Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real - FMIPA Personal Blogs

Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real
Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
1/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel
adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat
menggunakan fungsi satu variabel.
Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x, y ) dan misalkan
y = b.
Fungsi z = f (x, b ) merupakan fungsi satu variabel.
Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel,
∂f
f (a + h, b ) − f (a, b )
(a, b ) = lim
h →0
∂x
h
asalkan limit ini ada.
Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel
pertama ini adalah
D1 f (x, y ) atau Dx f (x, y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel
adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat
menggunakan fungsi satu variabel.
Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x, y ) dan misalkan
y = b.
Fungsi z = f (x, b ) merupakan fungsi satu variabel.
Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel,
∂f
f (a + h, b ) − f (a, b )
(a, b ) = lim
h →0
∂x
h
asalkan limit ini ada.
Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel
pertama ini adalah
D1 f (x, y ) atau Dx f (x, y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel
adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat
menggunakan fungsi satu variabel.
Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x, y ) dan misalkan
y = b.
Fungsi z = f (x, b ) merupakan fungsi satu variabel.
Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel,
∂f
f (a + h, b ) − f (a, b )
(a, b ) = lim
h →0
∂x
h
asalkan limit ini ada.
Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel
pertama ini adalah
D1 f (x, y ) atau Dx f (x, y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel
adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat
menggunakan fungsi satu variabel.
Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x, y ) dan misalkan
y = b.
Fungsi z = f (x, b ) merupakan fungsi satu variabel.
Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel,
∂f
f (a + h, b ) − f (a, b )
(a, b ) = lim
h →0
∂x
h
asalkan limit ini ada.
Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel
pertama ini adalah
D1 f (x, y ) atau Dx f (x, y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel
adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat
menggunakan fungsi satu variabel.
Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x, y ) dan misalkan
y = b.
Fungsi z = f (x, b ) merupakan fungsi satu variabel.
Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel,
∂f
f (a + h, b ) − f (a, b )
(a, b ) = lim
h →0
∂x
h
asalkan limit ini ada.
Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel
pertama ini adalah
D1 f (x, y ) atau Dx f (x, y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel
pertama ini adalah
∂f
D1 f (x, y ) atau Dx f (x, y ) atau
∂x
menyatakan bahwa ada variabel lain yang dianggap konstan.
Turunan Parsial
2
2
1
z
y
0
-1
0
-2
-2
-2
0
x
2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
3/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel
pertama ini adalah
∂f
D1 f (x, y ) atau Dx f (x, y ) atau
∂x
menyatakan bahwa ada variabel lain yang dianggap konstan.
Turunan Parsial
2
2
1
z
y
0
-1
0
-2
-2
-2
0
x
2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
3/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Carilah turunan terhadap parsial terhadap x dan y di titik (1, 2) jika
f (x, y ) = x 3 + 3x 2 y
Solution
Kita dapat menghitung
lim
h →0
f (1 + h, 2) − f (2)
h
atau
∂f
(x, y ) = 3x 2 + 6xy
∂x
kemudian x dan y masing-masing diganti dengan x = 1 dan y = 2.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Carilah turunan terhadap parsial terhadap x dan y di titik (1, 2) jika
f (x, y ) = x 3 + 3x 2 y
Solution
Kita dapat menghitung
lim
h →0
f (1 + h, 2) − f (2)
h
atau
∂f
(x, y ) = 3x 2 + 6xy
∂x
kemudian x dan y masing-masing diganti dengan x = 1 dan y = 2.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu
∂f
= 3x 2 + y 2
∂x
Carilah fungsi f (x, y )
Solution
Dalam hal ini
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y )
dengan C (y ) adalah fungsi yang bergantung pada y .
Perhatikan bahwa jika fungsi tersebut diturunkan terhadap y , maka
dC
= 0.
dx
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
5/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu
∂f
= 3x 2 + y 2
∂x
Carilah fungsi f (x, y )
Solution
Dalam hal ini
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y )
dengan C (y ) adalah fungsi yang bergantung pada y .
Perhatikan bahwa jika fungsi tersebut diturunkan terhadap y , maka
dC
= 0.
dx
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
5/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu
∂f
2
2
∂x = 3x + y . Carilah fungsi f (x, y )
Solution
Dalam hal ini f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ) dengan C (y ) adalah
fungsi yang bergantung pada y .
dC
dy
= 0, maka C . . .
Dengan demikian C harus merupakan konstanta.
Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C .
Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ).
Misalkan pula diketahui bahwa
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu
∂f
2
2
∂x = 3x + y . Carilah fungsi f (x, y )
Solution
Dalam hal ini f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ) dengan C (y ) adalah
fungsi yang bergantung pada y .
dC
dy
= 0, maka C . . .
Dengan demikian C harus merupakan konstanta.
Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C .
Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ).
Misalkan pula diketahui bahwa
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu
∂f
2
2
∂x = 3x + y . Carilah fungsi f (x, y )
Solution
Dalam hal ini f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ) dengan C (y ) adalah
fungsi yang bergantung pada y .
dC
dy
= 0, maka C . . .
Dengan demikian C harus merupakan konstanta.
Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C .
Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ).
Misalkan pula diketahui bahwa
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu
∂f
2
2
∂x = 3x + y . Carilah fungsi f (x, y )
Solution
Dalam hal ini f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ) dengan C (y ) adalah
fungsi yang bergantung pada y .
dC
dy
= 0, maka C . . .
Dengan demikian C harus merupakan konstanta.
Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C .
Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ).
Misalkan pula diketahui bahwa
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu
∂f
2
2
∂x = 3x + y . Carilah fungsi f (x, y )
Solution
Dalam hal ini f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ) dengan C (y ) adalah
fungsi yang bergantung pada y .
dC
dy
= 0, maka C . . .
Dengan demikian C harus merupakan konstanta.
Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C .
Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah
f (x, y ) = x 3 + y 2 x + C (y ).
Misalkan pula diketahui bahwa
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Diketahui fungsi satu variabel u = F (z ) dan fungsi dua variabel
z = g (x, y ). Fungsi komposisi keduanya adalah
u = F (g (x, y ))
Carilah
∂u
∂x
dan
∂u
∂y
Solution
Karena turunan parsial berkaitan dengan fungsi satu variabel, maka
turunan tersebut dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan
satu variabel.
Dalam hal ini
∂g
∂u
= F 0 (g (x, y ))
∂x
∂x
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
7/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Diketahui fungsi satu variabel u = F (z ) dan fungsi dua variabel
z = g (x, y ). Fungsi komposisi keduanya adalah
u = F (g (x, y ))
Carilah
∂u
∂x
dan
∂u
∂y
Solution
Karena turunan parsial berkaitan dengan fungsi satu variabel, maka
turunan tersebut dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan
satu variabel.
