Pengembangan Pewarnaan Titik pada Operasi Graf Khusus

Pengembangan Pewarnaan Titik pada
Operasi Graf Khusus
Nindya Laksmita Dewi, Dafik
CGANT-University of Jember
Department of Mathematics Education FKIP University of Jember,
[email protected], [email protected]
Abstract
Misal diketahui graf sederhana, konektif dan tak berarah G, visualisasi
dari graf G adalah objek dinyatakan dengan titik atau vertex, sedangkan
hubungan antara objek dinyatakan dengan garis atau edge. Salah satu
aplikasi yang berkaitan dengan graf adalah pewarnaan graf (graph colouring) yang terdiri dari pewarnaan titik, sisi, dan wilayah. Dalam makalah
ini akan dibahas pewarnaan titik, yaitu memberikan warna pada titik-titik
dari suatu operasi graf sehingga tidak ada dua titik yang bertetangga mempunyai warna yang sama. Jumlah warna minimum yang dapat digunakan
untuk mewarnai operasi graf dinyatakan dengan bilangan kromatik. Dalam
makalah ini akan dikaji tentang bilangan kromatik pada operasi graf khusus.
Kata Kunci : Pewarnaan Titik, Bilangan Kromatik, Operasi Graf.
Pendahuluan
Matematika terdiri dari beberapa cabang ilmu. Cabang matematika terkini
terkait dengan sain komputer yang cukup terkenal adalah Teori Graf, lihat aplikasi graf pada [1, 2, 3]. Salah satu topik yang menarik pada teori graf adalah
masalah dalam pewarnaan titik pada graf. Terdapat berbagai jenis tipe pewarnaan dalam graf, salah satunya adalah pewarnaan titik pada operasi graf. Pewarnaan graf (graph coloring) adalah kasus khusus dari pelabelan graf. Pelabelan
disini maksudnya, yaitu memberikan warna pada titik-titik pada batas tertentu.
Pewarnaan titik(Vertex Coloring). Pewarnaan titik (edge coloring) adalah memberi warna berbeda pada titik yang bertetangga sehingga tidak ada dua titik
yang bertetangga mempunyai warna yang sama [4, 5, 7, 8]. Jumlah warna minimal ϕ(G) yang dapat digunakan untuk mewarnai titik-titik dalam suatu graph
G disebut bilangan khromatik G. Graf yang digunakan dalam penelitian fokus
pada beberapa operasi graf khusus yaitu Crown Graph (G ¯ H).[6, 9]
Teorema yang Digunakan
Theorem 1 (Vizing Theorem). Jika G adalah graph sederhana, maka bilangan kromatik pewarnaan titiknya χ(G) berada pada interval ini χ(G) ≤ ∆(G)+1.
Laksmita, et.al: Pengembangan Pewarnaan Titik
127
Hasil Penelitian
Berikut ini akan disajikan beberapa temuan baru terkait pewarnaan titik pada
operasi graf diantaranya adalah koronasi Pn dan Cm , koronasi Sn dan Pm ,dan
koronasi P2 dan Prm . Hasil penelitian dalam artikel ini berupa teorema, yang
dalam hal ini terdapat tiga teorema kemudian disertai bukti-bukitinya. Teorema
pertama terkait dengan χ(Pn ¯ Cm ).
3 Teorema 0.1 Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 2, bilangan kromatik dari graf G =
m
J
Pn Cm adalah χ(G) = 7−(−1)
.
2
J
Bukti. Graf G = Pn Cm memiliki himpunan titik V = {xi , xij ; 1 ≤
i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m} dan himpunan sisi E = {xi xi+1 ; 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪
{xi xij ; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m, }∪{xij xij+1 ; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m − 1, }∪{xim x1i ;
1 ≤ i ≤ n}. Kemudian order dan sizenya adalah masing-masing p = |V | =
n(1 + m) dan q = |E| = 2mn + n − 1, derajad tertingginya ∆(G) = m + 2.
Sesuai dengan batas atas bilangan kromatik untuk sebarang graf adalah χ(G) ≤
J
∆(G) + 1, sehingga untuk graf G = Pn Cm , dengan ∆(G) = m + 2 berlaku
m
χ(G) ≤ ∆(G) + 1 = m + 3. Akan dibuktikan χ(G) = 7−(−1)
. Pertama dengan
2
7−(−1)m
mudah dapat dilihat bahwa χ(G) =
≤ m + 3. Kedua warnai titik2
titiknya dengan warna berikut:
Fungsi titik Pn ¯ Cm untuk n genap; m genap


1, v = xi ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1





1, v = xi,j ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1



 2, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n
i
f (v) =

2,
v
=
x
i,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1





3, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1, j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1



