KAJIAN KEKOMPAKAN DI DALAM RUANG BANACH

Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH
Ariyanto*
ABSTRACT
The properties of compactness in Banach spaces in this paper is a generalization of a
compact understanding the system on the real numbers. New concepts formed is
relatively compact, sequentially compact, relatively sequentially compact, and totally
bounded.
These
paper
study
about
relationship
of
concepts.
Key words: Banach spaces, compact, compact sequential, totally bounded.
ABSTRAK
Sifat kekompakan di ruang Banach pada tulisan ini merupakan perumuman dari
pengertian kompak pada sistem bilangan real. Konsep-konsep baru yang terbentuk adalah
kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Tulisan
ini mengkaji keterkaitan konsep-konsep tersebut di atas.
Kata kunci : ruang Banach, kompak, kompak sekuensial, terbatas total.
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Ruang bernorma dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalam ruang bernorma
tersebut konvergen, dan ruang bernorma lengkap dikenal dengan sebutan ruang Banach.
Pemberian nama ruang bernorma lengkap sebagai ruang Banach disebabkan Banach yang
menemukan struktur sifat-sifat ruang bernorma lengkap dalam meraih disertasi doktornya pada
tahun 1920. Liput terbuka suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real  dimaksudkan
suatu koleksi himpunan terbuka
G 
yang merupakan himpunan bagian  sehingga
E   G , dan suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real  dikatakan kompak apabila

setiap liput terbuka untuk himpunan E memuat liput-bagian yang banyak anggotanya hingga.
Tulisan ini akan mengitlak (memperumum) pengertian dan sifat-sifat kompak yang dimiliki
sistem bilangan real  ke ruang Banach. Implikasi lanjutannya adalah pengertian, konsep dan
sifat-sifat kompak pada sistem bilangan real  setelah di bawah ke ruang Banach berhasil
memunculkan struktur sifat yang baru seperti : kompak relatif, kompak sekuensial, kompak
sekuensial relatif, dan terbatas total. Pembahasan pada tulisan ini akan ditampilkan dalam bentuk
teorema atau lemma.
MATERI DAN METODE KAJIAN
Tulisan pembahasan sifat kekompakkan pada ruang Banach ini menggunakan pendekatan
studi literatur. Langkah permulaan dilakukan adalah menghimpun materi yang dibutuhkan yang
diambil dari buku-buku analisis seperti yang tercantum dalam daftar pustaka. Kemudian ,
mempelajari materi penelitian dan mengolahnya dengan bantuan teori-teori dasar dalam
matematika seperti logika, teori himpunan dan analisis dasar.
Teori Dasar
Pada bagian ini akan dibahas pengertian dasar yang akan digunakan sebagai landasan
untuk pembahasan berikutnya. Beberapa konsep, sifat dan teorema pada tulisan ini dianggap
sudah dipahami. Beberapa bukti teorema dalam bagian ini tidak diberikan karena bisa langsung
merujuk ke daftar pustaka.
Ruang Metrik
Pada sub bagian ini akan dibicarakan pengertian dan sifat-sifat dari ruang metrik, sebagai
berikut.
Definisi 1 : Diberikan sebarang himpunan tak kosong X .
 i  Fungsi d :    R
 1 d  x, y   0
d  x, y   0
yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
untuk setiap x, y  
jika dan hanya jika x  y,
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
 2 d  x, y   d  y, x 
untuk setiap x, y   dan
 3 d  x, y   d  x, z   d  z, y 
untuk setiap x, y, z   ,
Disebut metrik atau jarak pada X .
 ii  Himpunan
X dilengkapi dengan suatu metrik d , dituliskan dengan  , d  , disebut ruang
metrik. Jika metriknya telah diketahui maka ruang metrik cukup ditulis X saja. Anggota ruang
metrik  , d  disebut titik dan untuk setiap x, y   bilangan nonnegatif d  x, y  disebut jarak
titik x dengan titik y .
Definisi 2 : Diketahui  X , d  ruang metrik, dan S  X .
1. Apabila x sebarang titik di dalam ruang metrik X
dan   0 , maka Himpunan
N  (x)  y  X : d x, y     dinamakan persekitaran dengan titik pusat x dan jari-jari  .
2. Titik x  X disebut titik limit himpunan S , apabila setiap persekitaran dengan titik pusat x
memuat paling sedikit satu titik y  S dengan y  x , atau untuk setiap   0 berlaku
N  (x)  S  x   . Koleksi semua titik limit himpunan S disebut derived set dan
dinotasikan dengan S  . Himpunan S  S  S  disebut closure( S ). Titik anggota S yang
bukan titik limit disebut titik terasing.
3. Titik x  X disebut titik-dalam himpunan S , apabila terdapat persekitaran N  (x) sehingga
berlaku N  (x)  S .
4. Himpunan S  X disebut himpunan terbuka apabila setiap anggotanya merupakan titikdalam himpunan S .
5. Himpunan S  X dikatakan himpunan tertutup apabila S c terbuka. Closure( S ) didefinisikan
juga sebagai irisan semua himpunan tertutup yang memuat S .
6. Himpunan S  X dikatakan terbatas apabila ada titik x  X dan bilangan real M  0
sehingga untuk setiap y  S berlaku d x, y   M .
7. Diameter himpunan
S  X , dinotasikan sebagai d S  dan didefinisikan sebagai
d S   sup d x, y : untuk setiap x, y  S. S juga dikatakan terbatas apabila diameternya
hingga.
Teorema 3 : Diketahui  X , d  ruang metrik, dan S  X .
Himpunan S tertutup jika dan hanya jika S memuat semua titik limitnya, atau S   S .
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Bukti : Syarat perlu : S tertutup, jadi S c terbuka. Andaikan bahwa S   S , yaitu ada x  S 
dengan x  S atau x  S c . Karena S c terbuka, maka x merupakan titik-dalam himpunan S c .
Jadi, ada bilangan   0 sehingga berlaku N  (x)  S c atau N  (x)  S   . Akibatnya untuk
  0 tersebut berlaku N  (x)  S  x   . Jadi x bukan titik limit himpunan S , kontradiksi
dengan pengambilan x  S  .
 
