Fungsi komposisi dan fungsi invers SEMESTER 2 KELAS XI IPA

Fungsi komposisi dan fungsi
invers
SEMESTER 2 KELAS XI IPA
Tujuan: 1. Siswa dapat menentukan aturan komposisi dari
beberapa fungsi
2. siswa dapat menjelakan nilai fungsi komposisi terhadap
komponen pebentuknya.
3. menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila
aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui
A.
Fungsi Real, Sifat dan Penggunaannya
1. Fungsi Real
produk kartesis dan relasi
● produk kartesis dari himpunan S dan T adalah hi,punan
semua pasangan terurut dengan komponen pertama unsur
di S dan komponen kedua unsur di T, ditulis dengan lambang
S x T = {(x, y) : x є S dan y є T}
● Himpunan semua pasangan bilangan real ditulis r2, adalah
produk kartesis r x r = {(x, y): x є r dan y є r}. Himpunan
ini dikenal sebagai sistem koordinat kartesius bidang.
● Suatu himpunan pasangan terurut dari bilangan real
dinamakan suatu relasi. Daerah asal relasi R adalah himpunan
semua komponen pertama dari pasangan terurutnya. Daerah
nilai relasi R adalah himpunan seua komponen kedua dari
pasangan terurutnya. Relasi R juga ditentukan oleh aturan
yang mengaitkan x dan y yang membentuk relasi.
r
Daerah asal
(5,5)
(0,5)
(1,4) (2,4) (3,4)
r
(1,2)
(1,3)
1●
(1,4)
(2,3)
2●
(2,4)
(3,4)
3●
4
(1,3) (2,3)
3
(1,2)
2
1
Daerah nilai
2●
3●
4●
r
(0,0)
1
2
3
4
5
Diagram kartesius relasi r
Diagram panah relasi r
Diagram panah suatu relasi digunakan untuk menggambarkan daerah
asal dan daerah nilai relasinya. Dalam kasus relasinya mempunyai tak
hingga unsur, diagram panah kurang dapat menunjukkan unsur-unsur di
dalam relasinya.
Fungsi real
● Fungsi sebagai bagian dari suatu relasi. Fungsi adalah suatu relasi yang bersifat
setiap dua unsur sama di daerah asalnya mengakibatkan dua unsur sama di daerah
nilainya. Jika (x1,y1) dan (x2,y2) adalah unsur relasinya, maka kondisi untuk fungsi
adalah x1 = x2
y1= y2 untuk setiap x1 dan x2 di daerah asal relasinya. Jika daerah
asal dan daerah nilai dari relasinya himpunan bagian dari R, maka fungsinya
dinamakan fungsi real.
● lambang fungsi. Fungsi diberi lambang f dan nilai fungsi dari unsur x diberi
lambang f(x). Agar suatu relasi R berbentuk fungsi, kondisinya adalah x1= x2
f(x) ∀ x1, x2 di daerah asal relasi R.
● Fungsi sebagai pemetaan. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu
aturan yang mengaitkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. setiap unsur di
A mempunyai pasangan dan tidak boleh dikaitkan dengan lebih dari satu unsur di B.
Kondisi ini setara dengan kondisi fungsi sebagai bagian darin suatu relasi. Jika A dan B
himpunan bagian dari R, maka pemetaannya dinamakan fungsi real. Jika aturan
fungsinya y = f(x), maka f(x) dinamakan peubah bebas dan y yang nilainya bergantung
dari x dinamak peubah tak bebas.
● Daerah asal dan daerah nilai fungsi. Daerah asal fungsi f diberi
lambang Df dan daerah nilainya Rf. Jika fungsi f dipandang sebagai
pemetaan dari A ke B, maka Df = A. Jika aturan fungsi f diberikan
lebih dulu, maka Df = himpunan semua x sehingga x1 = x2
f(x1)=f(x2). Untuk fungsi real, Df = himpunan semua x є r sehingga
f(x)є r. pada setiap kasus, daerah niali fungsi f ditulis Rf adalah
himpunan semua f(x) dengan x di Df. Daerah asal fdungsi yang
aturannya dibeerikan lebih dahulu sering kali dinamakan daerah aasal
alamiah. Dalam berbagai kasus, aturan beserta daerah asalnya tel;ah
ditentukan lebih dahulu.
● diagram panah. Fungsi dapat digambarkan sebagai diagram panah
pemetaan antar dua himpunan.
● Grafik fungsi real. Himpunan titik {(x,y): y = f(x), x є Df dan y є Rf}
di bidang dinamakan grafik fungsi f.
Contoh:
tentukan daerah asal dan daerah nilai dari fungsi
a. f(x) =4x – x2 dan
b. g(x) = 4x – x2, 1 ≤ x ≤ 5
jawab:
a. daerah asal fungsi f adalah Df = r karena setiap bilangan real dapat
digantikan pada aturan fungsinya. Untuk menentukan daerah nilainya,
gunakan kesamaan 4x – x2 = 4 – (x - 2)2 karena –(x - 2)2 ≤ 0∀x≤Df =r
sehingga daerah nilai fungsi f adalah Rf = {y: y ≤ 4}
b. daerah asal fungsi g telah ditentukan soal, yaitu Dg = {x : 1 ≤ x ≤ 5}.
