STUDI BIBIT MANGROVE Rhizophora stylosa

J. Pijar MIPA, Vol. III No.1, Maret 2008 : 6 - 10.
ISSN 1907-1744
STUDI BIBIT MANGROVE Rhizophora stylosa SEBAGAI BIOINDIKATOR AKUMULASI
LOGAM TIMBAL (Pb)
Surya Hadi1 dan Sucika Armiani2
1
Program Studi Kimia Fakultas MIPA Universitas Mataram
Program Studi Biologi Fakultas MIPA Universitas Mataram
2
Abstrak. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh pemberian berbagai konsentrasi Pb terhadap
pertumbuhan serta kandungan logam timbal (Pb) di dalam organ akar, batang dan daun bibit Rhizophora stylosa
sebagai dasar telaahan potensi mangrove untuk dijadikan bioindikator akumulasi Pb. Penelitian dilakukan dengan
menggunakan metode eksperimen di rumah plastik dengan menumbuhkan bibit mangrove R. stylosa pada berbagai
konsentrasi Pb di dalam media tanah. Percobaan dilanjutkan dengan menganalisis kandungan Pb dalam organ bibit
R. stylosa dan media tanah. Desain percobaan menggunakan Rancangan Acak Lengkap (RAL) yang terdiri atas
lima perlakuan konsentrasi Pb (0 ppm, 0,1 ppm, 1 ppm, 10 ppm dan 100 ppm). Hasil penelitian menunjukkan bahwa
secara statistik, pemberian berbagai konsentrasi Pb (0,1-100 ppm) tidak berpengaruh terhadap pertumbuhan bibit
R. stylosa selama 6 minggu pengamatan. Tetapi, pemberian perlakuan 100 ppm Cu menyebabkan konsentrasi Pb di
dalam organ bibit R. stylosa secara nyata lebih tinggi dibandingkan kontrol dan perlakuan lainnya. Bibit R. stylosa
terindikasi memiliki potensi sebagai bioindikator akumulasi pada tingkat pencemaran Pb yang lebih tinggi dari
kandungan Pb di dalam organnya.
Kata Kunci: Timbal (Pb), bioindikator, akumulasi, Rhizophora stylosa
STUDY OF MANGROVE Rhizophora stylosa SEEDLING FOR BIOINDICATOR OF LEAD
(Pb) ACCUMULATION
Abstract. The overall aims of this research were to study the influence of treatments of Pb concentrations on
the growth of Rhizophora stylosa and to measure concentrations of lead (Pb) in roots, steems and leaves of the
plant as a way to identify potency of mangrove for bioindicator of lead accumulation. An experiment was carried
out by growing mangrove R. stylosa with various Pb concentrations in soil media at a plastic house followed by
analyzing Pb content in soil media and various organs of the plant. An experiment was designed according to
Completely Randomized Designed (CRD), with various Pb concentrations (0 ppm, 0,1 ppm, 1 ppm, 10 ppm and 100
ppm) as treatments. The results showed that treatments of Pb concentration (0,1-100 ppm), during 6 weeks
observation, statistically did not give influence on the growth of R. stylosa. However, the treatment of 100 ppm
caused concentrations of Pb in the plant organ were higher than that of other treatments. R. stylosa seedling
indicated to have potency as bioindicator accumulation, if Pb concentration in environment more higher than that
of in R. stylosa organs.
Key Words: Lead (Pb), bioindicator, accumulation, Rhizophora stylosa
I. PENDAHULUAN
Logam berat merupakan unsur logam dengan berat
molekul tinggi dan dalam kadar rendah umumnya bersifat
toksik bagi tumbuhan hewan dan manusia [1]. Secara alami,
logam berat berasal dari proses alam dan mengalami siklus
perpindahan dengan kisaran jumlah normal sehingga dapat
diperuntukkan oleh makhluk hidup. Namun akibat aktivitas
manusia seiring dengan kemajuan tekhnologi
mengakibatkan logam berat di lingkungan meningkat
signifikan [2].
Salah satu jenis logam berat yang menjadi perhatian
karena bersifat sangat toksik bagi makhluk hidup adalah
logam timbal (Pb). Keberadaan logam Pb di lingkungan perlu
diwaspadai karena pada konsentrasi yang sedemikian rendah
dapat berpengaruh terhadap biota disekitarnya sehingga
dapat terakumulasi pada rantai makanan. Manusia sebagai
konsumen terakhir dapat terancam atas terjadinya akumulasi
logam berat, sedangkan dampak keracunan yang kronis baru
terlihat setelah beberapa tahun [3].
Menyadari bahaya akan keberadaan logam Pb di alam
terutama di lingkungan laut yang memiliki peranan penting
dalam fungsi ekologis, maka diperlukan suatu antisipasi
terhadap terjadinya peningkatan kadar pencemaran logam
Studi Bibit Mangrove Rhizophora stylosa Sebagai Bioindikator .... (Surya Hadi & Sucika Armiani)
berat yang lebih serius. Terdapat tiga komponen ekosistem
yang dapat dipakai sebagai indikator pencemaran logam
berat pada lingkungan laut yaitu air, sedimen dan organisme.
Penggunaan air dan sedimen dianggap kurang efisien karena
logam berat cenderung mengalami mobilisasi antar sedimen
dan kolom air sehingga bentuk dan komposisinya pada
kedua sistem tersebut dapat berubah-ubah dalam jangka
waktu tertentu [4]. Oleh karena itu, diperlukan organisme
sebagai indikator pencemaran. Spesies tumbuhan yang
memiliki kemampuan mengakumulasi polutan dalam jumlah
besar dalam jaringannya dapat digolongkan ke dalam jenis
tumbuhan indikator akumulasi [5,6]
Mangrove merupakan tumbuhan pesisir yang diketahui
memiliki kemampuan dalam menyerap polutan dari
lingkungannya [2]. Rhizophora stylosa adalah salah satu
jenis mangrove yang sering dijumpai pada beberapa
komunitas hutan mangrove di Indonesia [7]. Hasil studi
pustaka menunjukkan bahwa kemampuan jenis tubuhan ini
dalam mengakumulasi logam berat khususnya Pb belum
terungkap jelas.
minggu dengan volume air sesuai dengan volume
kehilangan air yang hilang akibat evapotranspirasi.
Bibit R. stylosa yang telah diberi perlakuan, diamati dan
diukur pertumbuhannya selama 6 minggu. Parameter
pengamatan meliputi pengkuran pertumbuhan dan
kandungan Pb di dalam organ bibit R. stylosa dan dalam
media tanah. Pengamatan terhadap pertumbuhan meliputi
pertambahan terhadap tinggi tanaman (cm), diameter batang
(cm), luas daun (cm2), pertambahan jumlah daun (helai) dan
pertambahan jumlah tunas. Sedangkan untuk mengukur
kandungan logam Pb di dalam organ R. stylosa dan di dalam
media tanam, diukur dengan menggunakan metode
spektroskopi
dengan
Atomic
Absorption
Spectrophotometer (AAS).
Data-data yang diperoleh dari hasil pengukuran
parameter pertumbuhan kemudian dianalisa dengan
menggunakan analisis keragaman pada taraf nyata 5%.
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1. Pertumbuhan Bibit R. stylosa
II. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah
eksperimental yang ditata menurut Rancangan Acak
Lengkap (RAL). Perlakuan-perlakuan yang diujikan terdiri
atas lima aras konsentrasi Pb, yaitu 0,00 ppm (K0); 0,1 ppm
(K1); 1,00 ppm (K2), 10 ppm(K3) dan Pb 100 ppm (K4).
Eksperimen dilakukan di rumah plastik yang terletak di
Kebun Koleksi Program Studi Hortikultura, Fakultas
Pertanian Universitas Mataram, Lombok.
Bibit mangrove yang digunakan adalah bibit mangrove
dari jenis Rhizophora stylosa yang berusia sekitar 8 bulan.
Percobaan dimulai dengan menanam bibit ke dalam pot
