1 KISI-KISI AKTIVITAS SISWA DENGAN

1
KISI-KISI AKTIVITAS SISWA DENGAN PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN KONTEKTUAL
BERBASIS TUGAS YANG MENANTANG
1. Visual activities yaitu membaca, memperhatikan
2. Oral activities yaitu menyatakan, merumuskan, bertanya, memberi saran, mengeluarkan
pendapat, mengadakan wawancara, diskusi, interupsi
3. Motor activities yaitu melakukan percobaan, membuat konstruksi, model
4. Mental activities yaitu menanggapi, mengingat, memecahkan masalah, menganalisis,
mengambil keputusan
5. Emotional activities yaitu menaruh minat, bosan, bergembira, tenang, gugup
2
LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS SISWA SELAMA PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN
PENDEKATAN KONTEKTUAL BERBASIS TUGAS YANG MENANTANG
Keterangan kriteria aktivitas :
1.
Memperhatikan penjelasan guru.
2.
Memperhatikan presentasi teman
3.
Bertanya kepada guru
4.
Mengerjakan tugas/soal
5.
Menemukan konsep
6.
Membuat kesimpulan
7.
Kegiatan yang relevan (menggangu teman, meribut, melamun, dll)
3
LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS SISWA SELAMA PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN
KONTEKTUAL BERBASIS TUGAS YANG MENANTANG
Aktivitas :
1.
Memperhatikan penjelasan guru.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………….....................
2.
Memperhatikan presentasi teman
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………...
3.
Bertanya kepada guru
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………….
4.
Mengerjakan tugas/soal
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………
5.
Menemukan konsep
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………
6.
Membuat kesimpulan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………
4
7.
Kegiatan yang relevan (menggangu teman, meribut, melamun, dll)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………
5
LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS SISWA SELAMA PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN
KONTEKTUAL BERBASIS TUGAS YANG MENANTANG
Mata Pelajaran
: Matematika
Hari/tanggal
:
Petunjuk
: Isilah lembar observasi dengan cara menceklis (v) pada kolom jenis aktivitas yang dilakukan siswa
selama pembelajaran berlangsung
Pertemuan ke-1
NO
Aktivitas Siswa
Nama Siswa
1
1
Adlin Evan
2
Achel jasa Putra
3
Agung Wijatmiko
4
Ali Akbar
5
Amelia Marta
6
Andri Prima
7
Budi Savena
8
Dedy Ramadhan
9
Diva Ori Orlanda
10
Emi Susanti
11
Fadri Ilham
12
Fanny Marissa M
13
Febi Kurniawan
14
Ficky Fernando
15
Handika G
16
Ilham Dani
17
Isma Wartin
2
3
4
5
6
7
6
18
Krisdayeni
19
Lena Putri
20
Lisa Nurmala Sari
21
Maysarah
22
Naldo Saputra
23
Neory Gusti
24
Nikki Maitu Suriadi
25
Nur Sakinah
26
rahmat Fauzi
27
Ramatul Maman
28
Rani Puspita Sari
29
Ressy Rahmawati
30
Ririn Permata Bunda
31
Riyan Chandra Putra
32
Rizki Yulianto
33
Sepria Dinata
34
Sisma Yunita
35
Willy Yolanda
36
Yola Melvi Putri
37
Yudhi Putra Tama
38
Yuni karlina
39
Febri Monika
Jumlah
Persentase
Padang,
Observer
7
VALIDASI LEMBAR OBSERVASI
A. Petunjuk
Berilah tanda ceklis (v) dalam kolom penilaian yang sesuai menurut pendapat Bapak/Ibu.
Keterangan :
1 Berarti ”tidak baik”
2 Berarti ”Kurang baik”
3 Berarti”cukup baik”
4 Berarti ”baik”
5 Berarti ”Sangat baik”
B. Penilaian ditnjau dari beberapa aspek
SKALA PENILAIAN
No
ASPEK YANG DINILAI
1
1
FORMAT
Kejelasan pembagian aktivitas
2
ISI
1. Kebenaran isi item aktivitas
2. Dikelompokkan dalam bagian-bagian yang logis
3. Kelayakan sebagai instrumen penelitian
4. Merupakan aktivitas yang esensial
5. Perannya untuk mendorong siswa dalam
meningkatkan aktivitas pembelajaran
3
BAHASA
1. Kebenaran tata bahasa
2. Kesederhanaan struktur kalimat
2
3
4
5
8
3. Kejelasan petunjuk dan arahan
C. Penilaian Umum
Rekomendasi atau kesimpulan umum *)
1. Lembar Observasi ini :
a)
tidak baik
b)
kurang baik
c)
cukup baik
d)
baik
e)
sangat baik
2. Lembar Observasi ini :
a)
belum dapat digunakan dan masih memerlukan konsultasi
b)
dapat digunakan dengan banyak revisi
c)
dapat digunakan dengan sedikit revisi
d)
dapat diguakan tanpa revisi
*) lingkarilah nomor atau angka sesuai penilaian Bapak/Ibu
D. Komentar dan saran perbaikan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Padang,
validator
9
LEMBAR VALIDASI RENCANA PELAKSANAAN
PEMBELAJARAN
Petunjuk pengisian penilaian:
Berilah penilaian yang sesuai menurut bapak/ibu dengan memberikan tanda ( ) pada salah satu kolam
jawaban yang tersedia dengan pilihan alternatif:
1. Kurang baik
2. Cukup
3. Baik
4. Baik sekali
Penilaian diberikan berdasarkan descriptor pada setiap indicator (terlampir)
NO
PENILAIAN
KOMPONEN
1
1
PENENTUAN BAHAN PEMBELAJARAN DAN PERUMUSAN
TUJUAN
a. Penggunaan bahan pembelajaran sesuai dengan kurikulum
b. Perumusan indicator sesuai dengan pencapaian kompetensi
2
PEMILIHAN DAN PENGORGANISASIAN MATERI, MEDIA DAN
SUMBER
a. Pengorganisasian materi pembelajaran
b. Penentuan alat bantu mengajar
c. Penentuan sumber belajar
3
PERANCANGAN SKENARIO/STRATEGI PEMBELAJARAN
a. Pilihan jenis kegiatan belajar
b. Susunan langkah-langkah mengajar
c. Pilihan cara-cara memotivasi siswa
4
PERANGCANGAN PEGELOLAAN KELAS
a. Penetapan alokasi waktu belajar mengajar
2
3
4
10
b. Pilihan cara-cara pengorganisasian siswa agar dapat
berpartisipasi dalam kegiatan belajar mengajar
5
RANCANGAN PROSEDUR DAN PERSIAPAN ALAT EVALUASI
a. Penentuan jenis dan prosedur penilaian
b. Pembuatan alat-alat penilaian
Penilaian Umum
