ALJABAR LINEAR - WordPress.com

ALJABAR LINEAR
(Vektor diruang 2 dan 3)
Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear
Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun Oleh
:
Kelompok 3/3A4
1. Nurul Istiqomah
14144100130
2. Ambar Retno Mutia
14144100150
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2015
VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3
A. Vektor (Geometrik)
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah yang belum
ditentukan. Vektor tergantung sistem koordinat. Sedangkan skalar adalah
besaran yang mempunyai nilai tetapi tidak mempunyai arah. Skalar tidak
tergantung sistem koordinat.
Vektor-vektor dalam dinyatakan secara geometris sebagai segmensegmen garis yang terarah atau panah-panah didalam ruang-2 atau ruang3. Arah panah menentukan arah vektor dan panjang vektor menentukan
besarnya. Ekor panah dinamakan titik pemulaan (initial point) dari vektor
dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point). Bila
membicarakan vektor maka kita akan menyatakan bilangan sebagai skalar,
semua skalar merupakan bilangan real dan dinyatakan oleh huruf kecil
miring biasa seperti a, k, v, w, dan x.
Vektor AB atau vektor u
B
A adalah titik awal (initial point)
B adalah titik terminal (terminal point)
u
A
Gambar 1
Maka dapat dilambangkan dengan v =
1. Vektor Ekivalen
Vektor ekivalen adalah vektor-vektor dengan ukuran dan arah yang
sama dapat dilambangkan dengan v = u
B
Apabila arah dan panjangnya sama.
v
A
v ekivalen u
D
u
Jadi v = u
C
Gambar 2
2
Jika v adalah sebuah vektor dan k adalah sebuah skalar, maka hasil
perkalian kv didefinisikan sebagai panjang vektor [k] kali panjang
vektor v, dimana arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan
berlawanan arah dengan v jika k < 0.
Vektor-vektor di dalam bidang dapat digambarkan oleh pasangan
bilangan real maka vektor di dalam r3 dapat digambarkan oleh tripel
bilangan real dengan sebuah sistem koordinat siku-siku. Dalam sistem
koordinat siku-siku terdapat titik asal atau titik 0 dan tiga garis yang
saling tegak lurus sumbu koordinat yang biasa disebut dengan x, y, z.
Sistem koordinat siku-siku di dalam ruang-3 dapat digolongkan
ke dalam dua kategori yakni sistem tangan kiri dan sistem tangan
kanan.
a) Sistem tangan kanan
b) Sistem tangan kiri
Gambar 3
Jika sebuah vektor v di dalam ruang-3 diletakkan sehingga titik
permulaannya berada di titik asal sebuah sistem koordinat siku-siku,
maka koordinat-koordinat titik terminal dinamakan komponenkomponen dari v.
Jika v = (v1, v2, v3) dan u = (u1, u2, u3) adalah dua vektor di dalam
ruang-3, maka untuk vektor-vektor yang di dalam sebuah bidang dapat
disimpulkan bahwa:
1. v dan u ekivalen jika dan hanya jika v = u
2. v + u = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3 )
3.
v = ( v1, v2, v3)
3
2. Vektor Nol
Vektor nol adalah
sebagai
v
v
vektor yang panjangnya nol, dinyatakan
untuk setiap vektor v. Karena vektor nol secara
alami tidak memiliki arah, maka sepakat bahwa vektor nol dapat
memiliki arah sebarang, sehingga penyelesaian masalah yang ditinjau
menjadi lebih mudah.
3. Vektor Negatif
Vektor negatif adalah vektor yang besarnya sama dengan v tetapi
arahnya berlawanan.
v
v + (-v) = 0
-v
Gambar 4
4. Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor didefinisikan oleh v – u = v + (-u)
-u
v
v-u
u
-w
Gambar 5
5. Komponen Vektor di Ruang-2
Gambar 6
u = (u1, u2)
4
v = (v1, v2)
5
6. Komponen Vektor di Ruang-3
Gambar 7
u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3)
7. Penjumlahan
Jika u dan v adalah sembarang dua vektor, maka jumlah u + v
adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkan v sehingga
titik awalnya berimpit dengan titik akhir u. Vektor u + v dinyatakan
oleh panah dari titik awal u terhadap titik akhir v.
v
u
u
v
Gambar 8
Ruang-2
u + v = (u1, u2) + (v1, v2)
= (u1 + v1, u2 + v2)
Ruang-3
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
Contoh 1:
Jika u =
dan v =
maka u + v = ?