plastik berlubang dengan media berisi tanah sebanyak 2
kg dan disiram dengan menggunakan air payau berdasarkan
kapasitas lapang. Bibit tersebut diadaptasikan selama 1
minggu, setelah itu diberi perlakuan sesuai dengan masingmasing perlakuan.
Sumber Pb yang digunakan pada penelitian ini adalah
Pb asetat (Pb[C2H302]2). Pembuatan berbagai konsentrasi
Pb dilakukan terlebih dahulu dengan membuat larutan stok
1000 ppm kemudian diencerkan sesuai konsentrasi
perlakuan. Penyiraman setelah perlakuan dilakukan setiap
Pengaruh berbegai konsentrasi Pb terhadap
pertumbuhan bibit mangrove R stylosa yang diamati selama
6 minggu pengamatan disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1 menunjukkan bahwa seluruh parameter
pertumbuhan bibit R. stylosa meliputi pertambahan terhadap
tinggi batang, diameter batang, luas daun, jumlah daun dan
jumlah tunas, tidak berbeda nyata antar perlakuan yang
dibandingkan. Hal ini menunjukkan bahwa pemberian
berbagai konsentrasi Pb 0,1-100 ppm tidak berpengaruh
terhadap pertumbuhan bibit selama 6 minggu.
Pb merupakan unsur yang non esensial dan bersifat
toksik bagi tanaman [7]. Beberapa penelitian menyebutkan
bahwa pemberian Pb pada tanaman, dapat menghambat
proses fotosintesis, menghambat pertumbuhan akar dan
batang tanaman, mempercepat terjadinya klorosis daun,
mengganggu aktivitas enzim, menghambat penyerapan air
oleh akar tanaman. Meskipun Pb dinyatakan bersifat toksik
bagi tanaman, namun pada hasil penelitian ini belum
menunjukkan pengaruh toksisitas Pb pada tanaman R.
stylosa. Hal ini menunjukkan bahwa selama 6 minggu,
J. Pijar MIPA Vol. III No. 1, Maret 2008 : 6 - 10.
tanaman R. stylosa tergolong masih toleran terhadap
toksisitas Pb
Tumbuhan mangrove yang diketahui bersifat akumulator
seperti Rhizophora mucronata dan Avicennia marina,
memiliki mekanisme dalam menanggulangi materi toksik yang
diserap dari lingkungan [2]. Mekanisme yang umum
dikembangkan oleh tanaman adalah lokalisasi dan inaktivasi
secara kimia. Lokalisasi merupakan mekanisme
penangulangan dimana materi toksik disimpan pada bagian
sel-sel organ tertentu sehingga materi toksik tersebut
terdeposit dan tidak dapat mempengaruhi pertumbuhan
tanaman. Inaktivasi secara kimia dilakukan dengan cara
mengaktifkan enzim-enzim yang berperan dalam mensintesis
zat pengkelat logam yang berfungsi mendetoksifikasi
senyawa logam. Kemungkinan mangrove R. stylosa memiliki
mekanisme yang sama dalam menanggulangi kehadiran
logam Pb yang terdapat di lingkungannya. Oleh karena itu,
dalam waktu 6 minggu pemberian Pb ke dalam media tanam
belum berpengaruh terhadap pertumbuhan bibit R. stylosa.
3.2. Kandungan Pb Dalam Organ R. stylosa
Hasil analisis terhadap kandungan logam timbal (Pb)
menggunakan AAS pada organ akar, batang dan daun bibit
R. stylosa yang ditumbuhkan selama 6 minggu digambarkan
pada Gambar 1.
Gambar 1 menunjukkan bahwa pada pemberian
perlakuan Pb 0,1 ppm, 1 ppm dan 10 ppm ke dalam media
tanam menyebabkan kandungan Pb di dalam akar bibit R.
stylosa menjadi sedikit lebih tinggi dibandingkan kontrol,
dengan perbedaan kandungan Pb masing-masing sekitar
16 % dari kontrol. Pada pemberian Pb 100 ppm ke dalam
media tanam menyebabkan kandungan Pb di dalam akar
bibit R. stylosa berbeda nyata dibandingkan kontrol, yaitu
lebih tinggi sekitar 400%.
Kandungan Pb di dalam organ batang yang diberi
perlakuan 1 ppm dan 10 ppm lebih tinggi dibandingkan
kontrol, tetapi pada pemberian konsentrasi tertinggi (100
ppm) menyebabkan kandungan Pb di dalam organ batang
8
sama dengan kontrol. Rendahnya kandungan Pb didalam
organ batang pada perlakuan 100 ppm dibandingkan dengan
kandungan Pb pada perlakuan 1 ppm dan 10 ppm, belum
dapat dijelaskan secara pasti sehingga perlu diadakan
penelitian yang lebih lanjut mengenai kemampuan
translokasi Pb oleh tumbuhan mangrove terutama pada
pemberian perlakuan 1 ppm hingga 10 ppm.
Pemberian Pb 0,1 ppm dan 1 ppm ke dalam media tanam
menyebabkan kandungan Pb di dalam organ daun bibit R.
stylosa relatif hampir sama dengan kontrol, sedangkan pada
perlakuan Pb 10 ppm dan 100 ppm ke dalam media tanam
menyebabkan kandungan Pb di dalam daun bibit R. stylosa
meningkat dibandingkan kontrol.
Pada Gambar 1 di atas juga dapat dilihat perbandingan
kandungan Pb antar organ. Kandungan Pb didalam akar
memiliki kecenderungan lebih tinggi dibandingkan organ
lainnya. Bahkan pada perlakuan 100 ppm, meski organ akar
menunjukkan perbedaan kandungan Pb secara nyata dari
kontrol, namun hal tersebut tidak terjadi hal yang serupa
pada organ batang maupun daun pada perlakuan yang sama.
Beberapa hasil penelitian menunjukkan bahwa akumulasi
logam Pb pada mangrove Avicennia marina cenderung
lebih tinggi pada akar dibandingkan pada batang dan daun
[9,10]. Hal ini disebabkan karena lalu lintas ion melalui akar
dilakukan secara antar sel sehingga terjadi akumulasi logam
pada sel sel akar. Selain itu pada akar terdapat pita kaspari
sel endodermis yang berfungsi sebagai barier yang bersifat
selektif terhadap masuknya zat-zat terlarut yang akan
diangkut melalui xylem.
Fenomena lain dari hasil penelitian ini yang ditunjukkan
oleh grafik pada Gambar 1 adalah kandungan Pb pada organ
daun lebih tinggi dibandingkan pada batang. Akumulasi
Pb pada organ tumbuhan secara berurutan tertinggi pada
akar > daun > batang > bunga > biji [8]. Pernyataan tersebut
diperkuat oleh hasil penelitian yang dilakukan oleh
Kartikasari et al. (2002) mengenai akumulasi logam Cr dan
Pb pada mangrove Avicennia marina, menunjukkan bahwa
Studi Bibit Mangrove Rhizophora stylosa Sebagai Bioindikator .... (Surya Hadi & Sucika Armiani)
urutan kandungan Pb dari yang paling tinggi adalah pada
akar > daun > batang [10]. Tingginya kandungan Pb pada
organ daun dibandingkan organ batang karena
pengangkutan zat-zat terlarut yang telah memasuki xylem
akar akan dibawa dan diakumulasi pada daun untuk proses
fotosintesis, sedangkan pembuluh xylem dan floem batang
lebih banyak berfungsi sebagai lalu lintas zat terlarut.
minggu percobaan di dapatkan 55,19 mg/kg berat kering.
Berkurangnya nilai konsentrasi Pb pada tanah tersebut
mengindikasi adanya penyerapan Pb oleh akar bibit R.
stylosa pada perlakuan 100 ppm.
Dari hasil percobaan yang dilakukan, kandungan logam
Pb pada organ akar cenderung menujukkan nilai yang lebih
tinggi dibandingkan organ lainnya. Indikasi tersebut
Hubungan antara kandungan Pb di dalam media tanah
dengan kandungan Pb pada tubuh mangrove R. stylosa
disajikan pada Gambar 2.
Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa kandungan Pb
tersedia pada media tanah kontrol setelah 6 minggu
perlakuan adalah 2,76 mg/kg berat kering. Pada pemberian
perlakuan Pb 0,1-10 ppm, kandungan Pb setelah diberi