Rekomendasi atau kesimpulan umum *)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ini :
1. kurang baik
2. cukup baik
3. baik
4. sangat baik
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ini :
1. belum dapat digunakan dan masih memerlukan konsultasi
2. dapat digunakan dengan banyak revisi
3. dapat digunakan dengan sedikit revisi
4. dapat diguakan tanpa revisi
*) lingkarilah nomor atau angka sesuai penilaian Bapak/Ibu
Komentar dan saran perbaikan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Padang,
validator
11
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran
: MATEMATIKA
KLS/Program/Semester
: XI/IPS/ 2
Tahun Pelajaran
: 2010-2011
Pertemuan
: I, dan II
Siklus
: Pertama
Standar Kompetensi : 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.
Kompetensi Dasar : 2.2Menentukan invers dari suatu fungsi
Indikator :
•
•
•
•
Menentukan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers.
Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi.
Mengidentifikasi sifat fungsi invers.
Menggambar grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
I. Tujuan Pembelajaran
Peserta didik dapat
1.
2.
3.
4.
menentukan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers;
menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi;
mengidentifikasi sifat fungsi invers;
menggambar grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.
II. Materi Pembelajaran
FUNGSI INVERS
Fungsi f : A→B mempunyai relasi invers yaitu f -1 yang memasangkan f(a) B ke a  A (
f -1 : B→A ). Relasi invers f -1 dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.
Contoh :
Misal fungsi f : A → B dengan A = { 1,2,3 } dan B = { a,b,c } didefinisikan dengan
diagram dibawah ini
12
f
1
a
2
b
3
c
A
B
Relasi invers ( f -1 : B→A ) adalah :
f -1
a
1
b
2
c
3
B
A
Relasi invers f -1 adalah fungsi ( yang biasa disebut fungsi invers f ) karena setiap
anggota B dipetakan dengan tepat satu anggota A.
Contoh :
Misalkan fungsi g : C → D dengan C = { a,e,o } dan D = { 1,2,3,4 } didefinisikan
dengan diagram berikut ini :
g -1
g
a
1
1
e
2
2
a
e
3
o
A
B
B
oA
g -1 bukan fungsi
13
Menentukan rumus fungsi invers
Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers f -1 (x) bila rumus fungsi
f(x) sudah diketahui adalah :
1. ubahlah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y
2. bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dan beri nama f -1(y)
3. ganti y pada f -1 (y) dengan x untuk mendapatkan f -1 (x)
f -1 (x) adalah rumus fungsi invers dari fungsi f(x)
Contoh :
Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) =
x
1 x
Carilah :
a. rumus untuk f -1 (x)
b. daerah asal alami fungsi f(x) , daerah asal alami fungsi f -1 (x)
Jawab:
a.
x
1 x
y (1 – x) = x
y=
y – yx
= x
y = x + yx
y = (y + 1) x
x =
y
y 1
f -1 (y) =
f -1 (x) =
y
y 1
x
x 1
14
Jadi fungsi invers dari fungsi f(x) =
Maka fungsi f(x) =
x
x
adalah f -1 (x) =
1 x
x 1
x
Oleh karena f(x) merupakan fungsi pecahan maka
1 x ,
bagian penyebut tidak boleh nol. Jadi daerah asal alami fungsi f(x) adalah Df = { x ‫ ׀‬x 
R dan x  1 } dan Fungsi f
-1
(x) =
x
, maka f
x 1
-1
(x) juga merupakan fungsi pecahan
maka bagian penyebut tidak boleh nol.Jadi daerah asal alami fungsi f -1 (x) adalah D f 1 =
{ x ‫ ׀‬ R dan x  -1 }
Fungsi Invers Dari Fungsi Komposisi
Contoh :
Misalkan f : R
R dan g : R
a. (fog)-1(x)
b. (g-1o f-1)(x)
Jawab :
a. (fog)(x) = f[g(x)]
= f ( 5x – 1 )
= 3 ( 5x – 1 ) + 2
= 15x – 3 + 2
= 15x – 1
Misal (fog)(x) = y
15x – 1 = y
15x = y + 1
Jadi
R dengan f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 5x – 1. Tentukanlah :
15
b. (g-1of-1)(x)
g(x) = 5x – 1 ,
misal g(x) = y
y = 5x – 1
5x = y + 1
Jadi
f(x) = 3x + 2 , missal f(x) = y
y = 3x + 2
3x = y – 2
Jadi
Maka (g-1of-1)(x) = g-1 (f-1(x))
III. Metode Pembelajaran
Model pembelajaran interaktif
IV. Langkah-langkah Pembelajaran
16
Pertemuan 1
No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan
( 5 Menit)
Guru mengingatkan siswa dengan Siswa
memberikan
beberapa
Alokasi
Waktu
(5)
menjawab 5 Menit
pertanyaan pertanyaan
dari
tentang fungsi komposisi, agar siswa guru .
mengingat kembali tentang fungsi
komposisi.
Guru
menyampaikan
tujuan Siswa
mendengar
pembelajaran yang ingin dicapai pada penjelasan dari guru
pertemuan
ini.
siswa
dapat
menentukan syarat agar suatu fungsi
mempunyai invers, menentukan aturan
fungsi invers dari suatu fungsi,
mengidentifikasi sifat fungsi invers;
2
Kegiatan Inti
( 75 Menit)
Guru
mengajukan
pertanyaan
untuk
beberapa Siswa
10
mengarahkan menperhatikan
Menit
siswa kepada konsep yang akan penjelasan guru dan
diperoleh/pelajari.
bertanya
Guru memberikan contoh soal
kepada siswa mengenai fungsi invers.
Agar siswa bisa dapat menentukan
fungsi invers. f(x) =
y=
f(x)= y maka
x
1  x , misalkan
x
1  x , jadi y (1 – x) =
jika
ada
materi yang tidak di
mengerti.
17
y
x. didapat y – yx = x, maka x = y  1 ,
f -1 (y) =
jadi
y
Jadi fungsi invers
y 1 ,
dari fungsi f(x) =
f -1 (x) =
x
adalah
1 x
x
x 1
Guru memberikan soal kepada siswa
Siswa mengerjakan 50
Menit
mengajukan soal-soal yang telah
guru
pertanyaan dan memberikan bantuan diberikan
agar siswa dapat menemukan secara individu.
Guru
berkeliling
penyelesaian soal tersebut.
Siswa
bertanya
kepada
teman
guru
yang
dan
laian
apa-apa saja yang
kurang mengerti.
Secara acak guru menunjuk satu orang Siswa
siswa
untuk
tampil
kedepan dapat
yang
lain 10
bertanya Menit
mempresentasikan hasil dari yang kepada siswa yang
diperoleh.
tampil
kedepan
kelas sesuai dengan
hasil
yang
diperolehnya.
Dan
siswa
lain
yang
