KATA PENGANTAR Puji dan syukur saya panjatkan kepada Tuhan

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas selesainya makalah yang
membahas vektor matematika ini. Atas dukungan moral dan materil yang diberikan dalam
penyusunan makalah ini, saya mengucapkan banyak terima kasih kepada Ibu Dra. Titik Rohayati,
S.Pd. selaku guru mata pelajaran matematika yang telah memberikan tugas ini.
Saya sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta
pengetahuan kita mengenai vektor matematika. Saya juga menyadari sepenuhnya bahwa di
dalam makalah ini terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, saya
berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan makalah yang telah saya buat di
masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang
membangun.
Semoga makalah sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya
makalah yang telah disusun ini dapat berguna bagi saya sendiri maupun orang yang
membacanya. Sebelumnya saya mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang
kurang berkenan dan saya memohon kritik dan saran yang membangun dari Anda demi
perbaikan makalah ini di waktu yang akan datang.
Ketapang, 8 Agustus 2015,
Penyusun
1
Daftar Isi
:
Bab 1 Pendahuluan............................................................................................................1
I.1 Latar Belakang...............................................................................................................1
I.2 Rumusan Masalah..........................................................................................................1
I.3 Tujuan dan Manfaat Penulisan....................................................................................1
I.4 Sistematika Penulisan....................................................................................................2
BAB II PEMBAHASAN....................................................................................................2
II.1 Pengertian Vektor........................................................................................................2
II.2 Fungsi Vektor Secara Matematika.............................................................................6
II.3 Soal dan Pembahasan Vektor.....................................................................................7
II.4 Fungsi Vektor Dalam Penerapan Sehari Hari.........................................................14
BAB III PENUTUP..........................................................................................................16
III.1 Kesimpulan...............................................................................................................16
III.2 Saran.........................................................................................................................16
2
BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Bicara tentang fungsi vektor, ada baiknya jika kita tahu terlebih dahulu apa itu vektor.
Dalam fisika kita mengenal vektor sebagai sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah.
Sedangkan dalam matematika, vektor adalah anggota dari ruang vektor. Secara geometris,
vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan besar vektor
dan anak panah menyatakan arah vektor.
Pada dasarnya, setiap bagian dari matematika memiliki fungsi masing-masing. Baik
fungsi matematisnya, penerapannya dalam kehidupan maupun kaitannya dengan ilmu agama.
Tidak terkecuali dengan vektor. Secara matematis, kita kadang-kadang menyatakan bahwa
sebuah fungsi vektor A (x,y,z) mendefinisikan suatu medan vektor karena mengaitkan suatu
vektor dengan setiap titik di suatu daerah. Sementara dari segi kehidupan manusianya, vektor
berfungsi misalnya dalam hal teknologi GPS. Sedangkan dari segi agamis, vektor dapat
memperlihatkan betapa mulianya Allah SWT. yang telah menciptakan alam semesta beserta
manusia dengan sempurnanya.
Kadang kala, muncul sebuah pertanyaan dari kalangan peserta didik, dimana mereka
menanyakan apa tujuannya, atau apa pentingnya kita mempelajari perihal bidang
pembelajaran seperti ini? Vektor, Fungsi vektor, turunan fungsi vektor, bukankah dalam
kehidupan sehari-hari kita tidak akan ditanyai orang-orang tentang apa itu vektor? Atau
mereka tidak akan bertanya, berapa hasil dari turunan vektor berikut ini. terdengar lucu
memang, namun akan lebih baik jika kita bisa menjelaskan sedikit bagaimana aplikasi dari
vektor ini dalam kehidupan manusia. Sehingga mempelajarinya bukanlah sebuah kesia-siaan.
Maka dari itu, akhirnya penulis memutuskan untuk membahas tentang Fungsi Vektor ditilik
dari segi matematikanya, dalam penerapan sehari hari dan agamanya.
I.2 Rumusan Masalah
Melalui latar belakang di atas, maka adapun yang menjadi rumusan masalah:
1.
2.
3.
4.
Apa yang dimaksud dengan vektor itu?
Seperti apakah fungsi vektor dilihat dari segi matematika?
Bagaimanakah fungsi vektor dalam penerapan sehari hari?
Bagaimana pula fungsi vektor dilihat dari segi agama?
