Modul Praktikum Logika Dasar Dosen Pengampu

Daftar Isi
Modul Praktikum
Logika Dasar
Dosen Pengampu:
Anie Rose Irawati M.Cs.
Penyusun:
Arif munandar
Dinora Refiasari
Gandi Laksana Putra
Muhammad Saleh
Firmansyah
Feri Krisnanto
Muammar Rizki F.I.
Edisi 1 (2017)
Laboratorium Komputasi Dasar
Jurusan Ilmu Komputer
FMIPA Universitas Lampung
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
i
Daftar Isi
Deskripsi Mata Kuliah
Kebanyakan orang setuju bahwa logika memainkan peranan penting dalam
berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika terkait erat
dengan berbagai ilmu lain yang berhubungan dengan komputer, misalnya
matematika, statistika, algoritma,dan mata kuliah-mata kuliah pemrograman.
Materi logika, yaitu dasar-dasar logika, tabel kebenaran, proposisi majemuk,
tautologi, ekivalensi logis, pembuktian logika dan analisis argument, kuantor, dan
rangkaian logika.
Tujuan Perkuliahan
Agar
mahasiswa
dapat
memahami
mata
kuliah
logika
dan
dapat
mengimplementasikannya.
Deskripsi Isi Perkuliahan
Materi pembelajaran dalam Mata Kuliah Logika disusun dalam 6 pokok bahasan,
yaitu: konsep logika proposisi yang mencangkup operator, hukum, dan tabel logika,
konsep logika predikat yang mencangkup tentang kuantor, terjemahan kalimat
berkuantor, dan teorema kalimat berkuantor, Teori inferensi yang mencangkup
argumentasi, tautologi, dan validitas argumen, deskripsi teori himpunan yang
mencangkup operasi, hukum dan sifat operasi himpunan, jenis himpunan, perkalian
himpunan, Aljabar Boolean yang mencangkup ekspresi boolean, prinsip dualitas,
hukum aljabar boolean, bentuk kanonik, penyederhanaan fungsi, dan Rangkaian
Logika yang mencangkup cara pembuatan rangkaian.
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
ii
Daftar Isi
Daftar Isi
Daftar Isi ........................................................................................................................... iii
Memahami Konsep Logika Proposisi ............................................................................. 4
Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)............................................................... 10
Memahami Konsep Logika Predikat ............................................................................ 17
Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) ............................................................... 19
Teori Inferensi ................................................................................................................. 24
Teori Inferensi (bag.2) .................................................................................................... 26
Mendeskripsikan Teori Himpunan ............................................................................... 29
Aljabar Boolean .............................................................................................................. 34
Aljabar Boolean (bag.2).................................................................................................. 38
Aljabar Boolean (bag.3).................................................................................................. 41
Aljabar Boolean (bag.4).................................................................................................. 44
Rangkaian logika ............................................................................................................ 50
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
iii
Memahami Konsep Logika Proposisi
Pertemuan 1
Memahami Konsep Logika Proposisi
Tujuan Instruksional
: Pengantar
Tujuan dari materi ini adalah untuk memahami konsep dari logika proposisi.
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi
Waktu Pertemuan
: 100 menit
Sebelum membahas lebih jauh tentang logika proposisi, terlebih dahulu kita bahas
pengertian dari logika proposisi. Logika proposisi / kalkulus proposisi adalah
bidang logika yang membentuk proposisi pada peryataan yang mengandung
peubah.
Proposisi itu sendiri adalah peryataan dalam bentuk kalimat yang mengandung nilai
benar atau salah, tetapi tidak sekaligus mengandung nilai benar dan salah. Benar
diartikan sebagai adanya kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan fakta yang
sebenarnya.
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil (misal: p, q, r). Contoh dari proposisi:
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Soekarno adalah almnus UGM.
r:2+2=4
Mengkombinasikan proposisi
Beberapa proposisi tunggal, dapat dikombinasikan menjadi satu kesatuan.
Contoh:
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
4
Memahami Konsep Logika Proposisi
Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Konjungsi (conjunction) : p dan q
Dinotasikan dengan p ∧ q
2. Disjungsi (disjunction) : p atau q
Dinotasikan dengan p ∨ q
3. Ingkaran (negation) dari p : tidak p
Dinotasikan dengan ~p
Dalam hal ini, p dan q disebut sebagai proposisi atomik. Sedangkan kombinasi dari
proposisi tersebut menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition).
Berikut ini adalah contoh dari kalimat logika proposisi.
Diketahui :
p : hari ini hujan.
q : murid-murid diliburkan dari sekolah.
p ∧ q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah.
p ∨ q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah.
