Degradasi dan Agradasi

Degradasi dan Agradasi
Dasar Sungai
Persamaan Saint Venant - Exner
Model Parabolik
Acuan Utama
Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics: Chapter 6, pp. 358-370,
J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England.
Degradasi dan Agradasi
 Degradasi
• terjadi apabila debit solid yang datang lebih kecil
daripada kemampuan transpor sedimen
• dasar sungai tererosi
• dasar sungai turun
 Agradasi
• debit solid lebih besar daripada kemampuan transpor
sedimen
• terjadi deposisi sedimen
• dasar sungai naik
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-2
Degradasi dan Agradasi
 Beberapa contoh
degradasi
 Beberapa contoh
agradasi
• pasokan sedimen (solid
discharge) dari hulu
berhenti atau
berkurang
• debit aliran (air)
bertambah
• penurunan dasar sungai
di suatu titik di hilir
Teknik Sungai
• pasokan sedimen (solid
discharge) dari hulu
bertambah
• debit aliran (air)
berkurang
• kenaikan dasar sungai
di suatu titik di hilir
Degradasi dan Agradasi
1-3
Degradasi dan Agradasi
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-4
Pemahaman
Degradasi dan Agradasi
 Proses
• merupakan proses jangka panjang evolusi dasar sungai,
z(x,t)
• aliran sungai pada awal dan akhir proses berupa aliran
permanen dan seragam (steady and uniform flow)
• selama proses, aliran sungai berupa aliran permanen
semu (quasi-unsteady) dan tak-seragam (nonuniform)
 Asumsi untuk penyederhanaan
• aliran quasi-uniform, U/x = 0
• shg dapat dipakai model parabolik, yang
memungkinkan dilakukannya penyelesaian analitik
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-5
Metode Analisis
Degradasi dan Agradasi
 Model parabolik
• didasarkan pada persamaan Saint-Venant –
Exner, dengan beberapa penyederhanaan
» aliran dengan Angka Froude kecil, Fr < 0,6
» aliran quasi-steady
» aliran quasi-uniform
» tinjauan hanya untuk jarak x yang panjang dan
waktu t yang lama
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-6
Persamaan Saint-Venant – Exner
So
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-7
Persamaan Saint-Venant – Exner
 Persamaan Saint-Venant
•
•
•
•
aliran tak-permanen tak-seragam
saluran prismatik
kemiringan dasar kecil
dasar tetap (fixed bed)
h
U
h
h
U
0
t
x
x
• pers. kontinuitas
untuk B = konstan
U
U
h
z
U
g
g
 - g Se
t
x
x
x
• pers. momentum
• kemiringan garis energi, Se, ditetapkan berdasarkan
aliran seragam dan koefisien kekasaran, f, untuk
dasar sungai dapat bergerak (erodible bed)
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
Se  f  f ,U , h 
1-8
Persamaan Saint-Venant – Exner
 Persamaan Exner
• dasar sungai bergerak (mobile bed, erodible bed)
• perubahan dasar sungai dinyatakan dengan persamaan berikut
z
U
 -aE
t
x
aE = koefisien erosi
• yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan kontinuitas aliran
partikel solid (solid phase)
 
z
1  ~

1 qs
 z



Cs h 
CsUh   
0

t 1 - p  t
x
 t 1 - p x
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-9
Persamaan Saint-Venant – Exner
• dalam persamaan tersebut:
» p = porositas, rasio antara volume rongga udara yang terisi air
dengan volume total
» Cs = konsentrasi, rasio antara volume bagian padat (solid) dengan
volume total campuran (mixture)
» qs = debit solid per satuan lebar
• debit solid, qs, umumnya dianggap merupakan fungsi debit air, q,
menurut suatu hubungan tertentu
qs  f U ,h, sedimen 
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-10
Persamaan Saint-Venant – Exner
1. h  h U  U h  0
t
x
x
 Unknowns:
2. U  U U  g h  g z  - g Se
t
x
x
x
3. Se  f  f ,U , h 
z
1 qs
4.

