutatif. Bila
tidak, berikan contoh kontranya (counter example) untuk menunjukkannya.
Problem 1.11:
Misalkan A adalah himpunan sebarang (cukup yang sederhana saja), dan * adalah operasi
pada himpunan A. Buatlah beberapa tabel Cayley dari (A,*). Definisikan operasi * pada
himpunan A tersebut sedemikian sehingga
a) * bukan operasi biner;
b) (A,*) tidak mempunyai identitas;
c) Ada unsur di A yang tidak mempunyai invers.
Problem 1.12:
Misalkan A  a, b , B  a, b, c dan C  a, b, c, d  dan * adalah operasi pada himpunan
A, B dan C.
(a) Buatlah tabel Cayley dari (A,*), (B,*), dan (C,*).
(b) Kapan suatu tabel Cayley merupakan suatu grup? Carilah semua kemungkinan agar
terbentuk tabel Cayley yang merupakan grup.
(c) Apakah ciri-ciri tabel Cayley yang merupakan grup? Jelaskan jawab Anda!
Problem 1.13:
a b 
Selidiki apakah matriks ukuran 2x2 sebarang, seperti 
 , dan operasi penjumlahan
c d 
pada matriks membentuk sebuah grup. Jelaskan jawabmu!
Rippi Maya: Draft Teori Grup
7
(a) Jika a dan b bilangan bulat dan n bilangan bulat positif, bilangan a disebut modulo n
terhadap b jika n habis membagi a – b, dan ditulis a  b mod n . Sebagai contoh,
10  1 mod 3, karena 10  1  3q , dan 14  2 mod 4, karena 14  2  4q , dengan q
adalah kuosien (hasil bagi).
(b) Pada modulo, dikenal juga operasi penjumlahan dan perkalian mod n, yang
dinyatakan dengan  a  b  mod n dan ab mod n . Ditulis,
 a  b  mod n   a mod n   b mod n  mod n , dan
ab mod n    a mod n  b mod n   mod n.
Sebagai contoh,
12  15
 12 mod 10  15 mod 10   mod 10
=   2 mod 10    5 mod 10   mod 10
mod 10 =
= 7 mod 10
= 7.
(13 27) mod10   13mod10  27 mod10   mod10
  3 7  mod10
 21mod10
 1.
Untuk selanjutnya, 27 mod 10 = 7 mod 10.
(c)
ab mod n adalah bilangan bulat r dengan sifat a b  nq  r , dengan 0  r  n , dan
a b adalah perkalian biasa. Bilangan bulat a mempunyai invers perkalian modulo n
jika dan hanya jika a dan n prima relatif. Pada contoh perkalian modulo 10 di atas, 7
adalah invers perkalian modulo 10 dari 3, karena 10 dan 3 adalah prima relatif.
Problem 1.14:
Himpunan
Z n  0,1, 2,..., n  1 untuk
n  1 membentuk grup di bawah operasi
penjumlahan modulo n. Selidiki kebenaran pernyataan tersebut, dan sebutkan elemen
identitas dan inversnya.
Problem 1.15:
Selidiki apakah  Z n \ 0 ,  untuk n  2,3, 4 membentuk grup? Jelaskan jawabmu!
Rippi Maya: Draft Teori Grup
8
Problem 1.16:
Jelaskan mengapa himpunan 1, 2,3 di bawah perkalian modulo 4 bukan grup tetapi
1, 2,3, 4 di bawah perkalian modulo 5 merupakan grup.
Problem 1.17:
Buatlah tabel Cayley untuk
(a) Apakah
6
terhadap operasi perkalian.
6
grup terhadap perkalian?
(b) Elemen manakah dari
6
yang mempunyai invers dan manakah yang tidak?
Problem 1.18:
Kerjakan hal yang sama seperti pada Problem 21, tetapi untuk
7
dan
10
.
Problem 1.19:
Apakah yang dapat Anda simpulkan dari ketiga himpunan tersebut? Kapankah suatu
himpunan
n
merupakan grup terhadap operasi perkalian?
Definisi 1.2:
Grup Abelian
Grup (G,*) disebut abelian (komutatif) jika a * b  b * a untuk semua a, b di G.
Problem 1.20:
Jika G grup yang mempunyai tiga elemen, maka G pasti abelian. Selidiki kebenaran
pernyataan tersebut.
Problem 1.21:
Misalkan G sebuah grup dengan sifat-sifat sebagai berikut: Jika a, b, dan c adalah elemenelemen dari G, dan ab  ca, maka b  c. Buktikan bahwa G adalah Abelian.
Petunjuk:
(a) Untuk membuktikan, mulai dengan ab  ca.
(b) Gunakan informasi yang diberikan dalam soal.
(c) Tuliskan kesimpulan Anda.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
9
Problem 1.22:
Buktikan bahwa sebuah grup G adalah Abelian jika dan jika  ab   a 1b1 , untuk semua
1
a dan b di G.
Petunjuk:
(a) Mulailah pembuktian dengan menggunakan definisi grup Abelian, yaitu ab  ba.
(b) Gunakan sifat-sifat aljabar dari invers komposisi dua elemen, yaitu  ab   b1a 1.
1
(c) Tuliskan kesimpulannya.
Definisi 1.3:
Prima Relatif
Suatu bilangan bulat positif a dikatakan prima relatif dengan n, bila faktor persekutuan
terbesarnya dengan n adalah 1. Dengan kata lain, FPB (a,n) = 1.
Problem 1.23:
Misalkan A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 10. Sebutkan semua
anggota A yang prima relatif dengan 10, tuliskan sebagai himpunan B.
Problem 1.24:
Terhadap perkalian modulo 10, selidiki apakah B membentuk grup.
Problem 1.25:
Misalkan U (n) didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan bulat positif yang lebih
kecil dari n dan prima relatif ke n, untuk setiap n > 1, n 
U (n), bila
1. n bilangan prima
2. n  p  q, p dan q saling prima
3. n  p 2 , p prima.
Petunjuk: ambillah n yang khas.
Rippi Maya: Draft Teori Grup

. Berikan contoh himpunan
10
Buatlah tabel Cayley untuk U(10) dengan operasi perkalian modulo 10.
(a) Carilah elemen identitasnya dan selidiki apakah elemen identitasnya tunggal?
(b) Sebutkan unsur-unsur yang saling invers dari elemen-elemen pada U(10), bila ada.
Apakah inversnya tunggal?
(c) Selidiki apakah U(10) merupakan grup di bawah operasi perkalian modulo 10?
Bagaimana pula dengan U(12), U(15)?
(d) Kesimpulan apakah yang dapat kamu ambil dari beberapa contoh U (n) tersebut?
B.
Sifat-sifat Elementer dari Grup
Teorema 1.1:
Ketunggalan Identitas
Dalam sebuah grup G, hanya ada satu elemen identitas.
Problem 1.27:
Buktikan Teorema 1.1 tersebut.
Petunjuk: untuk membuktikan ketunggalan, biasanya dimulai dengan mengambil
pengandaian yang terbalik.
(a) Andaikan ada 2 elemen identitas, yaitu e dan e '.
(b) Bila masing-masing elemen tersebut merupakan unsur identitas, sifat apakah yang
akan dipenuhi oleh e dan e '.
(c) Tuliskan suatu kesimpulan berdasarkan jawab pertanyaan (b)!
Teorema 1.2:
Pembatalan
Dalam sebuah grup G, hukum pembatalan kanan dan kiri berlaku, yaitu ba  ca
mengakibatkan b  c , dan ab  ac mengakibatkan b  c .
Rippi Maya: Draft Teori Grup
11
Buktikan Teorema 1.2 tersebut berdasarkan petunjuk berikut ini.
Petunjuk:
(a) Untuk membuktikan, mulailah dengan ba  ca.
(b) Karena grup, maka a mempunyai invers.
(c) Kalikan persamaan di (a) dengan invers dari a. Perhatikan arah perkalian.
(d) Hitunglah hasilnya.
(e) Lakukan dengan cara yang sama untuk persamaan ab  ac.
Teorema 1.3:
Ketunggalan Invers
Untuk setiap elemen a dalam sebuah grup G, ada elemen tunggal b dalam G, sehingga
ab  ba  e.
Problem 1.29:
Buktikan Teorema 1.3 tersebut.
(Petunjuk: lakukan prosedur seperti pada pembuktian Teorema 1.1 di atas, yaitu mulai
dengan asumsi terbalik.
(a) Andaikan ada dua invers, yaitu b1 dan b2.
(b) Bila keduanya merupakan invers dari a, sifat apakah yang diperoleh dari perkalian
kedua invers tersebut masing-masing dengan a?
(c) Gunakan Teorema 1.2 untuk menyimpulkan jawab pertanyaan (b).
Rippi Maya: Draft Teori Grup
12
Adalah lazim apabila dalam membicarakan sebuah kelompok (grup) secara umum, kita
ingin mengetahui ada berapa banyak anggota grup tersebut. Sebagaimana ketika kita
bertemu seorang anak yang tidak dikenal, biasanya pertanyaan yang diajukan adalah
sekolah di mana, kelas berapa, dan berapa banyak temannya dalam satu kelas? Dalam
konteks grup dalam aljabar, banyaknya anggota (elemen) dari suatu grup juga merupakan
hal yang menarik untuk diketahui. Berikut ini akan diperkenalkan beberapa istilah yang
berkaitan dengan banyaknya elemen dari suatu grup, dan notasi yang digunakan.
Definisi 2.1: Orde dari sebuah Grup
Orde dari sebuah grup G, dinyatakan dengan G , adalah banyaknya elemen dari sebuah
grup G (hingga atau tak hingga).
Problem 2.1:
Berikan contoh orde dari beberapa grup, seperti grup himpunan bilangan bulat
operasi penjumlahan,
12
terhadap
, U (10) , dan sebagainya.
Definisi 2.2: Orde dari suatu Elemen
Jika G sebuah grup dan g  G , maka orde dari elemen g tersebut adalah bilangan bulat
positif terkecil n sedemikian sehingga g n  e. Notasinya: g  n.
Elemen g dikatakan mempunyai orde takhingga, jika tidak ada bilangan bulat n yang
memenuhi persamaan tersebut.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
13
Problem 2.2:
Bila a adalah elemen dari grup