perlakuan seharusnya meningkat dari kontrol masingmasing menjadi ± 2,86; 3,76 dan 12,76 mg/kg berat kering.
Kisaran nilai ini hampir sama dengan kandungan Pb tersedia
akhir percobaaan pada perlakuan yang sama yaitu terukur
sebesar 2,81 dan 3,81 dan 11,84 mg/kg berat kering. Hal
tersebut menunjukkan bahwa pada perlakuan 0,1 ppm
hingga 10 ppm, tanaman cenderung tidak menyerap Pb dari
media tanah. Meskipun memiliki kecenderungan tidak
menyerap, namun jika dilihat dari kandungan Pb di dalam
organ bibit R. stylosa, terutama pada organ akar yang sedikit
lebih tinggi dibandingkan kontrol. Hal ini tidak menutup
kemungkinan bahwa pada perlakuan Pb 0,1 ppm-10 ppm,
bibit R. stylosa menyerap Pb dalam kadar yang relatif rendah.
Berbeda halnya jika dibandingkan dengan perlakuan Pb 100
ppm, dimana kandungan Pb di dalam organ bibit R. stylosa,
terutama pada akar jauh lebih tinggi dibandingkan kontrol.
Tingginya kandungan Pb di dalam organ disertai dengan
penurunan jumlah Pb yang cukup signifikan pada media
tanah. Konsentrasi Pb tersedia di dalam tanah seharusnya
berkisar pada ± 102,76 mg/kg berat kering, namun setelah 6
menunjukkan bahwa bibit R. stylosa cenderung
mengakumulasi logam Pb pada akarnya, sehingga diantara
organ yang diamati, akar merupakan organ yang paling
potensial digunakan sebagai bioindikator akumulasi logam
Pb.
Tingginya kandungan Pb dalam akar bibit R. stylosa
pada perlakuan 100 ppm, diduga berkaitan dengan
mekanisme masuknya logam Pb ke dalam akar yang
cenderung berlangsung secara pasif (difusi) [11]. Melalui
mekanisme ini, logam Pb dapat masuk ke dalam akar bibit R.
stylosa apabila konsentrasi Pb di lingkungan lebih tinggi
dari kandungan logam Pb pada akar. Dengan demikian
penggunaan bibit R. stylosa sebagai bioindikator akumulasi
dapat dilakukan, apabila konsentrasi Pb di lingkungan
cenderung meningkat pada tingkat konsentrasi yang lebih
tinggi dibandingkan konsentrasi Pb di dalam tubuh
tanaman.
IV. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil percobaan dan pengamatan terhadap
pertumbuhan serta analisis kandungan logam Pb didalam
organ akar, batang dan daun bibit R. stylosa akibat pemberian
berbagai konsentrasi Pb setelah 6 minggu perlakuan, maka
dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: 1) Secara statistik,
pemberian berbagai konsentrasi Pb (0,1-100 ppm) tidak
berpengaruh terhadap pertumbuhan bibit R. stylosa, namun
pada pemberian perlakuan 100 ppm, menyebabkan
9
J. Pijar MIPA, Vol. III No.1, Maret 2008 : 6 - 10.
konsentrasi Pb di dalam organ bibit R. stylosa secara nyata
lebih tinggi dibandingkan kontrol dan perlakuan lainnya. 2)
Berdasarkan hal tersebut maka bibit R. stylosa memiliki
potensi sebagai bioindikator akumulasi pada tingkat
pencemaran Pb yang lebih tinggi dari kandungan Pb di dalam
organnya.
Untuk mengamati pengaruh logam Pb terhadap
pertumbuhan, diperlukan jangka waktu penelitian yang lebih
lama. Sebelum dipastikan menjadi bioindikator akumulasi,
perlu dilakukan penelitian yang lebih lanjut untuk lebih
memastikan mengenai mekanisme penyerapan dan
kemampuan akumulasi Pb oleh akar tanaman mangrove R.
stylosa.
UCAPAN TERIMAKASIH
Terima kasih kami ucapkan kepada Haji Abah A.K yang
telah memberikan anakan R. stylosa secara cuma-cuma.
Terima kasih juga kami ucapkan kepada Bapak Idris dan
Abdul Haris yang telah membantu pelaksanaan analisis di
laboratorium Kimia Analitik Universitas Mataram.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Notohadiprawiro, T, 2006, Logam Berat Dalam
Pertanian, Repro: Ilmu Tanah UGM, Yogyakarta
[2] Arisandi, P., 2002, Mangrove Akar Bagi Kehidupan
(http://www.ecoton.
or.id/
Laut,
tulisanlengkap.php?id=1345), di download pada hari:
Rabu, 21 Maret 2007 pukul 16.00 WITA.
[3] Onrizal, 2006, Restorasi Lahan Terkontaminasi Logam
Berat, USU Respositori, Sumatra Utara.
[4]
Connel, D.W. dan Miller, G.J., 1995, Kimia dan
Ekotoksikologi Pencemaran, UI Press, Jakarta.
[5]
Kovacs, M., 1992, Biological Indicators in
Enviromental Protection, di dalam: Suana, I W., 2001,
Laba-Laba Sebagai Bioindikator Pada Beberapa
Kondisi Lingkungan, (http://tumoutou.net/3_sem1
012/I_wayan_ suana.htm), di download pada hari:
Rabu, 31 Oktober 2007 pukul 13.00 WITA.
[7] Anonim, 2003, Sekilas Tentang Mangrove, (http://
www.pusjuidkpsumbar. or.id/ mangrove.htm), di
download pada hari: Selasa, 10 April 2007 pukul 13.00
WITA.
[8] Sharma, P. dan Dubey, R.S., 2005, Lead Toxicity In
Plants,
(http://www.scielo.br/scielo.php?
script=sci_arttext&pid=S167704202005000100004), di
download pada hari: Jumat, 2 November 2007 pukul
13.00 WITA.
[9]
Amin, B., 2001. Akumulasi dan Distribusi Logam
Berat Pb dan Cu Pada Mangrove (Avicennia
marina) di Perairan Pantai Dumai, Riau, (http://
www.unri.ac.id/jurnal/ jurnal_natur/vol4(1) /
Bintal.pdf.), di download pada hari: Rabu, 21 Maret
2007 pukul 11.30 WITA.
[10] Kartikasari, V., Tandjung, S.D., Sunarto, 2002,
Akumulasi Logam Berat Cr dan Pb Pada
Tumbuhan Mangrove Avicennia marina, (http://ilib. ugm.ac.id/jurnal/detail.php?dataId=3578), di
download pada hari: Rabu, 31 Oktober 2007 pukul
13.00 WITA.
J. Pijar MIPA, Vol. III, No.1, Maret 2008 : 11 - 16.
ISSN 1907-1744
BEBERAPA PERMASALAHAN MATEMATIKA PADA TAHUN PERTAMA BERSAMA
BAGI MAHASISWA PENDIDIKAN MIPA
Ketut Sarjana
Program Studi Pendidikan Matematika PMIPA FKIP UNRAM, Lombok, NTB, Indonesia,
e-mail : sarjana [email protected]
Abstrak. Mengajar di perguruan tinggi agak bebeda dengan pendidikan sebelumnya seperti di sekolahsekolah. Disini lebih menitik beratkan kepada pertanyaan bagaimana dan mengapa serta mengurangi pertanyaan
berapa. Karena pertanyaan mengapa dan bagaimana menuntut jawaban menganalisis dan membutuhkan
ketajaman berlogika. Tahun pertama bersama bagi mahasiswa Pendidikan MIPA merupakan masa peralihan prilaku
dan pengetahuan yang dibawa oleh mahasiswa dari Sekolah belum terakumulasi dengan baik. Disadari bahwa
cara belajar di sekolah berbeda dengan cara belajar di pendidikan tinggi. Khusus untuk matematika sekolah, belajar
suatu konsep atau prinsip siswa tidak secara ketat dituntut dapat membuktikan secara formal, melainkan siswa
diharapkan dapat memahami konsep atau prinsip disesuaikan dengan tahap perkembangan mereka dan diharapkan
pula dapat menggunakan prinsip matematika yang ada. Memperhatikan kondisi ini, maka pengajaran Kalkulus
pada tahun pertama bersama masih menuntun, menyuruh cari tahu dalam rangka mengembangkan ketajaman
pemahaman mereka. Pengajar sebaiknya mampu memberikan pelayanan akademik. Misalnya jika mahasiswa
diberikan sebuah teorema, mahasiswa disuruh mencari contoh soal yang tidak memenuhi, mencari contoh
penyangkal dari teorema tersebut. Disamping itu dapat juga dilakukan kegiatan bahwa apabila teorema yang