0
t 1 - p x
5. qs  f U ,h, sedimen 
Teknik Sungai
• U(x,t) = kecepatan rata-rata
aliran campuran
air+sedimen
• h(x,t) = kedalaman aliran
campuran air+sedimen
• z(x,t) = elevasi dasar sungai
• Se = kemiringan garis energi
 persamaan empirik
• qs = debit bagian padat 
persamaan empirik
 Independent variables
• x = jarak, posisi
• t = waktu
Degradasi dan Agradasi
1-11
Persamaan Saint-Venant – Exner
 Kaitan antara bagian cair dan bagian padat
• Pers. 1, 2, 3
• Pers. 4, 5
• Coupling
 aliran air (+sedimen) melalui dasar sungai
bergerak
 transpor sedimen (erosi dan deposisi)
 secara implicit melalui persamaan 3 dan 5
(persamaan semi-empirik)
 Prosedur penyelesaian
• Pers. 1, 2
• Pers. 4
Teknik Sungai
 untuk mendapatkan kecepatan dan kedalaman
aliran, U dan h
 untuk mendapatkan (perubahan) posisi dasar
sungai, z
Degradasi dan Agradasi
1-12
Persamaan Saint-Venant – Exner
 Persamaan-persamaan Saint-Venant – Exner dapat
dikaitkan secara langsung (explicit coupling) apabila
persamaan kontinuitas bagian cair (Pers. 1) dituliskan
dalam bentuk sbb.
1a. h  z   Uh  0
t t x
 Persamaan-persamaan Saint-Venant – Exner dengan
demikian dapat diselesaikan secara simultan karena z
muncul dalam persamaan bagian cair maupun bagian padat
 Metode penyelesaian
• cara analitik  untuk kasus sederhana
• cara numerik  untuk kasus kompleks
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-13
Penyelesaian Analitik:
Model Parabolik
 Persamaan Saint-Venant – Exner
• hyperbolik
• non-linear
 Dalam bentuk aslinya, penyelesaian anatilik persamaan tsb
sulit dilakukan  persamaan tsb perlu disederhanakan
• aliran dengan Angka Froude kecil
• aliran permanen (quasi-steady)
 Justifikasi:
• variasi aliran (debit)  fenomena jangka pendek
• variasi dasar sungai  fenomena jangka panjang
• shg dalam tinjauan variasi dasar sungai, z/t, aliran dapat
dianggap konstan (Uh/t = 0)
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-14
Model Parabolik
 Dengan asumsi aliran quasi-steady, didapat persamaan:
6.
U 
h
z
U
g

g
 - g Se


x 
U
x
4a. 1 - p  z  qs U  0
t U x
 Kedua persamaan di atas:
• tak-linear
• shg tidak dapat dilakukan penyelesaian secara analitik
 Perlu penyederhanaan lebih lanjut
• linearisasi
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-15
Model Parabolik
 Dengan asumsi aliran quasi-steady dan quasi-uniform, dari
Pers. 6. didapat:
2
3

z
U
U
7. g
 - g Se  - g 2  - g 2
x
Ch
C q
 Diferensiasi persamaan di atas thd x menghasilkan:
2
2

z
3
U
U
3U U
8. g
 -g 2
 -g 2
2
x
C q x
C h x
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-16
Model Parabolik
 Substitusi U/x dari Pers. 8 kedalam Pers. 4a, diperoleh:
9.
z
2 z
- K t  2  0
t
x
 dimana K(t) adalah koefisien (difusi) yang merupakan
fungsi waktu dan yang didefinisikan sbb.
10.
1 qs 1 C 2h
K
3 U 1 - p  U
 Persamaan di atas merupakan model parabolik, yang
berlaku untuk nilai x dan t yang besar, x > 3Rh/Se dan
t > (40/30){Rh2/(Se qs)}
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-17
Model Parabolik
 Persamaan koefisien difusi, K, dapat dituliskan pula dalam
bentuk:
1 qs 1 U  U o 
10a. K 
 
