128 BAB IV INTEGRAL Integral adalah sangat penting dalam

BAB IV
INTEGRAL
Integral adalah sangat penting dalam mempelajari fungsi bernilai kompleks. Teori
integral yang akan dikembangkan dalam bab ini adalah terkenal dalam matematika
moderen. Teorema-teorema yang disajikan umumnya singkat dan padat serta buktinya
sederhana.
30. FUNGSI BERNILAI KOMPLEKS w(t)
Sebelum membicarakan integral dari f(z) terlebih dahulu akan diperkenalkan turunan
dan integral tentu dari fungsi bernilai kompleks w dari suatu variabel t. Kita tulis
(1)
w(t) = u(t) + iv(t),
dimana u dan v adalah fungsi berniali real dari t.
Turunan w’(t), atau
d wt 
, dari fungsi (1) disuatu titik t adalah didefinisikan
dt
dengan
(2)
w’(t) = u’(t) + iv’(t)
asalkan turunan u’ dan v’ ada pada t.
Dari persamaan (2), untuk setiap bilangan kompleks tak nol z0 = x0 + iy0,
d
d
d
z0 wt    x0  iy0 u  iv  =  x0u  y0v   i  y0u  x0v 
dt
dt
dt
=
d
x0u  y0v   i d  y0u  x0v 
dt
dt
= (x0u’ – y0v’) + i(y0u’ + x0v’) = (x0 + iy0)(u’ + iv’)
Jadi,
(3)
d
z0 wt   z0 w' t 
dt
128
Berbagai sifat yang telah dipelajari dalam kalkulus, sifat diferensial untuk penjumlahan
dan perkalian dari fungsi bernilai real t dapat digunakan. Melalui sifat pada persamaan
(3), dapat diselidiki kaitan fungsi bernilai real, dan buktinya dijadikan latihan, yaitu
d z0t
e  z0 e z 0 t
dt
(4)
Kita dapat menekankan, bahwa tidak semua sifat turunan dalam kalkulus dapat
dibawah kedalam fungsi tipe (1). Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada contoh berikut.
CONTOH 1. Misalkan bahwa w(t) adalah kontinu pada interval atb, jadi komponen
fungsi u(t) dan v(t) adalah kontinu pada interval tersebut. Jika w’(t) ada dimana a < t <
b, maka teorema nilai rata-rata untuk turunan tidak dapat digunakan. Jadi tidak selalu
benar bahwa terdapat c dalam interval a < t < b sehingga,
w' c  
wb   wa 
.
ba
Untuk menunjukan ini, kita hanya membutuhkan fungsi w(t) = eit pada interval 0t2.
Karena w' t   ieit  1 , ini berarti bahwa w’(t) tidak pernah nol, dan w(2) – w(0) = 0.
Definisi integral dari fungsi pada tipe (1) pada interval atb adalah
didefinisikan dengan
b
b
b
a
a
a
 wt dt   ut dt  i  vt dt
(5)
dimana integral masing-masing pada bagian kanan ada. Jadi
(6)
b
b
b
b
a
a
a
a
Re  wt dt   Re wt dt dan Im  wt dt   Re wt dt. C
CONTOH 2. Melalui suatu ilustrasi,
2
2
2
 1  it  dt   1  t dt  i  2tdt   i .
1
1
1
0
0
0
3
Tidak tepat integral dari w(t) pada interval tak terbatas didefinisikan dengan cara
yang serupa.
129
Keberadaan integral-integral dari u dan v dalam definisi (5) adalah jelas
(ensured) jika fungsi tersebut adalah kontinu titik demi titik pada interval atb.
Sehingga suatu fungsi adalah kontinu dimana-mana dalam interval kecuali mungkin
disejumlah hingga titik-titik fungsi itu tidak kontinu, yakni hanya memiliki limit satu
arah. Jelas bahwa, hanya mempunyai limit kanan dititik a dan hanya mempunyai limit
kiri dititik b. Dimana u dan v adalah kontinu titik demi titik, sehingga fungsi w
dikatakan kontinu titik demi titik.
Untuk mengantisipasi cara-cara untuk mengintegralkan suatu konstantan
kompleks dikali suatu fungsi w(t), untuk penjumlahan-penjumlahan integral seperti
fungsi-fungsi di atas, dan untuk mempertukarkan limit-limit dari integral adalah benar.
Aturan-aturan yang lain, dijelaskan pada sifat berikut.
b
c
b
a
a
c
 wt dt   wt dt   wt dt
Teorema dasar kalkulus, dari anti turunan, dapat diperluas juga dalam integral
dari tipe (5). Khususnya, misalkan bahwa fungsi
w(t) = u(t) + iv(t) dan W(t) = U(t) + iV(t)
adalah kontinu pada interval atb. Jika W’(t) = w(t) pada atb, maka U’(t) = u(t) dan
V’(t) = v(t). Juga, dari definisi (5),
b
 wt dt  U t 
b
a
 iV t a  U b   iV b   U a   iV a .
b
a
Jadi,
b
 wt dt  W t 
b
a
(7)
 W (b)  W (a )
a
CONTOH 3. Karena (eit)’ = ieit, maka