 
c
Syarat cukup : Diketahui S   S atau S c  S  . Diambil sebarang x  S c , maka x  S 
c
atau x bukan merupakan titik limit himpunan S . Jadi ada bilangan   0 dengan sifat
N  (x)  S  x   .
Kemungkinan terjadi, N  (x)  S   atau N  (x)  S  x.
Karena x  S c (atau x  S ) maka N  (x)  S   . Jadi, apabila diambil x  S c , maka ada
bilangan   0 sehingga N  (x)  S   atau N  (x)  S c . Dengan kata lain x merupakan
titik-dalam himpunan S c , sehingga terbukti S c himpunan terbuka atau himpunan S tertutup.
Definisi 4 : Diketahui
X , d 
ruang metrik. Barisan
 xn 
di dalam suatu ruang metrik X
dikatakan konvergen jika ada x  X sehingga untuk setiap bilangan   0 terdapat bilangan asli
n0 , sehingga untuk setiap bilangan asli n  n0 berlaku d  xn , x    . Dalam hal ini dikatakan
barisan {xn} konvergen ke x atau barisan  xn  mempunyai limit x dan biasa dinotasikan dengan
lim d  xn , x   0 , atau lim xn  x . Barisan yang tak konvergen dikatakan divergen.
n 
n 
Definisi 5 : Diketahui
X , d 
ruang metrik. Suatu barisan x n  di dalam X , dan dibentuk
  dinamakan
barisan bilangan asli nk : k  N  sehingga n1  n2  n3  ... , maka barisan x nk
barisan bagian dari x n  .
Definisi 6 : Diketahui  X , d  ruang metrik. Barisan x n  di dalam X disebut barisan Cauchy
apabila untuk setiap bilangan   0 terdapat bilangan asli n1 sehingga untuk setiap m, n  n1
berlaku d xm , xn    .
Teorema 7 : Diketahui  X , d  ruang metrik, dan S  X .
Apabila x titik limit himpunan S , maka ada suatu barisan
xn 
di dalam S sehingga
lim xn  x .
n 
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Teorema 8 : Diketahui  X , d  ruang metrik.
Apabila setiap barisan x n  di dalam X konvergen, maka barisan tersebut merupakan barisan
Cauchy.
Ruang Bernorma
Pada sub bagian ini akan disajikan definisi ruang bernorma disertai sifat-sifatnya.
Definisi 9 : Diketahui X ruang linear atas C atau R .
Fungsi . : X  R disebut norma apabila :
N1 
x  0 untuk setiap x  X , dan x  0  x   .
N 2 
 .x   . x untuk setiap x  X dan skalar  .
N 3 
x  y  x  y untuk setiap x, y  X .
Ruang linear X yang diperlengkapi norma dinamakan ruang bernorma dan dituliskan dengan
X , .  atau
X saja.
Teorema 10: Setiap ruang bernorma X merupakan ruang metrik, dengan d ( x, y)  x  y
untuk setiap x, y  X .
Berdasarkan Teorema 10 di atas, setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik, maka
semua konsep, pengertian, sifat-sifat, serta teorema-teorema yang berlaku pada ruang metrik
berlaku pula pada ruang bernorma. Demikian pula karena ruang bernorma merupakan ruang
metrik maka vektor disebut pula sebagai titik.
Teorema 11 : Ruang bernorma X dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalamnya
konvergen, dan ruang bernorma lengkap disebut Ruang Banach.
Contoh : Ca, b   f : a, b  R, f kontinu  koleksi semua fungsi kontinu dari a, b ke
 . Terhadap norma
terhadap norma f
1