mampu memberikan
saran atau masukan
agar
mendapatkan
18
hasil yang maksimal.
Guru memberikan ide jika diperlukan.
Siswa
5 menit
mendengarkan
penjelasan guru.
3
Penutup
(10 Menit)
Guru meminta siswa untuk menyimpulkan
Melalui
tugas
yang 10
materi.
menantang ini, siswa Menit
dapat menyimpulkan
(10 e
n
materi
yang
sudah
dipelajari.
Guru meminta siswa agar mempersiapkan
Diharapkan
diri untuk mempelajari materi selanjutnya
mempersiapkan
dirumah.
untuk
siswa
diri
mempelajari
pelajaran dirumah
Pertemuan II
No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan
( 5 Menit)
Guru mengingatkan siswa dengan Siswa
memberikan
beberapa
Alokasi
Waktu
(5)
menjawab 5 Menit
pertanyaan pertanyaan
dari
tentang fungsi invers, agar siswa guru .
mengingat kembali tentang fungsi
invers.
Guru
menyampaikan
tujuan Siswa
mendengar
pembelajaran yang ingin dicapai pada penjelasan dari guru
pertemuan
ini.
siswa
dapat
19
menentukan syarat agar suatu fungsi
mempunyai invers, menentukan aturan
fungsi invers dari suatu fungsi,
mengidentifikasi sifat fungsi invers;
2
Kegiatan Inti
( 75 Menit)
Guru
mengajukan
pertanyaan
untuk
beberapa Siswa
10
mengarahkan menperhatikan
Menit
siswa kepada konsep yang akan penjelasan guru dan
diperoleh/pelajari
tentang
fungsi bertanya
invers komposisi.
jika
ada
materi yang tidak di
Guru memberikan contoh soal kepada
siswa
mengenai
fungsi
invers
komposisi. Agar siswa bisa dapat
menentukan fungsi invers. f(x) = 3x +
2 dan g(x) = 5x – 1 Tentukanlah
mengerti.
(fog)-1(x), dengan menggunakan rumus
fungsi komposisi terlebih dahulu, maka
setelah kita dapatkan, maka fungsi f
bundaran g kita misalkan menjadi nilai
y. maka didapatkan (fog)-1(x)
Guru memberikan soal kepada siswa.
Guru
berkeliling
mengajukan
pertanyaan dan memberikan bantuan
agar
siswa
dapat
menemukan
penyelesaian soal tersebut.
Siswa mengerjakan 50
soal-soal yang telah Menit
diberikan
guru
secara individu.
Siswa
kepada
teman
bertanya
guru
yang
dan
laian
apa-apa saja yang
kurang mengerti.
20
Secara acak guru menunjuk satu orang Siswa
siswa
untuk
tampil
yang
kedepan dapat
lain 10
bertanya Menit
mempresentasikan hasil dari yang kepada siswa yang
diperoleh.
tampil
kedepan
kelas sesuai dengan
hasil
yang
diperolehnya.
Dan
siswa
lain
yang
mampu memberikan
saran atau masukan
agar
mendapatkan
hasil yang maksimal.
Guru memberikan ide jika diperlukan.
5 menit
Siswa
mendengarkan
penjelasan guru.
3
Penutup
(10 Menit)
Guru meminta siswa untuk menyimpulkan
Melalui
tugas
yang 10
materi.
menantang ini, siswa Menit
dapat menyimpulkan
(11 e
n
materi
yang
sudah
dipelajari.
Guru meminta siswa agar mempersiapkan
Diharapkan
diri untuk mempelajari materi selanjutnya
mempersiapkan
dirumah.
untuk
siswa
mempelajari
pelajaran dirumah
IV.
Alat dan Sumber Belajar
1. Buku matematika kelas XI IPS
2. Kalkulator
diri
21
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran
: MATEMATIKA
KLS/Program/Semester
: XI/IPS/ II
Tahun Pelajaran
: 2010-2011
Pertemuan
: III, IV dan V
Siklus
: Ke Dua
Standar Kompetensi : 4. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan
masalah.
Kompetensi Dasar : 4.1 Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di satu titik
Indikator :
1.
2.
3.
Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik.
Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik.
Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.
V. Tujuan pembelajaran:
Setelah mengikuti pelajaran ini, siswa diharapkan dapat :
1. menjelaskan arti limit fungsi di satu titik;
2. menghitung limit fungsi aljabar di satu titik;
3. menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.
VI.Materi Ajar
Limit Fungsi
Pernahkah anda mendengar kalimat-kalimat : mobil dan motor itu nyaris bertabrakan, atlit yang
sedang bertanding itu hamper ke finish, anak kecil itu mendekati ibunya. Kata-kata : nyaris, hampir,
dan mendekati, di dalam matematika di sebut dengan limit. Dalam hal ini anda akan diperkenalkan
dengan berbagai bentuk limit fungsi aljabar, trigonometri dan cara penyelesaiannya.
22
A. Pengertian Limit Fungsi Aljabar
1. Pengertian limit fungsi secara intuitif
Contoh 1 :
Misalkan fungsi y = f(x) = x – 1 terdefinisi untuk semua x bilangan real. Jika x mendekati 3,
berapa nilai f(x) ?
Jawab :
Perhatikan table berikut ini
X
2,8
2,9
2,99
2,999
→3←
3,001
3,01
3,1
3,2
y=f(x)
1,8
1,9
1,99
1,999
…?
…
2,001
2,01
2,1
2,2
Dari table di atas, tampak bahwa bila x mendekati 3 dari kiri maupun dari kanan, hasil f(x)
adalah 2.
Berdasarkan pembahasan pada contoh di atas, pengertian limit fungsi di definisikan secara
intuitif sebagai berikut :
lim f ( x)  L dapat diartikan bahwa jika x mendekati a ( tetapi x  a) maka f(x) mendekati
x a
nilai L.
2. Pengertian limit fungsi di takberhingga
Untuk menyatakan keadaan yabg tidak dapat ditentukan besar atau nilainya digunakan
lambing ∞ (tak berhingga).
Contoh 2 :
Misalkan fungsi y = f(x) =
1
. Berapa nilai f(x) jika x mendekati tak berhingga?
x
Jawab :
X
1
2
3
…
10
…
100
…
1000
…
10000
…
∞
1
x
1
0,5
0,33
…
0,1
…
0,01
…
0,001
…
0,0001
…
0
23
Dari data di atas, tampak bahwa Limit f ( x)  Limit
x 
x 
1
0
x
Jadi, secara umum limit tak hingga dinyatakan sebagai berikut :
Limit
x 
1
 0 , untuk n positif.
x5
B. Menentukan limit fungsi aljabar
1. Limit fungsi f(x) untuk x a
Cara substitusi langsung
Contoh 3
Tentukan limit fungsi-fungsi berikut :
a. lim (2 x  1)
x 1
b. lim
2x 2  1
x3
c. lim
3x  3
x 0
x 2
Jawab :
a. lim (2 x  1) = 2 (1) – 4
x 1
= -2
b. lim
x 0
c. lim
x 2
2x 2  1
2(0) 2  1 1