4
it
it
 e   ie


0
4

 iei 4  i
0
130
i 
1
1 
 1

=  i

 i 1 
i 
.
2
2 
2
 2
Terakhir, suatu sifat yang paling penting adalah nilai mutlak dari suatu integral,
sebutlah
b
(8)
b
 w(t )dt 
 w(t ) dt
a
a
(ab).
Ketaksamaan ini jelas benar jika nilai dari integral pada bagian kiri adalah nol,
khususnya jika a = b. Selanjutnya, akan diselidiki dengan memisalkan bahwa nilainya
adalah bilangan kompleks tak nol. Jika r0 adalah modulus dan 0 adalah suatu argumen
tertentu, maka
b
 wdt  r e
0
i 0
.
a
Penyelesaian untuk r0, ditulis
b
(9)
r0 =  e i 0 wdt .
a
Sekarang bagian kiri dari persamaan (9) adalah bilangan real, demikian juga bahagian
kanan. Selanjutnya, dengan menggunakan kenyataan bahwa bagian real dari bilangan
real adalah bilangan real itu sendiri dan dengan menggunakan (6), maka persamaan (9)
dapat ditulis menjadi
b
b
b
a
a
a


 i
 i
 i
 e 0 wdt = Re  e 0 wdt =  Re e 0 w dt
Persamaan (9) diperoleh dengan bentuk
b
(10)


r0 =  Re e  i 0 w dt .
a
Tetapi,


Re e  i 0 w  e  i 0 w  e  i 0 w  w ;
dan juga dari persamaan (10),
131
b
r0 
 wt  dt .
a
Karena r0 merupakan nilai integral bagian kiri (8) dimana nilai integralnya tak nol, maka
pembuktian telah selesai.
Dengan sedikit modifikasi, sifat di atas dapat digunakan untuk ketaksamaan
berikut,