f

b
a
0
 sup  f x  : x  a, b merupakan ruang Banach, akan tetapi
f x  dx , bukan merupakan ruang Banach.
Definisi 12 : Apabila ruang bernorma X memuat suatu barisan en  yang memenuhi untuk
setiap
x X
ada
dengan
tunggal
barisan
skalar
 n 
sehingga
berlaku
x  1 e1   2 e2  . . .   n en    untuk n   , maka en  disebut basis untuk X .
Dengan kata lain, untuk setiap x  X dapat disajikan sebagai representasi kombinasi linear dari
e1 , e2 , . . . , e n .
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Lemma 13 : Apabila x1 , x2 ,..., xn  himpunan vektor-vektor bebas linear di dalam suatu ruang
bernorma X yang berdimensi hingga, maka ada suatu bilangan c  0 sehingga untuk setiap
skalar  1 ,  2 , ...,  n berlaku,
1 x1   2 x2  ...   n xn  c 1   2  ...   n  .
Teorema 14 : Setiap ruang bagian berdimensi hingga Y dari ruang bernorma X merupakan
himpunan tertutup di dalam X .
Lemma 15 :(Lemma Riesz’s) Diberikan X ruang bernorma berdimensi hingga dan Y , Z
ruang bagian X . Apabila Y tertutup dan Y  Z , maka untuk setiap bilangan   0,1 ada
z  Z sehingga z  1 dan z  y   , untuk setiap y  Y .
Bukti : Diambil sebarang v  Z dengan v  Y , dan dibentuk
a  inf
v  y
a  v  y0 
: y  Y . Apabila diambil   0,1 , maka ada y 0  Y sehingga berlaku
a

. Diambil z  c v  y 0  di dalam Z , dengan c 
z  c v  y0  
v  y 0 
v  y0
1
maka diperoleh
v  y0
 1.
Selanjutnya, akan ditunjukkan z  y   sebagai berikut. Untuk setiap y  Y diperoleh
 
 
y 
y 
z  y  cv  y0   y  c v   y 0    c v   y 0    c v  y1 ,
c 
c 
 
 
dengan y1  y 0 
y
. Oleh karena itu, menurut definisi a di atas diperoleh v  y1  a .
c
1
maka diperoleh
v  y0
Berdasarkan hasil di atas pula, dengan c 
z  y  c v  y1  c.a 
a
a
 .