=
x3
03
3
3x  3 =
3(2)  3 = 3
Dari contoh diatas, tampak bahwa hasil yang diperoleh bukan bentuk tak tentu
(bentuk
0
0
). Apabila di substitusi langsung menghasilkan bentuk
maka itu bukanlah jawabannya.
0
0
Maka apa yang harus dilakukan ?
24
Lakukan cara alternative seperti dibawah ini :
1)
Cara pemfaktoran
Contoh 4
Tentukan nilai limit fungsi-fungsi berikut :
2x 2  x  1
a. lim
x  1
x 1
c. lim
x2  x  6
b. lim
x2
x 2  2x
x3  2x 2  6x
d. lim
x  4x
2
x 0
x 9
m 3
m 9
Jawab :
a. lim
x  1
2x 2  x  1
(2 x  1)( x  1)
= lim
x  1
x 1
( x  1)
= lim (2 x  1)
x 1
= 2(-1) – 1
substitusi x = -1
= -3
b. lim
x2
x2  x  6
( x  3)( x  2)
= lim
2
x2
x ( x  2)
x  2x
= lim
x 2
c. lim
x 0
=
23
2
=
5
2
x3  2x 2  6x
x  4x
2
x3
x
substitusi x = 2
= lim
x ( x 2  2 x  6)
x ( x  4)
= lim
x 2  2x  6
x4
x 0
x 0
25
=
( 0 ) 2  2( 0 )  6
04
=
6
3