Dalam hal ini
∂g
∂u
= F 0 (g (x, y ))
∂x
∂x
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
7/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Example
Diketahui fungsi satu variabel u = F (z ) dan fungsi dua variabel
z = g (x, y ). Fungsi komposisi keduanya adalah
u = F (g (x, y ))
Carilah
∂u
∂x
dan
∂u
∂y
Solution
Karena turunan parsial berkaitan dengan fungsi satu variabel, maka
turunan tersebut dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan
satu variabel.
Dalam hal ini
∂g
∂u
= F 0 (g (x, y ))
∂x
∂x
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
7/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Istilah di Ekonomi
Example
Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi
produksi.
Misalkan z = βP α M 1−α menyatakan fungsi produksi dengan α, β
konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan
bahan mentah dan z jumlah hasil.
Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan.
Jadi
∂z
∂P
menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja.
Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi
jika pekerja ditambah satu satuan.
∂z
Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka ∂P
∂z
= 1 untuk
sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara ∂P
z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Istilah di Ekonomi
Example
Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi
produksi.
Misalkan z = βP α M 1−α menyatakan fungsi produksi dengan α, β
konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan
bahan mentah dan z jumlah hasil.
Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan.
Jadi
∂z
∂P
menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja.
Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi
jika pekerja ditambah satu satuan.
∂z
Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka ∂P
∂z
= 1 untuk
sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara ∂P
z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Istilah di Ekonomi
Example
Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi
produksi.
Misalkan z = βP α M 1−α menyatakan fungsi produksi dengan α, β
konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan
bahan mentah dan z jumlah hasil.
Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan.
Jadi
∂z
∂P
menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja.
Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi
jika pekerja ditambah satu satuan.
∂z
Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka ∂P
∂z
= 1 untuk
sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara ∂P
z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Istilah di Ekonomi
Example
Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi
produksi.
Misalkan z = βP α M 1−α menyatakan fungsi produksi dengan α, β
konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan
bahan mentah dan z jumlah hasil.
Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan.
Jadi
∂z
∂P
menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja.
Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi
jika pekerja ditambah satu satuan.
∂z
Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka ∂P
∂z
= 1 untuk
sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara ∂P
z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Istilah di Ekonomi
Example
Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi
produksi.
Misalkan z = βP α M 1−α menyatakan fungsi produksi dengan α, β
konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan
bahan mentah dan z jumlah hasil.
Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan.
Jadi
∂z
∂P
menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja.
Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi
jika pekerja ditambah satu satuan.
∂z
Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka ∂P
∂z
= 1 untuk
sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara ∂P
z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Istilah di Ekonomi
Example
Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi
produksi.
Misalkan z = βP α M 1−α menyatakan fungsi produksi dengan α, β
konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan
bahan mentah dan z jumlah hasil.
Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan.
Jadi
∂z
∂P
menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja.
Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi
jika pekerja ditambah satu satuan.
∂z
Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka ∂P
∂z
= 1 untuk
sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara ∂P
z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8/1
Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
9/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Istilah di Ekonomi
Example
∂z
Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka ∂P
∂z
= 1 untuk
sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara ∂P
z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100.
Untuk menghindari ini, nilai ini dibandingkan dengan z dan P.
Mereka menggunakan
P ∂z
z ∂P
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
9/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Istilah di Ekonomi
Example
∂z
Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka ∂P
∂z
= 1 untuk
sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara ∂P
z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100.
Untuk menghindari ini, nilai ini dibandingkan dengan z dan P.
Mereka menggunakan
P ∂z
z ∂P
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
9/1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Parsial dan Turunan
Istilah di Ekonomi
Example
∂z
Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka ∂P
∂z
= 1 untuk
sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara ∂P
z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100.
Untuk menghindari ini, nilai ini dibandingkan dengan z dan P.
Mereka menggunakan
P ∂z
z ∂P
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
9/1
Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
10 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Mempunyai Turunan Parsial Tidak Harus Kontinu
Example
Buktikan bahwa fungsi
f (x, y ) =
xy
x 2 +y 2
0
jika (x, y ) 6= (0, 0)
jika (x, y ) = (0, 0)
mempunyai turunan parsial, tetapi tidak kontinu di (0, 0)
Solution
Kita menghitung turunan parsial
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
∂f
(0, 0) = lim
h →0
∂x
h
Kita sudah melihat bahwa fungsi tersebut tidak kontinu di (0, 0).
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
10 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Mempunyai Turunan Parsial Tidak Harus Kontinu
Example
Buktikan bahwa fungsi
f (x, y ) =
xy
x 2 +y 2
0
jika (x, y ) 6= (0, 0)
jika (x, y ) = (0, 0)
mempunyai turunan parsial, tetapi tidak kontinu di (0, 0)
Solution
Kita menghitung turunan parsial
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
∂f
(0, 0) = lim
h →0
∂x
h
Kita sudah melihat bahwa fungsi tersebut tidak kontinu di (0, 0).
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
10 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
11 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita sudah melihat bahwa f 0 (a) = lim∆x →0
f (a + ∆x )−f (a )
∆x
atau
f (a + ∆x ) − f (a) = f 0 (a) ∆x + e (∆x )
e (∆x )
dengan lim∆x →0 ∆x = 0
Artinya, e (∆x ) lebih cepat menuju nol dibandingan ∆x jika ∆x → 0.
Untuk turunan parsial
∂f
∂x
(a, b ) = lim∆x →0
f (a + ∆x,b )−f (a,b )
∆x
atau
f (a + ∆x, b ) − f (a, b ) = f 0 (a, b ) ∆x + e (∆x )
dengan lim∆x →0 (∆x ) = 0
Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah,
e ∆x
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
11 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita sudah melihat bahwa f 0 (a) = lim∆x →0
f (a + ∆x )−f (a )
∆x
atau
f (a + ∆x ) − f (a) = f 0 (a) ∆x + e (∆x )
e (∆x )
dengan lim∆x →0 ∆x = 0
Artinya, e (∆x ) lebih cepat menuju nol dibandingan ∆x jika ∆x → 0.
Untuk turunan parsial
∂f
∂x
(a, b ) = lim∆x →0
f (a + ∆x,b )−f (a,b )
∆x
atau
f (a + ∆x, b ) − f (a, b ) = f 0 (a, b ) ∆x + e (∆x )
dengan lim∆x →0 (∆x ) = 0
Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah,
e ∆x
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
11 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita sudah melihat bahwa f 0 (a) = lim∆x →0
f (a + ∆x )−f (a )
∆x
atau
f (a + ∆x ) − f (a) = f 0 (a) ∆x + e (∆x )
e (∆x )
dengan lim∆x →0 ∆x = 0
Artinya, e (∆x ) lebih cepat menuju nol dibandingan ∆x jika ∆x → 0.