terhadap operasi penjumlahan, tentukan orde a.
Petunjuk: buatlah barisan nilai ak, k 

, dengan ak adalah operasi penjumlahan
sebanyak k kali.
Problem 2.3:
Hitunglah orde dari grup

10
,   dan elemen-elemennya terhadap penjumlahan modulo
10.
Problem 2.4:
Hitunglah orde U (15) dan elemen-elemennya terhadap perkalian modulo 15.
Petunjuk:
Untuk memudahkan penghitungan, gunakan trik berikut. Misalkan kita akan menghitung
orde elemen 13. Perhatikan bahwa 13  2 modulo 15 , karena 13  2  0 modulo 15,
sehingga 132  (2)2  4 , 133  13 132  (2) 4  8 , 134  13 133  (2) (8)  1. Jadi
orde elemen 13 adalah 4.
Ilustrasi 2.1:
Dalam teori himpunan, kita mengenal apa yang disebut sebagai subset (himpunan bagian).
Begitu pula dalam teori grup, kita akan mengenal juga apa yang disebut sebagai subgrup.
Sebagai ilustrasi untuk memperkenalkan konsep subgrup, perhatikan tabel Cayley dari
grup Abelian

6
,  berikut:
Tabel 2.1
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
Rippi Maya: Draft Teori Grup
14
Dapatkah kalian melihat keistimewaan grup tersebut?
Misalkan G grup Abelian terhadap operasi penjumlahan, dengan G  0, 2, 4,1,3,5 .
Apakah yang dapat kalian katakan tentang grup G dan
6
?
Sekarang perhatikan tabel Cayley untuk grup G,  pada Tabel 2.2 berikut. Dapatkah
kalian melihat keistimewaannya?
Tabel 2.2
+ 0 2 4 1 3 5
0 0 2 4 1 3 5
2 2 4 0 3 5 1
4 4 0 2 5 1 3
1 1 3 5 2 4 0
3 3 5 1 4 0 2
5 5 1 3 0 2 4
Misalkan H dan K adalah himpunan bagian dari grup G tersebut, dengan H  0, 2, 4 dan
K  1,3,5 . Dengan melihat tabel Cayley tersebut, kamu dapat menentukan manakah di
antara H dan K yang mempunyai sifat-sifat seperti grup G. Apakah yang dapat kamu
simpulkan tentang H dan K?
Dari ilustrasi tersebut, kita mendapatkan gambaran kapankah sebuah himpunan bagian
dari sebuah grup merupakan sebuah grup. Berikut ini dijelaskan definisi dari subgrup
tersebut.
Definisi 2.3: Subgrup
Himpunan tak kosong H adalah himpunan bagian dari sebuah grup G. H dikatakan
subgrup dari G jika H merupakan grup terhadap operasi yang sama di G.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
15
Keterangan:
Notasi yang biasa digunakan untuk menyatakan bahwa H merupakan subgrup dari G
adalah: H  G . Bila H subgrup dari G tetapi tidak sama dengan G disebut subgrup
murni (proper subgrup), dan ditulis H  G .
Problem 2.5:
Buktikan bahwa {e} adalah subgrup dari G.
Keterangan:
Subgrup {e} dan G sendiri disebut subgrup trivial dari G. Bila ada subgrup lain dalam
grup G yang bukan {e} atau G, maka subgrup tersebut dikatakan subgrup nontrivial dari
G. Pada Ilustrasi 2.1 tersebut di atas, H merupakan subgrup nontrivial dari G.
Problem 2.6:
Buktikan bahwa
n
terhadap operasi penjumlahan modulo n bukan subgrup dari
terhadap operasi penjumlahan.
Problem 2.7:
7
 0 adalah grup terhadap operasi perkalian. Selidiki apakah
7
 0 tersebut
mempunyai subgrup nontrivial!
Problem 2.8:
Perhatikan himpunan-himpunan P, Q dan R berikut, dengan P  0,5 , Q  0, 2, 4, 6,8
dan R  0,1, 2,3, 4,5,6 . Himpunan-himpunan P, Q dan R tersebut merupakan himpunan
bagian dari grup
10
terhadap operasi penjumlahan. Selidiki manakah dari ketiga
himpunan bagian tersebut yang merupakan subgrup dari
10
!
Problem 2.9:
Misalkan himpunan-himpunan K, L, dan M berikut adalah himpunan bagian dari grup
terhadap operasi penjumlahan, dengan elemen-elemennya adalah: K  4k k 
Rippi Maya: Draft Teori Grup
,
16
L  4k  1 k 

dan M  4k  1 k 
yang merupakan subgrup dari
.
Dari ketiga himpunan tersebut, manakah
?
Problem 2.10:
Misalkan diketahui dua grup A dan B adalah subgrup dari grup G. Buktikan bahwa A  B
juga subgrup dari G jika dan hanya jika A  B atau B  A.
Problem 2.11:
Buktikan bahwa jika S dan T adalah subgrup dari G, maka S  T , juga merupakan
subgrup dari G.
Problem 2.12:
Buktikan bahwa himpunan bilangan bulat ganjil dan nol bukan merupakan subgrup dari
.
Problem 2.13:
Bila H subgrup dari G dan K subgrup dari H, selidiki apakah K juga subgrup dari G!
Problem 2.14:
Buktikan pernyataan-pernyataan berikut:

(a)
(b)

dan

terhadap operasi penjumlahan.
 0 ,  bukan subgrup dari

 0 ,  .
Berdasarkan definisi subgrup yang sudah kita pahami melalui beberapa problem yang
sudah dikerjakan, ada cara lain untuk memeriksa apakah suatu himpunan bagian dari suatu
grup merupakan subgrup dari grup tersebut. Cara memeriksa subgrup ini dikenal sebagai
Tes Tahap ke-1, Tes Tahap ke-2, dan Tes Subgrup Berhingga, sebagaimana dikemukakan
dalam teorema-teorema berikut.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
17
Teorema 2.1: Tes Tahap ke-1 dari Subgrup
Misalkan H adalah himpunan bagian tak kosong dari suatu grup G. H adalah subgrup dari
G jika ab1 dalam H, untuk setiap a dan b di H.
Catatan:
Untuk notasi penjumlahan, H adalah subgrup jika a – b di H untuk setiap a, b di H.
Problem 2.15:
Buktikan Teorema 2.1 tersebut di atas!
Petunjuk:
Gunakan sifat-sifat grup yaitu asosiatif, identitas, invers dan tertutup.
Problem 2.16:
Misalkan G adalah grup dari bilangan-bilangan riil tak nol terhadap operasi perkalian. P
P   x  G x  1
dan Q adalah himpunan bagian dari grup G, dengan
dan
Q  x  G x  1 atau x irasional . Dengan menggunakan Teorema 2.1, selidiki apakah P
dan Q subgrup dari G!
Problem 2.17
Misalkan G grup Abelian terhadap perkalian dengan identitas e. Bila H dan K adalah


himpunan bagian dari G, dengan H   x 2 x  G dan K  x  G x 2  e , buktikan
bahwa H dan K merupakan subgrup dari G.
Teorema 2.2: Tes Tahap ke-dua dari Subgrup
Misalkan H adalah himpunan bagian tak kosong dari suatu grup G. H adalah subgrup dari
G jika ab  H , untuk setiap a, b  H (tertutup terhadap operasi perkalian) dan a 1  H ,
untuk setiap a  H (tertutup terhadap invers-inversnya).
Rippi Maya: Draft Teori Grup
18
Problem 2.18
Buktikan teorema tersebut di atas.
Petunjuk: gunakan Teorema 2.1.
Problem 2.19
Misalkan G adalah grup dari semua matriks ukuran 2x2,
a b 
yaitu 
,
c d 
dengan
ad  bc  0 terhadap operasi penjumlahan. R dan S adalah himpunan bagian dari grup G.
 a b 