diberikan berupa implikasi, mahasiswa disuruh untuk menentukan apakah kebalikan implikasi tadi masih tetap
berlaku.
Kata Kunci: Tahun pertama bersama, Pengajaran Kalkulus.
MATHEMATICS PROBLEMS IN THE FIRST YEAR OF BASIC SCIENCE EDUCATION
STUDENT’S
Abstract. Teaching in university is rather different with the previous one in the schools. focuses on the how
and why question. How and why question need durability mind. The first year of the basic science student is
switchover attitude and knowledge taken by themselves from the school that is hasn’t been accumulated well. It
has been realized that the way of learning in previous school is different from in the university. Especially in
mathematics school, learning in concept or theorems the students did not need strongly in proving it formally, but
the student is hoped to catch on the concept or theorem adapted with their growth- and also hoped to be able to
use the available theorems. Therefore, calculus teaching in he first year still guides and tells the students to find
out in order to develop their durability understanding. The teacher should be able to give academic services. Such
us if the student is given a theorem, she/ he is told to look for the example of the questions and doesn’t fill it, look
for the example of dissenter of it. Another that, it can also be done by an activity, that if the theorem given is an
implication so the student is told to decide whether the reverse of the implication is valid.
Key words : First Year, Teaching in Calculus.
I. PENDAHULUAN
Di dalam proses belajar mengajar ada 4 komponen yang
terlibat yaitu: pengajar yang dalam hal ini dosen, mahasiswa,
sarana dan metode yang dikembangkan. Yang belajar disini
adalah mahasiswa. Slameto menyebut bahwa belajar
dipandang sebagai proses usaha yang dilakukan
mahasiswa untuk memeperoleh suatu perubahan tingkah
laku yang baru secara keseluruhan sebagai hasil
pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan
lingkungannya [7]. Belajar hanya dialami oleh mahasiswa
sendiri. Itulah sebabnya mahasiswa sebagai penentu
terjadinya proses belajar. Mahasiswa menggunakan
kemampuan mentalnya untuk mempelajari bahan
perkuliahan
Selanjutnya yang mengajar disini adalah dosen.
Kegiatan mengajar merupakan suatu proses kompleks tidak
hanya sekedar menyampaikan informasi kepada mahasiswa,
namun banyak kegiatan maupun tindakan yang harus
direncanakan, terutama bila diinginkan hasil belajar yang
baik pada seluruh mahasiswa. Seperti yang dikatakan
Willian dan Boston dalam Ali menyebut bahwa mengajar
J. Pijar MIPA , Vol. III No. 1, Maret 2008 : 11 - 16.
merupakan upaya memberi perangsang, bimbingan,
pengarahan dan dorongan kepada mahasiswa agar terjadi
proses belajar [1]. Hasil belajar itu diperoleh dari interaksi
mahasiswa dengan lingkungaannya yang sengaja
direncanakan oleh dosen dalam perbuatan mengajarnya.
Ini berarti bahwa mengajar merupakan suatu seni dan
indikasi dari gagalnya pengajaran itu adalah mahasiswa
tidak mengalami perubahan prilaku yang dikehendaki.
Dengan demikian jelas terlihat bahwa keberhasilan belajar
mahasiswa ditentukan oleh bagaiman seorang dosen
melakukan kegiatan mengajar.
Mengajar di perguruan tinggi agak bebeda dengan
pendidikan sebelumnya seperti di sekolah-sekolah. Disini
lebih menitik beratkan kepada pertanyaan bagaimana dan
mengapa serta mengurangi pertanyaan berapa. Karena
pertanyaan mengapa dan bagaimana menuntut jawaban
menganalisis dan membutuhkan ketajaman berlogika.
Namun pada kenyataannya tidaklah demikian. Tahun
pertama bersama bagi mahasiswa Pendidikan MIPA
merupakan masa peralihan prilaku dan pengetahuan yang
dibawa oleh mahasiswa dari Sekolah belum terakumulasi
dengan baik. Hal ini dapat disebabkan oleh karena cara
belajar mereka. Disadari bahwa cara belajar di sekolah
berbeda dengan cara belajar di pendidikan tinggi. Khusus
untuk matematika sekolah, belajar suatu konsep atau prinsip
siswa tidak secara ketat dituntut dapat membuktikan secara
formal, melainkan siswa diharapkan dapat memahami
konsep atau prinsip disesuaikan dengan tahap
perkembangan mereka dan diharapkan pula dapat
mengunakan prinsip matematika yang ada. Akibatnya
sistem pengajaran di tahun pertama bersama masih
berorientasi pada mahasiswa bukan berorientasi pada materi.
Memperhatikan kondisi seperti apa yang diuraikan di
atas, maka pengajaran Kalkulus pada tahun pertama bersama
masih menuntun, menyuruh cari tahu dalam rangka
mengembangkan ketajaman pemahaman mereka. Misalnya
jika mahasiswa diberikan sebuah teorema, mahasiswa
disuruh mencari contoh soal yang tidak memenuhi teorema
tersebut. Disamping itu apabila teorema yang diberikan
berupa implikasi, mahasiswa disuruh untuk menentukan
apakah kebalikan implikasi tadi masih tetap berlaku. Jadi
jelas bahwa tulisan ini bertujuan memberikan latihan kepada
mahasiswa agar dapat memahami konsep,prinsip
matematika dengan tajam.
Ditengah pergaulan selama mengajar matakuliah
Kalkulus ditemukan beberapa persoalan. Selain itu tidak
tertutup kemungkinan masih segudang persoalan yang
masih memerlukan penanganan secara serius. Berdasarkan
penomena ini dicoba memaparkan persoalan – persoalan
yang diberikan kepada mahasiswa sebagai berikut:
a.
 Sin2 x dx = - cos 2x + c
b.
 Sin
2
x dx =
1 3
Sin x  c .
3
Masalah : Bagaimana hal ini dapat terjadi dan
bagaimana bentuk terapinya?
2. Memahami definisi komposisi dua buah fungsi sbb :
Misalkan f dan g dua buah fungsi sehingga
dimana D(g) adalah daerah definisi dari
f dan R(f) adalah daerah definisi f. Fungsi komposisi dari f
dan g ( f dilanjutkan g ) ditulis gof adalah suatu fungsi yang
daerah asalnya himpunan bagian dari D(f) dan aturannya
ditentukan oleh (gof )(x) = g(f(x)). Daerah definisi fungsi
gof ditulis D(gof ) adalah prapeta
terhadap
fungsi f . Daerah nilai dari gof ditulis R(gof ) adalah peta
dari
oleh fungsi g [3].
Masalah: Menurut definisi di atas D(gof) dan R(gof)
ditentukan tanpa memperhatikan aturan dari gof. Apakah
D(gof ) dan R(gof) dapat ditentukan scara langsung dari
aturan fungsi gof ?
3. Rumus dibawah penting diingat, karena dapat
digunakan untuk menentukan integral tertentu sebagai
limit jumlah Riemann. Rumus tersebut adalah
penjumlahan bilangan aseli berpangkat bilangan aseli :
n
a.  i 
i 1
n (n  1)
2
n
b.  i 2 
i 1
1
n ( n  1)( 2n  1 )
6
3
Rumus b dan c dibuktikan dengan induksi matematik.
Masalah : Pembuktian melalui induksi matemática baru
dapat dilakukan jika kita telah mengetahui rumus umumnya.
Dapatkah rumus umum itu dikontruksi sehingga diperoleh
seperti rumus yang disajikan ?
4. Dimiliki teorema limit dari harga mutlak dari suatu fungsi
seperti berikut:
Misalkan R adalah himpunan bilangan riil dan A  R ,
f : A  R dan c  R titik cluster dari A. Jika
[6].
1. Mahasiswa diberikan soal seperti berikut:
a. Sin2 x dx = …

