2. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

 1. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor a. Aturan Segitiga Vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 membentuk sudut 𝛼 jika dijumlahkan secara grafis Gambar 5 Pindahkan awal vektor 𝑏 ke ujung vektor 𝑎 Gambar 6 Tarik garis dari awal vektor 𝑎 ke ujung vektor 𝑏 Gambar 7 Sesuai dengan aturan cosinus pada pembahasan trigonometri 𝑎+𝑏
=
𝑎
!
+ 𝑏
𝑎+𝑏
=
𝑎
!
+ 𝑏
𝑎+𝑏
=
𝑎
!
+ 𝑏
!
!
!
− 2 𝑎 𝑏 cos 180! − 𝛼
− 2 𝑎 𝑏 − cos 𝛼
+ 2 𝑎 𝑏 cos 𝛼
Panjang vektor hasil penjumlahan vektor 𝑎 dan 𝑏 adalah 𝑎+𝑏 =
𝑎
!
+ 𝑏
!
+ 2 𝑎 𝑏 cos 𝛼 Secara matriks 𝑎 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ dijumlahkan dengan 𝑏 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ 𝑎 + 𝑏 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ + 𝑥! ı + 𝑦! ȷ
𝑎+𝑏
= 𝑥! ı + 𝑦! ȷ + 𝑥! ı + 𝑦! ȷ
𝑎+𝑏
= 𝑥! ı + 𝑥! ı + 𝑦! ȷ + 𝑦! ȷ
𝑎+𝑏
= 𝑥! + 𝑥! ı + 𝑦! + 𝑦! ȷ
Gambar 8 Jika vektor 𝑎 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ dijumlahkan dengan vektor 𝑏 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑥! + 𝑥! ı + 𝑦! + 𝑦! ȷ Untuk pengurangan 𝑎 − 𝑏 sama dengan penjumlahan lawan vektor 𝑏 maka 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑎
!
+ −𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑎
!
+ 𝑏
!
!
+ 2 𝑎 − 𝑏 cos 𝛼 − 2 𝑎 𝑏 cos 𝛼
Panjang vektor hasil pengurangan vektor 𝑎 dengan 𝑏 adalah 𝑎−𝑏 =
𝑎
!
+ 𝑏
!
− 2 𝑎 𝑏 cos 𝛼 Gambar 9 Secara matriks 𝑎 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ dijumlahkan dengan 𝑏 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ 𝑎 − 𝑏 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ − 𝑥! i + 𝑦! j
𝑎−𝑏
= 𝑥! ı + 𝑦! ȷ − 𝑥! ı − 𝑦! ȷ
𝑎−𝑏
= 𝑥! ı − 𝑥! ı + 𝑦! ȷ − 𝑦! ȷ
𝑎−𝑏
= 𝑥! − 𝑥! ı + 𝑦! − 𝑦! ȷ
Jika vektor 𝑎 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ dikurangkan dengan vektor 𝑏 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ maka 𝑎 − 𝑏 = 𝑥! − 𝑥! ı + 𝑦! − 𝑦! ȷ Gambar 10 Karena sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan maka 𝑥! − 𝑥! ≠ 𝑥! − 𝑥! dan 𝑦! − 𝑦! ≠ 𝑦! − 𝑦! sehingga 𝑎 − 𝑏 ≠ 𝑏 − 𝑎 Gambar 11 Dari gambar 11 di atas dapat disimpulkan Vektor 𝑎 − 𝑏 sama dengan vektor dari ujung 𝑏 ke ujung 𝑎 Vektor 𝑏 − 𝑎 sama dengan vektor dari ujung 𝑎 ke ujung 𝑏 b. Aturan Jajaran Genjang Gambar 12 Pada aturan jajaran genjang titik awal kedua vektor sama kemudian dibuat jajaran genjang seperti pada gambar Hasil penjumlahan adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang yang berasal dari titik awal kedua vektor Gambar 13 Pengurangan sama dengan penjumlahan lawan atau negatif vektor pengurang Perhatikan penjumlahan dua vektor dengan metode jajaran genjang Gambar 14 Pada bagian atas dari ujung 𝑏 digambarkan awal 𝑎 sehingga hasilnya adalah 𝑏 + 𝑎 Pada bagian bawah dari ujung 𝑎 digambarkan awal 𝑏 sehingga hasilnya adalah 𝑎 + 𝑏 Hasilnya sama yaitu diagonal jajaran genjang dari titik awal kedua vektor sehingga Pada penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif penjumlahan 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 c. Aturan Poligon Jika vektor yang akan dijumlahkan lebih dari dua Gambar 15 Awal vektor kedua dipindahkan ke akhir vektor pertama kemuadian awal vektor ketiga dipindahkan ke ujung vektor kedua begitu seterusnya sampai semua vektor sudah digambarkan Hasil penjumlahan adalah vektor yang ditarik dari awal vektor pertama ke ujung vektor terakhir Untuk jelasnya lihat gambar 16 Gambar 16 d. Vektor Antara Dua Titik Vektor digambarkan dengan titik awal dan titik akhir/ujung berarti untuk menggambarkan vektor di butuhkan dua titik Vektor posisi titik 𝐴 𝑥! , 𝑦! adalah 𝑎 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ Vektor posisi titik 𝐵 𝑥! , 𝑦! adalah 𝑏 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ Gambar 17 Sesuai aturan penjumlahan dengan metode segitiga 𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎
𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵
𝐴𝐵 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ − 𝑥! ı + 𝑦! ȷ
𝑎 + 𝐴𝐵
=𝑏
𝐴𝐵 = 𝑥! ı + 𝑦! ȷ − 𝑥! ı − 𝑦! ȷ
𝐴𝐵
= 𝑏 − 𝑎 𝐴𝐵 = 𝑥! ı − 𝑥! ı + 𝑦! ȷ − 𝑦! ȷ
𝐴𝐵 = 𝑥! − 𝑥! ı + 𝑦! − 𝑦! ȷ
Jika 𝑎 dan 𝑏 adalah masing masing vektor posisi titik 𝐴 dan 𝐵 maka vektor 𝐴𝐵 adalah 𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎 = 𝑥! − 𝑥! ı + 𝑦! − 𝑦! ȷ Panjang vektor 𝐴𝐵 adalah 𝐴𝐵 =
𝑥! − 𝑥!
!
+ 𝑦! − 𝑦!
!