4
2
substitusi x = 0
( m  3)
m 3
= lim
x 9
m 9
( m  3)( m  3)
d. lim
x 9
= lim
x 9
m 3
1
=
=
1
9 3
substitusi m = 9
1
6
2) Mengalikan dengan faktor kawan
Yang dimaksud dengan faktor kawan adalah sebagai berikut :
(x–a)
faktor kawan dari ( x + a )
( x a)
faktor kawan dari ( x  a )
( x a )
faktor kawan dari ( x  a )
( x  a  b)
faktor kawan dari ( x  a  b )
Perkalian dengan faktor kawan akan menghilangkan tanda akar.
Perhatikan contoh soal berikut ini :
a. lim
x 3
c. lim
x 2
x 3
x 3
( x  2)
x2  5  3
b. lim
x 0
x  16  4
x
26
Jawab :
a. lim
x 3
x 3
= lim
x 3
x 3
= lim
x 3
x 3 x 3
mengalikan dengan factor sekawan
.
x 3
x 3
( x  3)
( x  3)( x  3 )
1
= lim
x 3
x 3
1
=
=
b. lim
x 0
substitusi x = 3
3 3
1
2 3
=
x  16  4
.
x
x  16  4
= lim
x 0
x
= lim
x 0
= lim
x 0
= lim
x 0
=
=
1
3
6
x  16  4
mengalikan dengan factor sekawan
( x  16 )  16
x( x  16  4)
x
x( x  16  4)
1
( x  16  4)
1
( 16  4)
1
8
x  16  4
substitusi x = 0
27
c. lim
x 2
( x  2)
x2  5 3
= lim
x 2
( x  2)
x2  5 3
.
x2  5  3
x2  5  3
= lim
( x  2) x 2  5  3
x2  5  9
= lim
( x  2) x 2  5  3
x2  4
= lim
( x  2) x 2  5  3
( x  2)(x  2)
x2
x2
x 2
= lim
x 2
=
x2  5  3
( x  2)
22  5  3
(2  2)
=
memfaktorkan
substitusi x = 2
3
2
VII. Alokasi Waktu : 6 x 45 Menit
VIII. Model Pembelajaran : Pengajaran Langsung
Metode : Tanya jawab dan pemberian tugas
IX. Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan III (2 x 45 Menit)
Materi : Limit Fungsi
No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan
(4 Menit)
•
Alokasi
Waktu
(5)
kegunaan Siswa bertanya jika ada hal 4 Menit
materi yang akan dipelajari yang tidak dimengerti
dalam kehidupan sehari-hari
Guru
menjelaskan
28
(khususnya
yang
berkaitan
dengan kompetensi dasar).
2
Kegiatan Inti
(73 Menit)
a. Guru
memberikan
contoh Siswa
menperhatikan
kehidupan sehari-hari
tentang penjelasan guru.
limit. “ kesabaran ilham siswa
kelas XI IPS hampir mendekati
batasnya karena melihat sikap dari
maman” atau “mobil
bapak
sekolah
hampir
bertabrakan
dengan motor neory”
b. Guru meminta siswa memberikan
contoh tentang limit yang lainnya
yang berkaitan dengan kehidupan
sehari-hari mereka.
Siswa
menjawab
pertanyaan guru. “ Uang
bulanan
agung
yang
diperoleh
dikampung
hamper habis”.
10
Menit
5 Menit
menyebutkan
c. Dari Tanya jawab, disimpulkan Siswa
pengertian limit. “Limit
pengertian limit.
adalah sebuah kata yang
artinya mendekati”
d. Guru memberikan satu buah Siswa mengerjakan soalcontoh tentang limit fungsi untuk soal yang telah diberikan
mengarahkan
siswa
untuk guru secara individu.
mengerjakan
latihan.
lim (2 x  1)
x 1
Siswa
bertanya
48
Menit
kepada
,
dengan
cara
guru dan teman yang lain
substitusi maka nilai x diganti apa-apa saja yang kurang
dengan 1.
mengerti.
e. Guru memonitor dan membantu Siswa yang lain dapat
bertanya kepada siswa
siswa kalau ada pertanyaan.
yang tampil kedepan kelas
sesuai dengan hasil yang
diperolehnya. Dan siswa
yang
lain
mampu
f. Secara acak guru menunjuk satu
memberikan saran atau
orang siswa untuk tampil kedepan
masukan
agar
10
Menit
29
mempresentasikan hasil dari yang mendapatkan hasil yang
diperoleh.
maksimal.
3
Penutup
(10 Menit)
a. Guru meminta siswa untuk Melalui
tugas
yang
menyimpulkan materi yang sudah menantang ini, siswa dapat
menyimpulkan materi yang
dipelajari .
sudah dipelajari.
7 Menit
b. Guru meminta siswa agar siswa mempersiapkan diri
mempersiapkan
diri
untuk untuk
mempelajari
mempelajari materi selanjutnya pelajaran dirumah
dirumah.
3 Menit
Pertemuan IV (2 x 45 Menit)
Materi : Menentukan limit dengan cara pemfaktoran
No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan
( 5 Menit)
2
Kegiatan Inti
( 75 Menit)
Guru mengingatkan kembali materi Siswa
menjawab
tentang limit dengan cara substitusi. pertanyaan dari guru .
Alokasi
Waktu
(5)
5 Menit
a. Guru memberikan contoh tentang Siswa memperhatikan dan 5 Menit
limit fungsi yang menggunakan mendengarkan contoh yang
cara
memfaktorkan diberikan guru.
2x 2  x  1
,
dimana
x  1
x 1
2 x 2  x  1 difaktorkan menjadi
(2 x  1)(x  1) , sehingga x  1
lim
bisa habis dan 2 x  1 yang tinggal,
maka nilai x diganti atau
disubstitusi menjadi -1. Maka
nilainya menjadi -3.
b. Guru memonitor dan membantu Siswa mengerjakan latihan 15 Menit
30
siswa kalau ada pertanyaan.
yang diberikan guru.
Siswa bertanya kepada
guru dan teman yang lain
apa-apa saja yang kurang
mengerti.
c. Secara acak guru menunjuk satu
orang siswa untuk tampil kedepan
mempresentasikan hasil dari yang
diperoleh.
3
Penutup
(10 Menit)
Guru
meminta
siswa
menyimpulkan materi.
(12 e
n
i
t
)
Siswa yang lain dapat 40 Menit
bertanya kepada siswa
yang tampil kedepan kelas
sesuai dengan hasil yang
diperolehnya. Dan siswa
yang
lain
mampu
memberikan saran atau
masukan
agar
mendapatkan hasil yang
maksimal.
untuk Melalui
tugas
yang 7 Menit
menantang ini, siswa dapat
menyimpulkan materi yang
sudah dipelajari. Yaitu
bagaimana
cara
menentukan aljabar limit
fungsi
yaitu
dengan
mencari factor yang sama
antara pembilang dan
penyebut dan membaginya
sehingga
dapat
disdederhanakan
dan
disubstitusi nilai x tersebut
Guru
meminta
siswa
agar
mempersiapkan
diri
untuk
mempelajari
materi
selanjutnya
dirumah.
Diharapkan
siswa 3 Menit
mempersiapkan diri untuk
mempelajari
pelajaran
dirumah
31
Pertemuan V (2 x 45 Menit)
Materi : Menentukan limit dengan cara mengalikan akar sekawan
No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan
( 5 Menit)
2
Kegiatan Inti
( 75 Menit)
Alokasi
Waktu
(5)
Guru mengingatkan kembali materi Siswa
menjawab
tentang limit dengan cara substitusi pertanyaan dari guru .
dan menfaktorkan.
5 Menit
a. Guru memberikan contoh tentang Siswa memperhatikan dan 5 Menit
limit fungsi yang menggunakan mendengarkan contoh yang
cara mengalikan akar sekawan diberikan guru.
Limit
x 