b.
 Sin
2
x dx = …
Selanjutnya mahasiswa menjawab persoalan tersebut
sebagai berikut :
12
[4]
n 2 ( n  1) 2
c.  i 
4
i 1
n
Masalah : Jika
dengan
tidak ada
bagaimana
?
5. Dimiliki teorema limit dari harga mutlak dari suatu fungsi
seperti berikut :
Beberapa Permasalahan Matematika pada Tahun Pertama Bersama .... (Ketut Sarjana)
Jika f dan g dua buah fungsi yang masing-masing
kontinu di x = c, maka fungsi f + g kontinu di x = c. [ 2 ].
Masalah :
a. Jika salah satu dari fungsi f dan g diskontinu pada x = c,
apakah mungkin fungsi f + g kontinu pada x = c ?
b. Jika fungsi f dan g ke duanya diskontinu pada x = c,
apakah mungkin fungsi f + g kontinu pada x = c ?
II. PEMBAHASAN
Untuk memperjelas dan mempertajam pemahaman
mahasiswa dapat dilakukan dengan cara memberikan contoh
soal, soal yang menyangkal atau soal yang tidak memenuhi
kaidah yang diberikan. Hal ini sejalan dengan Dalil
pengontrasan dan Variasi dari Brunner dalam Nyimas Aisyah
yang mengatakan bahwa suatu konsep matematika akan
mudah dipahami oleh mahasiswa apabila konsep itu
dikontraskan dengan konsep-konsep yang lain, sehingga
perbedaan antara konsep itu dengan konsep-konsep yang
lain menjadi jelas [5].
Untuk keperluan ini sudah sepatutnya diperlukan kajian
teori yang mendalam. Hal ini dimaksudkan agar jawaban
atas persoalan yang ada dapat dipertangggung jawabkan
dan tidak didasarkan atas pembenaran secara pribadi.
6.Dimiliki teorema hubungan antara kekontinuan disebuah
titik dengan turunannya di suatu titik . Teorema tersebut
adalah:
Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi
pada selang terbuka I dan titik c termuat pada I. Jika fungsi
f memiliki turunan pada x = c, maka fungsi f kontinu pada
x = c [2].
Masalah : Apakah kebalikan teorema tersebut benar
yaitu jika fungsi f kontinu pada x = c, apakah fungsi f
memiliki turunan di x = c ?
2.1. PENJELASAN PERMASALAHAN No.1
7. Mahasiswa dihadapkan kepada bentuk soal seperti
berikut:
Untuk memberikan penjelasan mengenai permasalahan
1 dan bentuk penegasannya dapat dilakukan sebagai
berikut: Jawaban mahasiswa bahwa
Tentukan f ’(x) jika
!
 Sin2 x dx = – Cos 2x + C
Selanjutnya mahasiswa menjawab seperti berikut :
=
’
Hal ini berlaku untuk x  0. Jadi f (0) tidak ada
Masalah: Bagaimana bentuk terapi dari keputusan yang
dipilih oleh mahasiswa?
8. Mahasiswa diberikan soal seperti berikut :
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari
(1  Sin 2 x)  Sinx  Cosx !
Selanjutnya mahasiswa menjawab dengan cepat sebagai
berikut:
(1  Sin 2 x)  Sinx  Cosx