a
v  y0

Karena y  Y diambil sebarang, maka lemma Riesz’s terbukti.
PENGKAJIAN
Pembahasan
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Pada sub bagian ini akan membahas pengertian dan sifat-sifat kekompakan yang dimiliki
oleh ruang Banach. Langkah awal akan mendefinisikan dulu pengertian kompak, dan langkah
berikutnya berturut-turut akan menyajikan sifat-sifat kompak di dalam ruang Banach.
Definisi 16 : Koleksi semua himpunan himpunan  di dalam ruang Banach X dikatakan liput
(cover) himpunan S  X apabila setiap anggota himpunan S termuat paling sedikit dalam satu
anggota koleksi semua himpunan  .
Dengan kata lain,  merupakan liput himpunan S  X apabila S 
 G . Apabila setiap
G
anggota  merupakan himpunan terbuka di dalam X , maka  disebut liput terbuka (open
cover) untuk S .
Definisi 17 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan S  X dikatakan kompak (compact) apabila untuk setiap liput terbuka  himpunan
S ada liput bagian berhingga yang juga liput himpunan S .
Jelasnya, S kompak apabila koleksi semua himpunan terbuka  merupakan liput terbuka
untuk S , maka ada himpunan berhingga G1 , G2 ,..., Gn    sehingga berlaku S 
n
G
i
.
i 1
Contoh : 1. Di dalam ruang Banach X , himpunan berhingga merupakan himpunan kompak.
Jawab : Misalkan himpunan berhingga tersebut adalah S  x1 , x2 ,..., xn  dan   G 
merupakan liput terbuka untuk S , maka ada anggota S merupakan anggota G untuk paling
sedikit satu  . Jadi untuk setiap x i dipilih satu G saja yang memuat x i , sebut saja G i   .
Jadi G1 , G 2 , ..., G n merupakan liput bagian berhingga untuk S . Terbukti untuk sebarang
liput terbuka untuk S memuat liput bagian berhingga untuk S . Jadi disimpulkan S kompak.
1
n


2. Himpunan S   : n    di dalam sistem bilangan real  tidak kompak.
Definisi 18 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan S  X dikatakan kompak relatif (relatively compact) jika dan hanya jika S (closure
S ) merupakan himpunan kompak.
Definisi 19 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan S  X dikatakan kompak sekuensial (sequentially compact) apabila setiap barisan
xn  di dalam S
 
mempunyai barisan bagian x nk yang konvergen ke x  S .
Definisi 20 : Diketahui X ruang Banach.
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Himpunan S  X dikatakan kompak sekuensial relatif (relatively sequentially compact) jika dan
hanya jika S (closure S ) merupakan himpunan kompak.
Definisi 21 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan S  X disebut   net apabila S himpunan berhingga dan
 N  ( x)  X , dan
X
xS
disebut terbatas total apabila X memuat suatu   net , untuk setiap   0 .
Definisi 22 : Diketahui X ruang Banach, dan  liput terbuka untuk X .
Bilangan   0 disebut bilangan Lebesque untuk liput terbuka  apabila setiap himpunan
S  X dengan d (S )   , ada G   sehingga S  G .
Teorema 23 : : Diketahui X ruang Banach.
Apabila setiap himpunan tak berhingga S  X mempunyai titik limit di dalam X , maka X
kompak sekuensial.
Bukti : Diambil sebarang barisan x n  di dalam X . Dibentuk range dari barisan tersebut sebagai
berikut : S  xn : n  .
Apabila S berhingga, maka ada paling sedikit satu anggota x  S untuk tak berhingga
banyaknya indeks n , sebab x n merupakan fungsi dengan domain himpunan tak berhingga  .
Dengan demikian terbentuk suatu barisan
nk : k  
sehingga
n1  n2  ... , dan
x n1  x n2  ...  x . Jadi diperoleh suatu barisan bagian yang konvergen ke x  S  X . Apabila
S tak berhingga, dan S mempunyai titik limit x 0 di dalam X maka ada barisan di dalam S
yang konvergen ke x 0 . Dipilih n1 sehingga berlaku xn1  x0  1 . Kemudian dipilih n 2 dengan
n1  n2 sehingga xn2  x0 
nk  nk 1 sehingga
1
. Setelah dipilih n1  n2  ...  nk 1 , maka dipilih n k dengan
2
x nk  x 0 
1
. Jadi terbentuk barisan
k
x 
nk
yang konvergen ke x 0 .
Dengan kata lain terbukti X kompak sekuensial.
Lemma 24 : Diketahui X ruang Banach.
Apabila himpunan S  X tak berhingga yang terbatas total, maka untuk setiap   0 ada
himpunan tak berhingga M  S sehingga d M    .
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Bukti : Diketahui S himpunan tak berhingga dan diberikan sebarang   0 . Misalkan himpunan
H  x1 , x2 ,..., xn  merupakan suatu
yang berakibat S 