Untuk turunan parsial
∂f
∂x
(a, b ) = lim∆x →0
f (a + ∆x,b )−f (a,b )
∆x
atau
f (a + ∆x, b ) − f (a, b ) = f 0 (a, b ) ∆x + e (∆x )
dengan lim∆x →0 (∆x ) = 0
Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah,
e ∆x
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
11 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita sudah melihat bahwa f 0 (a) = lim∆x →0
f (a + ∆x )−f (a )
∆x
atau
f (a + ∆x ) − f (a) = f 0 (a) ∆x + e (∆x )
e (∆x )
dengan lim∆x →0 ∆x = 0
Artinya, e (∆x ) lebih cepat menuju nol dibandingan ∆x jika ∆x → 0.
Untuk turunan parsial
∂f
∂x
(a, b ) = lim∆x →0
f (a + ∆x,b )−f (a,b )
∆x
atau
f (a + ∆x, b ) − f (a, b ) = f 0 (a, b ) ∆x + e (∆x )
dengan lim∆x →0 (∆x ) = 0
Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah,
e ∆x
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
11 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita sudah melihat bahwa f 0 (a) = lim∆x →0
f (a + ∆x )−f (a )
∆x
atau
f (a + ∆x ) − f (a) = f 0 (a) ∆x + e (∆x )
e (∆x )
dengan lim∆x →0 ∆x = 0
Artinya, e (∆x ) lebih cepat menuju nol dibandingan ∆x jika ∆x → 0.
Untuk turunan parsial
∂f
∂x
(a, b ) = lim∆x →0
f (a + ∆x,b )−f (a,b )
∆x
atau
f (a + ∆x, b ) − f (a, b ) = f 0 (a, b ) ∆x + e (∆x )
dengan lim∆x →0 (∆x ) = 0
Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah,
e ∆x
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
11 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y )
+ f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Di suku f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ), bagian x yang berubah,
∂f
≈ ∂x
(a, b + ∆y ) ∆x
∂f
Di suku f (a, b + ∆y ) − f (a, b ), bagian y berubah ≈ ∂y
(a, b ) ∆y
∂f
∂f
∂f
Jika turunan ∂x kontinu, maka ∂x (a, b + ∆y ) ∆x ≈ ∂x (a, b ) ∆x
asalkan ∆x cukup kecil.
Dengan demikian
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) ≈
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
Resminya
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y )
+ f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Di suku f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ), bagian x yang berubah,
∂f
≈ ∂x
(a, b + ∆y ) ∆x
∂f
Di suku f (a, b + ∆y ) − f (a, b ), bagian y berubah ≈ ∂y
(a, b ) ∆y
∂f
∂f
∂f
Jika turunan ∂x kontinu, maka ∂x (a, b + ∆y ) ∆x ≈ ∂x (a, b ) ∆x
asalkan ∆x cukup kecil.
Dengan demikian
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) ≈
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
Resminya
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y )
+ f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Di suku f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ), bagian x yang berubah,
∂f
≈ ∂x
(a, b + ∆y ) ∆x
∂f
Di suku f (a, b + ∆y ) − f (a, b ), bagian y berubah ≈ ∂y
(a, b ) ∆y
∂f
∂f
∂f
Jika turunan ∂x kontinu, maka ∂x (a, b + ∆y ) ∆x ≈ ∂x (a, b ) ∆x
asalkan ∆x cukup kecil.
Dengan demikian
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) ≈
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
Resminya
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y )
+ f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Di suku f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ), bagian x yang berubah,
∂f
≈ ∂x
(a, b + ∆y ) ∆x
∂f
Di suku f (a, b + ∆y ) − f (a, b ), bagian y berubah ≈ ∂y
(a, b ) ∆y
∂f
∂f
∂f
Jika turunan ∂x kontinu, maka ∂x (a, b + ∆y ) ∆x ≈ ∂x (a, b ) ∆x
asalkan ∆x cukup kecil.
Dengan demikian
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) ≈
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
Resminya
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y )
+ f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Di suku f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ), bagian x yang berubah,
∂f
≈ ∂x
(a, b + ∆y ) ∆x
∂f
Di suku f (a, b + ∆y ) − f (a, b ), bagian y berubah ≈ ∂y
(a, b ) ∆y
∂f
∂f
∂f
Jika turunan ∂x kontinu, maka ∂x (a, b + ∆y ) ∆x ≈ ∂x (a, b ) ∆x
asalkan ∆x cukup kecil.
Dengan demikian
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) ≈
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
Resminya
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Kita dapat melakukan satu persatu perubahan.
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y )
+ f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Di suku f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ), bagian x yang berubah,
∂f
≈ ∂x
(a, b + ∆y ) ∆x
∂f
Di suku f (a, b + ∆y ) − f (a, b ), bagian y berubah ≈ ∂y
(a, b ) ∆y
∂f
∂f
∂f
Jika turunan ∂x kontinu, maka ∂x (a, b + ∆y ) ∆x ≈ ∂x (a, b ) ∆x
asalkan ∆x cukup kecil.
Dengan demikian
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) ≈
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
Resminya
∂f
∂f
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Resminya
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
e ∆x,∆y
asalkan lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 )
(∆x ) +(∆y )2
=0
Perhatikan bahwa suku
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
merupakan fungsi linear terhadap perubahan ∆x, ∆y
Jika ∆x = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel
untuk perubahan y .
Jika ∆y = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel
untuk perubahan x.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Resminya
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
e ∆x,∆y
asalkan lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 )
(∆x ) +(∆y )2
=0
Perhatikan bahwa suku
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
merupakan fungsi linear terhadap perubahan ∆x, ∆y
Jika ∆x = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel
untuk perubahan y .
Jika ∆y = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel
untuk perubahan x.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Resminya
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
e ∆x,∆y
asalkan lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 )
(∆x ) +(∆y )2
=0
Perhatikan bahwa suku
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
merupakan fungsi linear terhadap perubahan ∆x, ∆y
Jika ∆x = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel
untuk perubahan y .
Jika ∆y = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel
untuk perubahan x.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Resminya
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y
∂x
∂y
e ∆x,∆y
asalkan lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 )
(∆x ) +(∆y )2
=0
Perhatikan bahwa suku
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
merupakan fungsi linear terhadap perubahan ∆x, ∆y
Jika ∆x = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel
untuk perubahan y .
Jika ∆y = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel
untuk perubahan x.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
14 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Definition
Misalkan f (x, y ) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan
buka D dan (a, b ) ∈ D.
