BAB 1 PENDAHULUAN

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Teori frame memegang peranan penting dalam pemrosesan sinyal. Frame adalah
salah satu metode untuk mendiskritisasikan sinyal kontinu. Ciri penting frame
adalah bahwa frame tidak harus bebas linier dan bersifat redundant, atau lebih
dari cukup.
Misalkan hari ini kita akan membayar uang kuliah. Kekhawatiran yang sering
terjadi adalah jumlah uang yang kita bawa kurang. Agar merasa yakin, beberapa
kali kita hitung uang itu untuk memastikan bahwa jumlahnya tepat. Cara lain yang
lebih baik adalah kita membawa uang yang lebih dari cukup untuk membayar uang
kuliah tersebut. Dengan cara ini, tidak hanya kita telah memastikan bahwa uang
kita pas, tetapi juga jika ternyata uang kuliah kita telah naik jumlahnya, kita masih
dapat membayarnya saat itu juga dengan kelebihan uang yang kita bawa.
Penyampaian pesan dari satu tempat ke tempat yang lain dapat dipandang sebagai transmisi sinyal, salah satu aplikasi dari pemrosesan sinyal. Sinyal diskrit
ditransmisikan melalui suatu media. Dari cerita di atas, kita dapat dianalogikan
sebagai media untuk transmisi, dan pesan yang ingin disampaikan dianalogikan sebagai uang kuliah yang akan kita bayar. Saat proses transmisi berlangsung, dapat
terjadi gangguan yang mengakibatkan sinyal diskrit yang diterima berbeda. Dalam
1
BAB 1. PENDAHULUAN
2
hal ini adalah kekhawatiran bahwa uang yang kita bawa kurang. Untuk meyakinkan
agar sinyal yang diterima sama dengan yang dikirimkan, kita dapat mengulang
proses transmisi beberapa kali, yaitu menghitung jumlah uang kita beberapa kali;
atau mengirimkan pesan yang berlebih, yaitu membawa uang yang lebih dari cukup.
Frame adalah alat untuk mengirimkan pesan yang berlebih. Frame mengekspansi
vektor, yang kita asumsikan sebagai sinyal kontinu, menjadi kombinasi linier dari
sejumlah vektor yang tidak bebas linier. Frame Parseval adalah kelas khusus dari
frame yang paling diminati karena sifatnya yang lebih sederhana untuk dihitung.
Karena itu, penulis tertarik untuk mempelajari tentang algoritma yang menghasilkan
frame Parseval untuk subruang yang dibangun oleh barisan vektor inputnya.
1.2
Rumusan Masalah
Sesuai dengan latar belakang masalah di atas maka penulis merumuskan masalah
dalam tugas akhir ini sebagai berikut:
1. Apa ciri-ciri frame Parseval?
2. Bagaimana bentuk algoritma ortogonalisasi Gram-Schmidt yang diperumum
dan apa teorema yang mendasari bahwa barisan vektor yang dihasilkan adalah
frame Parseval?
3. Hasil seperti apa yang diperoleh jika algoritma tersebut diaplikasikan pada
beberapa contoh yang berbeda?
1.3
Tujuan Penulisan
Tujuan yang hendak dicapai dalam tugas akhir ini adalah untuk membahas beberapa ciri frame Parseval, melihat bentuk algoritma ortogonalisasi Gram-Schmidt
yang diperumum untuk membangun frame Parseval dan membahas teorema yang
mendasari bahwa barisan vektor yang dihasilkan adalah frame Parseval, serta melihat pengaruh urutan vektor yang berbeda pada frame Parseval yang dihasilkan dan
BAB 1. PENDAHULUAN
3
apakah frame Parseval yang dihasilkan mempertahankan bentuk geometri barisan
vektor awalnya.
1.4
Batasan Masalah
Lingkup pembicaraan dalam tugas akhir ini dibatasi pada ruang Hilbert separabel
dan berdimensi hingga. Lebih jauh, contoh-contoh yang digunakan dibatasi hanya
pada R2 untuk mempermudah pembahasan.
1.5
Sistematika Penyajian
Penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi lima bab. Pada Bab I akan diuraikan mengenai latar belakang mengapa penulis tertarik untuk membahas frame sebagai salah
satu alat penting untuk pemrosesan sinyal. Selain itu juga dipaparkan mengenai rumusan masalah, tujuan penulisan, batasan masalah, serta sistematika pembahasan
untuk tugas akhir ini.
Pada Bab II akan diuraikan mengenai ruang Hilbert yang mendasari teori-teori
tentang frame. Bahasan mengenai ruang Hilbert ini diawali oleh definisi ruang
Hilbert dan ciri-cirinya, dilanjutkan dengan separabilitas ruang Hilbert, serta beberapa teori berkaitan dengan operator terbatas di ruang Hilbert yang akan mendasari
pembahasan operator frame di Bab III.
Pada Bab III, dibahas sedikit mengenai proses diskritisasi sinyal kontinu, bagaimana basis mengekspansi vektor dan kelemahannya. Selanjutnya diberikan definisi
frame dan contoh bagaimana frame dapat mengatasi kelemahan basis tersebut, serta
penjelasan proses rekonstruksi sinyal yang telah didiskritisasi oleh frame agar diperoleh kembali sinyal awalnya. Di bagian akhir dibahas mengenai frame Parseval serta
satu teori yang sangat penting untuk algoritma di Bab IV.
Pada Bab IV diberikan algoritma ortogonalisasi Gram-Schmidt yang diperumum serta teorema yang mendasarinya. Bukti teorema secara langsung akan berhubungan dengan langkah-langkah pada algoritma tersebut. Beberapa contoh penga-
BAB 1. PENDAHULUAN
4
plikasian algoritma akan diberikan disertai sedikit pembahasan mengenai kelemahan
yang terlihat dari hasil keluaran algoritma.
Selanjutnya, pada bab terakhir, yaitu Bab V penulis akan memberikan kesimpulan berdasarkan hasil yang didapat dari pelaksanaan tugas akhir. Selain itu,
diberikan beberapa masalah yang belum dibahas dalam tugas akhir ini yang dapat
dikaji lebih jauh sebagai studi kasus baru untuk tugas akhir.