Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang

Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
(Tulisan ini diadaptasi dari buku PDP yang disusun oleh Dr. Sri Redjeki Pudjaprasetia)
M. Jamhuri
UIN Malang
July 2, 2013
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
1 / 13
Metode Beda Hingga
Perhatikan persamaan gelombang
utt − c 2 uxx = 0
(1)
dengan syarat awal
u (x, 0) = φ (x) ,
dan
ut (x, 0) = ψ (x)
(2)
Persamaan beda skema CTCS (central time central space) untuk persamaan (1) adalah
sebagai berikut
n
ujn+1 − 2ujn + ujn−1
u n − 2ujn + uj−1
2 j+1
−
c
=0
(3)
∆t 2
∆x 2
atau dapat dituliskan sebagai
n
n
ujn+1 = S uj+1
+ uj−1
+ 2 (1 − S) ujn − ujn−1
(4)
dengan
c 2 ∆t 2
∆x 2
Perhatikan bahwa persamaan beda (4) memerlukan dua baris syarat awal, sementara
permasalahan kita hanya mempunyai syarat awal (2), yang berarti uj0 , untuk j = 1, . . . , Mx .
Untuk memperoleh uj1 terapkan beda pusat dengan akurasi O ∆t 2 pada ut |0j , yaitu
S=
uj1 − uj−1
2∆t
M. Jamhuri (UIN Malang)
(5)
= ψj
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
2 / 13
Persamaan (4) untuk n = 0 menghasilkan
0
0
+ 2 (1 − S) uj0 − uj−1
uj1 = S uj+1
+ uj−1
dan karena
−uj−1 = 2∆tψj − uj1
maka diperoleh
0
0
+ 2 (1 − S) uj0 + 2∆tψj − uj1
uj1 = S uj+1
+ uj−1
atau
uj1 =
S 0
0
uj+1 + uj−1
+ (1 − S) uj0 + ∆tψj
2
(6)
Berikutnya, substitusikan kondisi uj0 = φj pada persamaan (6) sehingga diperoleh
uj1 =
S 0
φj+1 + φ0j−1 + (1 − S) φ0j + ∆tψj
2
(7)
Jadi, persamaan beda (4) dapat diterapkan dengan menggunakan uj0 = φj dan persamaan
(7) sebagai nilai awal untuk dua baris pertama.
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
3 / 13
Syarat Kestabilan
Syarat kestabilan dari persamaan beda (4) dapat dicari dengan cara mensubstitusikan
ujn = ρn e iaj kedalam persamaan tersebut, yaitu
ρn+1 e iaj = S ρn e ia(j+1) + ρn e ia(j−1) + 2 (1 − S) ρn e iaj − ρn−1 e iaj
selanjutnya bagi persamaan diatas dengan ρn e iaj , sehingga diperoleh
ρ = S e ia + e −ia + 2 (1 − S) − ρ−1
(8)
Karena e ±ia = cos a ± i sin a, maka persamaan (8) dapat ditulis sebagai
ρ
=
S ([cos a + i sin a] + [cos a − i sin a]) + 2 (1 − S) − ρ−1
2
=
[2S (cos a − 1) + 2] ρ − 1
ρ
atau
ρ2 − [2S (cos a − 1) + 2] ρ + 1 = 0
(9)
Misalkan S (cos a − 1) = p, maka diperoleh
ρ2 − (2p + 2) ρ + 1 = 0
sehingga akar-akarnya adalah
ρ1 = (p + 1) +
p
p 2 + 2p
ρ2 = (p + 1) −
p
p 2 + 2p
dan
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
4 / 13
Nilai dari ρ1 dan ρ2 terbagi menjadi tiga kasus yaitu:
1
2
3
Jika p 2 + 2p > 0 dan p < −2, diperoleh ρ1 dan ρ2 bernilai riil dan salah satu diantaranya
bernilai < −1, jadi skema tidak stabil.
Jika p 2 + 2p < 0 dan −2 < p ≤ 0, diperoleh ρ1 dan ρ2
p
ρ1,2 = (p + 1) ± i −p 2 − 2p
merupakan bilangan kompleks dengan |ρ1,2 | = 1. Jadi ρ1,2 = cos θ + i sin θ.