3
n
 net di dalam X sehingga berlaku X   N  ( xi ) ,
i 1
3
n
 (S  N  ( x )) . Dengan demikian paling sedikit ada satu dari himpunani
i 1
3
himpunan S  N  ( xi ) yang memuat himpunan tak berhingga, sebut saja M
dengan
3
d M    .
Teorema 25 : Diketahui X ruang Banach.
X terbatas total jika dan hanya jika setiap barisan x n  di dalam X mempunyai barisan bagian
Cauchy.
Bukti : syarat perlu : Diambil sebarang barisan Diketahui X ruang Banach. Pandang himpunan
A  xn ; n  . Apabila A berhingga, maka barisan
xn 
mempunyai barisan bagian
berhingga yang konstan. Oleh karena itu, barisan ini merupakan barisan Cauchy. Sekarang
misalkan A tak berhingga, maka berdasarkan Lemma 23 ada himpunan tak berhingga B1  A
dengan d B1   1. Dipilih n1 sehingga xn1  B1 . Selanjutnya dengan cara yang sama, ada suatu
himpunan tak berhingga B2  B1 dengan d B2  
1
. Dipilih n2  n1 sehingga xn2  B2 .
2
Apabila prosedur ini dilakukan terus menerus, maka diperoleh himpunan-himpunan tak berhingga
Bk  Bk 1  ...  B2  B1 dengan d Bi  
1
( i  1,2,..., n ) sehingga untuk setiap bilangan
i
asli nk  nk 1  ...  n2  n1 berlaku xni  Bi ( i  1,2,..., n ). Berdasarkan proses ini diperoleh
  dari x . Apabila diberikan sebarang   0 , maka dipilih k
suatu barisan bagian x nk
sehingga
n
0

1
  . Dengan cara yang sama seperti di atas diperoleh x nm  Bk0 untuk m  k 0 . Jadi
k0
apabila j, m  k 0 maka berlaku x n j  x nm 
1
  . Oleh karena itu terbukti bahwa setiap
k0
barisan di dalam X mempunyai barisan bagian Cauchy.
Syarat cukup : Andaikan himpunan X tidak terbatas total, maka ada  0  0 sehingga tidak
terdapat  0  net di dalam X . Diberikan sebarang x1  X dan dipilih x2  X sehingga
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
x2  x1   0 . Hal ini mungkin terjadi sebab himpunan x1  bukan suatu  0  net di dalam
X . Selajutnya dipilih x3  X dengan x3  x1   0 dan x3  x2   0 , dan ini mungkin
terjadi sebab x1 , x2  bukan suatu  0  net di dalam X . Apabila proses dilakukan secara terus
menerus dengan cara yang sama, maka akan diperoleh himpunan
x1 , x2 ,..., xn 
yang bukan
suatu  0  net di dalam X dengan sifat xi  x j   0 , untuk setiap i  j ( j  1,2,.., k ). Jadi
ada xn1  X dengan xk 1  x j   0 , untuk j  1,2,.., k . Oleh karena itu barisan x n  tidak
mempunyai barisan bagian Cauchy, kontradiksi dengan yang diketahui.
Teorema 26 : Ruang Banach X kompak sekuensial jika dan hanya jika X terbatas total.
Bukti : Syarat perlu : Karena X kompak sekuensial, maka setiap barisan x n  di dalam X
mempunyai barisan bagian
x  yang konvergen, yang berakibat barisan x  merupakan
nk
nk
barisan Cauchy. Jadi, setiap barisan di dalam X mempunyai barisan bagian Cauchy, dan
berdasarkan Teorema 25 terbukti bahwa X terbatas total.
Syarat cukup : Diketahui X terbatas total dan diambil sebarang barisan x n  di dalam X .
  dan karena
Menurut Teorema 25, maka barisan x n  mempunyai barisan bagian Cauchy x nk
 