3x  2  2 x 1
dimana
 3x  2 
 3x  2 
kita

2x 1
2x 1

,
mengalikan
dengan
15 Menit
sehingga
,
mendapatkan
x3
3x  2  2 x  1 ,
Limit
x
lalu kita bagi
dengan pangkat tertinggi. Disini x
memilki pangkat tertinggi satu
maka semunya dibagi dengan x,
sehinggga diperolerh nilainy 1
b. Guru memonitor dan membantu Siswa mengerjakan latihan 40 Menit
siswa kalau ada pertanyaan.
yang diberikan guru.
Siswa bertanya kepada
guru dan teman yang lain
apa-apa saja yang kurang
mengerti.
c. Secara acak guru menunjuk satu Siswa
yang
lain
dapat
32
orang siswa untuk tampil kedepan bertanya kepada siswa 15 Menit
mempresentasikan hasil dari yang yang tampil kedepan kelas
sesuai dengan hasil yang
diperoleh.
diperolehnya. Dan siswa
yang
lain
mampu
memberikan saran atau
masukan
agar
mendapatkan hasil yang
maksimal.
X.
Alat dan Sumber Belajar
3. Buku matematika kelas XI IPS
4. Kalkulator
XI. Penilaian
1. Tehnik
2. Bentuk Instrumen
: Tes tertulis
: Tes uraian
33
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Standar Kompetensi : 1.
Mata Pelajaran
: MATEMATIKA
KLS/Program/Semester
: XI/IPS/ 2
Tahun Pelajaran
: 2010-2011
Pertemuan
: VI, dan VII
Siklus
: Ke 3
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan
masalah.
Kompetensi Dasar: Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi
aljabar
Indikator :
•
Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.

Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar.
•
Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan.
I. Tujuan Pembelajaran
Peserta didik dapat
1. menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi;
2. menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar;
3. menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan.
II. Materi Pembelajaran
Limit Fungsi
TEOREMA LIMIT UTAMA
Dalam menyelesaikan limit fungsi aljabar, baik untuk x mendekati a maupun x mendekati
 , sebenarnya secara tak langsung kita sudah menggunakan teorema limit. Jika n bilangan
bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit untuk x
mendekati a berlaku sifat-sifat berikut :
34
1. Limit k  k
x a
2. Limit x  a
x a
3. Limit k f ( x)  k Limit f ( x)
xa
x a
4. Limit [ f ( x)  g ( x)]  Limit f ( x)  lim it g ( x)
x a
x a
x a
5. Limit [ f ( x)  g ( x)]  Limit f ( x)  lim it g ( x)
x a
x a
x a
6. Limit[ f ( x) . g ( x)]  Limit f ( x) . lim it g ( x)
x a
7. Limit
x a
x a
x a
f ( x)
f ( x) Limit
 x a
, Limit g ( x)  0
g ( x) Limit g ( x) xa
x a
8. Limit [ f ( x)]n   Limit f ( x)
x a
x a
n
9. Limit n f ( x)  n Limit f ( x)
x a
x a
Contoh soal
Tentukanlah nilai limit berikut :
x5
x
1. Limit 5
5. Limit
2. Limit x 4
6. Limit (4 x  3) 3
x4
x 4
x 2
x3
3. Limit 3 (3x  5x  1)
4x 3  2x 2  1
7. Limit
x 2
3x 3  9
4. Limit ( x  1) ( x  4)
8. Limit
2
x 2
x2
x4
3
x
7x 1
35
Jawab :
1. Limit 5  5
(Teorema 1)
2. Limit x 4 = 34
(Teorema 2)
x 4
x3
3. Limit 3 (3x 2  5x  1) = Limit 9 x 2  15x  3
x 2
x 2
= Limit 9 x 2  Limit15x  lim it 3
x 2
x 2
(Teorema 4 dan 5)
x 2
= 9 (2)2 + 15(2) – 3
= 36 + 30 -3
= 63
4. Limit ( x  1) ( x  4) = Limit ( x  1) . lim it ( x  4)
x2
x2
(Teorema 6)
x2
= (2+1) (2-4)
= 3(-2)
= -6
x5
x  5 Limit
45 3
= x 4


x
Limit x
4
4
5. Limit
x4
(Teorema 7)
x 4
6. Limit (4 x  3) 3 =
x 2
7. Limit
x 2

Limit 4 x  3
x 2
3  4(2)  33  (5) 3
4x 3  2x 2  1
3x 3  9
(Teorema 7, 4 dan 5)
Limit 4 x 3  2 x 2  1
=
x 2
Limit 3x  9
3
x 2
125

Limit 4 x 3  Limit 2 x 2  Limit 1
x 2
x 2
3
x 2
Limit 3x  Limit 9
x 2
4(2) 3  2(2) 2 1 32  8 1 25 5
=



24  9
15 3
3(2) 3  9
x 2
(Teorema 8)
36
8. Limit
x4
3
x
=
7x 1
3
Limit
x 4
x
=
7x 1
Limit x
3
x 4
Limit 7x  1
x 4