 3, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n, j = genap; 2 ≤ j ≤ m
i,j
Fungsi titik Pn ¯ Cm untuk n genap; m ganjil


1, v = xi ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1





1, v = xi,j ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 2






 2, v = xi ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n

 2, v = x ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 2
i,j
f (v) =

3,
v
=
x
i,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1, j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1





3, v = xi,j ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n, j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1





4, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1, j = m



 4, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n, j = m
i,j
Laksmita, et.al: Pengembangan Pewarnaan Titik
128
Fungsi titik Pn ¯ Cm untuk n ganjil; m ganjil



 1, v = xi ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n




 1, v = xi,j ; i = genap, ; 2 ≤ i ≤ n − 1j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 2



2, v = xi ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1



 2, v = x ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 2
i,j
f (v) =

3, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n, j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1





3, v = xi,j ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1, j = genap; 2 ≤ i ≤ m − 1





4, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n, j = m



 4, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1, j = m
i,j
Fungsi titik Pn ¯ Cm untuk n ganjil; m genap



 1, v = xi ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n



1, v = xi,j ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1



 2, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1
i
f (v) =

2, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1





3, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n, j = genap; 2 ≤ j ≤ m



 3, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1, j = genap; 2 ≤ j ≤ m
i,j
Dengan mudah dapat dilihat bahwa nilai maksimal bilangan kromatiknya adalah
J
m
χ(Pn Cm ) = 7−(−1)
, sehingga terbukti.
2
2
Teorema kedua terkait dengan χ(Sn ¯ Pm ).
3 Teorema 0.2 Untuk m ≥ 2 dan n ≥ 3, bilangan kromatik dari graf G =
Sn ¯ Pm adalah χ(G) = 3.
Bukti. Graf G = Sn ¯ Pm memiliki himpunan titik V = {P, Pj , xi , xij ; 1 ≤ i ≤
n; 1 ≤ j ≤ m} dan himpunan sisi E = {P xi ; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {P Pj ; 1 ≤ j ≤
m} ∪ {Pj Pj+1 ; 1 ≤ j ≤ m} ∪ {xi xij ; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m, } ∪ {xij xij+1 ; 1 ≤
i ≤ n;1 ≤ j ≤ m − 1}. Kemudian order dan sizenya adalah masing-masing
p = |V | = n(1 + m) + 1 dan q = |E| = 2mn, derajad tertinggi ∆(G) = m jika
m ≥ n dan ∆(G) = n jika m ≤ n . Sesuai dengan batas atas bilangan kromatik
untuk sebarang graf adalah χ(G) ≤ ∆(G) + 1, sehingga untuk graf G = Sn ¯ Pm ,
dengan ∆(G) = m berlaku χ(G) ≤ ∆(G) + 1 = m + 1. sehingga dapat dilihat
bahwa χ(G) = 3 ≤ m+1. Kemudian warnai titik-titiknya dengan warna berikut:
Laksmita, et.al: Pengembangan Pewarnaan Titik
Fungsi titik Sn ¯ Pm untuk n genap; m genap


1, v = P ;
i=1





1, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1





1, v = xi,j ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1



 2, v = x ;
1≤i≤n
i
f (v) =

2, v = Pj ; j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1




 3, v = Pj ; j = genap; 2 ≤ j ≤ m




 3, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1, j = genap; 2 ≤ j ≤ m



 3, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n, j = genap; 2 ≤ j ≤ m
i,j
Fungsi titik Sn ¯ Pm untuk n genap; m ganjil


1, v = P ;
i=1





1, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m





1, v = xi,j ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m



 2, v = x ;
1≤i≤n
i
f (v) =

2, v = Pj ; j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m





3, v = Pj ; j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1





3, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n − 1, j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1



 3, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n, j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1
i,j
Fungsi titik Sn ¯ Pm untuk n ganjil; m ganjil


1, v = P ;
i=1





1, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m





1, v = xi,j ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m



 2, v = x ;
1≤i≤n
i
f (v) =
 2, v = Pj ; j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m





3, v = Pj ; j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1





3, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n, j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1



 3, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1, j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1
i,j
Fungsi titik Sn ¯ Pm untuk n ganjil; m genap