~p : tidak benar bahwa hari ini hujan (atau : hari ini tidak hujan)
Berikut ini adalah contoh penotasian (bentuk simbolik) dari kalimat proposisi
majemuk.
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
5
Memahami Konsep Logika Proposisi
Diketahui :
p : pemuda itu tinggi
q : pemuda itu tampan
1. Pemuda itu tinggi dan tampan
p
∧
q
2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
p
∧
~q
3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
~
(p
q)
∧
4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
~
(
~p
~q
∨
)
5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
p
∨
(~p
∧
q)
6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
~
(~p
∧
q)
Operator logika dan Tabel logika
Didalam konsep logika, terdapat beberapa operator-operator logika. Operator
tersebut berfungsi untuk menggabungkan proposisi-proposisi atomik. Berikut ini
adalah macam-macam operator logika:
-
Negasi (NOT)
-
Konjungsi (AND)
-
Disjungsi (OR)
-
Eksklusif or (XOR)
-
Implikasi (jika - maka)
-
Bikondisional (jika dan hanya jika)
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
6
Memahami Konsep Logika Proposisi
Tabel logika (tabel kebenaran / truth table) adalah tabel yang digunakan untuk
mencari nilai kebenaran dari suatu proposisi majemuk. Tabel ini berisi semua
kemungkinan dari nilai proposisi.
Berikut ini adalah tabel kebenaran yang ada dari dari tiap operator logika:
-
-
-
-
Negasi (NOT) : operator uner, lambang: ~
p
~p
Benar
Salah
Salah
Benar
Konjungsi (AND) : operator biner, lambang: ∧
p
q
p∧ q
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Salah
Salah
Disjungsi (OR) : operator biner, lambang: ∨
p
q
p∨ q
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Eksklusif or (XOR) : operator biner, lambang: +
p
q
p+q
Benar
Benar
Salah
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
7
Memahami Konsep Logika Proposisi
-
-
Benar
Salah
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Implikasi (jika - maka) : operator biner, lambang: →
p
q
p→q
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Bikondisional (jika dan hanya jika) : operator biner, lambang: ↔
p
q
p↔q
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Pernyataan-pernyataan dan operator-operator sebelumnya, dapat digabungkan
menjadi suatu pernyataan yang baru. Contohnya:
p
q
p↔q
p ∨ (p ↔ q)
~q
( p ∨ (p ↔ q)) ∧(~q)
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Salah
Benar
Salah
Salah
Salah
Salah
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Benar
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
8
Memahami Konsep Logika Proposisi
Pernyataan-pernyataan dapat memiliki nilai kebenaran yang sama dengan suatu
pernyataan yang lain. Kondisi ini disebut ekivalen. Contoh dari pernyataan ekivalen
dapat dilihat pada tabel berikut:
p
q
~(p∧q)
(~p) ∨ (~q)
(~(p∧q)) ↔ ((~p) ∨ (~q))
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Salah
Benar
Benar
Benar
Salah
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Pernyataan ~(p∧q) dan (~p)∨(~q) adalah ekivalen secara logis,
karena nilai (~(p∧q)) ↔ ((~p) ∨ (~q)) selalu benar.
Catatan : urutan pengerjaan untuk operasi logika adalah: (…), negasi, disjungsi dan
konjugsi, implikasi, biimplikasi.
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
9
Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)
Pertemuan 2
Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)
Tujuan Instruksional
: Pengantar
Pokok bahasan ini menjelaskan tentang konsep dari logika proposisi secara lebih
lanjut.
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi secara lebih lanjut.
: 100 menit
Waktu Pertemuan
Tautologi dan Kontradiksi
Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar pada semua kasus.
Contoh:
r ∨ (~r)
~(p∧q) ↔ (~p)∨(~q)
Jika s → t sebuah tautologi, kita tulis s ⇒ t
Jika s ↔ t sebuah tautologi, kita tulis s ⇔ t
Jika proposisi majemuk selalu bernilai salah untuk semua kasus, maka proposisi
majemuk tersebut disebut dengna kontradiksi.
Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah tautologi:
p
q
~(p∧q)
(~p) ∨ (~q)
(~(p∧q)) ↔ ((~p) ∨ (~q))
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Salah
Benar
Benar
Benar
Salah
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah kontradiksi:
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
10
Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)
p
q
(p∧q)
(p∨q)
~(p∨q)
(p∧q) ∧ (~(p∨q))
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Salah
Benar
Salah
Salah
Salah
Salah
Salah
Salah
Benar
Salah
Hukum-hukum logika
Didalam konsep logika, terdapat hukum-hukum yang sering juga disebut hukumhukum aljabar proposisi. Macam-macam dari hukum aljabar proposisi yaitu:
1. Hukum identitas
p ∨ False ⇔ p
p ∧ True ⇔ p
2. Hukum null/dominasi
p ∧ False ⇔ False
p ∨ True ⇔ True
3. Hukum negasi
p ∨ ~p ⇔ True
p ∧ ~p ⇔ False
4. Hukum idempoten
p∧p⇔p
p∨p⇔p
5. Hukum involusi (negasi ganda)
~(~p) ⇔ p
6. Hukum penyerapan (absorpsi)
p ∨ (p∧q) ⇔ p
p ∧ (p∨q) ⇔ p
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
11
Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)
7. Hukum komutatif
p∧q ⇔ q∧p
p∨q ⇔ q∨p
8. Hukum asosiatif
p∧(q∧r) ⇔ (p∧q)∧r
p∨(q∨r) ⇔ (p∨q)∨r
9. Hukum distributif
p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
10. Hukum De Morgan
~(p∧q) ⇔ ~p ∨~q
~(p∨q) ⇔ ~p ∧~q
Hukum-hukum diatas dapat kita buktikan kebenarannya. Contoh pembuktian dari
hukum penyerapan pada kasus p∧(p∨q) ⇔ p :
p∧(p∨q)
⇔ (p ∨ False) ∧ (p∨q)
(hukum identitas)
⇔ p ∨ (False ∧ q)
(hukum distributif)
⇔ p ∨ False
(hukum Null)
⇔p
(hukum identitas)
Terbukti.
Contoh soal.
Diberikan pernyataan “tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak
belajar Matematika”.
a.nyatakan pernyataan diatas dalam notasi simbolik.
b.berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut.
Penyelesaian:
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
12
Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)
Missal: p = Dia belajar Algoritma
q = Dia belajar Matematika
Maka,
a. ~ (p∧~q)
b. ~ (p∧~q) ⇔ ~p ∨ q (hukum De Morgan)
dengan kata lain:”dia tidak belajar algoritma atau dia belajar matematika”
disjungsi eksklusif
kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah satu dari dua cara:
1. Inclusive or ( ∨ )
Kata “atau” berarti “p atau q atau keduanya”
Contoh: “tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai C++ atau Java”
2. Exclusive or ( + )
Kata “atau” berarti “p atau q tapi tidak keduanya”
Contoh: “ia dihukum 5 tahun penjara atau denda 10 juta rupiah”
Tabel kebenaran Inclusive or
Tabel kebenaran Exclusive or
p
q
p∨ q
p
q
p+q
Benar
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Salah
Salah
Salah
Proposisis bersyarat (kondisional atau implikasi)
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
13
Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)
Bentuk dari proposisi ini adalah “jika p maka q”.
Notasi dari proposisi ini yaitu: p → q.
Proposisi p disebut dengan hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi.
Sedangkan proposisi q disebut konklusi atau konsekuen.
Proposisi ini dapat dianggap sebagai sebab-akibat, contohnya:
“jika besok tidak hujan, maka saya akan pergi ke pantai”
Cara mengekspresikan implikasi ada beberapa macam, yaitu:
- jika p, maka q
- jika p, q
- p mengakibatkan q
- q jika p
- p hanya jika q
- p syarat cukup untuk q
- q syarat perlu untuk p
- q bilaman p
Contoh kalimat proposisi dalam berbagai bentuk kalimat:
- jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
- jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
- es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.
- orang itu mau barangkat jika ia diberi ongkos jalan.
- ahmad bisa mengambil mata kuliah teori bahasa formal hanya jika ia telah lulus
mata kuliah matematika diskrit.
- syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan dari api rokok.
- syarat perlu bagi Indonesia agar dapat ikut piala dunia adalah dengan
mengontrak pemain asing ternama.
- banjir bandang terjadi bilamanahutan ditebangi.
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
14
Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)
Perhatikan, bahwa dalam implikasi yang dipentingkan adalah nilai kebenaran
premis dan konsekuen. Bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya.
Beberapa implikasi dibawah ini valid meskipun secara bahasa tidak memiliki
makna.