Ini berarti aturan fungsi g hanya berlaku untuk x yang memenuhi 1 ≤ x
≤ 5. untuk menentukan daerah nilainya, dari 1 ≤ x ≤ 5 diperoleh -1 ≤ x
- 2 ≤ 3, sehingga 0 ≤ (x-2)2 ≤ 9. akibatnya -9 ≤ -(x-2)2≤ 0, sehingga -5
≤ 4x-x2 = 4 – (x-2)2 ≤ 4. Karena itu -5 ≤ g(x) ≤ 4, sehingga daerah
nilai fungsi g adalah Rg = {y : -5 ≤ y ≤ 4}
2. Sifat dan penggunaan fungsi real
operasi aljabar pada fungsi
jika fungsi f dan g mempunyai daerah asal yang sama, maka terhadap
kedua fungsi itu dapat dilakukan operasi aljabar berikut:
● penjumlahan. Jumlah fungsi f dan g, ditulis f + g, adalah suatu
fungsin yang aturannya di setiap x є D = Df ⋂ Dg ditentukan oleh
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
● pengurangan. Selisih fungsi f dan g, ditulis f – g adalah suatu
fungsi yang aturannya di setiap x є D = Df ⋂ Dg ditentukan ole
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
● perkalian. Hasil kali fungsi f dan g , ditulis fg adalah suatu fungsi
yang aturannya di sertiap x є D= Df ⋂ Dg ditentukan oleh
(fg)(x) = f(x)g(x)
dalam kasus g fungsi konstan diperoleh perkalian fungsi f dengan suatu
konstanta
● pembagian. Hasilbagi fungsi f dan g ditulis f/g, adalah suatu
fungsi yang aturannya di setiap x є D = Df ⋂ Dg- {x: g(x)=
0}ditentukan oleh (f/g)(x)= f(x)/g(x), g(x)≠ 0.
contoh:
jika f(x)= (1-x)/(1+x) dan g(x) = 1/x, tentukan aturan dari jumlah,
selisih, kali, hasilbagi f/g dan hasilbagi g/f beserta daerah asalnya!
Jawab:
daerah asal fungsi f dan g adalah Df = {x: x ≠ -1}dan Dg ={x: x
≠0}
◦jumlah dari fungsi f dan g adalah
(f+g)(x)= ((1-x)/(1+x))+(1/x)= (x-x2+1+x)/x(x+1)=
(-x2+2x+1)/x(x+1)
Df+g = {x: x ≠ -1, x ≠0}
◦ selisih dari fungsi f dan g adalah
(f-g)(x)= ((1-x)/(1+x))-(1/x)= (x-x2-1-x)/x(x+1)=
-(x2+1)/x(x+1)
Df-g = {x: x ≠ -1, x ≠ 0}
◦hasil kali dari fungsi f dan g adalah
(fg)(x)=((1-x)/(1+x)).(1/x)= (-x+1)/x(x+1),Dfg = {x: x ≠ -1, x ≠ 0}
◦hasilbagi dari fungsi f dan g adalah
(f/g)(x)=((1-x)/(1+x))/(1/x)=-x(x-1)/(x+1),Df/g={x: x ≠ 1,x≠0}
◦hasil bagi dari fungsi f dan g adalah
(g/f)(x)=(1/x)/((1-x)/(1+x))=(-x+1)/x(x-1),Dg/f ={x: x ≠ -1,
x≠1}
Fungsi implisit dan fungsi eksplisit
secara umum, pengertian fungsi eksplisit
y
a
dan implisit adalah sebagi berikut:
● fungsi dengan aturan y = f(x) yang
(x,y)
y
memasangkan setiap unsur di daerah asal
L
dengan tepat satu unsur di daerah nilai
x
-a
x
a
0
dinamakan fungsi eksplisit y terhadap x.
● persamaan f(x,y)= 0 secara implisit
memuat informasi y adalah fungsi dari x
-a
X2+y2=a2
dan x adalah fungsi dari y, yang
dinamakan fungsi implisit dari y
terhadap x atau x terhadap y.
Fungsi genap dan fungsi ganjil
● fungsi y = f(x) dikatakan fungsi genap jika f(-x)= f(x) untuk setiap
x є Df
● fungsi y = f(x) dikatakan fungsi ganjil jika f(-x)=-f(x) untuk setiap
x єDf
pergeseran kurva
pergeseran kurva y = f(x-a)+b untuk sebarang konstanta a dan b
yang tak nol adalah sebagai berikut
● a>0 dan b>0: kurva y = f(x) digeser a satuan ke kanan dan b
satuan ke atas.
● a<0 dan b>0: kurva y = f(x) digeser a satuan ke kiri dan b satuan
ke atas.
● a>0 dan b<0: kurva y = f(x) digeser a satuan ke kanan dan b
satuan ke bawah.
● a<0 dan b<0: kurva y = f(x) digeser a satuan ke kiri dan b satuan
ke bawah.