a
a
 wt dt   wt  dt
(11)
asalkan nilai integral pada persamaan (11) ada.
31. LINTASAN-LINTASAN (CONTOURS)
Itegral dari fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel kompleks adalah didefinisikan
pada kurva dalam bidang kompleks, lebih dari pada interval pada garis real. Kelas-kelas
dari kurva adalah cukup untuk dipelajari sebagai pendahuluan dari integral pada bagian
ini.
Suatu himpunan dari titik-titik z = (x,y) dalam bidang kompleks dikatakan busur
berarah (arc) jika
(1)
x = x(t),
y = y(t)
(atb),
dimana x(t) dan y(t) adalah fungsi kontinu dengan parameter real t. Definisi ini
merupakan suatu pemetaan kontinu dari interval atb kedalam bidang xy, atau bidang
z, dan titik-titik bayangannya naik menurut urutan dari nilai t. Selanjutnya kita, baik
sekali menggambarkan titik-titik dari C sebagai arti dari persamaan
(2)
z = z(t)
(atb),
dimana
(3)
z(t) = x(t) + iy(t).
Sifat dasar geometri dari suatu arc selalu memberikan notasi yang berbeda untuk
parameter t dalam persamaan (2). Kenyataan ini, dapat dilihat pada contoh di bawah ini.
CONTOH 1. Garis poligonal,
132
(4)
 x  ix, jika 0  x  1,
z
 x  i, jika 1  x  2,
terdiri dari garis patah dari 0 ke 1+i dan dari 1 + i ke 2 + i (gambar 26), adalah kurva
sederhana.
y
1+i
1
2+i
x
1
2
Gambar 26.
CONTOH 2. Lingkaran satuan
(5)
z = ei
(02)
yang berpusat dititik asal adalah kurva tertutup sederhana, berputar dengan arah
berlawanan arah jarum jam.
Juga lingkaran
(6)
z = z0 + Rei
(02),
dengan pusat z0 dengan jari-jari R (lihat bagian 5) adalah kurva tertutup sederhana.
CONTOH 3. Busur
(7)
z = e-i
(02)
adalah tidak sama dengan busur pada persamaan (5). Himpunan dari titik-titiknya adalah
sama tetapi lingkaran sekarang adalah berputar searah jarum jam.
CONTOH 4. Titik-titik pada busur berarah
(8)
z = ei2
(02)
133
adalah mempunyai bentuk yang sama dengan busur berarah pada (5) dan (7), namun
busur berarah tersebut berbeda karena lingkaran ini berputar sebanyak dua kali dengan
arah berlawanan dengan jarum jam.
Misalkan turunan x’(t) dan y’(t) dari komponen-komponen fungsi (3), digunakan
untuk menjelaskan suatu busur berarah C, ada dan kontinu sepanjang interval atb.
Sifat C seperti ini disebut busur bearah yang terdiferensiabel. Dari sini, jika turunan dari
z(t) (lihat bagian 30) adalah
(9)
z’(t) = x’(t) + iy’(t),
fungsi bernilai real
z ' t  
x' t 2   y' t 2
adalah terintegralkan pada interval atb, panjang dari kurva diberikan dengan
b
(10)
L=
 z ' t dt .
a
Persamaan (10) adalah definisi panjang busur dalam kalkulus.
Parameter yang digunakan untuk menjelaskan C adalah jelas tidak tunggal, dan
nilai dari L yang diberikan pada (10) adalah tidak berubah dengan mengganti parameter.
Khususnya, misalkan bahwa
(11)
t =   
      ,
dimana  adalah fungsi bernilai real yang memetakan interval      pada interval
atb. Asumsikan bahwa  adalah kontinu dan mempunyai turunan kontinu. Juga
 '   >0 untuk setiap  , jelas bahwa t naik mengikuti  . Dengan perubahan variabel
pada persamaan (11), persamaan (10) untuk panjang dari busur diperoleh

L=
 z '   '  d .

Juga, jika C dinyatakan sebagai
(12)
z = Z    z  
      ,
maka (lihat latihan 11)
134
Z '    z '    '   ,
(13)
dan akibatnya, persamaan (10) menjadi

L=
 Z '  d .

Jadi panjang dari C adalah sama jika persamaan (12) digunakan.
Jika persamaan z = z(t) (atb) menyatakan arc yang terdiferensiabelkan dan
z’(t)0 dimana-mana dalam interval a < t<b, maka vektor arah satuan
T=
z ' t 
z ' t 
Adalah terdefinisi dengan baik untuk semua t dalam interval buka, dengan sudut dari
inklinasi arg z’(t). Juga, jika T kontinu melalui parameter t pada interval a<t<b. Rumus
untuk T ini adalah telah dipelajari dalam kalkulus dengan z(t) menyatakan suatu jari-jari
vektor. Sehingga suatu busur dikatakan mulus. Dari kemulusan busur z = z(t) (atb),
maka kita mendapatkan turunan z’(t) kontinu pada interval tutup atb dan tak nol pada
interval buka a<t<b.
Suatu lintasan, atau busur mulus titik demi titik, adalah terdiri dari sejumlah
hingga arc mulus yang dihubungkan secara bersambung. Juga, jika persamaan (2)
menyatakan lintasan, z(t) adalah kontinu, dimana turunannya z’(t) adalah kontinu titik
demi titik. Garis poligon (4) adalah sebuah contoh dari lintasan. Jika hanya nilai awal
dan nilai akhir dari z(t) adalah sama, suatu lintasan C disebut lintasan tertutup sederhana.
Sebagai contoh adalah lingkaran pada (5) dan (6), demikian juga segitiga dan empat
persegi panjang dengan arah khusus. Panjang suatu lintasan atau lintasan tertutup
sederhana adalah jumlah dari panjang busur mulus yang digunakan untuk lintasan
tersebut.
Titik-titik pada setiap kurva tertutup sederhana atau lintasan C tertutup sederhana
adalah titik-titik batas dari dua daerah yang berbeda, satu yang dimiliki adalah interior
dari C adalah terbatas, dan yang lainya adalah eksterior dari C yang tidak terbatas.
135
Pembuktian pernyataan ini diketahui melalui teorema kurva Jordan, secara geometri
buktinya tidak terlalu sulit.
LATIHAN
1.
Hitung integral berikut :