 1 b  
Bila R  
  , tunjukkan bahwa R merupakan
  G ad  0 dan S  
 0 d 

 0 1  
subgrup dari G dan S subgrup dari R.
Teorema 2.3: Tes Subgrup Berhingga
Misalkan H adalah himpunan bagian berhingga tak kosong dari suatu grup G, maka H
adalah subgrup dari G jika H tertutup terhadap operasi di G.
Problem 2.20:
Buktikan teorema tersebut!
Petunjuk:
(a) tunjukkan bahwa a 1  H untuk setiap a  H .
(b) Mulai dengan jika a  e, maka pembuktian selesai.
(c) Jika a  e, gunakan sifat H sebagai himpunan berhingga, dengan barisan a, a 2 , a3 ,...
yang berhingga, di mana semua pangkat positif a ada di H, dan tidak semua elemen
ini berbeda.
(d) Andaikan ai  a j , dengan i>j, maka ai  j  e . Tunjukkan bahwa ai  j 1  H .
Teorema 2.4:
a adalah Subgrup
Misalkan G suatu grup, dan a adalah elemen dari G, maka a adalah subgrup dari G.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
19
Catatan:
Bila a adalah elemen dari suatu grup, maka
a  a n n 

. Subgrup
a
disebut
subgrup siklis dari G yang dibangkitkan (generated) oleh a. Bila G  a , maka G
disebut siklis dan a adalah pembangkit (generator) dari G.
Problem 2.21:
Buktikan teorema tersebut!
Petunjuk:
(a) Tunjukkan bahwa a tidak kosong.
(b) Gunakan Teorema 2.1.
Problem 2.22:
Tunjukkan bahwa 3 merupakan subgrup siklis dari
10
terhadap operasi penjumlahan.
Problem 2.23:
Tunjukkan bahwa 3 subgrup siklis dari U(10) terhadap operasi perkalian modulo n.
Problem 2.24:
Tunjukkan bahwa U (14)  3  5 dan selidiki apakah U (14)  11 .
Problem 2.25:
Buktikan bahwa U(20) bukan siklis.
Problem 2.26:
Tunjukkan bahwa U(15) mempunyai enam subgrup siklis.
Definisi 2.4: Pusat dari grup
Pusat, Z(G), dari suatu grup G adalah subset dari elemen-elemen di G yang berhubungan
(commute) dengan setiap elemen dari G.
Notasi: Z  G   a  G ax  xa untuk semua x di G .
Rippi Maya: Draft Teori Grup
20
Problem 2.27:
Tunjukkan bahwa jika G grup Abelian, maka Z(G) = G.
Teorema 2.5: Pusat grup adalah subgrup
Pusat dari suatu grup G adalah subgrup dari G.
Problem 2.28:
Buktikan teorema tersebut!
Petunjuk: gunakan Teorema 2.2 untuk membuktikan Teorema 2.5 tersebut.
Definisi 2.5: Pemusat a di G
Misalkan a adalah elemen yang tetap dari suatu grup G. Pemusat (centralizer) a di G,
dinyatakan dengan C(a), adalah himpunan semua elemen-elemen di G, yang berhubungan
(commute) dengan a. Notasinya: C  a   g  G ga  ag
Problem 2.29:
Misalkan G suatu grup, dan a  G. Tunjukkan bahwa C (a)  C (a 1 ).
Teorema 2.6: C(a) adalah subgrup
Untuk setiap a dalam suatu grup G, pemusat a yang dinyatakan dengan C(a), adalah
subgrup dari G.
Problem 2.30:
Buktikan teorema tersebut!
Problem 2.31:
Selidiki kebenaran pernyataan berikut: G grup Abelian jika dan hanya jika C (a)  G
untuk semua a di G.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
21
3.1 Sifat-sifat Grup Siklis
Ilustrasi 3.1:
Dari Bab 2, sudah dijelaskan bahwa suatu grup G disebut siklis jika ada suatu elemen a di
G sehingga G  a n n 
. Elemen a tersebut dinamakan generator dari G. Selanjutnya,
G disebut grup siklis yang dibangkitkan (generated) oleh a dengan menuliskan G  a .
Problem 2.17:
Setelah memahami Ilustrasi 3.1 tersebut, cobalah selidiki generator dari himpunan
bilangan bulat
terhadap operasi penjumlahan biasa. Tentukan juga generator dari
himpunan-himpunan
6
,
8
, dan
20
, terhadap penjumlahan modulo 6, 8 dan 20.
Dapatkah kamu menentukan generator dari
n
( n  1) secara umum?
Problem 2.18:
Tuliskan semua elemen dari subgrup 20 dan 10 di
30
.
Problem 2.19:
Tuliskan semua elemen dari subgrup 3 dan 15 di
18
. Sebutkan pula semua elemen
dari subgrup 3 dan 7 di U  20  .
Problem 2.20:
Perhatikan jawaban Problem 3.2 dan 3.3. Apakah yang dapat kamu simpulkan dari kedua
jawaban soal tersebut?
Rippi Maya: Draft Teori Grup
22
Ilustrasi 3.2:
Perhatikan gambar berikut, dengan a  4 .
…= a-4 = a0 = a4= …
…= a-3 = a1 = a5= …
…= a-1 = a3 = a7= …
…= a-2 = a2 = a6= …
Gambar 3.1
Pada grup siklis
4
berorde 4 (berhingga), generatornya adalah 1 dan 3.
Ambil a  3 , maka
3  n.3 n 
  ..., 1.3, 0.3,1.3, 2.3,3.3, 4.3,5.3, 6.3, 7.3,...
 ...,1, 0,3, 2,1, 0,3, 2,1,...  0,3, 2,1
.
Berdasarkan Gambar 3.1, 0.3 = 4.3 = 8.3. Demikian pula untuk 1.3 = 5.3 = 9.3, dan
seterusnya. Perhatikan hubungan antara 0,4,8 dan 4 (orde grup). Demikian juga dengan
hubungan antara 1,5,9 dan 4 (orde grup). Dapatkah kamu mengambil kesimpulan?
Perhatikan grup siklis U  9  yang berorde 6 (berhingga). Ambil a U  9  . Misalkan
a  2 , maka
2  2n n 
  ..., 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
, 211, 212 ,...
 ...,1, 2, 4,8, 7,5,1, 2, 4,8, 7,5,...  1, 2, 4,8, 7,5
Memperhatikan elemen-elemen 2 , dapat dilihat bahwa ...  20  26  212  ... . Demikian
pula ...  21  27  213  ... Adakah hubungan antara 0,6,12 dan orde dari grup (6)? Juga
hubungan antara 1,7,13 dan orde dari grup? Dapatkah kamu mengambil kesimpulan?
Dengan memperhatikan kedua ilustrasi tersebut, dapat dicari suatu kriteria untuk pangkat
(perkalian) dari a, yang berlaku untuk semua grup siklis G berorde n (hingga) dan tak
Rippi Maya: Draft Teori Grup
23
hingga. Bagaimana kita menentukan kriteria untuk pangkat a, sehingga diperoleh ai  a j ,
dengan i, j  ? Teorema berikut ini menjelaskan kriteria untuk ai  a j .
Teorema 2.2: Kriteria untuk ai  a j
Misalkan G adalah suatu grup dan a adalah elemen dari G. Jika a mempunyai orde tak
hingga, maka semua pangkat berbeda dari a adalah elemen-elemen grup yang berbeda.
Jika a mempunyai orde yang berhingga, sebut saja n, maka a  e, a, a 2 ,..., a n1 dan
ai  a j jika dan hanya jika n membagi i-j.
Problem 2.21:
Pahami Teorema 3.1. Cobalah terapkan teorema tersebut pada grup
elemen dari
5
, dan tentukan orde elemen-elemen dari
5
5
. Tuliskan semua
tersebut.
Problem 2.22:
Selidiki subgrup siklis dari
5
tersebut. Bila a  n , untuk setiap a di
5
, periksa apakah
a  e, a, a 2 ,..., a n1 dan ai  a j jika dan hanya jika n membagi i-j.
Problem 2.23:
Kerjakan hal yang sama seperti pada Problem 3.5 dan 3.6 untuk grup lain. Ambillah
contoh 2 grup yang berbeda.
Akibat 3.1: a k  e mengimplikasikan bahwa a membagi k
Misalkan G adalah suatu grup dan a suatu elemen berorde n di G. Jika a k  e , maka n
membagi k.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
24
Problem 2.24:
Pahami Akibat Teorema 3.1 tersebut. Selidiki pernyataan akibat tersebut untuk grup U(5)