Jawab:
6
u+v
8. Pengurangan
Ruang 2
u–v
= (u1, v1) – (u2, v2)
= (u1 – v1, u2 – v2)
Ruang-3
u–v
= (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3)
Contoh 2:
Jika u
, maka u – v
dan v
?
Jawab:
u–v
B. Norma Vektor
Teorema 1. Jika u v dan w adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3
dan
serta l adalah skalar, maka hubungan berikut akan berlaku:
1. u + v = v + u
sifat komutatif penjumlahan pada vektor
2. (u + v) + w = u + (v + w) sifat asosiatif penjumlahan pada vektor
3. u + 0 = 0 + u = u identitas (ada elemen identitas terhadap
penjumlahan = 0)
4. u + (-u) = 0 (setiap vektor punya invers)
5.
6.
u
u
u (asosiatif perkalian skalar dengan vektor)
v
u
v
(sifat distributif antara skalar dengan
vektor)
7
7.
u
u
u (sifat distributif antara skalar dengan
vektor)
8. 1u
u sifat identitas perkalian (ada elemen satuan)
Bukti:
Bukti bagian 2 (secara analitik). Bukti untuk vektor di dalam ruang-3,
bukti untuk ruang-2, sama dengan bukti di dalam ruang-3. Jika untuk u =
(u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3), dan w = ( w1, w2, w3) maka:
(u+v)+w
= [( u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) ]+ ( w1, w2, w3)
= [( u1 + v1,u2 + v2, u3 + v3)]+ (w1, w2, w3)
= (( u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2, (u3 + v3) + w3)
= ( u1 + (v1 + w1 ), u2 + (v2 + w2), u3 + (v3 +w3))
= u1 + (v1 + w1 ), u2 + (v2 + w2), u3 + (v3 +w3)
= (u1, u2, u3 ) + (v1 + w1 , v2 + w2, v3 + w3)
= (u1, u2, u3 ) + ((v1, v2, v3) + ( w1, w2, w3))
= u + (v + w)
Bukti bagian 2 (secara geometrik). Misalkan u, v dan w dinyatakan oleh
dan
, maka sesuai Gambar 9 di bawah ini :
R
v
Q
u+v
w
u
P
v+w
u+(v+w)
Gambar 9
Keterangan:
PQ = u
QR = v
RS = w
PR = u + v
QS = v + w
8
S
PS = u + (v + w)
Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan dinyatakan
dengan ||v||. Misalkan v = (v1, v2) adalah vektor ruang-2. Dengan
menggunakan gambar 10 dan penerapan Teorema Pythagoras, maka akan
didapatkan
R (v1, v2)
||v||
O
v2
v1
P
Gambar 10
Contoh 3:
Jika v = (4, 3), maka:
=
=5
Misalkan v = (v1, v2, v3) adalah vektor ruang-3. Dengan
menggunakan gambar dan dua penerapan pythagoras, maka didapatkan
Z
P(V1, V2, V3)
S
y
0
Q
x
Gambar 11
R
9
Jika P1 x1 , y1 , z1  dan P2  x2 , y 2 , z 2  adalah dua titik di ruang-3, maka
jarak di antara kedua titik tersebut adalah norma vektor P1P2, karena
P1 P2  x2  x1 , y2  y1 , z 2  z1 
Maka jelas bahwa
d
x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2
Contoh 4:
Jika v
maka:
v   32  2 2  12 =
Contoh 5:
Jika diketahui jarak antara P1( 3,-2,1) dan P2( 3,5,1) tentukanlah P1 P2 :
P1 P2 
3  32  5  (22  1  12
=
=7
C. Hasil Kali Titik
Pada bagian ini akan diperkenalkan semacam perkalian vektor di
ruang-2 dan ruang-3. Sifat-sifat ilmu hitung perkalian ini akan ditentukan
dan beberapa penerapannya akan diberikan.
Misalnya u dan v adalah dua vektor taknol di ruang-2 dan ruang-3, dan
anggaplah vektor-vektor ini telah dilokasikan sehingga titik awalnya
berhimpit. Yang diartikan dengan sudut di antara u dan v, dengan sudut
θ yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 ≤ θ ≤ π.
