ruang vektor bagian

BAB 7
7.1
RUANG VEKTOR DAN SUB RUANG VEKTOR
DEFINISI RUANG VEKTOR & SUB RUANG VEKTOR
RUANG VEKTOR
DEFINISI
Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, di mana dua
operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan).

Operasi Penjumlahan (addition) dapat diartikan sebagai suatu aturan yang
mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u + v, yang
disebut jumlah (sum) dari u dan v.

Operasi Perkalian Skalar (scalar multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan
yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suatu objek
ku, yang disebut kelipatan skalar dari u oleh k.
Jika aksioma( 10 aksioma) berikut dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada V dan semua
skalar k dan l, maka kita menyebut V sebagai
RUANG VEKTOR (vector space) dan kita
menyebut objek-objek pada V sebagai VEKTOR .
1) Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka u + v berada pada V.
2) u + v = v + u
3) u + (v + w) = (u + v) + w
4) Di dalam V terdapat suatu objek 0, yang disebut vektor nol untuk V, sedemikian rupa
sehingga 0 + u = u + 0 = 0 untuk semua u pada V.
5) Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negatif
dari u, sedemikian rupa sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
6) Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek sebarang pada V, maka ku terdapat
pada V.
7) k(u + v) = ku + kv
8) (k + l) u = ku + lu
9) k(lu) = (kl) (u)
10) lu = u
RUANG VEKTOR BAGIAN (SUBSPACE)
Pandang V suatu Ruang Vektor. W himpunan bagian dari V,W (misalnya dengan
suatu sifat khusus) memenuhi semua aksioma Ruang Vektor, sehingga merupakan Ruang
Vektor tersendiri, maka W kita sebut Ruang Vektor Bagian (Subspace) dari V.
Kadang kadang dihilangkan kata “Bagian” dan menyebutnya dengan “ruang vektor di
V”, atau pula “ruang bagian dari V”
Contoh 1 :
Pandang R3 dengan susunan Cartesian dimana X, Y, Z adalah sumbu-sumbu
koordinatnya. Himpunan vektor-vektor pada bidang XOY merupakan ruang vektor bagian
dari R3 . Dapat mudah dipahami bahwa komponen ketiga dari setiap vektor pada XOY adalah
= 0. Atau; XOY = { (x,y,0|x ∈ R, y ∈ R }
Contoh anggota XOY adalah a = [1,1,0], b = [0,1,0], c = [2,3,0], 0 = [0,0,0], dan
lain-lain. Jelas bahwa tidak semua vektor є R3 merupakan anggota XOY. Kemudian mudah
ditunjukkan bahhwa XOY memenuhi semua aksioma Ruang Vektor.
Z
O
X
Y
Untuk menentukan apakah W merupakan ruang bagian, cukup dengan memeriksa sebagai
berikut :
(C1)
W # ∅ ( W tidak hampa), untuk itu kita tunjukkan bahwa vektor 0 ∈ W.
(C2)
Untuk setiap a, b ∈ W maka A + B ∈ W
(C3)
Untuk seiap a ∈ W dan α є K (skalar) maka αa ∈ W. Maka W adalah ruang vektor
bagian dari V
Ketiga syarat (C1), (C2) dan (C3) itu cukup. Karena bila W ∁ V, aksioma ruang vektor
kecuali (B1), (B4) dan (B5) terpenuhi. Syarat (C2) dan (C3) dapat menggantikan (B1).
Sedang (C1) yaitu W tidak hampa, berarti terdapat u ∈ W dan karena (C3) terpenuhi 0u = 0
∈ W, (-1)u = -(1u) = -(1u) = -u ∈ W. Berarti (B4) dan (B5) terpenuhi.
Contoh 2 :
Dengan menggunakan syarat (C1), (C2) dan (C3) akan kita tunjukkan bahwa XOY pada
Contoh 1 merupakan Ruang Vektor Bagian dari R3 , sebagai berikut :
(C1)
XOY # ∅ karena [0,0,0] ∈ XOY
(C2)
Misalkan a = [a1,a2,0]
∈ XOY, b = [b1,b2,0]
∈
XOY
maka
a + b =
[a1+b1,a2+b2,0] juga ∈ XOY (karena komponen ketiga dari a+b adalah = 0)
(Di sini a1, b1, b2 adalah sebarang).
(C3)
Untuk sebarang skalar α dan a = [a1,a2,0] ∈ XOY maka αa = [αa1,αa2,0] juga ∈ XOY
Jadi terbukti XOY ruang vektor bagian dari R3.
7.2 CONTOH CONTOH
RUANG VEKTOR & OPERASI YANG
TERLIBAT
Contoh 1 :
Rn adalah suatu Ruang Vektor
Himpunan V = Rn dengan operasi-operasi standar penjumlahan dan perkalian
skalar yang telah didefinisikan sebelumnya adalah suatu ruang vektor.
Tiga kasus khusus paling penting dari Rn adalah R (bilangan Real), R2(vektor
pada bidang ) dan R3 (vektor pada ruang dimensi 3).
Contoh 2 :
Ruang Vektor Matriks 2 x 2
Contoh 3 :
RuangVektor dari Matriks
Contoh 4 :
Ruang Vektor dari Fungsi Bernilai Real
Contoh 5 :
Himpunan yang bukan merupakan Ruang Vektor
mxn
7.3 CONTOH CONTOH
SUB RUANG VEKTOR & BUKAN SUB
RUANG VEKTOR
Contoh 1
: Pengujian Subruang
Contoh 2
: Garis-garis yang melewati titik asal adalah Subruang
Contoh 3
: Vektor-vektor pada R3 adalah Kombinasi Linear dari i, j dan k
Setiap vektor v = (a, b, c) pada R3 dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi
linear dari vektor basis standar
i = (1, 0, 0),
j = (0, 1, 0),
k = (0, 0, 1)
karena
v = (a, b, c) = a(1. 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = ai + bj + ck
7.4 LATIHAN
DAN
TUGAS