-
Jika 1+1=2, maka paris ibukota perancis
Jika n adalah bilangan bulat, maka hari ini hujan
Notasi ~p ∨ q memiliki nilai kebenaran yang sama (ekivalen) dengan notasi
implikasi p → q.
p
q
~p
p→q
~p ∨ q
Benar
Benar
Salah
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Varian proposisi bersyarat
Bentuk umum dari implikasi : p → q
Bentuk konvers (kebalikan) : q → p
Bentuk invers
: ~p → ~q
Bentuk kontraposisi
: ~q → ~p
p
q
~p
~q
p→q
q→p
~p → ~q
~q → ~p
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Salah
Benar
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Benar
Benar
Benar
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
15
Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)
Contoh varian proposisi bersyarat dalam kalimat:
Implikasi
: jika amir memiliki mobil, maka ia orang kaya
Konvers
: jika amir orang kaya, maka ia memiliki mobil
Invers
: jika amir tidak memiliki mobil, maka ia bukan orang kaya
Kontraposisi : jika amir bukan orang kaya, maka ia tidak memiliki mobil
Bikondisional (bi-implikasi)
Bentuk proposisi dari bikondisional adalah : “p jika dan hanya jika q”
Bentuk notasi dari bikondisional : p ↔ q.
Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “jika p maka q dan jika q maka
p”. perhatikan tabel.
p
q
p↔q
p→q
q→ p
(p → q) ∧ ( q→p)
Benar
Benar
Benar
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Benar
Salah
Benar
Salah
Salah
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Benar
Bila dua buah proposisi majemuk yang ekivalen di-bikondisionalkan, maka
hasilnya adalah tautologi.
Teorema : dua buah proposisi majemuk, P(p,q,…) dan Q(p,q,…) disebut
ekivalen secara logika, dilambangkan dengan P(p,q,…) ⇔ Q(p,q,…),
jika P↔Q adalah tautologi.
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
16
Memahami Konsep Logika Predikat
Pertemuan 3
Memahami Konsep Logika Predikat
Tujuan Intruksional
:
Pokok Bahasan ini menjelaskan konsep dari logika predikat.
Kompetensi Yang Diharapkan
:
Mahasiswa dapat memahami tentang konsep-konsep dari logika predikat
Waktu Pertemuan
: 2 x 120 Menit
Ada beberapa kasus dimana kita tidak dapat menotasikan kalimat dalam notasi
logika. Contohnya pada kasus berikut:
-
Semua laki-laki adalah makhluk hidup
Socrates adalah laki-laki
Oleh karena itu, Socrates adalah makhluk hidup.
Oleh sebab itu, kita memerlukan logika predikat yang memungkinkan untuk
memanipulasi pernyataan tentang semua atau sesuatu.
Logika predikat memperlihatkan struktur pernyataan atomik, yakni memperhatikan
subjek dan predikat dari suatu kalimat.
First order logic => subjek kalimat berupa obyek tunggal.
Contoh : Socrates adalah laki-laki
Second order logic => subjek kalimat berupa obyek lain.
Contoh : Semua laki-laki adalah makhluk hidup
Dengan logika proposisi diubah menjadi :
Untuk semua X, jika x adalah laki-laki maka X adalah makhluk hidup.
Dengan logika predikat
“x adalah laki-laki” dipecah menjadi:
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
17
Memahami Konsep Logika Predikat
Subyek = x
=> disebut term, dilambangkan dengan huruf kecil
Predikat = adalah laki-laki =>dilambangkan dengan huruf besar (misal: L)
Contoh penulisan : Lx (predikat dahulu sebelum term)
Penyebutan
: x adalah laki-laki
Selanjutnya:
Jika M menyatakan “adalah makhluk hidup”
Maka Mx menyatakan simbol untuk “x adalah makhluk hidup”
Dengan demikian, pernyataan “jika x adalah laki-laki, maka x adalah makhluk
hidup” ditulis sebagai Lx → Mx
Sehingga untuk menuliskan secara simbolik : “untuk semua x, jika x adalah lakilaki, maka x adalah makhluk hidup” adalah x[Lx→Mx]
Simbol disebut kuantor, dibaca “untuk setiap”
Macam-Macam Kuantor
-
Untuk setiap x, P(x)
Disebut kuantor universal. Disimbolkan dengan :
-
Untuk beberapa x, P(x)
Disebut kuantor eksistensial. Disimbolkan dengan :
Kuantor Universal
-misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.
- x, P(x) dibaca : “untuk setiap x, P(x)”
-Pernyataan x, P(x) bernilai benar jika berlaku untuk semua x pada domain D
-Pernyataan x, P(x) bernilai salah jika berlaku hanya sebagian x pada domain D
Kuantor Eksistensial
-Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.
- x,P(x) dibaca: ”untuk beberapax, P(x)”.
- Juga dapat dibaca “untuk beberapa”, “ada”, atau “setidaknya ada”.