dan U(10). Bagaimana pendapatmu? Kerjakan dengan cara yang sama untuk 2 grup lain
yang berbeda.
Ilustrasi 3.3:
Pada Ilustrasi 3.2 sebelumnya, U  9   2  21 , dengan U  9   6 . Perhatikan pangkat
1 dari 2 dan orde grup siklis U  9  . Adakah hubungan antara 1 dan 6? Apakah 1 dan 6
relatif prima? Subgrup siklis lain dari U  9  adalah 5  25 . Adakah hubungan antara
pangkat 5 dari 2 dan 6 (orde grup)? Apakah 2 dan 6 relatif prima?
Cobalah selidiki apakah U (9) mempunyai generator lain, selain 2 dan 5. Misalkan ada
k  , sehingga
2k  U (9) , apakah ada kaitan antara k dengan orde grup U (9) ?
Apakah kesimpulan yang kamu peroleh? Dapatkah kamu menentukan suatu kriteria untuk
menentukan generator dari suatu grup siklis? Tanpa perlu mencari generator dari suatu
grup siklis dengan mencoba elemennya satu persatu, ada suatu cara singkat untuk
menentukan generatornya. Perhatikan teorema berikut.
Teorema 3.2:
Generator dari Grup Siklis
Misalkan G  a adalah suatu grup siklis berorde n. Maka G  a k
jika dan hanya jika
gcd (k, n) = 1.
Problem 2.25:
Selidiki apakah grup U  20  grup siklis! Bila ya, tentukan generator dari grup tersebut
dengan menggunakan Teorema 3.2.
Problem 2.26:
Ambillah beberapa contoh grup siklis berorde n, dengan salah satu generatornya. Periksa
apakah teorema tersebut berlaku pada contoh-contoh yang kamu ambil.
Problem 2.27:
Rippi Maya: Draft Teori Grup
25
Cobalah kamu buktikan Teorema 3.2. Gunakan informasi yang diketahui pada teorema
tersebut untuk membuktikan.
Akibat 3.2: Generator dari
Suatu bilangan bulat k di
n
n
adalah generator dari
n
jika dan hanya jika gcd (k, n) = 1.
Problem 2.28:
Selidiki pernyataan Akibat tersebut untuk grup
5
,
6
dan
9
. Dapatkah kamu
menentukan generator dari grup tersebut dengan cepat? Jelaskan jawabmu dengan singkat.
3.2 Klasifikasi Subgrup dari Grup Siklis
Ilustrasi 3.4:
Perhatikan kembali subgrup siklis 2 dari grup siklis U  9  1, 2, 4,5,7,8 . Elemenelemen dari subgrup siklis 2 adalah
2  21  21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26   2, 4,8,7,5,1  1, 2, 4,5,7,8 .
Elemen-elemen subgrup siklis lain dari U  9  adalah:
4  22  41 , 42 , 43 , 44 , 45 , 46   4,7,1  1, 4,7 .
8  23  81 ,82 ,83 ,84 ,85 ,86   8,1  1,8 .
1  26  11 ,12   1,1  1 .
5  25  51 ,52 ,53 ,54 ,55 ,56   5,7,8, 4, 2,1  1, 2, 4,5,7,8 .
7  24  71 ,72 ,73 ,74 ,75 ,76   7, 4,1  1, 4,7 .
Perhatikan bahwa subgrup siklis 4 , 8 , 1 , 5 , 7 merupakan subgrup dari 2 . Orde
subgrup-subgrup siklis dari
2
tersebut adalah
2  21  6 ,
4  22  3 ,
8  23  2 , 1  26  1 , 5  25  6 , 7  24  3 . Perhatikan bahwa orde
subgrup-subgrup siklis tersebut adalah 1,2,3,6. Bandingkan dengan pembagi positif dari 6
Rippi Maya: Draft Teori Grup
26
(orde subgrup siklis 2 ), yaitu 1, 2,3, 6 . Adakah kesamaan? Berikut ini adalah teorema
dasar grup siklis yang perlu diketahui.
Teorema 3.3:
Teorema Dasar Grup Siklis
Setiap subgrup dari suatu grup siklis adalah siklis. Jika a  n, maka orde suatu subgrup
dari a adalah pembagi dari n; dan untuk masing-masing pembagi positif k dari n, grup
a mempunyai tepat satu subgrup berorde k, yang disebut a n / k .
Ilustrasi 3.5:
Perhatikan ilustrasi berikut ini:
Diketahui grup siklis a yang berorde 20. Subgrup dari a berbentuk a m , dengan m
adalah pembagi positif dari 20. Jika k pembagi positif dari 20, maka subgrup berorde k
adalah a 20/k . Dengan demikian, subgrup-subgrup dari a dapat ditentukan, yaitu:
a  e, a, a 2 , a3 ,...., a19 
berorde 20,
a 2  e, a, a 2 , a3 ,...., a9 
berorde 10,
a 4  e, a, a 2 , a3 , a 4 
berorde 5,
a5  e, a, a 2 , a3
berorde 4,
a10  e, a
berorde 2,
a 20  e
berorde 1.
Problem 2.29:
Bila diketahui 3 adalah salah satu generator dari grup siklis U (50) , dengan U (50)  30 ,
tentukan subgrup-subgrup siklis dari 3 .
Rippi Maya: Draft Teori Grup
27
Problem 2.30:
Buktikan Teorema 3.3 tersebut.
Akibat 3.3: Subgrup dari
n
Untuk masing-masing pembagi k dari n, himpunan n / k adalah subgrup tunggal dari
, yang berorde k. Subgrup ini merupakan satu-satunya subgrup dari
n
n
.
Problem 2.31:
Cobalah terapkan pernyataan Akibat 3.3 tersebut pada subgrup siklis yang kamu pilih
sendiri.
Problem 2.32:
Misalkan suatu grup siklis G  a , dengan a  24 . Tentukan semua generator untuk
subgrup berorde 8.
Problem 2.33:
Misalkan G suatu grup dan a adalah elemen dari G.
a. Jika a12  e , apakah yang dapat dikatakan tentang orde a?
b. Jika a m  e , apakah yang dapat dikatakan tentang orde a?
c. Misalkan G  24 dan G siklis. Jika a8  e dan a12  e , tunjukkan bahwa a  G
.
Ilustrasi 3.6:
Dengan menggabungkan Teorema 3.2 dan 3.3, banyaknya elemen dari setiap orde dalam
suatu grup siklis berhingga dapat dihitung dengan mudah. Ada suatu fungsi bilangan
teoritis yang disebut fungsi Euler phi, yang berkaitan dengan banyaknya elemen dari
suatu grup siklis. Misalkan  (1)  1 , dan untuk bilangan bulat n  1 ,  (n) menyatakan
banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari n, dan prima relatif ke n. Perhatikan
bahwa U (n)    n  .
Rippi Maya: Draft Teori Grup
28
Problem 2.34:
Selidiki apakah U (n) grup siklis, untuk n  5,9,10,14,15,18, 20, 22, 25. Bila U (n) grup
siklis, tentukan generatornya. Buatlah suatu konjektur untuk U (n) .
Teorema 3.4:
Banyaknya Elemen dari Masing-masing Orde dalam Suatu Grup
Siklis
Jika d adalah suatu pembagi positif dari n, banyaknya elemen berorde n dalam suatu grup
siklis berorde n adalah   d  .
Problem 2.35:
Buktikan teorema 3.4 tersebut.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
29
4.1 Definisi dan Notasi
Ilustrasi 4.1
Perhatikan suatu himpunan tak kosong A, dengan A himpunan berhingga. Himpunan A
dinyatakan dengan A  1, 2,3,..., n , untuk beberapa bilangan bulat positif n. Permutasi
dari himpunan A tersebut adalah suatu fungsi dari A ke A yang satu-satu dan pada. Sebagai
contoh, perhatikan himpunan A  1, 2,3 . Untuk semua x elemen A, f ( x)  A , permutasi
yang mungkin terjadi adalah
1.
f (1)  1, f (2)  2, f (3)  3.
2.
f (1)  1, f (2)  3, f (3)  2.
3.
f (1)  2, f (2)  1, f (3)  3.
4.
f (1)  2, f (2)  3, f (3)  1.
5.
f (1)  3, f (2)  1, f (3)  2.
6.
f (1)  3, f (2)  2, f (3)  1.
Perhatikan bahwa ada 3!  6 permutasi yang mungkin terjadi.
Misalkan permutasi yang pertama ditulis dengan 1 . Untuk menyatakan hubungan antara
himpunan A dan hasil permutasinya adalah dengan menyusunnya dalam bentuk matriks,
 1
yaitu 1  
 f (1)
3  1 2 3 