Jika p = −2, maka akan diperoleh ρ = −1.
Dengan demikian, skema beda hingga stabil jika p ∈ [−2, 0] , ∀a, dan
−2 ≤ S (cos a∆x − 1) ≤ 0,
∀a
dan karena −2 ≤ cos a∆x − 1 ≤ 0, ∀a, maka diperoleh
−2 ≤ −2S ≤ 0
atau
0<S ≤1
Jasi syarat kestabilan untuk persamaan gelombang skema CTCS adalah
S = c2
M. Jamhuri (UIN Malang)
∆t 2
≤1
∆x 2
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
5 / 13
Kekonsistenan
Perhatikan uraian deret Taylor berikut:
ujn±1
=
n
uj±1
=
1 2
1
1
∆t utt |nj ± ∆t 3 uttt |nj +
∆t 4 utttt |nj + · · ·
(10)
2
6
24
1
1
1
∆x 4 uxxxx |nj + · · · (11)
ujn ± ∆x ux |nj + ∆x 2 uxx |nj ± ∆x 3 uxxx |nj +
2
6
24
ujn ± ∆t ut |nj +
Dari persamaan (10) dan (11) diperoleh
1
1
n
n
∆x 4 uxxxx |nj + · · ·
uj+1
+ uj−1
= 2 ujn + ∆t 2 uxx |nj +
2
24
1
1 2
n−1
n
n+1
n
∆x 4 utttt |nj + · · ·
uj
+ uj
= 2 uj + ∆t utt |j +
2
24
(12)
(13)
Substitusikan persamaan (12) dan (13) ke dalam persamaan beda (4) dan dengan sedikit
manipulasi aljabar di peroleh
2ujn +∆t 2 utt |nj +
2
2
∆t 4 utttt |nj −2Sujn −S∆x 2 uxx |nj −S ∆x 4 uxxxx |nj = 2 (1 − S) ujn (14)
24
24
Persamaan (14) diatas dapat disederhanakan menjadi
n
n
2
⇔ ∆t 2 utt − c 2 uxx j +
∆t 4 utttt − S∆x 4 uxxxx j
24
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
6 / 13
Skema diatas konsisten, Selanjutnya suku pertama truncation terms-nya adalah
2
∆t 4 utttt − S∆x 4 uxxxx
4!
=
=
2
∆t 4 c 2 uxxxx − S∆x 4 uxxxx
4!
2
∆x 4 S 2 − S uxxxx
4!
yang berupa suku difusi, dan akan bernilai nol jika dan hanya jika S 2 − S = 0 atau
S = c2
M. Jamhuri (UIN Malang)
∆t 2
=1
∆x 2
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
7 / 13
Simulasi
Perhatikan persamaan gelombang utt = uxx , untuk 0 ≤ x ≤ 10, dengan syarat batas
ux (0, t) = 0 dan u (10, t) = 0, dan syarat awal ut (x, 0) = 0 dan
(
2
(x − 3)2 (x − 7)2 , 3 ≤ x ≤ 7
u (x, 0) = 16
0,
untuk x lainnya
Terapkan skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang. Gunakan pula hampiran
orde-2 untuk menaksir u (x, ∆t) , juga untuk syarat batas kiri.
Jika dipilih ∆x = 1, diperoleh suatu hampiran bagi simpangan awal berikut
u (x, 0)
=
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
Hitung u (x, t) untuk beberapa selang waktu (hand-calculation), pilih ∆t = 1. Apa yang anda
lihat pada batas?
Implementasikan dan simulasikan perpecahan gundukan awal sampai gelombang pecahannya
menabrak batas kanan dan kiri, kemudian berbalik. Amatilah!