Diferensial fungsi dua variabel di titik (a, b ) adalah
df (a, b ) (∆x, ∆y ) =
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
(yaitu bagian linear untuk menaksir f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ))
jika
e (∆x, ∆y )
q
=0
lim
(∆x,∆y )→(0,0)
(∆x )2 + (∆y )2
Dengan penulisan di atas, maka
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
14 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Definition
Misalkan f (x, y ) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan
buka D dan (a, b ) ∈ D.
Diferensial fungsi dua variabel di titik (a, b ) adalah
df (a, b ) (∆x, ∆y ) =
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
(yaitu bagian linear untuk menaksir f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ))
jika
e (∆x, ∆y )
q
=0
lim
(∆x,∆y )→(0,0)
(∆x )2 + (∆y )2
Dengan penulisan di atas, maka
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
14 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Definition
Misalkan f (x, y ) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan
buka D dan (a, b ) ∈ D.
Diferensial fungsi dua variabel di titik (a, b ) adalah
df (a, b ) (∆x, ∆y ) =
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
(yaitu bagian linear untuk menaksir f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ))
jika
e (∆x, ∆y )
q
=0
lim
(∆x,∆y )→(0,0)
(∆x )2 + (∆y )2
Dengan penulisan di atas, maka
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
14 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Definition
Misalkan f (x, y ) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan
buka D dan (a, b ) ∈ D.
Diferensial fungsi dua variabel di titik (a, b ) adalah
df (a, b ) (∆x, ∆y ) =
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
(yaitu bagian linear untuk menaksir f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ))
jika
e (∆x, ∆y )
q
=0
lim
(∆x,∆y )→(0,0)
(∆x )2 + (∆y )2
Dengan penulisan di atas, maka
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
14 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Example
Tentukan diferensial fungsi f (x, y ) = xy di titik (a, b ).
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y = b∆x + a∆y
∂x
∂y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = (a + ∆x ) (b + ∆y ) − ab
= b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = ∆x · ∆y .
Karena lim
√ e(∆x,∆y )
= 0, maka diferensial tersebut
( ∆x,∆y )→(0,0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel
Banyak
∆y )2Bernilai Real
(∆x )2 +(
15 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Example
Tentukan diferensial fungsi f (x, y ) = xy di titik (a, b ).
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y = b∆x + a∆y
∂x
∂y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = (a + ∆x ) (b + ∆y ) − ab
= b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = ∆x · ∆y .
Karena lim
√ e(∆x,∆y )
= 0, maka diferensial tersebut
( ∆x,∆y )→(0,0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel
Banyak
∆y )2Bernilai Real
(∆x )2 +(
15 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Example
Tentukan diferensial fungsi f (x, y ) = xy di titik (a, b ).
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y = b∆x + a∆y
∂x
∂y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = (a + ∆x ) (b + ∆y ) − ab
= b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = ∆x · ∆y .
Karena lim
√ e(∆x,∆y )
= 0, maka diferensial tersebut
( ∆x,∆y )→(0,0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel
Banyak
∆y )2Bernilai Real
(∆x )2 +(
15 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Example
Tentukan diferensial fungsi f (x, y ) = xy di titik (a, b ).
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y = b∆x + a∆y
∂x
∂y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = (a + ∆x ) (b + ∆y ) − ab
= b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = ∆x · ∆y .
Karena lim
√ e(∆x,∆y )
= 0, maka diferensial tersebut
( ∆x,∆y )→(0,0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel
Banyak
∆y )2Bernilai Real
(∆x )2 +(
15 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
∂x (a, b ) ∆x + ∂y (a, b ) ∆y = b∆x + a∆y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = (a + ∆x ) (b + ∆y ) − ab
= b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = ∆x · ∆y .
e ∆x,∆y
Karena lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 )
(∆x ) +(∆y )2
= 0, maka diferensial tersebut
memang benar.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
16 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
∂x (a, b ) ∆x + ∂y (a, b ) ∆y = b∆x + a∆y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = (a + ∆x ) (b + ∆y ) − ab
= b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = ∆x · ∆y .
e ∆x,∆y
Karena lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 )
(∆x ) +(∆y )2
= 0, maka diferensial tersebut
memang benar.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
16 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
∂x (a, b ) ∆x + ∂y (a, b ) ∆y = b∆x + a∆y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = (a + ∆x ) (b + ∆y ) − ab
= b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = ∆x · ∆y .
e ∆x,∆y
Karena lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 )
(∆x ) +(∆y )2
= 0, maka diferensial tersebut
memang benar.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
16 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
∂x (a, b ) ∆x + ∂y (a, b ) ∆y = b∆x + a∆y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = (a + ∆x ) (b + ∆y ) − ab
= b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = ∆x · ∆y .
e ∆x,∆y
Karena lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 )
(∆x ) +(∆y )2
= 0, maka diferensial tersebut
memang benar.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
16 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Example
Diferensial fungsi f (x, y ) = xy di titik (a, b ) adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
| {z }
diferensialnya
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
∆y
b
b
b
a
b
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
∆x
b
17 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel
Example
Diferensial fungsi f (x, y ) = xy di titik (a, b ) adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = b∆x + a∆y + ∆x · ∆y
| {z }
diferensialnya
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
∆y
b
b
b
a
b
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
∆x
b
17 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel dan Turunan
Bentuk df (a, b ) (∆x, ∆y ) = A∆x + B ∆y dapat ditulis dalam bentuk
matriks
∆x
df (a, b ) (∆x, ∆y ) = A B
∆y
Dengan ∆x, ∆y sebagai variabel bebas, maka bentuk di atas dapat
∆x
dipandang sebagai nilai transformasi linear A B di titik
.
∆y
Transformasi linear tersebut ditulis sebagai turunan f di titik (a, b )
dan ditulis sebagai df (a, b ).
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = f (x ) sebagai
dy = f 0 (a) ∆x
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
18 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel dan Turunan
Bentuk df (a, b ) (∆x, ∆y ) = A∆x + B ∆y dapat ditulis dalam bentuk
matriks
∆x
df (a, b ) (∆x, ∆y ) = A B
∆y
Dengan ∆x, ∆y sebagai variabel bebas, maka bentuk di atas dapat
∆x
dipandang sebagai nilai transformasi linear A B di titik
.
∆y
Transformasi linear tersebut ditulis sebagai turunan f di titik (a, b )
dan ditulis sebagai df (a, b ).
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = f (x ) sebagai
dy = f 0 (a) ∆x
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
18 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel dan Turunan
Bentuk df (a, b ) (∆x, ∆y ) = A∆x + B ∆y dapat ditulis dalam bentuk
matriks
∆x
df (a, b ) (∆x, ∆y ) = A B
∆y
Dengan ∆x, ∆y sebagai variabel bebas, maka bentuk di atas dapat
∆x
dipandang sebagai nilai transformasi linear A B di titik
.