-Pernyataan x,P(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain
D
-Pernyataan x,P(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain
D
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
18
Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)
Petemuan 4
Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)
Tujuan Instruksional
:
Pokok bahasan ini menjelaskan konsep logika predikat secara lebih lanjut.
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa dapat memahami konsep logika predikat secara lebih lanjut.
Waktu Pertemuan
: 100 menit
Kuantor Dan Teori Kuantifikasi
Term dan variabel
-
Variabel/peubah adalah pemegang tempat sementara dalam suatu
ungkapan, untuk kemudian diganti dengan nilai yang pasti.
-
Variabel ditulis dengan huruf kecil: x,y,z, atau p,q,r
-
Kumpulan variabel membentuk suatu term: x+ y
Predikat
-
Pandang kalimat: “semua mahasiswa unila adalah lulusan SMA”
-
Untuk setiap x, jika x adalah mahasiswa unila, maka x lulusan SMA
-
Ada 2 predikat untuk x: x mahasiswa unila dan x lulusan SMA
-
Predikat ditulis dengan huruf besar:
Mx: mahasiswa unila
-
Lx: lulusan SMA
Kalimat diatas ditulis : untuk setiap x, Mx→Lx
Kuantor Universal
-
Ditulis dengan lambang
-
pandang kalimat: “semua orang Indonesia adalah orang asia”
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
19
Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)
-
diterjemahkan menjadi : untuk semua x, jika Lx adalah Ax
Lx: x orang Indonesia
Ax : x orang asia
-
dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[Lx→Ax]
-
bentuk ini disebut afirmatif umum
-
pandang kalimat: “semua orang Indonesia bukan orang eskimo”
-
dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[Lx→~Ax]
-
bentuk ini disebut negatif umum
Kuantor Ekstensial
-
ditulis dengan lambang
-
pandang kalimat
”ada orang Indonesia yang makan nasi”
”ada beberapaorang Indonesia yang makan nasi”
-
diterjemahkan menjadi
ada x yang memenuhi sifat :x orang Indonesia dan x makan nasi
ada x sehingga x orang Indonesia dan x makan nasi
Lx: x orang Indonesia
Nx: x makan nasi
-
dalam kalimat logika ditulis: ( x)[Lx ∧ Nx]
-
bentuk ini disebut afirmatif khusus
.
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
20
Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
21
Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)
Menterjemahkan Kalimat Berkuantor
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
22
Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
23
Teori Inferensi
Petemuan 5
Teori Inferensi
Tujuan Instruksional
:
Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi.
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi.
Waktu Pertemuan
: 100 menit
Inferensi adalah cara menarik kesimpulan dalam suatu argumentasi.
Argumentasi adalah sederetan pernyataan (premis) yang diakhiri dengan suatu
pernyataan yang disebut sebagai kesimpulan.
Suatu argumentasi dikatakan valid apabila konjungsi dari semua premisnya
berimplikasi secara tautologi pada kesimpulan.
argumentasi
Bentuk umum:
-
p1 (premis)
p2 (premis)
.
.
.
-
pn (premis)
q (kesimpulan)
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
24
Teori Inferensi
Tautologi dan argumentasi
Validitas sebuah argumentasi dan kesimpulannya harus dipastikan (terutama
tautologi implikasi dan tautologi ekivalensi → mengarah pada aturan penalaran)
Ada beberapa aturan penalaran yang sudah terbukti validitasnya:
1. Modus ponen
2. Modus tollen
p→q
p→q
p
~q
--------------
∴q
3. Silogisme disjungtif
p∨ q
~p
--------------
--------------
∴~p
4. Simplifikasi
p∧ q
--------------
∴p
∴q
5. penjumlahan
6. Konjungsi
p
p
--------------
q
∴ p∨ q
--------------
∴ p∧ q
7. transitifitas
p→q
q→r
--------------
∴ p→r
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
25
Teori Inferensi (bag.2)
Petemuan 6
Teori Inferensi (bag.2)
Tujuan Instruksional
:
Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi lebih lanjut.
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi secara
lebih lanjut.