1 – Sin 2x = (Sinx – Cos x)2
1 – 2Sin x Cos x = Sin2x – 2 Sin x Cos x + Cos2x
1 – 2Sin x Cos x = Sin2x + Cos2x – 2 Sin x Cos x
1 – 2Sin x Cos x = 1 – 2 sin x Cos x
1 – 1 = 2 Sin x Cos x – 2 Sin x Cos x
0=0
Masalah: Mahasiswa bingung, karena harga x yang
dicari tidak ditemukan pada kesamaan terakhir, selanjutnya
mahasiswa memutuskan bahwa himpunan penyelesaian dari
persamaan di atas tidak ada.
Bagaimana bentuk penegasan dari jawaban ini ?
 Sin
2
x dx
1 3
Sin x  C dapat terjadi.
3
Hal ini disebabkan oleh karena mahasiswa
menggunakann secara otomatis rumus
 Sin P dP = – Cos P + C dan  P
n
dP =
1
P n 1  C , n rasioanal n  1 [ 2 ].
n 1
Mahasiswa tidak mengkaji lebih mendalam tentang
rumus yang dimiliki. Sebagai antisipasi agar tidak terjadi
hal yang serupa, maka setelah rumus tersimpan dalam
memori anak sebaiknya diberikan tindak lanjut dengan cara
memberikan beberapa kasus analogi seperti :
 Sin 2 x d(2x) = – Cos 2x + C
 ( x  1)
n
d(x+1) =
n
 Sin x d(Sin x ) =
1
( x  1) n 1  C
n 1
1
Sin n 1 x  C
n 1
Setelah terjadi resistensi, barulah mulai memberikan
pengontrasan dengan cara memberikan soal disertai suatu
petunjuk.
Ilustrasi mengenai hal ini dapat dilakukan kegiatan
sebagai berikut :
 Sin 2 x dx !
Apakah  Sin 2 x dx =  Sin 2 x d(2x) ?
Tentukan harga dari
Memperhatikan ke delapan persoalan tadi jelas
bahwa seorang pengajar sudah mestinya menyediakan dan
memberikan fasilitas akademik kepada mahasiswa. Persolan
tadi mengandung unsur menyuruh cari tahu, selanjutnya
dituntun melalui proses tanya jawab.
dan
J. Pijar MIPA , Vol. III No. 1, Maret 2008 : 11 - 16.
Supaya hal ini berlaku carilah hubungan d(2x) dengan
dx. Setelah diperoleh jawaban bahwa dx =
1
d(2x),
2
kembalilah ke persoalan tadi yakni:
1
1
Sin
2
x
Sin
2
x
Sin 2 x d (2x)
dx
=
.
d(2x)
=