 . Dengan cara yang sama, permutasi ke dua
f (3)  1 2 3 
2
f (2)
sampai ke enam juga dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut ini:
1 2 3 
 1 2 3
 1 2 3
1 2 3
 1 2 3
2  
 , 3  
 , 4  
 , 5  
 , 6  
.
1 3 2 
 2 1 3
 2 3 1
3 1 2
3 2 1
Permutasi 1 ,  2 ,...,  6
membentuk suatu himpunan tersendiri, yaitu himpunan
permutasi 1 ,  2 ,...,  6  . Bila himpunan ini bersama-sama dengan operasi komposisi
Rippi Maya: Draft Teori Grup
30
membentuk suatu grup, maka grup ini disebut grup permutasi. Berikut ini diberikan
definisi dari permutasi suatu himpunan dan grup permutasi dari suatu himpunan.
Definisi 4.1
Permutasi A, Permutasi Grup A
Permutasi dari suatu himpunan A adalah suatu fungsi dari A ke A yang satu-satu dan
pada. Grup permutasi dari suatu himpunan A adalah suatu himpunan permutasi dari A
yang membentuk grup terhadap komposisi fungsi.
Latihan 4.1
Misalkan diketahui dua permutasi 
dan
1 2 3 4
 , dengan   

3 1 4 2
dan
1 2 3 4
 
 . Dengan operasi komposisi, selidiki apakah    .
 4 2 1 3
Latihan 4.2
Grup Simetri S3
Misalkan S3 menyatakan himpunan dari semua fungsi satu-satu dari 1, 2,3 ke dirinya
sendiri. S3 ini membentuk grup dengan 6 elemen (perhatikan kembali Ilustrasi 4.1),
terhadap operasi komposisi. Keenam elemen S3 ini adalah  ,  ,  2 ,  ,  ,  2   , dengan
1 2 3 
 1 2 3
1 2 3
1 2 3 
 1 2 3
2
 
,   
,   
,   
 ,   
 dan
1 2 3 
 2 3 1
3 1 2
1 3 2 
 2 1 3
 1 2 3
 2  
 . Selidiki apakah S3 grup Abelian.
 3 2 1
Latihan 4.3
Grup Simetri S n
Misalkan A  1, 2,3,..., n . Himpunan semua permutasi dari A disebut grup simetri
derajat n dan dinyatakan dengan S n . Dengan memperhatikan Ilustrasi 4.1, dapat
diketahui bahwa banyaknya elemen dari S n ada n ! . Buktikan bahwa S n non Abelian,
untuk n  3.
Ilustrasi 4.2 Persegi yang Simetri
Rippi Maya: Draft Teori Grup
31
Perhatikan grup dihedral D4 . Setiap gerakan dalam D4 dihubungkan dengan
permutasi dari keempat lokasi sudut persegi. Bila keempat sudut persegi tersebut diberi
label, maka gambarnya dapat dilihat sebagai berikut:
3
2
4
1
1 2 3 4
Rotasi 900 ( R90 ) terhadap persegi tersebut berkaitan dengan permutasi   

2 3 4 1
. Sedangkan refleksi terhadap garis horizontal (H) menghasilkan suatu permutasi
1 2 3 4
.
 2 1 4 3
 
Latihan 4.4
Seperti
sudah
dijelaskan
dalam
bab
pengantar,
elemen
dari
D4
adalah
D4  R0 , R90 , R180 , R270 , H ,V , D, D ' . Tuliskan elemen-elemen D4 tersebut dalam bentuk
permutasinya, seperti  dan  tersebut di atas.
4.2 Notasi Putaran (Cycle Notation)
Ilustrasi 4.3
Selain notasi matriks seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, permutasi dapat
dinyatakan dalam notasi putaran (cycle notation). Perhatikan permutasi berikut:
1 2 3 4 5 6
 
.
 2 1 4 6 5 3
Penempatan nilai-nilai pada permutasi tersebut dapat dinyatakan secara skematik sebagai
berikut:
1
3
6
2
Rippi Maya: Draft Teori Grup
5
4
32
Skema tersebut kemudian diganti dengan notasi putaran sebagai berikut, yaitu
  12  346  5 atau   12  346  . Perhatikan bahwa menurut kesepakatan, putaran
yang hanya mempunyai satu masukan, yaitu (5), dapat dihilangkan. Bila dalam penulisan
notasi putaran ada elemen yang hilang (tidak dituliskan), berarti elemen yang hilang
tersebut dipetakan ke dirinya sendiri. Dengan demikian, untuk permutasi identitas
seperti berikut ini,
1 2 3 4 5 
 , kita tidak dapat menghilangkan semua
1 2 3 4 5 
 
elemennya, tetapi hanya menuliskan salah satu elemennya saja, yaitu    2  atau    5 ,
atau elemen lainnya.
1 2 3 4 5 6
Perhatikan permutasi ke dua berikut ini:   
 . Permutasi ini dapat
5 3 1 6 2 4
ditulis dalam notasi putaran    2315 64  atau    46  3152  .
Panjang suatu putaran adalah banyaknya elemen dalam putaran tersebut. Misalkan
  12345 , maka panjang putarannya adalah 5.
4.3 Sifat-sifat Permutasi
Teorema 4.1 Hasil Putaran yang Saling Lepas (Disjoint Cycles)
Setiap permutasi dari suatu himpunan berhingga dapat ditulis sebagai suatu putaran
(cycle) atau sebagai suatu hasil (product) dari putaran yang saling lepas.
Latihan 4.5
Buktikan Teorema 4.1 tersebut.
Petunjuk: misalkan α adalah suatu permutasi pada himpunan A = {1, 2, 3, …, n}. Tuliskan
permutasi α sebagai bentuk putaran yang saling lepas.
Latihan 4.6
Perhatikan Ilustrasi 4.3 di atas.    46  3152  merupakan sebuah permutasi, yang
dinyatakan dalam dua putaran yang saling lepas. Berikan sebuah contoh permutasi yang
dapat dinyatakan dalam suatu putaran atau hasil putaran yang saling lepas!
Rippi Maya: Draft Teori Grup
33
Latihan 4.7
Misalkan
 1 2 3 4 5 6 7 8