: 100 menit
Waktu Pertemuan
Berikut ini beberapa argumen yang sudah terbukti sahih (Tautologi ekivalensi)
Negasi ganda
p
∴~ ~p
Hukum Komutatif
p∧q
p∨q
∴ q∧p
∴ q∨p
Hukum asosiatif
(p∧q)∧r
p∧(q∧r)
∴p∧(q∧r)
∴ (p∧q)∧r
(p∨q)∨r
p∨(q∨r)
∴p∨(q∨r)
∴ (p∨q)∨r
Hukum De Morgan
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
26
Teori Inferensi (bag.2)
~(p∧q)
~(p∨q)
∴~p∨~q
∴~p∧~q
~p∨~q
~p∧~q
∴~(p∧q)
∴~(p∨q)
Hukum distributif
p∧(q∨r)
p∨(q∧r)
∴ (p∧q)∨(p∧r)
∴ (p∨q)∧(p∨r)
Hukum idempoten
p∧ p
∴p
p∨ p
∴p
Switcheroo (hukum ekivalensi untuk implikasi dan disjungsi)
p→q
~p∨q
∴~p∨q
∴p→q
kontrapositif
p→q
∴~q→ ~p
~q→ ~p
∴p→q
Hukum bikondisional
p↔q
∴ (p→q) ∧ (q→p)
p↔q
∴ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
Validitas Argumen
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
27
Teori Inferensi (bag.2)
- sebuah argument dikatakan sahih/valid jika konklusi benar bilamana semua
hipotesisnya benar, dan sebaliknya.
- konklusi mengikuti hipotesis, atau menunjukkan bahwa (p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn) → q
adalah benar/tautologi
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
28
Mendeskripsikan Teori Himpunan
Petemuan 7
Mendeskripsikan Teori Himpunan
Tujuan Instruksional
:
Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori himpunan.
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa diharapkan dapat mendeskripsikan teori himpunan secara baik.
Waktu Pertemuan
: 100 menit
Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu
kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan
digunakan huruf kapital A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya
digunakan huruf kecil a, d, c, …
Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :
1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan
didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya
dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}.
2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah
disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R
adalah himpunan bilangan riil.
3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum
atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan
bilangan bulat positif}
4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan
tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki
himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat.
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
29
Mendeskripsikan Teori Himpunan
Operasi-Operasi Dalam Himpunan
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
30
Mendeskripsikan Teori Himpunan
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
31
Mendeskripsikan Teori Himpunan
Hukum Dan Sifat-Sifat Operasi Himpunan
Jenis operasi
Gabungan (union)
Hukum dan sifat-sifat operasi
A∪B=B∪A ; disebut sifat komutatif gabungan
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ; disebut sifat asosiatif gabungan
A∪∅=A
A∪U=U
A∪A’=U ; disebut sifat komplemen gabungan
Irisan (intersection)
A∩B=B∩A ; disebut sifat komutatif irisan
(A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) ; disebut sifat asosiatif irisan
A∩U=A
A∩A’ = ∅ ; disebut sifat komplemen isiran
Distributif
A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) ; disebut sifat distributif
gabungan terhadap irisan
A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) ; disebut sifat distributif
gabungan terhadap irisan
Selisih
A-A=∅
A-∅=A
A-B=A∩B’
A-(B∪C)=(A-B) ∩ (A-C)
A-(B∩C)=(A-B) ∪ (A-C)
Komplemen
(A’)’=A
U’=∅
∅’=U
Jenis-Jenis Himpunan
jenis
Himpunan A yang
notasi
keterangan
A={a,b,c,d,…}
A adalah nama yang diberikan kepada
anggotanya adalah semua
suatu himpunan
huruf kecil dalam abjad
Himpunan bagian
A⊂B
A himpunan bagian dari himpunan B
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
32
Mendeskripsikan Teori Himpunan
Himpunan kosong
{ } atau ∅
Himpunan yang tidak memiliki anggota
sama sekali
Himpunan yang sama
A=B
Himpunan A dikataan sama dengan
himpunan B jika setiap anggota A juga
menjadi anggota B dan sebaliknya
Himpunan universal /
U atau S
semesta
Himpunan komplemen
Adalah himpunan dari semua unsur yang
dibicarakan
A’ atau Ac
Jika:
U={1,2,3,4,5,6}
A={3,5}
Maka : A’ = Ac = {1,2,4,6}
Perkalian Himpunan (Cartesian product)
Jika kita menemukan soal tentang perkalian himpunan, kita dapat mengerjakan
seperti contoh berikut:
A={a,b,c}
B={p,q}
A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
33
Aljabar Boolean
Petemuan 8
Aljabar Boolean
Tujuan Instruksional
:
Pokok bahasan ini memberikan penjelasan tentang aljabar boolean
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang dasar-dasar aljabar boolean.
Waktu Pertemuan
: 100 menit
Misalkan terdapat
- Dua operator biner: + dan ⋅
- Sebuah operator uner: ’.