θ
u
θ
u
θ
v
v
v
Gambar 12
u
Gambar 13
Gambar 14
Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan θ
adalah sudut di antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil
kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u • v didefinisikan oleh
10
Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah dua vektor taknol. Jika,
seperti pada gambar dibawah, θ adalah sudut di antara u dan v, maka
hukum cosinus menghasilkan :
z
P (u1, u2, u3)
u
θ
v
x
x
Karena
Q (v1, v2, v3)
y
Gambar 15
= v – u, maka dapat dituliskan kembali sebagai
atau
Dengan mensubstitusikan
dan
Maka setelah menyederhanakannya akan didapatkan
Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah dua vektor di ruang-2, maka rumus
yang bersesuaian adalah
Jika u dan v adalah vektor taknol, maka rumus di atas dapat dituliskan
sebagai
11
Contoh 6:
Sudut di antara vektor u = (0, 0, 2) dan vektor v = (0, 3, 4) adalah 600.
Tentukan u . v!
= ||u||. ||v|| cos 
u.v
)
)
=
= (2)(5)
=5
Teorema berikut ini memperlihatkan bagaimana perkalian titik
dapat digunakan untuk mendapatkan informasi mengenai sudut diantara
dua vektor, teorema ini juga menghasilkan hubungan penting di antara
norma dan perkalian titik.
Teorema 2. Misalkan u dan v adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3.
1. v • v =
; yakni,
=
2. Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan θ adalah sudut di antara
kedua vektor tersebut, maka
θ lancip
jika dan hanya jika u • v > 0
θ tumpul
jika dan hanya jika u • v < 0
θ=
jika dan hanya jika u • v = 0
Bukti:
1. Karena sudut
2. Karena
diantara u dan v adalah 0 maka diperoleh:
dan
dan
, maka u.v
mempunyai tanda yang sama seperti cos . Karena
memenuhi
0
, maka sudut
< 0, dan
=
jika dan hanya jika cos
lancip jika dan hanya jika cos
12
= 0.
Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di dalam ruang-2 dan ruang-3 dan k
adalah skalar, maka :
1. u . v = v . u (Sifat komutatif Perkalian)
2. u( v + w) u . v + u . w (sifat Asosiatif Perkalian)
3.
(
)
(sifat asosiatif perkalian dengan
skalar)
4.
(sifat
perkalian)
13
identitas
D. Latihan Soal
1. Jika
dan
Tentukanlah:
a.
b.
c.
d.
2. Komponen-komponen dari vektor v =
dan titik terminal
3. Sudut diantara vektor
tentukan
dengan titik permulaan
tentukan ?
dan
adalah 60,
?
4. Tentukan apakah
dan
membentuk sudut lancip, sudut tumpul
atau saling tegak lurus:
a.
b.
c.
5. Misalkan u = (3, -4, 0), v = (-2, 2, -4). Carilah:
a. ||u + v||
b. ||u – 3v||
c. ||u|| + ||v||
6. Hitunglah jarak di antara titik P1 (5, 2, -3) dan titik P2 (1, -2, 2)!
14
Pembahasan :
1. Diketahui: v = (2, 5, 4) w= (8, 2, 4)
Jawab:
a.
b.
c.
d.
2. Diketahui :
3. Diketahui :
Jawab :
= 10
4. Penyelesaian Nomor 4 :
15
a.
0,45
b.
(tumpul)
c.
16
(lancip)
5. Dikethui:
a. u + v = (3, -4, 0) + (-2, 2, -4)
= (1, -2, -4)
Maka ||u + v ||
b. 4u – v = 4(3, -4, 0) – (-2, 2, -4)
= (12, -16, 0) – (-2, 2, -4)
= (14, -18, 4)
Maka ||4u – v||
c. ||u|| =
=5
||v|| =
=
=
Maka ||u|| + ||v|| = 5 +
17
6. Jarak di antara titik P1 (5, 2, -3) dan titik P2 (1, -2, 2):
Jawab:
P1 P2 
5  12  2  (22   3  22
18
=
= 7,54
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Aziz Saefudin.2012. Bahan Ajar Aljabar Linear. Yogyakarta: UPY.
Anton, Howard.Aljabar Linear Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga.
19