3 U 1 - p  Seo  U 
2
 dengan linearisasi (untuk U  Uo), didapat:
1 qs 1 Uo
10b. K  Ko 
3 U 1 - p  Seo
 dimana index o menunjuk pada aliran seragam (uniform).
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-18
Model Parabolik
 Apabila debit bagian padat dihitung dengan persamaan
power law, yaitu:
qs  as U bs
as = koefisien, bs = konstanta
 maka
10c.
Teknik Sungai
1
1
1
K  bs qs
1 - p  Seo
3
Degradasi dan Agradasi
1-19
Model Parabolik
 Persamaan model parabolik variasi dasar sungai:
9.
z
2 z
- K t  2  0
t
x
10c.
1
1
1
K  bs qs
1 - p  Seo
3
 Syarat model parabolik dapat dipakai:
•
•
•
•
•
aliran quasi-steady
aliran quasi-uniform
Fr < 0.6
x > 3h/Se
t > (40/30){Rh2/(Se qs)}
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-20
Model Degradasi Dasar Sungai
 Penurunan muka air di titik kontrol hilir (reservoir) sebesar hw
• dasar sungai di titik kontrol tsb turun sebesar h
• dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai
akan turun
o
o
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-21
Model Degradasi Dasar Sungai
 Aliran dianggap permanen dan seragam
• model parabolik dapat dipakai
• karena debit konstan, maka koefisien K konstan
 Deskripsi matematis
• Sumbu x: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hulu
• Sumbu z: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar
sungai awal, So0
• Syarat awal dan syarat batas
z x,0  0 ;
Teknik Sungai
z 0, t   h ;
lim z x, t   0
x
Degradasi dan Agradasi
1-22
Model Degradasi Dasar Sungai
 Penyelesaian analitik
 x 

z x, t   h erfc 
2 Kt 


 Complementary error function, erfc

2
- 2
erfc   
e d


erfc    1 - erf  
 erfc (dan erf: error function) dapat dihitung dengan bantuan
tabel matematik, dan tersedia pula dalam MS Excel
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-23
Model Degradasi Dasar Sungai
 Contoh permasalahan
• ingin diketahui, kapan dan dimana, elevasi dasar sungai telah turun
menjadi separuh dari elevasi dasar sungai semula:
turun separuh: z/h = 50% = ½
kapan, t50%
dimana, x50%
 x50%
z  x, t  1
  erfc 
2 Kt
h
2
50%


  erfc  


• dari Tabel ataupun dengan MS Excel, didapat   0.48
• sehingga didapat hubungan sbb.

x50%  0.48 2 K t50%
Teknik Sungai


dalam hal ini t50%  x50%2 0.962 K
Degradasi dan Agradasi
1-24

Model Agradasi Dasar Sungai
 Kenaikan debit solid di titik kontrol hulu (akibat tanah longsor) sebesar qs
• dasar sungai di titik kontrol tsb naik sebesar h
• dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai akan naik
 x 

z x, t   ht erfc 
2 Kt 


o
o
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-25
Model Agradasi Dasar Sungai
 Aliran dianggap permanen dan seragam
• model parabolik dapat dipakai
• karena debit konstan, maka koefisien K konstan
 Diskripsi matematis
• Sumbu x: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hilir
• Sumbu z: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar
sungai awal, So0
• Syarat awal dan syarat batas
z x,0  0 ;
Teknik Sungai
z 0, t   ht ;
Degradasi dan Agradasi
lim z x, t   0
x
1-26
Model Agradasi Dasar Sungai
 Penyelesaian analitik
 x 

z x, t   ht erfc 
2 Kt 


• Penyelesaian tsb serupa dengan penyelesaian pada permasalahan
degradasi dasar sungai, hanya saja h(t) merupakan fungsi waktu
• Koefisien difusi K dalam penyelesaian tsb merupakan nilai K pada
saat awal, K0, jadi tanpa memperhitungkan qs (kenaikan debit
solid di titik kontrol hulu)
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-27
Model Agradasi Dasar Sungai
 Panjang ruas sungai yang mengalami agradasi, La
• ditetapkan sbg panjang ruas sungai dari titik kontrol hulu sampai
titik di mana deposisi mencapai z/h = 0.01 (  1.80)
• dihitung dengan persamaan berikut
La  x1%  3.65 K t1%
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-28
Model Agradasi Dasar Sungai
 Volume pasokan debit solid, qs
• selama waktu tertentu, t, volume debit solid adalah qs· t
• jumlah tsb terdistribusi di dasar sungai sepanjang La
• dengan demikian didapat hubungan sbb.
La
qs  t  1 - p   z d x
0
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-29
Model Agradasi Dasar Sungai
 Tinggi (tebal) agradasi, h
• dari panjang ruas sungai yang mengalami degradasi, La, dan
• dari volume debit solid adalah qs· t
• dapat dihitung tebal agradasi, h
La
La  x1%  3.65 K t1% dan
qs  t  1 - p   z d x
0
 Tinggi agradasi, h
qs  t