∆y
Transformasi linear tersebut ditulis sebagai turunan f di titik (a, b )
dan ditulis sebagai df (a, b ).
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = f (x ) sebagai
dy = f 0 (a) ∆x
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
18 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Diferensial Fungsi Dua Variabel dan Turunan
Bentuk df (a, b ) (∆x, ∆y ) = A∆x + B ∆y dapat ditulis dalam bentuk
matriks
∆x
df (a, b ) (∆x, ∆y ) = A B
∆y
Dengan ∆x, ∆y sebagai variabel bebas, maka bentuk di atas dapat
∆x
dipandang sebagai nilai transformasi linear A B di titik
.
∆y
Transformasi linear tersebut ditulis sebagai turunan f di titik (a, b )
dan ditulis sebagai df (a, b ).
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = f (x ) sebagai
dy = f 0 (a) ∆x
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
18 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Turunan fungsi didefinisikan secara formal sebagai
Definition
Misalkan f (x, y ) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan
buka D dan (a, b ) ∈ D.
Turunan fungsi f di titik (a, b ), ditulis sebagai df (a, b ), adalah
transformasi linear df (a, b ) yang memenuhi
|f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) − df (a, b ) (∆x, ∆y )|
=0
k(∆x, ∆y )k
(∆x,∆y )→(0,0)
lim
Perhatikan bahwa vektor atau matriks
∆x
∆y
ditulis sebagai
(∆x, ∆y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
19 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Turunan fungsi didefinisikan secara formal sebagai
Definition
Misalkan f (x, y ) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan
buka D dan (a, b ) ∈ D.
Turunan fungsi f di titik (a, b ), ditulis sebagai df (a, b ), adalah
transformasi linear df (a, b ) yang memenuhi
|f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) − df (a, b ) (∆x, ∆y )|
=0
k(∆x, ∆y )k
(∆x,∆y )→(0,0)
lim
Perhatikan bahwa vektor atau matriks
∆x
∆y
ditulis sebagai
(∆x, ∆y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
19 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Turunan fungsi didefinisikan secara formal sebagai
Definition
Misalkan f (x, y ) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan
buka D dan (a, b ) ∈ D.
Turunan fungsi f di titik (a, b ), ditulis sebagai df (a, b ), adalah
transformasi linear df (a, b ) yang memenuhi
|f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) − df (a, b ) (∆x, ∆y )|
=0
k(∆x, ∆y )k
(∆x,∆y )→(0,0)
lim
Perhatikan bahwa vektor atau matriks
∆x
∆y
ditulis sebagai
(∆x, ∆y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
19 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Example
Tentukan turunan fungsi f (x, y ) = px + qy di titik (a, b ).
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y = p∆x + q∆y
∂x
∂y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = p (a + ∆x ) + q (b + ∆y ) − pa − qb
= p · ∆x + q · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = 0, maka turunannya adalah df (a, b ) =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
p q
20 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Example
Tentukan turunan fungsi f (x, y ) = px + qy di titik (a, b ).
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y = p∆x + q∆y
∂x
∂y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = p (a + ∆x ) + q (b + ∆y ) − pa − qb
= p · ∆x + q · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = 0, maka turunannya adalah df (a, b ) =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
p q
20 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Example
Tentukan turunan fungsi f (x, y ) = px + qy di titik (a, b ).
Solution
Diferensial fungsi tersebut adalah
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y = p∆x + q∆y
∂x
∂y
Suku sisanya adalah
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = p (a + ∆x ) + q (b + ∆y ) − pa − qb
= p · ∆x + q · ∆y
Jadi e (∆x, ∆y ) = 0, maka turunannya adalah df (a, b ) =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
p q
20 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Example
Misalkan diketahui transformasi
T : R2 → R2
dengan matriks transformasinya adalah [T ] =
turunan transformasi ini.
p q . Tentukan
Solution
Transformasi linear di atas dapat dituliskan sebagai fungsi.
Nilai transformasi di (x, y ) adalah
T (x, y ) =
p q
x
y
= px + qy
Turunan fungsi ini sudah dibahas, yaitu dT (a, b ) =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
p q .
21 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Example
Misalkan diketahui transformasi
T : R2 → R2
dengan matriks transformasinya adalah [T ] =
turunan transformasi ini.
p q . Tentukan
Solution
Transformasi linear di atas dapat dituliskan sebagai fungsi.
Nilai transformasi di (x, y ) adalah
T (x, y ) =
p q
x
y
= px + qy
Turunan fungsi ini sudah dibahas, yaitu dT (a, b ) =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
p q .
21 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Turunan Fungsi Dua Variabel
Example
Misalkan diketahui transformasi
T : R2 → R2
dengan matriks transformasinya adalah [T ] =
turunan transformasi ini.
p q . Tentukan
Solution
Transformasi linear di atas dapat dituliskan sebagai fungsi.
Nilai transformasi di (x, y ) adalah
T (x, y ) =
p q
x
y
= px + qy
Turunan fungsi ini sudah dibahas, yaitu dT (a, b ) =
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
p q .
21 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu
Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan
Theorem
Jika fungsi dua variabel f mempunyai turunan di (a, b ), maka f kontinu di
(a, b )
Proof.
Kita menghitung nilai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Karena f mempunyai turunan, maka
e (∆x,∆y )
= 0, maka
lim(∆x,∆y )→(0,0) √
2
2
(∆x ) +(∆y )
lim
( ∆x,∆y )→(0,0)
e (∆x, ∆y ) = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
22 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu
Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan
Theorem
Jika fungsi dua variabel f mempunyai turunan di (a, b ), maka f kontinu di
(a, b )
Proof.
Kita menghitung nilai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Karena f mempunyai turunan, maka
e (∆x,∆y )
= 0, maka
lim(∆x,∆y )→(0,0) √
2
2
(∆x ) +(∆y )
lim
( ∆x,∆y )→(0,0)
e (∆x, ∆y ) = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
22 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu
Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan
Proof.
Kita menghitung nilai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Karena f mempunyai turunan, maka
e ∆x,∆y
lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 ) 2 = 0, maka
(∆x ) +(∆y )
lim(∆x,∆y )→(0,0) e (∆x, ∆y ) = 0
Karena df (a, b ) (∆x, ∆y ) linear terhadap ∆x, ∆y , maka
lim(∆x,∆y )→(0,0) df (a, b ) (∆x, ∆y ) = 0.
Jadi . . .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
23 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu
Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan
Proof.
Kita menghitung nilai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Karena f mempunyai turunan, maka
e ∆x,∆y
lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 ) 2 = 0, maka
(∆x ) +(∆y )
lim(∆x,∆y )→(0,0) e (∆x, ∆y ) = 0
Karena df (a, b ) (∆x, ∆y ) linear terhadap ∆x, ∆y , maka
lim(∆x,∆y )→(0,0) df (a, b ) (∆x, ∆y ) = 0.