3
4

7(4) 1
3
4 13

4 (Teorema 9)
27 3
IV. Langkah-langkah Pembelajaran
Pertemuan VI
No
1.
Kegiatan
Aktivitas Guru
Alokasi
Aktivitas Siswa
Waktu
Pendahuluan
(15 menit)
a. Apersepsi
Guru
mempersiapkan
siswa Siswa
menjawab
setiap
5 menit
dengan mengingatkan kembali pertanyaan yang diberikan oleh
siswa mengenai limit fungsi ngan guru mengenai diagram pohon.
menggunakan cara substitusi,
memfaktorkan, dan mengalikan
dengan akar sekawan
5 menit
b. Introduksi
Guru menyampaikan
pembelajaran kepada
tujuan Siswa
mendengarkan
siswa,
penjelasan yang diberikan oleh
yaitu siswa dapat menjelaskan
arti bentuk tak tentu dari limit
fungsi, menghitung bentuk tak
tentu dari limit fungsi aljabar
dan menghitung limit fungsi
yang mengarah ke konsep
turunan.
2.
Kegiatan Inti
Dengan
menggunakan
guru.
cara Siswa
5 menit
mendengarkan
substitusi, menfaktorkan, guru penjelasan dari guru.
(55 menit)
menjelaskan tentang teorema
limit
sehingga
siwa
dapat
10
menit
37
menyelesaikan teorema limit
Guru memberikan soal-soal yang Siswa mengerjakan soal secara
menantang kepada siswa.
individu.
35
menit
Guru memastikan bahwa siswa Diharapkan siswa mau bertanya
memahami
apa
yang
akan kepada teman yang lain jika ada
soal yang tidak dimengerti, dan
dikerjakan.
mau mendengarkan ide serta
memberikan ide kepada teman
guru membimbing siswa dalam yang lain yang belum mengerti
menemukan penyelesaian soal dalam
tersebut.
menyelesaikan
soal
tersebut.
Guru meminta beberapa siswa Siswa menyebutkan kesimpulan
untuk
menyebutkan
kembali materi yang telah dipelajari.
15
menit
kesimpulan materi yang telah
dipelajari.
Guru memberikan PR kepada Siswa mencatat soal PR yang
siswa.
diberika oleh guru.
Pertemuan VII (2 x 45 Menit)
No
Kegiatan
Aktivitas Guru
Aktivitas Siswa
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Pendahuluan
( 5 Menit)
Guru mengingatkan kembali tentang Siswa
menjawab
teorema yang sudah diberikan. pertanyaan dari guru .
Dengan
mengajukan
beberapa
Alokasi
Waktu
(5)
5 Menit
38
pertanyaan kepada siswa.
2
Kegiatan Inti
( 75 Menit)
Guru
mengajukan
beberapa Siswa
menperhatikan 10 Menit
guru
dan
pertanyaan untuk mengarahkan penjelasan
bertanya jika ada materi
siswa kepada konsep yang akan
yang tidak di mengerti.
diperoleh/pelajari.
Guru melanjutkan teorema limit yang Siswa mengerjakan soal- 50 Menit
soal yang telah diberikan
belum diajarkan kan kepada siswa,
guru secara individu.
sehingga siswa bisa mengerjakan soal
tentang teorema limit selanjutnya
Guru
berkeliling
mengajukan
pertanyaan dan memberikan bantuan
agar siswa dapat menemukan
penyelesaian soal tersebut.
Siswa bertanya kepada
guru dan teman yang laian
apa-apa saja yang kurang
mengerti.
Secara acak guru menunjuk satu Siswa yang lain dapat 10 Menit
orang siswa untuk tampil kedepan bertanya kepada siswa
mempresentasikan hasil dari yang yang tampil kedepan kelas
diperoleh.
sesuai dengan hasil yang
diperolehnya. Dan siswa
yang
lain
mampu
memberikan saran atau
masukan
agar
mendapatkan hasil yang
maksimal.
Guru memberikan ide jika diperlukan.
3
Penutup
(10 Menit)
Guru
meminta
siswa
menyimpulkan materi.
(13 e
n
Siswa
mendengarkan 5 Menit
penjelasan guru.
untuk Melalui
tugas
yang 7 Menit
menantang ini, siswa dapat
menyimpulkan materi yang
sudah dipelajari.
39
Guru
meminta
i
siswa
agar
mempersiapkan
t
diri
untuk
mempelajari
materi
selanjutnya
)
dirumah.
V. Alat dan Sumber Belajar
1. Buku matematika kelas XI IPS
2. Kalkulator
1.
Penilaian
1. Tehnik
2. Bentuk Instrumen
3. Soal Instrumen
: Tes tertulis
: Tes uraian
:
Diharapkan
siswa
mempersiapkan diri untuk
mempelajari
pelajaran
dirumah.
40
Soal Pertemuan I
1. Diketahui f(x) = 6x + 3, maka tentukanlah f-1(x) !
maka tentukanlah invers f-1 !
2. Jika
Jika f-1 adalah invers fungsi f, maka tentukanlah f-1(x-2)
3. Diketahui
Tentukanlah f-1 !
4. Diketahui
5. Tentukan rumus fungsi invers f-1(x)
a.
f(x) = x + 5
b.
f(x) = 
1
x+1
2
c. f(x) = 2 (x + 3)
41
Soal Pertemuan II
1. Diketahui
fungsi
f
dan
g
yang
ditentukan
oleh
f(x)
=
2x
+
1
dan
-1
. Tentukanlah (fog) (x) !.
2. Jika fungsi f : R
R dan g : R
R diketahui f(x) = x3 dan
g(x) = 3x – 4, tentukanlah
(g-1of-1)(8) !.
3. Diketahui fungsi f : R
R dan g : R
R dirumuskan dengan
dan
g(x) = x + 3. Tentukanlah (gof)-1(x) !
4. Diketahui fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = 4 – 2x. Tentukanlah (fog)-1(x) dan (gof)-1(x) !.
42
Soal Pertemuan III dan IV
Tentukan nilai limit fungsi-fungsi berikut :
a. lim
x  1
2x 2  x  1
x 1
x2  x  6
b. lim
x2
x 2  2x
c. lim
x 0
d. lim
x 9
x3  2x 2  6x
x  4x
2
m 3
m 9
Tentukan nilai limit berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
43
Soal Pertemuan V
Tentukan nilai limit berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
44
Soal Pertemuan VI dan VII
1. Limit 6 x 
6. Limit
2
2. Limit x 
7. Limit
2
3. Limit (3x  2) ( x  5 x)
8. Limit

9. Limit
x 1
x 10
x 3
x 3
5. Limit
x4
3
x2 7

 1
 2
3
1
3x  5
3x  8
x x4
4
2
x 3
x 2
3
2
x 3
x 5
2
2
4. Limit x x  5 x  4
3x
x
2x 2  8
10 x  5

4
2
10. Limit 2 x x  3 x
x 6

45
Soal Siklus I
1. Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan
, tentukanlah :
a. f-1(x)
b. g-1(x)
c. (fog)-1(x)
d. (gof)-1(x)
2. Diketahui fungsi f : R
R dan g : R
g(x) = x + 3. Tentukanlah :
a. f-1(x)
b. g-1(x)
c. (fog)-1(x)
d. (gof)-1(x)
e. (g-1of-1)(x)
R dirumuskan dengan
dan
46
Soal Siklus II
a. lim
x 0
2x 2  1
=
x3
b. lim
3x  3 =
c. lim
x  16  4

x
x 2
x 0
d. lim
x 2
e. lim
x 
( x  2)
x2  5 3
x2
2x3  1


47
Soal Siklus III
Tentukanlah nilai limit berikut :
x5
x
1. Limit 5x 
5. Limit
2. Limit x 4 
6. Limit (4 x  3) 3
3. Limit 3 (3x 2  5 x  1) 
7. Limit
4x 3  2x 2  1
3x 3  9
4. Limit ( x  1) ( x  4) 
8. Limit
3
x 4
x 3
x 2
x 2
x4
x 2
x 2
x4
x
7x 1