X ruang Banach, maka barisan x nk konvergen atau terbukti X kompak sekuensial.
Lemma 27 : Diketahui X ruang Banach. Apabila X kompak sekuensial, maka setiap liput
terbuka  untuk X mempunyai bilangan Lebesque.
Bukti : Diketahui X kompak sekuensial dan liput terbuka  untuk X . Andaikan tidak ada
bilangan Lebesque untuk liput terbuka  , maka untuk setiap n   ada himpunan tak kosong
An  X dengan d  An  
1
sehingga An tidak termuat dalam  . Selanjutnya, dipilih
n
xn  An , dan karena X kompak sekuensial maka barisan x n  di dalam X mempunyai barisan
  yang konvergen ke x
bagian x nk
0
. Dipilih G0   sehingga x0  G0 . Karena G0 himpunan
  konvergen ke
terbuka, maka ada bilangan   0 sehingga N  ( x0 )  G0 . Karena x nk
x0 ,
maka x nk termuat di dalam N  ( x0 ) untuk tak berhingga banyak nk   . Dipilih n k yang
maksimal sehingga x n   N  ( x0 ) dengan
k

1
 . Apabila diambil y  An maka diperoleh

k
2
nk
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
y  x0 
 

1
1
, dan mengingat d An   maka berakibat y  x0  . Oleh karena itu

k
2
nk
nk
y  N  ( x0 ) , dengan demikian diperoleh An  N  ( x0 )  G0 . Kotradiksi dengan fakta bahwa
k
untuk setiap n   , An tidak termuat di dalam anggota  . Dengan kata lain  mempunyai
bilangan Lebesque.
Teorema 28 : Diketahui X ruang Banach dan S  X .
S kompak jika dan hanya jika S kompak sekuensial.
Bukti : Syarat perlu : Andaikan S tidak kompak sekuensial, maka menurut Lemma 26 ada suatu
himpunan tak berhingga A  S dengan A tidak mempunyai titik limit di dalam S . Dengan
demikian setiap anggota S bukan titik limit himpunan A , dan setiap titik anggota A merupakan
titik terasing. Jadi, untuk setiap x  A ada bilangan   0 sehingga N  ( x)  A  x, dan
untuk setiap y  S dengan y  A dapat dibuat persekitaran N  ( y ) sehingga N  ( x)  A   .
A
Karena
tak
berhingga,
maka
koleksi
semua
himpunan
  N  ( x) : x  A N  ( y) : x  S & y  A merupakan liput terbuka untuk S , akan tetapi
liput terbuka  tidak memuat liput bagian berhingga. Sebab, apabila menghilangkan satu
persekitaran N  (x) saja dari titik x  A maka S tidak terliput lagi, dan kontradiksi dengan
fakta bahwa S kompak.
Syarat cukup : Diberikan sebarang liput terbuka  untuk S , maka menurut Lemma 26 liput
terbuka  mempunyai bilangan Lebesque   0 , dan berdasarkan Teorema 25 maka S terbatas
total. Oleh karena itu, ada suatu

3
 net dari himpunan berhingga x1 , x2 ,..., xn  sehingga
untuk setiap k  1,2,..., n berlaku