- B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ⋅ , dan ’
- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel
(B, +, ⋅ , ’)
disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma
atau postulat Huntington berikut:
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
34
Aljabar Boolean
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington
Aljabar Boolean Dua-Nilai
- B = {0, 1}
- operator biner, + dan ⋅
- operator uner, ’
- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
• Closure : jelas berlaku
• Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
0+1=1+0=1
1⋅0 =0⋅1=0
• Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
• Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) dapat ditunjukkan benar dari tabel
operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
35
Aljabar Boolean
(ii) Hukum distributif a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan
membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
• Komplemen: jelas berlaku karena pada Tabel memperlihatkan bahwa:
a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
a ⋅ a = 0, karena 0 ⋅ 0’= 0 ⋅ 1 = 0 dan 1 ⋅ 1’ = 1 ⋅ 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1}
bersama-sama dengan operator biner + dan ⋅ operator komplemen ‘ merupakan
aljabar Boolean.
Ekspresi boolean
Misalkan (B, +, ⋅, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean
dalam (B, +, ⋅, ’) adalah:
(i) setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 ⋅ e2, e1’ adalah ekspresi
Boolean
Contoh :
0
1
ab
a+ba⋅b
a’⋅ (b + c)
a ⋅ b’ + a ⋅ b ⋅ c’ + b’, dan sebagainya
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
36
Aljabar Boolean
Mengevaluasi Ekspresi Boolean
Contoh: a’⋅ (b + c)
jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:
0’⋅ (1 + 0) = 1 ⋅ 1 = 1
Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika
keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n
peubah. Contoh:
a ⋅ (b + c) = (a . b) + (a ⋅ c)
Perjanjian: tanda titik (⋅) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean,
kecuali jika ada penekanan:
(i)
(ii)
(iii)
a (b + c) = ab + ac
a + bc = (a + b) (a + c)
a ⋅ 0 , bukan a0
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
37
Aljabar Boolean (bag.2)
Petemuan 9
Aljabar Boolean (bag.2)
Tujuan Instruksional
:
Pokok bahasan ini menjelaskan tentang aljabar Boolean materi selanjutnya
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa diharapkan dapat memahami aljabar Boolean lebih dalam
Waktu Pertemuan
: 100 menit
Prinsip Dualitas
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan
operator +, ⋅, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara
mengganti:
⋅ dengan +
+ dengan ⋅
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga
benar. S* disebut sebagai dual dari S.
Contoh.
(i)
(a ⋅ 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 ⋅ a’) = 1
(ii)
a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b
Hukum-Hukum Aljabar Boolean
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
38
Aljabar Boolean (bag.2)
Hukum identitas:
Hukum idempotent:
Hukum komplemen:
- a+0=a
-a+a=a
- a + a’ = 1
- a⋅1=a
-a⋅a=a
- aa’ = 0
Hukum dominansi:
-a⋅0 =0
Hukum involusi:
Hukum penyerapan:
-a+1=1
- a + ab = a
-a+1=1
Hukum komutatif:
- a(a + b) = a
Hukum asosiatif:
Hukum distributif:
-a+b=b+a
- a+(b+c) = (a+b)+c
- a+(b c) = (a+b) (a+c)
- ab = ba
- a (b c) = (a b) c
- a (b + c) = a b + a c
Hukum De Morgan:
Hukum 0/1
- (a + b)’ = a’b’
- 0’ = 1
- (ab)’ = a’ + b’
- 1’ = 0
Fungsi Boolean
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui
ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai:
f : Bn → B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut
ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
39
Aljabar Boolean (bag.2)
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga :
f(1, 0, 1) = 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1’ ⋅ 0 + 0’⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .
Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
1. f(x) = x
2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’
3. f(x, y) = x’ y’
4. f(x, y) = (x + y)’
5. f(x, y, z) = xyz’
Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya,
disebut literal.
Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
40
Aljabar Boolean (bag.3)
Petemuan 10
Aljabar Boolean (bag.3)
Tujuan Instruksional
:
Pokok bahasan ini menjelaskan secara lebih rinci tentang aljabar boolean
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa diharapkan dapat memahami materi-materi aljabar Boolean secara
lebih lanjut
Waktu Pertemuan
: 100 menit
Komplemen Fungsi
1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka:
f’’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’
= x’ + (y’z’ + yz)’
= x’ + (y’z’)’ (yz)’
= x’ + (y + z) (y’ + z’)
2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f,
lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.