2
1 
(a).    i  dt ;
t 
1
2
2.
(b).
e
i 2t
(c).  e  zt dt (Re z >0).
dt ;
0
0
Tunjukkan bahwa jika m dan n adalah bilangan bulat,
2
0
im  in
e
e


0
2
3.

6
jika m  n
jika m  n
Dari definisi (5) bagian 30, dari integral fungsi bernilai kompleks dari suatu
variabel real,

e
1 i  x


dx   e cos xdx  i  e x sin xdx .
x
0
0
0
Hitung dua integral pada bagian kanan dengan menghitung integral pada bagian
kiri dan identifikasi bagian real dan bagian imajiner dari nilai yang ditemukan.
4.
Buktikan diferensial berikut dengan cara yang ditentukan.
a. Gunakan aturan yang berkaitan dalam kalkulus, untuk menunjukkan bahwa
d
wt 2  2wt w' t 
dt
dimana w(t) = u(t) + iv(t) adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel real t
dan w’(t) ada.
b. Gunakan bentuk e z 0 t  e x0t cos y0t  e x0t sin y0t , dimana z0 = x0 + iy0 adalah
bilangan kompleks tetap, untuk menunjukkan
5.
d z0t
e  z0 e z 0 t .
dt
Gunakan ketaksamaan (8) bagian 30, untuk menunjukkan bahwa semua nilai dari x
dalam interval -1x1, fungsi
136

Pn  x  


n
1
x  i 1  x 2 cos d

0
(n = 0, 1, 2, …)
memenuhi ketaksamaan Pn  x   1 .
6.
Tunjukkan bahwa, jika w(t) = u(t) + iv(t) adalah kontinu pada interval atb, maka
a.
a
b
b
a
b

a

b.  wt dt   w   '  d ,
 w t dt   w d
dimana    adalah fungsi dalam persamaan (11) bagian 31.
7.
Misalkan w(t) = u(t) + iv(t) menyatakan fungsi bernilai kompleks kontinu pada
interval -ata.
a. Misalkan bahwa w(t) adalah fungsi genap, yakni w(-t) = w(t) untuk setiap titik
a
a
a
0
 wt dt  2 wt dt .
t dalam interval yang diberikan. Tunjukkan bahwa
b.
Tunjukkan bahwa, jika w(t) adalah fungsi ganjil, yakni w(-t) = -w(t) untuk
a
setiap titik t dalam interval yang diberikan, maka
 wt dt  0 .
a
8.
Misalkan w(t) adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel real t yang kontinu
pada interval atb. Dengan memperhatikan kasus khusus dari w(t) = eit pada
interval 0t2, tunjukkan bahwa tidak selalu benar terdapat bilangan c dalam
b
interval a<t<b sehingga
 wt dt  wc b  a  . Selanjutnya, tunjukkan pula bahwa
a
teorema nilai rata-rata untuk integral tentu dalam kalkulus tidak dapat digunakan
dalam fungsi ini. (bandingkan contoh 1 dalam bagian 30).
9.
Misalkan C menyatakan setengah lingkaran z =2 dengan arah berlawanan dengan
jarum jam dan C dinyatakan dalam dua bentuk parameter, yakni
z=z() = 2ei

 
    