h t 
1.13 1 - p  K t
Teknik Sungai
Catatan: tampak bahwa tinggi
agradasi, h,
merupakan fungsi
waktu
Degradasi dan Agradasi
1-30
Model Agradasi Dasar Sungai
 x 

z x, t   ht erfc 
2 Kt 


o
o
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-31
erfc()
 Tabel matematik
 Persamaan aproximatif
• erfc() = 1/(1 + a1 + a22 + a33 + a44 + a55 + a66)16 + ()
• ()  310–7
• a1 = 0.0705230784 a2 = 0.0422820123
a3 = 0.0092705272
a4 = 0.0001520143 a5 = 0.0002765672
a6 = 0.0000430638
 MS Excel
• erfc(…)
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-32
Debit Solid
(Transpor Sedimen)
 Debit solid, qs
• adalah transpor sedimen total, terdiri dari bed load, qsb,
suspended load, qss, (dan wash load, qsw)
qs = qsb + qss (+ qsw)
• kadang-kadang hanya ditinjau bed load, qsb
 Debit solid dihitung dengan persamaan empirik,
misal:
•
•
•
•
Schoklitsch
Meyer-Peter, et al.
Einstein
Graf
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-33
Debit Solid
(Transpor Sedimen)
 Schoklitch (bed load)
2.5 3 2
qsb 
Se q - qcr 
ss
q = debit air+sedimen
qcr = debit kritik, menunjukkan
awal gerak butir sedimen
qcr  0.26 ss - 15 3 d 403 2 Se7 6
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-34
Debit Solid
(Transpor Sedimen)
 Meyer-Peter, et al. (bed load)
 g  Rhb  M Se - 0.047 g  s -  d50 


qsb 

g  s -  
0.25 1 3

1
32
Rhb = radius hidraulik dasar sungai
M = parameter kekasaran
 M  K s K s 
Ks  U
R
hb
• M = 1
 tanpa bed forms
• 1 > M > 0.35  bed forms
23
S
12
e
K s  21.1 d501 6 K s  26 d90

16
Teknik Sungai
koefisien kekasaran (total) Strickler
koefisien kekasaran (butir sedimen)
Degradasi dan Agradasi
1-35
Debit Solid
(Transpor Sedimen)
 Einstein (bed load)
qsb 
ss - 1 g d503
0.465
 - 0.391ss - 1 d50 

exp 
 Se
Rhb


radius hidraulik dasar sungai akibat butir sedimen
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-36
Debit Solid
(Transpor Sedimen)
 Graf (total load)
Cs U Rh
ss - 1 g d503
 ss - 1 d50 
 10,.39 

S
R
e h


-2.52
h
qs  Cs U h  Cs U Rh
Rh
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-37
Model Parabolik?
 Hitungan degradasi atau agradasi dasar sungai
dengan model parabolik dapat dilakukan apabila
syarat-syarat berikut dipenuhi
• aliran quasi-steady (variasi jangka panjang dasar
sungai)
• aliran quasi-uniform dengan Fr < 0.6
• nilai x > 3Rh/Se
• nilai t > (40/30){Rh2/(Se qs)}
 Apabila syarat-syarat tsb tidak dipenuhi, maka
diperlukan model yang lebih andal
• model yang didasarkan pada penyelesaian numerik
persamaan Saint-Venant – Exner
Teknik Sungai
Degradasi dan Agradasi
1-38
Degradasi dan Agradasi
Dasar Sungai
The End