Contoh:
Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka dual dari f : x + (y’ + z’) (y + z)
kemudian komplemenkan tiap literalnya :
x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’
Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
41
Aljabar Boolean (bag.3)
Bentuk Kanonik
Ada dua macam bentuk kanonik:
1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z)
POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
Konversi Antara Bentuk Kanonik
Misalkan
f(x, y, z) = Σ (1, 4, 5, 6, 7)
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
42
Aljabar Boolean (bag.3)
dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,
f ’(x, y, z) = Σ (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3
Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam
bentuk POS:
f’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’
= m0’ . m2’ . m3’
= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’
= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)
= M0 M2 M3
= ∏ (0,2,3)
Jadi, f(x, y, z) = Σ (1, 4, 5, 6, 7) = ∏ (0,2,3).
Kesimpulan: mj’ = Mj
Bentuk Baku
Tidak harus mengandung literal yang lengkap.
Contohnya:
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz
f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’)
(bentuk baku SOP)
(bentuk baku POS)
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
43
Aljabar Boolean (bag.4)
Petemuan 11
Aljabar Boolean (bag.4)
Tujuan Instruksional
:
Pokok bahasan ini menjelaskan tentang materi terakhir dari aljabar boolean
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa diharapkan dapat mengerti secara total tentang materi aljabar
boolean
Waktu Pertemuan
: 100 menit
Penyederhanaan Fungsi Boolean
Contoh:
f(x, y) = x’y + xy’ + y’
disederhanakan menjadi
f(x, y) = x’ + y’
Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:
1. Secara aljabar
2. Menggunakan Peta Karnaugh
3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)
1. Penyederhanaan Secara Aljabar
Contoh:
• f(x, y) = x + x’y
= (x + x’)(x + y)
= 1 ⋅ (x + y )
=x+y
• f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’
= x’z(y’ + y) + xy’
= x’z + xz’
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
44
Aljabar Boolean (bag.4)
• f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz
= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z
2. Peta Karnaugh
Peta karnaugh dengan dua peubah
Peta karnaugh dengan tiga peubah
Peta karnaugh dengan empat peubah
Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh
1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
45
Aljabar Boolean (bag.4)
Sebelum disederhanakan:
f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’
Hasil Penyederhanaan:
f(w, x, y, z) = wxy
Bukti secara aljabar:
f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’
4. wxy(z + z’)
5. wxy(1)
6. wxy
2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga
Sebelum disederhanakan : f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’
Hasil penyederhanaan
: f(w, x, y, z) = wx
Bukti secara aljabar:
f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy
= wx(z’ + z)
= wx(1)
= wx
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
46
Aljabar Boolean (bag.4)
Contoh lain:
Sebelum disederhanakan:
f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z
Hasil penyederhanaan:
f(w, x, y, z) = wy’
= Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga
Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ + wx’y’z’
+ wx’y’z + wx’yz + wx’yz’
Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w
Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wy’ + wy
= w(y’ + y)
=w
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
47
Aljabar Boolean (bag.4)
Kondisi Don’t Care
Kondisi ini hanya digunakan untuk bantuan dalam meminimalisir fungsi Boolean.
Jika kita tidak membutuhkan bantuan, maka kita perlu memperdulikan literal
tersebut.
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
48
Aljabar Boolean (bag.4)
Contoh:
Dari tabel berikut, minimisasi fungsi f sesederhana mungkin.
Jawab:
Hasil penyederhanaan: f(a, b, c, d) = bd + c’d’ + cd
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
49
Rangkaian logika
Petemuan 12
Rangkaian logika
Tujuan Instruksional
:
Pokok bahasan ini menjelaskan tentang bagaimana cara membuat rangkain logika
Kompetensi yang Diharapkan
:
Mahasiswa diharapkan dapat membaca simbol-simbol dari rangkaian logika
sekaligus dapat merangkai sebuah rangkaian
Waktu Pertemuan
: 100 menit
Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang rangkaian logika, disini akan di
jelaskan sedikit tentang aplikasi dari aljabar Boolean.
Contoh dari aplikasi aljabar Boolean yaitu:
1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)
Saklar merupakan objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.
Tiga bentuk gerbang paling sederhana dari jaringan pensaklaran yaitu:
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka ⇒ x
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka ⇒ xy
Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka ⇒ x + y
Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:
a. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
50
Rangkaian logika
b. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR
2. Rangkaian Logika
Gerbang-Gerbang Turunan :
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
51
Rangkaian logika
ekivalen dengan
ekivalen dengan
ekivalen dengan
Contoh Soal:
Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.
Jawab: (a) Cara pertama
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
52
Rangkaian logika
(b) Cara kedua
(c) Cara ketiga
Modul Responsi Logika S1 Ilmu Komputer FMIPA Unila
53