 2
d  N  ( x k )      . Selanjutnya, ada Gk   dengan N  ( x k )  Gk .
3
 3
 3
n
Karena
 N (x
k 1
k
)  S , maka diperoleh G1 , G2 ,..., Gn  merupakan liput bagian berhingga
3
untuk S , atau terbukti S kompak.
Teorema 29 : Diketahui X ruang Banach dan S  X .
Jika S kompak, maka S tertutup dan terbatas.
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Bukti : (a) Diambil sebarang x0  X dengan x0  S c , dan untuk setiap anggota x  S dibuat



persekitaran N  (x)  y : x  y   , dan persekitaran N ( x0 )  y : x  y  
pusat x 0 dan jari-jari  

dengan
1
x  x0 . Jelas bahwa, N  (x)  N ( x0 )   untuk setiap x  S .
2
Oleh karena itu, koleksi semua himpunan persekitaran-persekitaran   N  ( x) : x  S 
merupakan liput terbuka untuk S . Karena diketahui S kompak, maka ada x1 , x 2 , ... , x n  S
sehingga
berlaku
S
n
n
 N  ( xi ) .
Dibentuk
W   Ni ( x 0 )
himpunan
dengan
i 1
i 1
i 
1
x0  xi , untuk setiap i  1 , 2 , ... , n . Jadi W merupakan suatu persekitaran dari titik
2
x0
dan himpunan bagian semua
Ni ( x0 ) , untuk setiap i  1 , 2 , ... , n . Jadi,
W  N  ( xi )   , untuk setiap i  1 , 2 , ... , n sehingga
W  N  (x)   . Akibatnya,
W  S   atau W  S c . Jadi x 0 merupakan titik-dalam himpunan S c , jadi S c terbuka atau
S tertutup.


(b) Untuk setiap x  S dibentuk persekitaran N1 ( x)  y : x  y  1 , yaitu persekitaran
dengan pusat x dan jari-jari 1 . Koleksi semua himpunan   N1 ( x) : x  S  merupakan liput
terbuka untuk S . Karena diketahui S
S
n
 N ( x ) . Namakan,
1
i
kompak, maka ada x1 , x 2 , ... , x m  S sehingga
M 1  maks  x1  x2 , x1  x3 , ..., x1  xm . Untuk sebarang
i 1
yS
ada
xj
dengan
1  j  m , sehingga berlaku
x1  y  x1  x j  x j  y  M  1 1  M .
Jadi
y  N1 ( x j ) . Jadi diperoleh
untuk
setiap
yS
berlaku
x1  y  M atau dengan kata lain S terbatas.
Teorema 30 : Diketahui X ruang Banach, dan S  X .
Apabila S tertutup dan terbatas, dan X berdimensi hingga maka S kompak.
Bukti : Misalkan Dim( X )  n , dan
e1 , e2 , . . . , en 
merupakan basis untuk X . Diambil
sebarang barisan x m  di dalam S , maka untuk setiap x m anggota S dapat disajikan sebagai
representasi kombinasi linear sebagai berikut,
xm  x1( m) e1  x2( m) e2  . . .  xn( m) en
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Karena diketahui S terbatas, maka ada bilangan k  0 sehingga x m  k , untuk setiap m .
Menurut Lemma 13, maka diperoleh
k  xm  x1( m) e1  x2( m) e2  ...  xn( m) en  c
n
x
j 1
(m)
j
, dengan c  0 .
  terbatas. Jadi ia mempunyai titik limit, katakan titik
)
Oleh karena itu barisan bilangan x (m
j
limitnya tersebut adalah x j , untuk 1  j  n . Akibatnya, barisan
bagian z m  yang konvergen ke z 
n
x
j 1
menunjukkan bahwa sebarang barisan
j
xm 
mempunyai barisan
e j . Karena himpunan S tertutup, maka z  S . Ini
xm 
di dalam S mempunyai barisan bagian yang
konvergen dalam S . Dengan kata lain S kompak sekuensial atau S kompak.
Teorema 31 : Diketahui X ruang Banach, dan S  X .
S kompak relatif jika dan hanya jika S terbatas total.
Bukti : Syarat perlu : Diketahui S kompak relatif atau S  S  S 
kompak. Apabila S
kompak berakibat S kompak sekuensial, maka menurut Teorema 26 S terbatas total. Apabila S
tidak kompak, dan karena S  merupakan koleksi semua himpunan titik limit di dalam S , maka
berdasarkan Teorema 23 S kompak sekuensial, dan sekali lagi menurut Teorema 26 terbukti S
terbatas total.
Syarat cukup : Diketahui S kompak relatif, yaitu S kompak.
Apabila S kompak berakibat S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total. Sekarang
apabila S tidak kompak dan karena S  merupakan koleksi semua titik limit di dalam S , maka
diperoleh S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total.
Syarat perlu : Diambil sebarang barisan x n  di dalam S . Karena diketahui S terbatas total,