1, v = P ;
i=1






 1, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1




 1, v = xi,j ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1

 2, v = x ;
1≤i≤n
i
f (v) =

2, v = Pj ; j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1





3, v = Pj ; j = genap; 2 ≤ j ≤ m





3, v = xi,j ; i = ganjil; 1 ≤ i ≤ n, j = genap; 2 ≤ j ≤ m



 3, v = x ; i = genap; 2 ≤ i ≤ n − 1, j = genap; 2 ≤ j ≤ m
i,j
129
Laksmita, et.al: Pengembangan Pewarnaan Titik
130
Dengan mudah dapat dilihat bahwa nilai maksimal bilangan kromatiknya adalah
J
χ(Sn Pm ) = 3, sehingga terbukti.
2
Teorema ketiga terkait dengan χ(P2 ¯ Pr m).
3 Teorema 0.3 Untuk m ≥ 2 dan n = 2, bilangan kromatik dari graf G =
m
P2 ¯ Prm adalah χ(G) = 7−(−1)
.
2
Bukti. Graf G = P2 ¯ Prm memiliki himpunan titik V = {xi , xij ; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤
j ≤ m} dan himpunan sisi E = {xi xi+1 ; 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {xi xij ; 1 ≤ i ≤
n; 1 ≤ j ≤ m} ∪ {xij xij+1 ; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m − 1} ∪ {xim xi1 ; ; 1 ≤ i ≤ n}.
Kemudian order dan sizenya adalah masing-masing p = |V | = n(1 + m) dan
q = |E| = n(2m + 1) − 1, derajad tertingginya ∆(G) = m + 1. Sesuai dengan
batas atas bilangan kromatik untuk sebarang graf adalah χ(G) ≤ ∆(G) + 1,
J
sehingga untuk graf G = P2 Prn , dengan ∆(G) = m + 1 berlaku χ(G) ≤
m
∆(G) + 1 = m + 2. Akan dibuktikan χ(G) = 7−(−1)
. Pertama dengan mudah
2
7−(−1)m
dapat dilihat bahwa χ(G) =
≤ m + 2. Kedua warnai titik-titiknya
2
dengan warna berikut:
Fungsi titik P2 ¯ Pr m untuk n 2; m genap


1, v = xi ; i = 1





1, v = xi,j ; i = 2, j = genap; 2 ≤ j ≤ m − 1



 2, v = x ; i = 2
i
f (v) =

2, v = xi,j ; i = 1, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m − 1





3, v = xi,j ; i = 1, j = genap; 2 ≤ j ≤ m



 3, v = x ; i = 2, j = ganjil; 1 ≤ j ≤ m
i,j
Fungsi titik P2 ¯ Pr m untuk n 2; m ganjil


1, v = xi ; i = 1





1, v = xi,j ; i = 2, j = genap;





2, v = xi ; i = 2



 2, v = x ; i = 1, j = ganjil;
i,j
f (v) =

3,
v
=
x
i,j ; i = 1, j = genap;





3, v = xi,j ; i = 2, j = ganjil;





4, v = xi,j ; i = 1, j = m



 4, v = x ; i = 2, j = m
i,j
2≤j ≤m−2
1≤j ≤m−2
2≤j ≤m−1
1≤j ≤m−1
Dengan mudah dapat dilihat bahwa nilai maksimal bilangan kromatiknya adalah
J
m
χ(P2 Prm ) = 7−(−1)
, sehingga terbukti.
2
2
Laksmita, et.al: Pengembangan Pewarnaan Titik
131
Kesimpulan
Dari penelitian diatas dapat disimpulkan bahwa: χ(Pn ¯ Cm ) = χ(P2 ¯ Prm ) =
7−(−1)m
, χ(Sn ¯ Cm ) = 3.
2
References
[1] Dafik, M. Miller, J. Ryan and M. Bača, Antimagic total labeling of disjoint
union of complete s-partite graphs, J. Combin. Math. Combin. Comput.,
65 (2008), 41–49.
[2] Dafik, M. Miller, J. Ryan and M. Bača, On super (a, d)-edge antimagic total
labeling of disconnected graphs, Discrete Math., 309 (2009), 4909-4915.
[3] Gary Chartrand and Ping Zhang. Chromatic Graph Theory. Chapman and
Hall, 2008.
[4] Haynes, T.W and Henning, M.A. Total Domination Good Vertices in
Graphs. Australasian Journal of Combinatorics, 26 (2002), 305-315.
[5] Haynes, T.W.Fundamental of Domination in Graphs. New York: Marcel
Dekker, INC., 1998.
[6] Haynes, T. W., Hedetniemi, S.T., and Slater, P.J. 1998. Fundamental of
Domination in Graphs. New York: Marcel Dekker, INC.
[7] Henning, M. A and Yeo, A. Total Domination in Graphs with Given Girth.
Graphs Combin. 24 (2008) 333-348.
[8] Henning, M. A and Yeo, A. Girth and Total Dominating in Graphs. Graphs
Combin. 28 (2012) 199-214.
[9] Yannakakis, M. and Gavril, F. Edge Dominating Sets in Graphs. SIAM
Journal on Applied Mathematics, Vol 338, No.3 (Jun 1980), pp.364-372.