Kerjakan soal (c) namun simpangan awal nol, dan kecepatan awal
(
1, |x − 5| ≤ 1
ut (x, 0) =
0, x lainnya
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
8 / 13
Jawaban Soal 1.b
Jawaban Soal 1.a
Skema beda hingga orde-2 untuk
persamaan gelombang diatas adalah
n
n
ujn+1 = S uj+1
+ uj−1
+ 2 (1 − S) ujn − ujn−1
(15)
untuk ∆x = ∆t = 1, maka S = 1 dan
persamaan (15), menjadi
n
n
ujn+1 = uj+1
+ uj−1
− ujn−1
untuk j = 0, dan n = 0 maka
0
u(−1)
= u10
dengan
S=
∆t 2
∆x 2
Hampiran orde-2 untuk syarat awal
ut (x, 0) = 0 adalah
uj1 − uj−1
=0
∆t
uj−1 = uj1
(16)
n
u1n − u−1
M. Jamhuri (UIN Malang)
dan
u0−1 = u01
(19)
substitusikan (19) ke persamaan (18)
untuk n = 0, dan j = 0 diperoleh
u01 = u10
(20)
untuk n = 0, dan j = 1 · · · (Mx − 1),
berlaku
Hampiran orde-2 untuk syarat batas
kiri ux (0, t) = 0 adalah
=0
2∆t
n
u(−1)
= u1n
(18)
(17)
0
uj1 = uj+1
+ uj−1 − uj−1
dengan mensubstitusikan (16) pada
persamaan diatas diperoleh
uj1 =
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
0
0
+ uj−1
uj+1
2
July 2, 2013
(21)
9 / 13
Jawaban soal 1.b
untuk n = 1 · · · Nt dan j = 0, berlaku
n
u0n+1 = u1n + u−1
− u0n−1
dan dengan mensubstitusikan (17) pada persamaan diatas diperoleh
u0n+1 = 2u1n − u0n−1
(22)
Dengan menggunakan kondisi awal dan kondisi batas (20), (21), dan (22) diperoleh hasil
sebagai berikut:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
t/x
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
0
M. Jamhuri (UIN Malang)
0
0
0
0.5
1
1
1
0.5
0
0
0
1
0
0
0.5
1
0.5
0
0.5
1
0.5
0
0
2
0
0.5
1
0.5
0
0
0
0.5
1
0.5
0
3
0
1
0.5
0
0
0
0
0
0.5
1
1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
5
0
−1
−0.5
0
0
0
0
0
0.5
1
1
6
0
−0.5
−1
−0.5
0
0
0
0.5
1
0.5
0
7
0
0
−0.5
−1
−0.5
0
0.5
1
0.5
0
0
8
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
0
0
0
−0.5
−1
0
1
0.5
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
July 2, 2013
10 / 13
Jawaban Soal 1.c
Persamaan beda untuk persamaan gelombang utt = uxx adalah
n
n
ujn+1 = S uj+1
+ 2 (1 − S) ujn − ujn−1 ,
+ uj−1
untuk j = 0, dan n = 0, maka persamaan (23)
menjadi
0
u01 = S u10 + u−1
+ 2 (1 − S) u00 − u0−1 (24)
substitusikan persamaan (16) untuk j = 0, dan
persamaan (17) untuk n = 0 pada persamaan
(24), diperoleh
u01 = S u10 + u10 + 2 (1 − S) u00 − u01
2u01 = 2Su10 + 2 (1 − S) u00
(23)
uj1 =
S 0
0
+ (1 − S) uj0
uj+1 + uj−1
2
(27)
untuk j = 0 dan n = 2 · · · Nt persamaan
(23) menjadi
n
u0n+1 = S u1n + u−1
+2 (1 − S) u0n − u0n−1 (28)
(25)
untuk n = 0 dan j = 1 · · · (Mx − 1) persamaan
(23) menjadi
0
0
uj1 = S uj+1
+ uj−1
+ 2 (1 − S) uj0 − uj−1
M. Jamhuri (UIN Malang)
∆t 2
∆x 2
dengan menggunakan (16), persamaan
(26) menjadi
atau
u01 = Su10 + (1 − S) u00
S=
dengan menggunakan (17), persamaan
(28) menjadi
u0n+1 = 2Su1n + 2 (1 − S) u0n − u0n−1
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
(29)
11 / 13
Simulasi Soal 1.c
Hasil Simulai
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
12 / 13
Simulasi Soal 1.d
Hasil Simulasi
M. Jamhuri (UIN Malang)
Metode Beda Hingga pada Persamaan Gelombang
July 2, 2013
13 / 13