 2 1 3 5 4 7 6 8
 
dan
1 2 3 4 5 6 7 8 
.
1 3 8 7 6 5 2 4 
 
Tuliskan α dan sebagai hasil dari putaran yang saling lepas.
Teorema 4.2 Komutasi Putaran yang Saling Lepas
Jika sepasang putaran    a1 , a2 ,..., am  dan    b1 , b2 ,..., bn  tidak mempunyai elemenelemen (entry) yang sama, maka    .
Latihan 4.8
Buktikan Teorema 4.2 tersebut.
Latihan 4.9
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
Misalkan   
 dan   
 . Selidiki apakah
 2 1 3 5 4 6
6 1 2 4 3 5
   .
Teorema 4.3 Orde dari Permutasi
Orde suatu permutasi dari suatu himpunan berhingga, yang ditulis dalam bentuk putaran
yang saling lepas, adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari panjang putaran.
Latihan 4.10
Buktikan Teorema 4.3 tersebut.
Latihan 4.11
Tentukan orde dari permutasi α = (12)(3)(45) dan
= (153)(24).
Latihan 4.12
Perhatikan permutasi
= (13)(27)(456)(8)(1237)(648)(5). Apakah permutasi γ terdiri dari
putaran yang saling lepas? Dapatkah kita menghitung orde permutasi γ dengan
menggunakan Teorema 4.3? Jelaskan pendapatmu.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
34
Latihan 4.13
Perhatikan soal Latihan 4.12. Dapatkah permutasi γ dinyatakan dalam bentuk putaran yang
saling lepas? Bila ya, tentukan orde dari permutasi tersebut.
Ilustrasi 4.4.
Suatu permutasi identitas   (1) dapat dinyatakan sebagai (12)(12). Selain itu, juga dapat
dinyatakan sebagai (13)(13) atau (14)(14), dst. Jadi suatu permutasi dalam Sn dapat
dinyatakan sebagai hasil dari 2-putaran. Menurut Teorema 4.1, setiap permutasi dapat
ditulis dalam bentuk (a1a2 ...ak )(b1b2 ...bt )(c1c2 ...cs ) . Dengan penghitungan langsung,
permutasi tersebut juga dapat ditulis sebagai:
(a1ak )(a1ak 1 )...(a1a2 )(b1bt )(b1bt 1 )...(b1b2 )(c1cs )(c1cs 1 )...(c1c2 ) ,
yang merupakan hasil (product) 2-putaran.
Teorema 4.4 Hasil 2-Putaran
Setiap permutasi dalam Sn , n  1, adalah hasil dari 2-putaran.
Latihan 4.14
Periksa kebenaran pernyataan ini:   12345   21 25 24  23 .
Latihan 4.15
Periksa kebenaran pernyataan ini:   12345   45 53 2515 .
Lemma 4.1
Jika   12 ...r , dengan
adalah 2-putaran, maka r adalah genap.
Latihan 4.16
Periksa
kebenaran
pernyataan
berikut:
  12345   54  52  21 25 2313 .
Bandingkan ketiga soal Latihan 4.14 - 16. Bagaimana pendapatmu terhadap permutasi α
dan Lemma 4.1?
Rippi Maya: Draft Teori Grup
35
Teorema 4.5 Selalu Genap atau Selalu Ganjil
Jika suatu permutasi α dapat dinyatakan sebagai suatu hasil dari 2-putaran bilangan genap,
maka setiap dekomposisi dari α ke dalam suatu hasil 2-putaran harus mempunyai bilangan
genap dari 2-putaran. Simbolnya,
  12 ...r dan    1 2 ... s ,
dengan dan adalah 2-putaran, maka r dan s keduanya genap atau keduanya ganjil.
Latihan 4.17
Buktikan teorema 4.5 tersebut.
Petunjuk:
1. Mulai dengan   12 ...r   1 2 ... s .
2. Gunakan invers dari 2-putaran, untuk menunjukkan bahwa r dan s keduanya ganjil
atau genap.
Latihan 4.18
Perhatikan soal Latihan 4.14-16. Permutasi α tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil
2  putaran yang jumlahnya genap. Dapatkah kamu membuat suatu contoh permutasi,
yang dapat dinyatakan sebagai hasil 2  putaran yang jumlahnya ganjil?
Definisi 4.2
Permutasi Genap dan Ganjil
Suatu permutasi yang dapat dinyatakan sebagai hasil dari 2-putaran yang jumlahnya genap
disebut permutasi genap. Suatu permutasi yang dapat dinyatakan sebagai hasil dari 2putaran yang jumlahnya ganjil disebut permutasi ganjil.
Latihan 4.19
Permutasi dalam grup S3 terdiri dari permutasi genap dan permutasi ganjil. Dapatkah kamu
menyebutkan permutasi-permutasi tersebut? (Petunjuk: nyatakan permutasi dalam S3
dalam bentuk hasil 2  putaran, seperti dalam Ilustrasi 4.4, lalu tentukan apakah permutasi
tersebut merupakan permutasi genap atau ganjil).
Rippi Maya: Draft Teori Grup
36
Latihan 4.20
Lakukan hal yang sama seperti pada soal Latihan 4.19 pada grup S4.
Teorema 4.6 Permutasi Genap Membentuk Grup
Himpunan permutasi genap dalam S n membentuk subgrup dari S n .
Latihan 4.21
Buktikan Teorema 4.6 tersebut.
Latihan 4.22
Periksa apakah himpunan permutasi genap dalam S3 membentuk subgrup dari S3. Buatlah
tabel Cayleynya terhadap operasi fungsi komposisi.
Latihan 4.23
Periksa apakah permutasi ganjil dalam S3 membentuk subgrup? Jelaskan pendapatmu.
Definisi 4.3
Grup Berayun (Alternating) Derajat n
Grup permutasi genap dari n simbol dinyatakan dengan An dan disebut grup berayun
derajat n.
Latihan 4.24
Tentukan grup berayun A4 . Buatlah tabel Cayley dari A4 tersebut terhadap fungsi
komposisi.
Latihan 4.25
Hitunglah order dari setiap elemen dalam A4 . Periksa apakah ada kaitan antara orde
elemen dengan order A4 .
Teorema 4.7
Untuk n > 1, An mempunyai orde n!/2.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
37
Latihan 4.26
Hitunglah banyaknya permutasi ganjil yang berorde 4 dalam S6.
Latihan 4.27
Hitunglah banyaknya elemen berorde 5 yang ada di A6.
Latihan 4.28
Periksa apakah ada subgrup siklis berorde 4 dan subgrup non siklis berorde 4 dalam S4.
Jelaskan pendapatmu.
Latihan 4.29
Tentukan elemen α dan
di S3 sehingga   2,   2, dan   3.
Latihan 4.30
Tunjukkan bahwa suatu permutasi dengan orde ganjil pasti sebuah permutasi genap.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
38
Ilustrasi 5.1
Dua anak (A dan B) sedang bermain kelereng. Sebelum bermain, mereka menggabungkan
kelereng yang mereka punya, dan mulai menghitung. Si A yang berasal dari suku Jawa
menghitung kelerengnya dengan bahasa Jawa, sementara si B yang berasal dari suku
Sunda, menghitung kelerengnya dengan bahasa Sunda. A mengucap siji, loro, telu, papat,
…, sementara B mengucap hiji, dua, tilu, opat, …. Mereka menghitung barang yang sama,
tetapi dengan bahasa yang berbeda. Dengan kata lain, mereka menggambarkan konsep
yang sama, dengan istilah yang berbeda. Situasi seperti itu juga sering muncul dalam grup.
Grup yang sama digambarkan dengan istilah (terminology) yang berbeda.
Dalam bab ini akan dipelajari suatu metode untuk menentukan apakah dua grup
sebenarnya sama, meski mereka terdefinisi dalam terms yang berbeda. Bila kedua grup
tersebut sama, maka dikatakan ada isomorfisme antara kedua grup tersebut. Istilah
isomorfisme berasal dari bahasa Latin, iso dan morphe. Iso artinya sama dan morphe
artinya bentuk. Isomorfisme pertama kali diperkenalkan oleh Galois, sekitar 1,5 abad yang
lalu.
5.1 Definisi
Definisi 5.1 Grup Isomorfisme
Suatu isomorfisme  dari suatu grup G ke suatu grup G adalah pemetaan (fungsi) satusatu dari G pada G , yang mengawetkan operasi grup. Yaitu,
 (ab)   (a) (b) untuk semua a, b di G.
Jika ada suatu isomorfisme dari G ke G , dikatakan G dan G isomorfik dan ditulis G  G
.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
39
Latihan 5.1
Perhatikan definisi isomorfisme tersebut. Untuk membuktikan suatu grup G isomorfik ke
suatu grup G , ada empat tahapan berbeda yang harus dilalui. Dapatkah kamu
menyebutkan tahapan-tahapan tersebut secara detil?
Latihan 5.2
Perhatikan tahapan-tahapan berikut. Susunlah tahapan-tahapan tersebut secara terurut
sesuai definisi di atas, sehingga dapat digunakan untuk membuktikan adanya suatu
isomorfik dari suatu grup ke grup lainnya.
1) “O.P”. Buktikan bahwa  mengawetkan operasi, yaitu tunjukkan bahwa
 (ab)   (a) (b) , untuk semua a dan b di G.
2) “1-1”. Buktikan bahwa  satu-satu, yaitu asumsikan  (a)   (b) dan buktikan
bahwa a  b .
3) “Pemetaan”. Definisikan suatu calon untuk isomorfisme  , yaitu definisikan
suatu fungsi  dari G ke G .
4) “Pada”. Buktikan bahwa  pada, yaitu untuk sebarang elemen g di G , tentukan
sebuah elemen g di G sehingga  ( g )  g.
Latihan 5.3
Misalkan G adalah grup bilangan riil terhadap operasi penjumlahan dan G adalah grup
bilangan riil positif terhadap operasi perkalian. Tunjukkan bahwa G dan G isomorfik
terhadap pemetaan  ( x)  2 x.
Latihan 5.4
Tunjukkan bahwa pemetaan dari
terhadap dirinya sendiri yang diberikan oleh
 ( x)  x3 bukan suatu isomorfisme. Syarat apakah yang tidak dipenuhi oleh  tersebut?
Rippi Maya: Draft Teori Grup
40
Latihan 5.5
Buktikan bahwa U (10) 
4
 U (5).
Latihan 5.6
Dapatkah dikatakan bahwa grup siklis berorde 4 isomorfik terhadap
4
? Jelaskan
pendapatmu! Bagaimana bila dikatakan grup siklis berorde n isomorfik terhadap
grup siklis berorde tak hingga isomorfik dengan
n
dan
? Jelaskan pendapatmu!
Latihan 5.7
Selidiki apakah U (10)  U (12) !
5.2 Teorema Cayley
Teorema 5.1 Teorema Cayley
Setiap grup adalah isomorfik ke suatu grup permutasi.
Latihan 5.8
Buktikan Teorema 5.1 tersebut.
Petunjuk:
1.
Untuk sebarang g di G, definisikan suatu fungsi Tg dari G ke G, dengan
Tg ( x)  gx untuk semua x di G.
2.
Misalkan G  Tg g  G. Jelaskan bahwa G adalah grup terhadap operasi
3.
fungsi komposisi.
Ambil suatu pemetaan  dari G ke G . Untuk setiap g di G, definisikan
  g   Tg .
4.
Tunjukkan bahwa  suatu isomorfisme dari G ke G , dengan memeriksa
apakah  suatu fungsi 1-1 pada dan OP.
5.
G disebut wakil reguler kiri dari G (left reguler representative of G).
Rippi Maya: Draft Teori Grup
41
Latihan 5.9
Selidiki apakah U(10) dan U (10) isomorfik! ( U (10) adalah grup permutasi dari U(10)).
Petunjuk:


1.
Misalkan U (10)  a1 , a2 ,..., an  , maka U (10)  Ta1 , Ta2 ,..., Tan .
2.
Buatlah tabel Cayley dari dua grup tersebut, dan bandingkan!
Latihan 5.10
Dengan cara yang sama seperti pada Latihan 5.8, selidiki apakah U(12) dan U (12)
isomorfik!
5.3 Sifat-sifat Isomorfisme
Teorema 5.2 Sifat-sifat Isomorfisme
Misalkan  adalah suatu isomorfisme dari grup G pada grup G , maka
1.
 membawa identitas dari G ke identitas G .
2.
Untuk setiap bilangan bulat n dan untuk setiap elemen grup a di G,  a n    a  .
3.
Untuk elemen a dan b di G, a dan b berkomutasi jika dan hanya jika  (a) dan  (b)
 
n
berkomutasi.
4.
5.
G adalah Abelian jika dan hanya jika G Abelian.
a    a  untuk semua a di G (isomorfisme mengawetkan order).
6.
G adalah siklis jika dan hanya jika G siklis.
7.
Untuk bilangan bulat tetap k dan elemen grup tetap b di G, persamaan x k  b
mempunyai banyak solusi yang sama di G seperti persamaan x k    b  di G .
8.
 1 adalah suatu isomorfisme dari G pada G.
9.
Jika K adalah suatu subgrup dari G, maka   K     k  k  K  adalah subgrup dari
G.
Latihan 5.11
Tunjukkan bahwa U (8)  U (12).
Rippi Maya: Draft Teori Grup
42
Latihan 5.12
Dengan menggunakan sifat no.5 dari isomorfisme, tunjukkan bahwa U (8)  U (10).
Latihan 5.13
Selidiki apakah U(20) dan U(24) isomorfik.
5.4 Automorfisme
Definisi 5.2 Automorfisme
Suatu isomorfisme dari suatu grup G pada dirinya sendiri disebut automorfisme dari G.
Latihan 5.14
Misalkan

adalah sebuah grup dari bilangan real positif terhadap operasi perkalian.
Tunjukkan bahwa pemetaan  ( x)  x adalah suatu automorfisme dari