maka ada himpunan-himpunan berhingga  N 1 ( y1 ), N 1 ( y 2 ), . . . , N 1 ( yi ) yang merupakan

2
2
2

suatu 1  net . Paling sedikit dari persekitaran-persekitaran ini memuat suatu barisan tak hingga,
 
 
katakanlah x n ,1 dengan x n ,1  x n  . Selanjutnya. Diambil lagi suatu
1
 net , maka paling
2
sedikit satu dari persekitaran-persekitaran di dalam himpunan berhingga dari suatu
1
 net
2
  dengan x   x . Apabila proses dilakukan terus
memuat barisan tak berhingga x n , 2
n, 2
n ,1
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
menerus maka akan diperoleh
x   x
n,m
n , m 1
suatu barisan tak hingga
 sehingga x 
n,m
x ,
n,m
untuk suatu m dengan
termuat di dalam persekitaran berdiameter
x  merupakan barisan diagonal, maka x 

j, j
n,n
yang termuat di dalam persekitaran berdiameter
j n
1
. Misalkan
m
 
merupakan barisan bagian dari x j ,n

j n
1
1
. Jadi diperoleh xn,n  xm,m 
,
n
min (n , m)
  merupakan barisan Cauchy. Karena X lengkap maka barisan x  adalah
konvergen. Dengan kata lain barisan x  mempunyai barisan bagian yang konvergen atau S
sehingga x n ,n
n,n
n,n
kompak sekuensial. Berakibat S kompak relatif.
SIMPULAN
Berdasarkan keseluruhan uraian di atas diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :
1. Apabila suatu himpunan tak berhingga mempunyai titik limit di dalam ruang Banach,
maka ruang Banach tersebut kompak sekuensial.
2. Suatu ruang Banach yang kompak sekuensial jika dan hanya jika ruang Banach tersebut
terbatas total.
3. Suatu himpunan di dalam ruang Banach yang kompak jika dan hanya jika himpunan
tersebut kompak sekuensial.
4. Apabila suatu himpunan yang kompak di dalam ruang Banach, maka himpunan tersebut
tertutup dan terbatas.
5. Apabila suatu himpunan yang tertutup dan terbatas di dalam ruang Banach, dan himpunan
itu juga berdimensi hingga maka himpunan tersebut kompak.
6. Suatu himpunan yang kompak relatif di dalam ruang Banach jika dan hanya jika himpunan
tersebut terbatas total.
DAFTAR RUJUKAN
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ariyanto, Kajian Sifat Kekompakan pada Ruang Banach
Hutson, V, and PYM, J.S, 1980. Aplications of Functional Analysis and Operator
Theory, Academic Press, London, New York, Toronto, Sydney, San Francisco.
Kreyszig, E, 1978. Introductory Functional Analysis with Aplications , John
Willey&Sons, Canada.
Parzynski, W.R, and Zipse, P.W, 1982. Introduction to Mathematical Analysis, Mc-Hill
Book Company.
Royden, H.L, 1989. Real Analysis. Mamillan Pub.Co., new York, Collier Macmillan
Pub., London.
Rudin, H.L, 1989. Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill International
Company, Singapore.
Simmons, G.F, 1963. Topology and Modern Analysis, Mc Graw-Hill Book Company,
Inc, New York.
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011