I.3 Tujuan dan Manfaat Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penulisan ini adalah:
1.
2.
3.
4.
Mengetahui apa yang dimaksud dengan vektor.
Mengetahui fungsi vektor secara matematika.
Mengetahui fungsi vektor dalam penerapan sehari hari.
Mengetahui fungsi vektor dilihat dari segi agama.
Sementara untuk manfaat dari penulisan ini, penulis berharap kita tidak lagi bertanya untuk
apa kita mempelajari fungsi vektor, apa pentingnya mempelajari fungsi vektor. Penulis
berharap, kita semua mengerti bahwa tidak ada sedikitpun yang sia-sia dari sebuah proses
pembelajaran.
3
I.4 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas 3 Bab. Bab pertama yaitu pendahuluan, berisi latar belakang,
rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penuisan dan sistematika penulisan. Bab kedua
berisi pembahasan, dimana pada bab ini, saya menjelaskan apa-apa saja terkait dalam
rumusan masalah yang telah dirancang sebelumnya. Dan pada bab terakhir, saya menjelaskan
perihal kesimpulan dari seluruh pembahasan disertai dengan saran
.
BAB II
PEMBAHASAN
II.1 Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh sebuah kapal bergerak
dengan kecepatan sebesar 20 knot pada arah 30 derajat dari suatu pelabuhan. Dari pernyataan
di atas dapat dipahami bahwa kapal tersebut bergerak dengan kecepatan 20 knot yang
merupakan besaran, selain itu dijelaskan juga arah yang ditempuh, yaitu 30 derajat dari
pelabuhan.
Penggambaran vektor:
Untuk menyatakan suatu vektor dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan menggambar ruas garis dengan anak panah di salah satu
ujungnya. Panjang ruas garis mewakili besar (panjang) vektor dan anak panah mewakili arah
vektor. Vektor disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan huruf yang digaris bawah.
Macam-macam vektor:
1.
Vektor Satuan
: Vektor yang memiliki arah, meskipun hanya bernilai satu.
4
2.
Vektor Nol
3.
Vektor Negatif : Negatif sebagai penunjuk arahnya.
4.
Vektor Posisi
5.
Vektor Ortogonal: Vektor basis pada dimensi tiga.
6.
Vektor Basis
: Vektor yang titik awal dan akhirnya sama.
: Vektor yang menempati posisi pada bidang kartesius.
: Vektor yang menempati suatu kartesius.
5
7.
Vektor Resultan : Vektor yang menjadi hasil dari semua vektor.
II.2 Fungsi Vektor Secara Matematika
Secara matematisnya, dijelaskan dungsi dari vektor itu ialah sebagai berikut:
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A dinamakan
suatu fungsi u yang dilambangkan dengan A(u). Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
Konsep fungsi ini dapat dengan mudah diperluas. Jadi kita untuk setiap titik (x, y, z)
dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A adalah fungsi dad (x, y, z) dan dinyatakan dengan
A(x, y, z) = A1(x, y, z)i + A2(x, y, z)j + A3(x, y, z)k.
Kita kadang-kadang menyatakan bahwa sebuah fungsi vektor A(x, y, z) mendefinisikan suatu medan vektor karena mengaitkan suatu vektor dengan setiap titik di suatu
daerah. Dengan cara yang sama 4(x, y, z) mendefinisikan suatu medan skalar karena
mengaitkan suatu skalar dengan setiap titik di suatu daerah.
Limit, kontinuitas dan turunan fungsi vektor mengikuti aturan yang serupa untuk
fungsi skalar yang bersangkutan. Pernyataan berikut menunjukkan kesamaan yang ada.
1. Fungsi vektor A(u) dikatakan kontinu di u0 jika diberikan suatu bilangan positif , kita dapat
menentukan suatu bilangan positif . Sehingga < bilamana < . Hal ini ekivalen dengan
pernyataan = A(u0).
2. Turunan dari A(u) didefinisikan sebagai dengan syarat limit ini ada. Jika
A(u)=A1(u)i+A2(u)j+A3(u)k ; maka, .
Konsep yang sama akan berlaku untuk turunan lebih tinggi seperti dst.
Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu partikel dalam ruang.
Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor, maka ruang tersebut
disebut medan vektor. Contoh medan vektor, misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan
sebagainya) dalam suatu ruangan.
6
Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi skalar, dan suatu ruang
yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu vektor disebut medan skalar.
Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu ruang atau batang
besi, pada suatu saat.
II.3 Soal dan Pembahasan Vektor
Soal No. 1
Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom
b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ
Pembahasan
Titik P berada pada koordinat (3, 1)
Titik Q berada pada koordinat (7,4)
a) PQ dalam bentuk vektor kolom
b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
PQ = 4i + 3j
c) Modulus vektor PQ
Soal No. 2
Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:
7
Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:
a) Koordinat titik S
b) Koordinat titik V
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
e) Modulus atau panjang SV
Pembahasan
a) Koordinat titik S
x=5
y=0
z=5
(5, 0, 5)
b) Koordinat titik V
x = 10
y = 10
z=0
(10, 10, 0)
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
SV = 5i + 10j − k
e) Modulus atau panjang SV
Soal No. 3
Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua
vektor adalah 1/3 . Tentukan:
a) |a + b|
8
b) |a – b|
Pembahasan
a) |a + b|
Jumlah dua buah vektor
b) |a – b|
Selisih dua buah vektor
Soal No. 4
Dua buah vektor masing-masing:
p = 3i + 2j + k
q = 2i – 4 j + 5k
Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!
Pembahasan
Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k
Dengan rumus penjumlahan
9
Soal No. 5
Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b
adalah…..
A. 4/3
B. 8/9
C. ¾
D. 3/8
E. 8/36
(Soal Ebtanas Tahun 2000)
Pembahasan
Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:
Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:
Soal No. 6
Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a
pada vektor b adalah....
A. i − j + k
B. i − 3j + 2k
C. i − 4j + 4k
D. 2i − j + k
10
E. 6i − 8j + 6k
(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)
Pembahasan
Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi
vektor ortogonal).
Soal No. 7
Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah....
A. 1/8 π
B. 1/4 π
C. 1/3 π
D. 1/2 π
E. 2/3 π
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut antara dua buah vektor:
Soal No. 8
Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u
dan v. Besar sudut antara u dan v adalah....
A. 0
B. 1/4 π
C. 1/2 π
D. 3/4 π
E. π
11
(Soal Ebtanas 1989 - Vektor)
Pembahasan
Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:
u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k
v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j
Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π
Soal No. 9
Diketahui
Proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah....
A. 1/2
B. 1/2 √2
C. 1/14√14
D. 2√14
E. 7/2√14
Pembahasan
2u + 3v misalkan dinamakan r
Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah
12
Soal No. 10
Diberikan tiga buah vektor masing-masing:
a = 6p i + 2p j − 8 k
b = −4 i + 8j + 10 k
c=−2i+3j−5k
Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah.....
A. − 58 i − 20 j − 3k
B. − 58 i − 23 j − 3k
C. − 62 i − 17 j − 3k
D. − 62 i − 20 j − 3k
E. − 62 i − 23 j − 3k
Pembahasan
Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama
dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:
a⋅b=0
(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0
− 24p + 16p − 80 = 0
− 8p = 80
p = − 10
Dengan demikian vektor a adalah
a = 6p i + 2p j − 8 k
a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k
a = −60 i − 20 j − 8 k
a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k)
a − c = − 58 i − 23 j − 3k
13
II.4 Fungsi Vektor Dalam Penerapan Sehari Hari
Dalam dunia manusia ini, memang tidak serta merta kita dapat mlihat fungsi dari
vektor tersebut. Namun, fungsi itu ada dan itulah sebabnya mata pelajaran/mata kuliah ini
tetap dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain yaitu:
1. Sarana transportasi darat, laut, maupun udara masing-masing memiliki peluang yang sama
untuk terjadinya kecelakaan. Apabila kecelakaan teradi di tengah lautan lepas tentunya kapal
yang mengalami kerusakan hars dibawa ke pelabuhan terdekat untuk segera diperbaiki.
Untuk menarik kapal tersebut dibutuhkan dua buah kapal dengan dilengkapi kawat baja. Agar
kapal dapat sampai ke pelabuhan yan dituju dan posisi kapal selama perjalanan tetap stabil
besar gaya yang dibutuhkan oleh masing-masing kapal penarik dan sudut yang di bentuk oleh
kawat baja harus diperhitungkan dengan cermat.