2
2 
Akibatnya gof dapat dibuat dengan persamaan (gof)(x) =
1  x2 .
g(f(x)) = g(1 – x2 ) =
Dari rumus ini diperoleh D(gof) = [-1,1] dan R(gof) =
[0,1]. Hal ini sejalan dengan definisi yakni D(gof) = f1
(R(f)”D(g) = f-1([0, 1)) = [-1,1] dan R(gof) = g(R(f) )”D(g))
= g([0, 1)) = [0,1].
2.3. PENJELASAN MASALAH No. 3
= -
Rumus berikut:
1
Cos 2x + C
2
n
a. i 
i1
2.2. PENJELASAN MASALAH No. 2
Untuk masalah 2, jika komposisi dua fungísi f dan g
dapat dibuat, maka daerah definisinya yaitu D(gof ) dan
R(gof ) secara umum tidak dapat ditentukan melalui rumus
fungsi komposisi. Hal ini berarti bahwa :
a. Ada salah satu contoh dimana D(gof ) dan R(gof ) tidak
dapat ditentukan secara langsung rumus fungsi
komposisinya.
b. Ada salah satu contoh dimana D(gof ) dan R(gof ) dapat
ditentukan secara langsung dari rumus fungís
komposisinya.
n
1
b. i2  n(n1)(2n1)
6
i1
n(n1)
2
n
c. i3 
i1
n2 (n1)2
4 [4]
Dapat dibuktikan tanpa menggunakan induksi
matematika. Artinya dengan jalan merekontruksi dan
pemanfaatan Binomium Newton dan operasi penjumlahan
berhingga rumus dapat dibuktikan. Hal ini dibuktikan
sebagai berikut
n
a. Misalakn A =
i
= 1 + 2 + ...+ (n-1) + n disisi lain A
i 1
n
=  i = n + (n-1) + ...+ 2 + 1
i 1
Ilustrasi mengenai pernyataan (a) diberikan contoh
sebagai berikut :
Contoh 1.
Misalkan R adalah himpunan semua bilangan riil da
fungís f dan g masing-masing didefinisikan sebagai berikut:
f(x) =
1 2 x
dan
n
Jadi 2 A = 2  i = (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n +1)
i 1
sebanyak n suku = n (n + 1) ....... [2]
n
2
Akibatnya diperoleh bahwa
g(x) = x – 1.
Dalam hal ini D(f) = (- ~, ½ ], R(f) = [1, ~ ), D(g) = R dan
R(g) = [-1, ~ ). Karena
,
maka gof dapat dibuat dengan rumusnya adalah (gof)(x)
i 1
3
= g (f(x)) = g(
1 2 x ) = ( 1 2 x ) - 1 = - 2x.
3
n (n  1)
2
2
b. Dimiliki ( i + 1 ) - i = 3 i + 3i + 1. Dari sifat operasi
penjumlahan
berhingga
diperoleh
n
n
3
2
i 
n
 ( i 1)   i
i 1
3
i 1
n
n
 3 i 2  3  i 
i 1
i 1
1 [ 2]
i 1
Selanjutnya
n
dan
( n + 1)3 - 1 = 3
Dari sisi lain jika D(gof ) ditentukan dengan humus
komposisi, maka diperoleh bahwa D(gof ) = R dan R(gof
) = R. Ini bertentangan dengan D(gof )  D(f) = (- ~, ½]
dan R(gof)  R(g) = [-1, ~ ) [ 6].
Ilustrasi mengenai pernyataan b) diberikan contoh
berikut :
g(x) =
x . Dari rumus fungsi f dan g ini masing-masing
diperoleh :
D(f) = R, R(f) = (- ~ ,1], D(g) = [ 0, ~) dan R(g)
= [ 0, ~). Jelas bahwa
2
+ 3
i 1
n ( n  1)
2
+ n
n (n  1 )
2
- n
n
3
i
2
= ( n + 1)3 - 1 - 3
i 1
n
3
i
2
= n3 + 3n2 + 3n -
i 1
Contoh 2.
Misalkan R himpunan semua bilangan riil dan fungsi
f dan g masing-masing didefinisikan f(x) = 1 – x2 dan
i
+
3 2 3
3
n - n - n = n3 + n 2
2
2
2
3
n
2
Jadi terbukti bahwa
n
i
i 1
2