.
Latihan 5.15
Misalkan G suatu grup dan a adalah elemen dari G. Buktikan bahwa pemetaan a yang
didefinisikan oleh a ( x)  axa 1 adalah suatu automorfisme dari G.
Latihan 5.16
Buktikan bahwa pemetaan yang diberikan oleh x  x3 , dari U(16) terhadap dirinya
sendiri, merupakan suatu automorfisme.
Definisi 5.3 Automorfisme Dalam yang Disebabkan oleh a (inner automorphisme of G
induced by a)
Misalkan G suatu grup, dan misalkan a  G . Fungsi a yang didefinisikan oleh
a ( x)  axa 1 untuk semua x di G disebut automorfisme dalam dari G yang disebabkan
oleh a.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
43
Latihan 5.16
Perhatikan grup dehidral D4 . Ambil R90  D4 . Tuliskan semua automorfisme dalam dari
D4 yang disebabkan oleh R90 .
Latihan 5.17
Kerjakan hal yang sama seperti pada Latihan 5.16, tetapi yang disebabkan oleh R180 .
Ilustrasi 5.2
Himpunan dari semua automorfisme dari suatu grup G, membentuk suatu grup tersendiri
yang disebut Aut(G). Himpunan dari semua automorfisme dalam dari G yang disebabkan
oleh a juga membentuk grup tersendiri yang disebut Inn(G).
Teorema 5.3 Aut(G) dan Inn(G) adalah Grup
Himpunan automorfisme dari suatu grup dan himpunan automorfisme dalam dari suatu
grup adalah grup terhadap operasi fungsi komposisi.
Latihan 5.18
Tentukan semua himpunan automorfisme dari grup Aut(
10
).
Petunjuk:
1. Misalkan
Aut(
10
  Aut(
10
).
Karena
10
 10 ,
asumsikan
)  {1 ,  2 , 3 ,..., 10 } .
2. Tentukan generator dari
10
.
3. Karena 1 adalah salah satu generator dari
10
, maka  1  10 .
4. Tentukan pilihan untuk hasil pemetaan  (1) .
5. Tunjukkan bahwa  i adalah automorfisme, dengan i adalah generator dari
10
.
Latihan 5.19
Dengan cara yang sama seperti pada Latihan 5.18, tentukan semua automorfisme dari Aut(
6
).
Rippi Maya: Draft Teori Grup
44
Teorema 5.4 Aut (Z n )  U (n)
Untuk setiap bilangan bulat n, Aut ( Z n ) adalah isomorfik ke U(n).
Latihan 5.20
Tunjukkan bahwa Aut (Z10 )  U (10) .
Latihan 5.21
Ambillah contoh Aut ( Z n ) yang lain, yang isomorfik ke U(n).
Rippi Maya: Draft Teori Grup
45
Ilustrasi 6.1.
Perhatikan grup dari himpunan bilangan bulat
dari
terhadap operasi penjumlahan. Subgrup
salah satunya adalah himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 terhadap operasi
penjumlahan, yaitu 3  ..., 6, 3, 0,3, 6,... . Tambahkan 1 pada setiap elemen subgrup
tersebut, sehingga diperoleh subset dari
, yaitu 1  3  ..., 5, 2,1, 4,7,... . Tambahkan
2 pada setiap elemen subgrup tersebut, sehingga diperoleh subset lain, yaitu
2  3  ..., 4, 1, 2,5,8,... . Gabungan dari ketiga subset ini akan membentuk himpunan
bilangan bulat
, sehingga sebarang bilangan bulat akan termasuk dalam salah satu dari
ketiga subset tersebut.
6.1
Definisi Koset
Definisi 6.1
1)
Koset H di G
Misalkan G suatu grup dan H adalah subset dari G. Untuk a  G , himpunan
aH  ah h  H  , Ha  ha h  H  dan aHa 1  aha 1 h  H  .
2)
Jika H adalah suatu subgrup dari G, maka himpunan aH disebut koset kiri dari H di
G yang memuat a, sementara Ha disebut koset kanan dari H di G yang memuat a.
Pada kasus ini, elemen a disebut wakil (representative) dari aH (atau Ha).
3)
Banyaknya elemen dalam himpunan aH dinyatakan dengan aH dan banyaknya
elemen di Ha dinyatakan dengan Ha .
Latihan 6.1
Misalkan H  (1), (13) di G  S3 terhadap operasi fungsi komposisi. Tentukan koset kiri
dari H di G. Selidiki apakah terdapat a, b  G sehingga aH = bH.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
46
Latihan 6.2
Misalkan H  0,3, 6 di
dari H di
9
9
terhadap penjumlahan. Tentukan koset kiri dan koset kanan
. Selidiki apakah terdapat a, b  G sehingga aH = bH (atau Ha = Hb).
Latihan 6.3
Misalkan G  D4 (grup dehidral berorde 8), dan H  R0 , R180  . Tentukan koset kiri dari
H di D4. Apakah koset-koset kiri tersebut merupakan subgrup dari D4? Jelaskan
pendapatmu!
Latihan 6.4
Tentukan semua koset kiri dari H  1,8 di G = U(15). Di antara koset-koset kiri
tersebut, tentukan mana yang merupakan subgrup dari U(15).
Latihan 6.5
Perhatikan Latihan 6.3-6.4 tersebut. Dapatkah kamu menyusun konjektur (dugaan),
apakah syarat suatu koset kiri dari H menjadi subgrup dari G? Jelaskan pendapatmu.
6.2 Sifat-sifat Koset
Lemma 6.1
Sifat-sifat Koset
Misalkan H subgrup dari G dan misalkan a dan b anggota G. Maka,
1.
a  aH ,
2.
aH  H jika dan hanya jika a  H ,
3.
aH  bH atau aH  bH   ,
4.
aH  bH jika dan hanya jika a 1b  H ,
5.
aH  bH ,
6.
aH  Ha jika dan hanya jika H  aHa 1 ,
7.
aH adalah subgrup dari G jika dan hanya jika a  H .
Rippi Maya: Draft Teori Grup
47
Latihan 6.7
Buktikan Lemma di atas.
Latihan 6.8
Misalkan H  1,11 di grup U(30). Dengan menggunakan sifat koset, tentukan kosetkoset kiri dari H di U(30).
Latihan 6.9
Dengan menggunakan sifat no.7 dari Lemma 6.1 tersebut, tentukan koset kiri mana yang
merupakan subgrup dari U(30).
6.3 Teorema Lagrange dan Konsekuensinya
Teorema 6.1 Teorema Lagrange: H Membagi G
Jika G suatu grup berhingga dan H adalah suatu subgrup dari G, maka H membagi G .
Banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda dari H di G adalah G / H .
Latihan 6.10
Buktikan Teorema 6.1 tersebut di atas.
Latihan 6.11
Misalkan H  (1),(12)(34),(13)(24),(14)(23) . Berapakah banyaknya koset kiri yang
berbeda dari H di A4. Sebutkan!
Latihan 6.12
Misalkan P adalah subgrup murni (proper subgrup) dari Q dan Q adalah subgrup murni
dari R. Jika P  35 dan R  350 , berapakah kemungkinan orde dari Q?
Rippi Maya: Draft Teori Grup
48
Ilustrasi:
Indeks dari suatu subgrup H di G adalah banyaknya koset kiri dari H di G, dan dinyatakan
dengan G : H . Jika H berhingga, Teorema Lagrange menyatakan bahwa
G:H  G / H .
Akibat 6.1
a Membagi G
Pada suatu grup berhingga, orde dari setiap elemen grup membagi orde grup.
Latihan 6.13
Misalkan grup G  U (10) . Tentukan orde dari G dan orde elemen-elemennya.
Latihan 6.14
Misalkan a mempunyai orde 30. Berapa banyak koset kiri dari a 5 di a ? Tuliskan
semua koset kiri tersebut.
Akibat 6.2
Grup Berorde Prima adalah siklis
Suatu grup berorde prima adalah siklis.
Latihan 6.15
Buktikan Lemma 6.2 tersebut.
Latihan 6.16
Tunjukkan bahwa grup
Akibat 6.3
a
G
5
terhadap penjumlahan merupakan grup siklis.
e
Misalkan G adalah grup berhingga, dan misalkan a  G. Maka a
Latihan 6.17
Buktikan Akibat 6.3 tersebut.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
G
 e.
49
Latihan 6.18
Misalkan G = U(12). Misalkan a U (12). Tunjukkan bahwa a
Akibat 6.4
G
 e.
Teorema Kecil Fermat
Untuk setiap bilangan bulat a dan setiap prima p, a p modulo p = a modulo p.
Latihan 6.19
Buktikan Akibat 6.4 tersebut.
Latihan 6.20
Selidiki apakah bilangan p  2257  1 adalah prima.
Petunjuk: Gunakan Teorema Kecil Fermat.
1. Jika p prima, maka 10 p  10 modulo p, sehingga 10 p1  100 modulo p.
2. Hitung 10 p1  102 . Bila hasilnya tidak 100, maka p bukan prima.
257
Latihan 6.21
Hitunglah 515 modulo 7 dan 713 modulo 11.
6.4
Aplikasi Koset untuk Grup Permutasi
Definisi 6.2. Penyeimbang (Stabilizer) dari suatu Titik
Misalkan G suatu grup permutasi dari suatu himpunan S. Untuk masing-masing i di S,
definisikan stabG (i)    G  (i)  i. Dikatakan, stabG (i) adalah penyeimbang i di G.
Latihan 6.22
Apakah stabG (i) merupakan subgrup dari G? Jelaskan pendapatmu!
Latihan 6.23
Misalkan G = {(1), (132)(465), (132)(465)(78), (123)(456), (123)(456)(78), (78)}.
Tentukan stabG (i).
Rippi Maya: Draft Teori Grup
50
Definisi 6.3. Orbit Titik
Misalkan G suatu grup permutasi dari suatu himpunan S. untuk masing-masing s di S,
misalkan orbG (s)   (s)   G. Himpunan orbG ( s) adalah subset dari S, yang disebut
orbit dari s terhadap G.
Latihan 6.24
Untuk grup G yang sama seperti pada soal Latihan 6.23, tentukan orbG ( s) .
Latihan 6.25
Misalkan G = {(1), (12)(34), (1234)(56), (13)(24), (1432)(56), (56)(13), (14)(23),
(24)(56)}.
a) Tentukan penyeimbang dari 1 dan orbit dari 1.
b) Tentukan penyeimbang dari 3 dan orbit dari 3.
c) Tentukan penyeimbang dari 5 dan orbit dari 5.
Teorema 6.2 Teorema Orbit-Penyeimbang
Misalkan G suatu grup permutasi berhingga dari suatu himpunan S. Maka, untuk sebarang
i dari S, G  orbG (i) stabG (i) .
Latihan 6.26
Buktikan Teorema 6.2 tersebut.
Rippi Maya: Draft Teori Grup
51
DAFTAR PUSTAKA
Clark, David M. (2007). Theory of Group. Dalam Journal of Inquiry-Based Learning in
Mathematics
[Online],
Issue
3,
Volume
2007.
Tersedia:
http://www.jiblm.org/jiblm/downloads/jiblmjournal/V0703/V0703.pdf [21 Oktober
2008]
Clark, W. Edwin (1998). Elementary Abstract Algebra [Online].
http://shell.cas.usf.edu/~eclark/Elem_abs_alg.pdf [21 November 2008]
Tersedia:
Dummit, David S. & Foote, Richard M. (2002). Abstract Algebra (Second Edition).
Singapura: John Wiley & Sons (Asia) Pte. Ltd.
Gallian, Joseph A. (1998). Contemporary Abstract Algebra (Fourth Edition). Boston:
Houghton Mifflin Company.
_______________ (2005). Advice for Students for Learning Abstract Algebra [Online].
Tersedia: http://www.d.umn.edu/~jgallian/advice.html [8 Januari 2009]
Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (Second Edition). New York: John Wiley &
Sons.
Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. New York: Springer-Verlag New York, Inc.
Rippi Maya: Draft Teori Grup