gadro. 1. Sebuah wadah bervolume V menampung N buah p

Jumlah partikel N selalu dianggap sangat besar seorde dengan bilangan Avogadro.
1. Sebuah wadah bervolume V menampung N buah partikel dengan dinding
yang tak dapat ditembus partikel serta tidak menghantarkan panas. Jelaskan detail langkah yang harus dilakukan bila anda akan mencari (prediksi)
kapasitas panas sistem, mulai dari ensambel yang dipilih (disertai alasan
memilihnya), apa yang harus diketahui, apa yang harus dicari, sampai didapatkan perumusan kapasitas panas sistem.
Jawaban:
Karena V , N dan E tetap, berarti sistem adalah sistem terisolasi dan ensambel yang harus dipakai adalah ensambel mikrokanonik. Untuk ensambel
mikrokanonik harus dicari jumlah keadaan mikro Ω. Untuk itu harus diketahui Hamiltonan untuk sistem. Dari Hamiltonan juga dapat diketahui
apakah sistemnya adalah sistem partikel terbedakan atau tak terbedakan
(dengan mengecek apakah Hamiltonannya invarian terhadap permutasi partikel atau tidak). Kemudian dicari volume ruang fase yang dibatasi oleh
permukaan energi (ditentukan oleh Hamiltonan)
Z
dω
ω=
H≤E
Kemudian dicari jumlah keadaan mikro yang sebanding dengan luas permukaan energi dari
1 ∂ω
Ω=
σ0 ∂E
Kemudian dicari entropi melalui
S = k ln Ω
Energi dalam dicari melalui
1
∂S
=
T
∂E
Dan terakhir kapasitas panas dicari melalui
C=
∂E
.
∂T
2. Sebuah wadah berdimensi tiga bervolume V , berisi N buah partikel yang
tidak saling berinteraksi dan berada dalam kesetimbangan termal dengan
lngkungannya pada temperatur T . Energi setiap partikel diberikan oleh
E = a(p2x + p2y + p2z )b , dengan a dan b adalah tetapan. Carilah perumusan
energi dalam U sistem ini.
Jawaban:
1
Ensambel yang dipakai adalah ensambel kanonik, sistemnya tertutup dan
partikelnya tak terbedakan. Karena partikelnya tidak saling berinteraksi
maka cukup dicari fungsi partisi satu partikel.
Z(T, V, 1) =
1
h3
Z
d3 qd3 p exp(−βa(p2x +p2y +p2z )b )) =
V
h3
Z
4πp2 dp exp(−βap2b )
Substitusi u = βap2b , du = 2βbap2b−1 dp, sehingga
4πV 1 3/2b
Z(T, V, 1) = 3
h 2b βa
Z ∞
u(3/2b)−1 exp(−u) =
0
4πV 1 3/2b
Γ(3/2b)
h3 2b βa
Energi bebas Helmholtz diberikan oleh F = −kT ln Z(T, V, N )
h
F = −N kT ln
4πV Γ(3/2b) kT 3/2b h3 2bN
a
+1
i
Entropi diberikan oleh
S=−
h 4πV Γ(3/2b) kT 3/2b i
∂F
3
= N k ln
+
1
+ Nk
3
∂T
h 2bN
a
2b
Sehingga energi dalamnya U = F + T S =
3
2b N kT
3. Suatu kristal material elektrik dimodelkan sebagai kumpulan N dipol listrik
d~ yang tetap pada titik-titik kristalnya tetapi bebas berorientasi. Dipoldipol listrik tersebut dianggap tidak saling berinteraksi, tetapi dapat berin~ dengan energi potensial per partikel
teraksi dengan medan listrik luar E
sebesar
~
U = −d~ · E.
Bila sistem berada dalam kesetimbangan termal pada suhu T , carilah polarisasi P sistem elektrik ini sebagai fungsi T . (Polarisasi adalah total (rerata)
momen dipol listrik per satuan volume).
Jawaban:
Karena sistem terikat di masing-masing titik kristalnya, maka sistem ini
sistem terbedakan. Karena dipolnya tidak saling berinteraksi, maka cukup
dicari dahulu fungsi partisi kanonik satu partikelnya. Fungsi partisi kanonik
satu partikelnya dapat difaktorkan menjadi dua bagian, bagian yang terkait
dengan energi kinetik dan bagian yang terkait dengan energi potensial
listrik Zkinetik Zlistrik , dengan bagian lsitriknya (dalam sistem koordinat bola)
adalah
Z
Z(T, V, 1)listrik = dΩe−β(−dE cos θ)
~
dengan dΩ = sin θdθdφ, dan θ adalah sudut antara d~ dan E.
Z 1
Z(T, V, 1)listrik = 4π
d cos θeβdE cos θ =
−1
2
4πkT
2 sinh(βdE)
dE
Sehingga fungsi partisi totalnya adalah
Z(T, V, N ) = [Zkinetik ]N
h 4πkT
dE
2 sinh(βdE)
iN
Berikutnya, polarisasi P adalah rapat rerata momen dipol magnetnya P =
N ~
V hdi.
Z π
Z
1 2π
hdx i =
sin θdθµ sin θ cos φeβdE cos θ = 0
dφ
Z 0
0
hdy i =
hdz i =
1
Z
1
Z
Z π
Z 2π
dφ
Z π
Z 2π
dφ
sin θdθµ sin θ sin φeβdE cos θ = 0
0
0
sin θdθµ cos θeβdE cos θ =
0
0
1 4πkT kT
2 cosh(βdE)−
2 sinh(βdE)
Z dE
dE
Sehingga
P =
kT
N
d(coth(dE/kT ) −
)
V
dE
4. Suatu wadah kotak berluas alas A dan tinggi L berisi N partikel bermuatan
listrik e dan bermassa m. Wadah ini berada dalam sebuah medan listrik
~ yang mengarah ke atas. Dianggap interaksi elektrostatik antar
homogen E
partikel sangat kecil dibandingkan interaksi elektrostatik partikel dengan
medan listrik homogen tadi. Carilah rapat partikel sebagai fungsi ketinggian
z. (Petunjuk: energi potensial listrik per partikel adalah U = −eEz).
Jawaban:
Fungsi partisi satu partikelnya:
d3 qd3 p
|~
p|2
exp(−β(
−eEz)) = (2πmkT /h2 )3/2 A
h3
2m
Z
Z(T, V, 1) =
Z(T, V, 1) = (2πmkT /h2 )3/2 A
Z a
dzeeEz/kT
0
kT
(1 − eeEL/kT )
eE
fungsi partisi untuk N partikelnya:
Z(T, V, N ) =
iN
1 h
kT
(2πmkT /h2 )3/2 A (1 − eeEL/kT )
N!
eE
Rapat jumlah partikel diperoleh dengan mencari probabilitas satu partikel
berada pada suatu posisi ~r0 . Hasilnya untuk N partikel adalah sama, sehingga dikalikan N . Probabilitas mendapati satu partikel pada posisi ~r0
dapat diperoleh dari rerata besaran hδ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 )i, yaitu
0
hδ(~r − ~r )i =
Z
d3 pd3 q
|~
p|2
exp(−β(
− eEz))δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 )
Z(T, V, 1)h3
2m
3
hδ(~r − ~r0 )i =
eE
exp(eEz 0 /kT )
kT A(1 − eeEL/kT )
Sehingga rapat partikel sebagai fungsi ketinggian z adalah
ρ(x, y, z) =
N eE
exp(eEz/kT )
kT A(1 − eeEL/kT )
4