1
n ( n  1 )( 2n  1 )
6
c. Dengan cara yang sama seperti b) dapat dilakukan sbb :
14
Beberapa Permasalahan Matematika pada Tahun Pertama Bersama .... (Ketut Sarjana)
Dimiliki ( i + 1 )4 - i4 = 4i3 + 6i2 + 4i + 1. Melalui operasi
penjumlahan
berhingga
diperoleh
n
n
n
4
(i 1)   i
i 1
4
i 1
n
n
 4 i3  6i2  4i 
i 1
i 1
i 1
1
( n + 1 )4 - 1 = 4 i + 6{ n(n + 1)(2n + 1)}+
i 1
6
1
n(n + 1)} + n
2
n
= ( n + 1 ) 4 - 1 – 2n 3 - 5n 2 - 4n
i 1
= n4 + 2n3 + n2 = n2 ( n + 1)2
2
n
Jadi terbukti bahwa
i
3

i 1
tidak ada.
1
3
4 i 3
tidak dan
i 1
n
4{
Ini berarti
n
5.5. PENJELASAN MASALAH No. 5
Dimiliki teorema bahwa jika f dan g dua buah fungsi
yang masing-masing kontinu di x = c, maka fungsi f + g
kontinu di x = c.
Masalah :
a. Jika salah satu dari fungsi f dan g diskontinu pada x = c,
apakah mungkin fungsi f + g kontinu pada x = c ?
b. Jika fungsi f dan g ke duanya diskontinu pada x = c,
apakah mungkin fungsi f + g kontinu pada x = c ?
Penyelesaian.
a. Fungsi f + g tak mungkin kontinu di x = c.
Misalkan f kontinu pada x = c tetapi fungsi g dinkontinu
pada x = c. Andaikan f + g kontinu di x = c. Jadi menurut
teorema fungsi (f + g) - f = g kontinu di x = c. Hal ini
bertentangan dengan g diskontinu pada x = c. Jadi
terbukti bahwa f + g fungsi diskontinu pada x = c.
2
n ( n  1)
.
4
2.4. PENJELASAN MASALAH No. 4
Mengenai permasalahan 4 penegasannya sebagai
berikut :
Jika
tidak ada, maka
mungkin
ada mungkin tidak ada.
Sebagai ilustrasi diberikan 2 contoh soal yang
mendukung pernyataan tersebut.
Contoh 3.
Pandang f(x) =
1, x > 0
x
x
=
-1, x < 0
Fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat
x = 0, kecuali mungkin di 0.
Selanjutnya
tidak
ada
karena
.
Tetapi untuk
harga
| f(x) | = 1
dan
Contoh 4.
Misalkan
Selanjutnya
.
b. Fungsi f + g tidak bisa ditentukan kekontinuannya,
artinya bahwa fungsi f + g bisa kontinu bisa juga tidak
tergantung dari kontruksi fungsinya.
Sebagai ilustrasi diberikan dua contoh yang memperkuat
argumentasi tersebut.
Pandang dua fungsi f dan g yang didefinisikan sbb:
2.6. PENJELASAN MASALAH No. 6
Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada
selang terbuka I dan titik c termuat pada I. Jika fungsi f
memiliki turunan pada x = c, maka fungsi f kontinu pada x
= c. Jelas kebalikan dari teorema tersebut tidak benar.
J. Pijar MIPA, Vol. III No.1, Maret 2008 : 11 - 16.
jawab merupakan himpunan bagian dari himpunan
pengganti. Selain itu ada juga persamaan mutlak dan
persamaan bersyarat. Persamaan mutlak adalah persamaan
yang himpunan jawabannya sama dengan himpunan
pengganti, sedangkan persamaan bersyarat adalah
persamaan yang himpunan penyelesaiannya adalah
himpunan bagian sejati dari himpunan penggati.
Jadi memperhatikan persoalan tadi bahwa Himpunan
jawab dari
Artinya bahwa kita memiliki fungsi f kontinu pada x = c dan
terdefinisi pada selag terbuka I, tetapi f tidak memiliki
turunan di x = c.
Sebagai ilustrasi dari jawaban tersebut diberikan contoh
pendunkungnya seperti berikut:
J = {x /

4
(1  Sin 2 x)  Sinx  Cosx adalah
 2 n  x 
hal ini dapat dicari sebagai berikut:
Dimiliki Sin x – Cos x =
(1  Sin 2 x)  0 dan
Sin x – Cos x = Sin x – Sin


  x
2

2.7. PENJELASAN MASALAH No. 7
Jika
f ( x) 
1
x 3 Sinx ,
1
2
1 . 3
3
maka f ' ( x )  x Cosx  x
Sinx
=
Selanjutnya keputusan mahasiswa tentang f ’(0) tidak
ada adalah tidak benar, sebab sekalipun f ’(x) tidak
menjangkau x = 0, tetapi f ’(x) ini tidak memberikan informasi
ada atau tidaknya f ’(0) dan hal ini mungkin ada mungkin
tidak ada.
Dalam hal ini dengan menggunakan definisi diperoleh
=
2Cos
3
f ’(0) =
lim it f ( x)  f (0) = lim it
x 0
x0
x0
1
x 3 Sinx
x
9
 2n , n bilangan bulat}
4



Sin x  
4
4



2 Sin x  
4

Jadi


Sin x    0 . Dari sini diperoleh bahawa
4

2n  x 

4

4
 2n  1 ,n bilangan bulat atau
 2n  x 
9
 2n , n bilangan bulat.
4
III. KESIMPULAN DAN SARAN
Kepada para pembina matematika dapat merumuskan
kegiatan serupa untuk pokok bahasan lain pada matakuliah
yang sama dan untuk pokok bahasan lain pada matakuliah
yang berbeda sehingga terjadi pertukaran informasi diantara
staf pengajar.
=
1
lim it x 3 Sinx = 0 .
x0
x
2.8. PENJELASAN MASALAH No. 8
Jawaban mahasiswa tentang himpunan jawaban dari
(1  Sin 2 x)  Sinx  Cosx tidak ada adalah salah.
Karena himpunan jawab dari ke dua persamaan tersebut
sama dengan himpunan pengganti. Pada suatu persamaan
dikenal adanya himpunan pengganti dan himpunan jawab.
Himpunan penganti adalah himpunan semua x yang dapat
digantikan ke persamaan, sedangkan himpunan jawab
adalah himpunan semua x sehingga persamaan menjadi
benar. Untuk sebarang persamaan jelas bahwa himpunan
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ali, M.2002. Guru dalam Proses belajar Mengajar. Sinar
Baru Algesindo. Bandung.
[2] E. J. Purcell, dan D. Varberg. Kalkulus dan Geometri
Analitik, Jilid I, edisi 4 terjemahan. Penerbit Erlangga.
Jakarta.
[3] K. Martono.1999. Kalkulus, Penerbit Erlangga. Jakarta.
[4] L. Leithold. 1986. The Calculus with Analytic Geometri.
Harper & Row,Publi- Publisher, New York.
[5] N. Aisyah,dkk.2007. Pengembangan Pembelajaran
Matematika SD. Direktorat Jenderal Pendidikan
Tinggi, Depdiknas
[6 ] R. G. Bartle, dan D. Sherbert. 1982. Introduction to Real
Analysis. John Wiley & Son, Inc, New York.
[7]. Slameto. 2003. Belajar dan Faktor-faktor yang
mepengaruhinya.Renika Cipta .Jakarta.