2. Dalam Navigasi, vektor berpengaruh besar terhadap keberadaan suatu lokasi ditinjau dari
tempat yang bergerak (kendaraan atau lainnya). Teknologi ini disebut Global Positioning
System atau GPS. Dimana sistem ini memberitahukan lokasi di permukaan bumi walaupun
tempatnya bergerak. Sehingga, suatu kendaraan dapat tahu keberadaannya dan dimana lokasi
tujuannya. Karena itu vektor sangat berperan penting dalam Navigasi contohnya vector yang
digunakan untuk Sistem Navigasi Pesawat Terbang. Semua pesawat terbang dilengkapi
dengan sistem navigasi agar pesawat tidak tersesat dalam melakukan penerbangan. Panelpanel instrument navigasi pada kokpit pesawat memberikan berbagai informasi untuk sistem
navigasi mulai dari informasi tentang arah dan ketinggian pesawat. Pengecekan terhadap
instrument sistem navigasi harus seteliti dan seketat mungkin. Sebagai contoh kejadian yang
menimpa pesawat Adam Air pada bulan pebruari 2006 sewaktu menjalani penerbangan dari
bandara Soekarno Hatta menuju bandara Hasanudin di Makasar. Ketidaktelitian pihak
otoritas penerbangan yang mengijinkan pesawat Adam Air terbang dengan sistem navigasi
yang tidak berfungsi menyebabkan Pesawat Adam Air berputar-putar di udara tanpa tahu
arah selama tiga jam, sebelum mendarat darurat di bandara El Tari Nusa Tenggara Timur.
Kesalahan akibat tidak berfungsinya system navigasi adalah kesalahan yang fatal dalam
dunia penerbangan. Sanksi yang diberikan adalah dicabutnya ijin operasi bagi maskapai
penerbangan yang melanggar. Vektor menyatakan arah dan besar suatu besaran. Jurusan tiga
angka, Analisi ruang, Navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk
keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah
dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual atau digital.
Keluaran itu dapat dibaca pada pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan,
sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya.
3. Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan gravis. Grafis adalah gambar
yang tersusun dari koordinat-koordinat. Dengan demikian sumber gambar yang muncul pada
layar monitor komputer terdiri atas titik-titik yang mempunyai nilai koordinat. Layar Monitor
berfungsi sebgai sumbu koordinat x dan y. Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk
melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu.
Contoh software yang menggunakan vektor adalah CorelDRAW dan Adobe Illustrator.
Dalam software komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat penghitungan
vektor yang terkomputerisasi. Program tersebut berfungsi sebagai penggambar rancangan
bangunan 3D sebelum membangun bangunan sebenarnya. Dalam progeam tersebut terdapat
tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3 dimensional).
14
4. Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal,
tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong
angin.
5. Saat perahu menyebrangi sungai, makan kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan
kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.
6. Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya, sebenarnya
arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua unjung busur
tersebut.
7. Metode vektor juga diaplikasikan terhadap seseorang yang sedang bermain layanglayang. Sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang
memegang tali layangan. Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas
karena ada pengaruh vektor.
8. Pada saat seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang miring menggunakan gaya
vektor, sehingga anal tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.
9. Seorang pilot pada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi.
15
BAB III
PENUTUP
III.1 Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Untuk menyatakan suatu
vektor dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di salah satu ujungnya. Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak panah mewakili arah vektor. Vektor disimbolkan
dengan huruf tebal atau dengan huruf yang digaris bawahi.
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A dinamakan
suatu fungsi u yang dilambangkan dengan A (u). Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k . Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu partikel
dalam ruang. Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor, maka
ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor, misalnya aliran fluida (gas,
panas, air dan sebagainya) dalam suatu ruangan.
Fungsi vektor dalam dalam duniawi, berkaitan dengan masalah transportasi, navigasi,
komputerisasi, dsb.
III.2 Saran
Pembahasan tentang fungsi vektor ini bukan pembahasan singkat yang akan selesai
dalam sekali duduk. Masih ada banyak lagi yang belum dibicarakan disini. Untuk itu,
diharapkan kita mau mencari sumber-sumber lain diluar sana untuk menambah pengetahuan
kita tentang Fungsi vektor dalam segala aspeknya yang belum terjelaskan dalam karya ilmiah
ini.
16
DAFTAR PUSTAKA
http://klompokku.blogspot.co.id/2013/09/makalah.html
http://matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/76-vektor-12
17