Jadi . . .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
23 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu
Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan
Proof.
Kita menghitung nilai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Karena f mempunyai turunan, maka
e ∆x,∆y
lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 ) 2 = 0, maka
(∆x ) +(∆y )
lim(∆x,∆y )→(0,0) e (∆x, ∆y ) = 0
Karena df (a, b ) (∆x, ∆y ) linear terhadap ∆x, ∆y , maka
lim(∆x,∆y )→(0,0) df (a, b ) (∆x, ∆y ) = 0.
Jadi . . .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
23 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu
Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan
Proof.
Kita menghitung nilai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) = df (a, b ) (∆x, ∆y ) + e (∆x, ∆y )
Karena f mempunyai turunan, maka
e ∆x,∆y
lim(∆x,∆y )→(0,0) √ ( 2 ) 2 = 0, maka
(∆x ) +(∆y )
lim(∆x,∆y )→(0,0) e (∆x, ∆y ) = 0
Karena df (a, b ) (∆x, ∆y ) linear terhadap ∆x, ∆y , maka
lim(∆x,∆y )→(0,0) df (a, b ) (∆x, ∆y ) = 0.
Jadi . . .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
23 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Theorem
Jika fungsi f mempunyai turunan di (a, b ) maka
∂f
∂y (a, b ) ada dan
df (a, b ) (∆x, ∆y ) =
∂f
∂x
(a, b ) dan
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
∂f
∂f
dan ∂y
ada dan kontinu di lingkungan (a, b ),
Sebaliknya, jika ∂x
maka turunan df (a, b ) ada.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
24 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Theorem
Jika fungsi f mempunyai turunan di (a, b ) maka
∂f
∂y (a, b ) ada dan
df (a, b ) (∆x, ∆y ) =
∂f
∂x
(a, b ) dan
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
∂f
∂f
dan ∂y
ada dan kontinu di lingkungan (a, b ),
Sebaliknya, jika ∂x
maka turunan df (a, b ) ada.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
24 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
∂f
∂f
Sekarang sebaliknya, turunan parsial ∂x
dan ∂y
ada dan kontinu di
lingkungan (a, b ). Kita akan membuktikan bahwa df (a, b ) ada.
Seperti biasa, kita menghitung
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
yaitu sebagai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) + f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai
rata-rata dapat diperoleh
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) =
∂f
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x 25 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
∂f
∂f
Sekarang sebaliknya, turunan parsial ∂x
dan ∂y
ada dan kontinu di
lingkungan (a, b ). Kita akan membuktikan bahwa df (a, b ) ada.
Seperti biasa, kita menghitung
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
yaitu sebagai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) + f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai
rata-rata dapat diperoleh
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) =
∂f
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x 25 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
∂f
∂f
Sekarang sebaliknya, turunan parsial ∂x
dan ∂y
ada dan kontinu di
lingkungan (a, b ). Kita akan membuktikan bahwa df (a, b ) ada.
Seperti biasa, kita menghitung
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
yaitu sebagai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) + f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai
rata-rata dapat diperoleh
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) =
∂f
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x 25 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
∂f
∂f
Sekarang sebaliknya, turunan parsial ∂x
dan ∂y
ada dan kontinu di
lingkungan (a, b ). Kita akan membuktikan bahwa df (a, b ) ada.
Seperti biasa, kita menghitung
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
yaitu sebagai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) + f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai
rata-rata dapat diperoleh
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) =
∂f
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x 25 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
Seperti biasa, kita menghitung f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) yaitu
sebagai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) + f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai
rata-rata dapat diperoleh
∂f
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x
∂x
∂f
f (a, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b + θ2 ∆y ) ∆y
∂y
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) =
dengan 0 < θ1 , θ2 < 1.
Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka
∆x, ∆y
→ (0,
0) ITB)
,Variabel Banyak Bernilai Real
Wono Setya untuk
Budhi (KK(Analisis
dan )
Geometri,
FMIPA
Fungsi
26 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
Seperti biasa, kita menghitung f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) yaitu
sebagai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) + f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai
rata-rata dapat diperoleh
∂f
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x
∂x
∂f
f (a, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b + θ2 ∆y ) ∆y
∂y
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) =
dengan 0 < θ1 , θ2 < 1.
Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka
∆x, ∆y
→ (0,
0) ITB)
,Variabel Banyak Bernilai Real
Wono Setya untuk
Budhi (KK(Analisis
dan )
Geometri,
FMIPA
Fungsi
26 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
Seperti biasa, kita menghitung f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) yaitu
sebagai
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) + f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai
rata-rata dapat diperoleh
∂f
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x
∂x
∂f
f (a, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b + θ2 ∆y ) ∆y
∂y
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) =
dengan 0 < θ1 , θ2 < 1.
Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka
∆x, ∆y
→ (0,
0) ITB)
,Variabel Banyak Bernilai Real
Wono Setya untuk
Budhi (KK(Analisis
dan )
Geometri,
FMIPA
Fungsi
26 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai
rata-rata dapat diperoleh (dengan 0 < θ1 , θ2 < 1)
∂f
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x
∂x
∂f
f (a, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b + θ2 ∆y ) ∆y
∂y
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) =
Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka
untuk (∆x, ∆y ) → (0, 0) ,
∂f
∂f
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) =
(a, b )
∂x
( ∆x,∆y )→(0,0) ∂x
∂f
∂f
lim
(a, b + θ2 ∆y ) =
(a, b )
∂y
∂y
∆x,∆y
0,0
(
)→( )
lim
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
27 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai
rata-rata dapat diperoleh (dengan 0 < θ1 , θ2 < 1)
∂f
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x
∂x
∂f
f (a, b + ∆y ) − f (a, b ) =
(a, b + θ2 ∆y ) ∆y
∂y
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) =
Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka
untuk (∆x, ∆y ) → (0, 0) ,
∂f
∂f
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) =
(a, b )
∂x
( ∆x,∆y )→(0,0) ∂x
∂f
∂f
lim
(a, b + θ2 ∆y ) =
(a, b )
∂y
∂y
∆x,∆y
0,0
(
)→( )
lim
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
27 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
Resminya : f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
= f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
∂f
∂f
=
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x +
(a, b + θ2 ∆y ) ∆y
∂x
∂y
∂f
∂f
=
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y )
∂x
∂y
dengan
∂f
∂f
e (∆x, ∆y ) =
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) −
(a, b ) ∆x
∂x
∂x
∂f
∂f
+
(a, b + θ2 ∆y ) −
(a, b ) ∆y
∂y
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
28 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
Resminya : f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b )
= f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y ) − f (a, b )
∂f
∂f
=
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) ∆x +
(a, b + θ2 ∆y ) ∆y
∂x
∂y
∂f
∂f
=
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y + e (∆x, ∆y )
∂x
∂y
dengan
∂f
∂f
e (∆x, ∆y ) =
(a + θ1 ∆x, b + ∆y ) −
(a, b ) ∆x
∂x
∂x
∂f
∂f
+
(a, b + θ2 ∆y ) −
(a, b ) ∆y
∂y
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
28 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
Kita harus memperlihatkan
bahwa
∂f
∂f
e (∆x, ∆y ) = ∂x (a + θ1 ∆x, b + ∆y ) − ∂x
(a, b ) ∆x +
∂f
∂f
a,
b
+
θ
∆y
−
a,
b
∆y memenuhi
(
)
(
)
2
∂y
∂y
lim
(∆x,∆y )→(0,0)
e (∆x, ∆y )
q
(∆x )2 + (∆y )2
∆y
∆x
≤ 1 dan √
≤ 1, maka
Karena √
2
2
2
2
( ∆x ) +(∆y )
(∆x ) +(∆y )
∂f
≤ (a + θ1 ∆x, b + ∆y ) − ∂f (a, b ) + | . . .|
q e (∆x, ∆y )
∂x
∂x
(∆x )2 + (∆y )2 Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
29 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
Kita harus memperlihatkan
bahwa
∂f
∂f
e (∆x, ∆y ) = ∂x (a + θ1 ∆x, b + ∆y ) − ∂x
(a, b ) ∆x +
∂f
∂f
a,
b
+
θ
∆y
−
a,
b
∆y memenuhi
(
)
(
)
2
∂y
∂y
lim
(∆x,∆y )→(0,0)
e (∆x, ∆y )
q
(∆x )2 + (∆y )2
∆y
∆x
≤ 1 dan √
≤ 1, maka
Karena √
2
2
2
2
( ∆x ) +(∆y )
(∆x ) +(∆y )
∂f
≤ (a + θ1 ∆x, b + ∆y ) − ∂f (a, b ) + | . . .|
q e (∆x, ∆y )
∂x
∂x
(∆x )2 + (∆y )2 Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
29 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
∆y
∆x
√
√
≤
1
dan
Karena (∆x )2 +(∆y )2 ≤ 1, maka
( ∆x )2 +(∆y )2 ∂f
q e (∆x, ∆y )
≤ (a + θ1 ∆x, b + ∆y ) − ∂f (a, b ) + |serupa un
∂x
∂x
(∆x )2 + (∆y )2 ∂f
di (a, b ), maka untuk (∆x, ∆y ) → (0, 0),
Karena kekontinuan dari ∂x
maka bagian kanan menuju nol.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
30 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial
Proof.
∆y
∆x
√
√
≤
1
dan
Karena (∆x )2 +(∆y )2 ≤ 1, maka
( ∆x )2 +(∆y )2 ∂f
q e (∆x, ∆y )
≤ (a + θ1 ∆x, b + ∆y ) − ∂f (a, b ) + |serupa un
∂x
∂x
(∆x )2 + (∆y )2 ∂f
di (a, b ), maka untuk (∆x, ∆y ) → (0, 0),
Karena kekontinuan dari ∂x
maka bagian kanan menuju nol.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
30 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Contoh
Example
Dengan menggunakan diferensial, taksirlah nilai
√
3, 92 + 3, 12
Solution
Untuk mencari hampirannya, definisikan fungsi f (x, y ) =
yang mudah dihitung di titik (a, b ) = (4, 3)
p
x2 + y2
Kita akan menghitung nilai f (a + ∆x, b + ∆y ) dengan ∆x = . . . dan
∆y = . . .
Selanjutnya
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
4 1
3 1
=−
+
= −0, 02
5 10 5 10
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
Jadi f (a + ∆x, b + ∆y ) = f (a, b ) + (−0, 02)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
31 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Contoh
Example
Dengan menggunakan diferensial, taksirlah nilai
√
3, 92 + 3, 12
Solution
Untuk mencari hampirannya, definisikan fungsi f (x, y ) =
yang mudah dihitung di titik (a, b ) = (4, 3)
p
x2 + y2
Kita akan menghitung nilai f (a + ∆x, b + ∆y ) dengan ∆x = . . . dan
∆y = . . .
Selanjutnya
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
4 1
3 1
=−
+
= −0, 02
5 10 5 10
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
Jadi f (a + ∆x, b + ∆y ) = f (a, b ) + (−0, 02)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
31 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Contoh
Example
Dengan menggunakan diferensial, taksirlah nilai
√
3, 92 + 3, 12
Solution
Untuk mencari hampirannya, definisikan fungsi f (x, y ) =
yang mudah dihitung di titik (a, b ) = (4, 3)
p
x2 + y2
Kita akan menghitung nilai f (a + ∆x, b + ∆y ) dengan ∆x = . . . dan
∆y = . . .
Selanjutnya
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
4 1
3 1
=−
+
= −0, 02
5 10 5 10
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
Jadi f (a + ∆x, b + ∆y ) = f (a, b ) + (−0, 02)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
31 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Contoh
Example
Dengan menggunakan diferensial, taksirlah nilai
√
3, 92 + 3, 12
Solution
Untuk mencari hampirannya, definisikan fungsi f (x, y ) =
yang mudah dihitung di titik (a, b ) = (4, 3)
p
x2 + y2
Kita akan menghitung nilai f (a + ∆x, b + ∆y ) dengan ∆x = . . . dan
∆y = . . .
Selanjutnya
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
4 1
3 1
=−
+
= −0, 02
5 10 5 10
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) =
Jadi f (a + ∆x, b + ∆y ) = f (a, b ) + (−0, 02)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
31 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Interpretasi Geometri dari Diferensial
Untuk satu variabel
Dengan demikian
f (a + ∆x ) − f (a) ≈ f 0 (a) ∆x
f (x ) − f (a ) ≈ f 0 (a ) (x − a )
f (x ) ≈ f (a ) + f 0 (a ) (x − a ) = g (x )
dengan g (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) merupakan garis singgung.
y = g (x )
2
b
y = f (x )
A
1
−1
f
1
2
3
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4
5
32 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Interpretasi Geometri dari Diferensial
Untuk satu variabel
Dengan demikian
f (a + ∆x ) − f (a) ≈ f 0 (a) ∆x
f (x ) − f (a ) ≈ f 0 (a ) (x − a )
f (x ) ≈ f (a ) + f 0 (a ) (x − a ) = g (x )
dengan g (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) merupakan garis singgung.
y = g (x )
2
b
y = f (x )
A
1
−1
f
1
2
3
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4
5
32 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Interpretasi Geometri dari Diferensial
Untuk satu variabel
Dengan demikian
f (a + ∆x ) − f (a) ≈ f 0 (a) ∆x
f (x ) − f (a ) ≈ f 0 (a ) (x − a )
f (x ) ≈ f (a ) + f 0 (a ) (x − a ) = g (x )
dengan g (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) merupakan garis singgung.
y = g (x )
2
b
y = f (x )
A
1
−1
f
1
2
3
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4
5
32 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Interpretasi Geometri dari Diferensial
Untuk dua variabel
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
∂f
∂f
f (x, y ) − f (a, b ) ≈
(a, b ) (x − a) +
(a, b ) (y − b )
∂x
∂y
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) ≈
Dengan demikian
f (x, y ) ≈ f (a, b ) +
∂f
∂f
(a, b ) (x − a) +
(a, b ) (y − b ) = g (x, y )
∂x
∂y
dengan g (x, y ) = f (a, b ) +
merupakan bidang singgung.
∂f
∂x
(a, b ) (x − a) +
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
∂f
∂y
(a, b ) (y − b )
33 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Interpretasi Geometri dari Diferensial
Untuk dua variabel
∂f
∂f
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆y
∂x
∂y
∂f
∂f
f (x, y ) − f (a, b ) ≈
(a, b ) (x − a) +
(a, b ) (y − b )
∂x
∂y
f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b ) ≈
Dengan demikian
f (x, y ) ≈ f (a, b ) +
∂f
∂f
(a, b ) (x − a) +
(a, b ) (y − b ) = g (x, y )
∂x
∂y
dengan g (x, y ) = f (a, b ) +
merupakan bidang singgung.
∂f
∂x
(a, b ) (x − a) +
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
∂f
∂y
(a, b ) (y − b )
33 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Interpretasi Geometri dari Diferensial
Dengan demikian
f (x, y ) ≈ f (a, b ) +
∂f
∂f
(a, b ) (x − a) +
(a, b ) (y − b ) = g (x, y )
∂x
∂y
dengan g (x, y ) = f (a, b ) +
merupakan bidang singgung.
∂f
∂x
(a, b ) (x − a) +
∂f
∂y
(a, b ) (y − b )
200
100
z
10
0
5
-100
-200
0
-10
y
-5
0
-5
x
5
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
-10
34 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Interpretasi Geometri dari Diferensial
Dengan demikian
f (x, y ) ≈ f (a, b ) +
∂f
∂f
(a, b ) (x − a) +
(a, b ) (y − b ) = g (x, y )
∂x
∂y
dengan g (x, y ) = f (a, b ) +
merupakan bidang singgung.
∂f
∂x
(a, b ) (x − a) +
∂f
∂y
(a, b ) (y − b )
200
100
z
10
0
5
-100
-200
0
-10
y
-5
0
-5
x
5
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
-10
34 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Bidang Singgung
Bidang Singgung
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
35 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi
Diketahui z = f (x1 , . . . , xn ) formula dari fungsi n variabel dengan
nilai di bilangan.
Kita dapat mendefinisikan turunan parsial dari f , yaitu turunan
terhadap variabel ke xi adalah
∂f
atau Dxi f
∂xi
Turunan fungsi f di titik (a1 , . . . , an ) adalah
h
∂f
...
df(a1 ,...,an ) = ∂x
1
∂f
∂xn
i
dengan turunan parsial dihitung di titik (a1 , . . . , an ).
Diferensial fungsi f di titik (a1 , . . . , an ) dengan perubahan variabel
bebas ∆x1 , . . . ,∆xn atau dx1 , . . . , dxn adalah
df(a1 ,...,an ) (dx1 , . . . , dxn ) =
∂f
∂f
dx1 + . . . +
dxn
∂x1
∂xn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
36 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi
Diketahui z = f (x1 , . . . , xn ) formula dari fungsi n variabel dengan
nilai di bilangan.
Kita dapat mendefinisikan turunan parsial dari f , yaitu turunan
terhadap variabel ke xi adalah
∂f
atau Dxi f
∂xi
Turunan fungsi f di titik (a1 , . . . , an ) adalah
h
∂f
...
df(a1 ,...,an ) = ∂x
1
∂f
∂xn
i
dengan turunan parsial dihitung di titik (a1 , . . . , an ).
Diferensial fungsi f di titik (a1 , . . . , an ) dengan perubahan variabel
bebas ∆x1 , . . . ,∆xn atau dx1 , . . . , dxn adalah
df(a1 ,...,an ) (dx1 , . . . , dxn ) =
∂f
∂f
dx1 + . . . +
dxn
∂x1
∂xn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
36 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi
Diketahui z = f (x1 , . . . , xn ) formula dari fungsi n variabel dengan
nilai di bilangan.
Kita dapat mendefinisikan turunan parsial dari f , yaitu turunan
terhadap variabel ke xi adalah
∂f
atau Dxi f
∂xi
Turunan fungsi f di titik (a1 , . . . , an ) adalah
h
∂f
...
df(a1 ,...,an ) = ∂x
1
∂f
∂xn
i
dengan turunan parsial dihitung di titik (a1 , . . . , an ).
Diferensial fungsi f di titik (a1 , . . . , an ) dengan perubahan variabel
bebas ∆x1 , . . . ,∆xn atau dx1 , . . . , dxn adalah
df(a1 ,...,an ) (dx1 , . . . , dxn ) =
∂f
∂f
dx1 + . . . +
dxn
∂x1
∂xn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
36 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi
Diketahui z = f (x1 , . . . , xn ) formula dari fungsi n variabel dengan
nilai di bilangan.
Kita dapat mendefinisikan turunan parsial dari f , yaitu turunan
terhadap variabel ke xi adalah
∂f
atau Dxi f
∂xi
Turunan fungsi f di titik (a1 , . . . , an ) adalah
h
∂f
...
df(a1 ,...,an ) = ∂x
1
∂f
∂xn
i
dengan turunan parsial dihitung di titik (a1 , . . . , an ).
Diferensial fungsi f di titik (a1 , . . . , an ) dengan perubahan variabel
bebas ∆x1 , . . . ,∆xn atau dx1 , . . . , dxn adalah
df(a1 ,...,an ) (dx1 , . . . , dxn ) =
∂f
∂f
dx1 + . . . +
dxn
∂x1
∂xn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
36 / 1
Turunan Parsial dan Turunan
Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi
Penghampiran linear (”bidang singgung”)
g ( x1 , . . . , xn ) = f ( a 1 , . . . , a n ) +
∂f
∂f
( x − a1 ) + . . . +
( x − an )
∂x1
∂xn
200
100
z
10
0
5
-100
-200
0
-10
y
-5
0
-5
x
5
10
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
-10
37 / 1