2
 2
dan
137
z  Z  y   4  y 2  iy
(-2y2).
Tunjukkan bahawa Z(y) = z   y  , dimana
  y   arctan

 
   arctan t   .
2
 2
y
4 y
2
Juga, tunjukkan bahwa fungsi  ini mempunyai turunan positif, melalui syarat
yang diberikan pada persamaan (11) bagian 31.
10.
Tunjukkan persamaan (13) bagian 31, untuk turunan dari Z    z    .
Petunjuk: Tulis Z    x    iy   dan gunakan aturan rantai fungsi bernilai
real dari variabel real.
11.
Misalkan bahwa fungsi f(z) adalah analitik dititik z0 = z(t0) pada busur berarah
mulus z = z(t) (atb). Tunjukkan bahwa, jika w(t) = f[z(t)], maka w’(t) = f’[z(t)]
z’(t) dimana t = t0.
12.
Misalkan y(x) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval 0x1
dengan persamaan
 x 3 sin x  jika 0  x  1,
yx   
jika x  0
0
a. Tunjukkan bahwa persamaan z = x+iy(x) (0x1) menyatakan suatu busur
berarah C1 beririsan dengan sumbu real dititik-titik z = 1/n (n = 1, 2, 3, …) dan
z = 0, seperti yang ditunjukkan pada gambar 27.
y
0
1
3
1
2
1
Gambar 27
138
x
b. Tunjukkan bahwa busur berarah C1 dalam bagian (a) adalah mulus.
Petunjuk : Selidiki kekontinuan dari y(x) di x = 0, dan tunjukkan bahwa
0  x 3 sin 2   x 3 jika x>0.
Dengan cara serupa gunakan ini untuk
menemukan y’(0) dan tunjukkan bahwa y’(x) continu di x = 0.
32. INTEGRAL LINTASAN
Sekarang, kita akan mempelajari integral dari fungsi bernilai kompleks dari variabel
kompleks z. Suatu integral didefinisikan dalam bentuk nilai dari f(z) sepanjang lintasan
C, dari titik z = z1 sampai dengan titik z = z2 dalam bidang kompleks. Oleh karena itu,
suatu integral garis secara umum nilainya bergantung pada lintasan C sama dengan
fungsi f. Dan ditulis,
C2
 f z dz atau  f z dz ,
C
C1
notasi tersebut sering digunakan ketika nilai dari integral tidak bergantung pada
pemilihan lintasan diantara dua titik. Integral dapat didefinisikan secara langsung
melalui limit dari suatu jumlah, namun dalam bagian ini kita memilih definisi seperti
diatas yang berkaitan dengan bagian pendahuluan (bagian 30).
Misalkan persamaan
(1)
z = z(t)
(atb)
menyatakan suatu lintasan dari titik z1 = z(a) ketitik z2 = z(b). Misalkan pula fungsi f(z)
kontinu titik demi titik pada interval atb. Kita definisikan integral garis atau integral
lintasan dari f sepanjang C, yakni :
(2)

C
f  z dz 
b
 f zt z' t dt .
a
Sebagai catatan, karena C adalah lintasan, maka z’(t) adalah kontinu titik demi titik pada
interval atb, dan keberadaan dari integral pada persamaan (2) dijamin.
139
Nilai dari integral lintasan adalah invariant terhadap perubahan dalam
menyatakan lintasan jika perubahan tersebut serupa dengan persamaan (12) bagian 31.
Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara yang serupa seperti pada bagian 31 dalam
menunjukkan invariant dari panjang busur berarah.
Dari definisi (2) dan sifat dari integral fungsi bernilai kompleks w(t) yang telah
dijelaskan dalam bagian (30) bahwa
 z f z dz  z  f z dz ,
(3)
o
0
C
C
untuk setiap konstanta kompleks z0, dan
  f z   g z dz   f z dz   g z dz .
(4)
C
C
C
Berhubungan dengan lintasan C yang digunakan pada integral (2), lintasan –C
adalah terdiri dari himpunan titik-titik yang sama dengan C tetapi urutannya terbalik.
Lintasan –C bergerak dari titik z2 ketitik z1. Lintasan –C mempunyai bentuk parameter z
= z(-t) (-bt-a). Jadi

f  z dz 
C
a
 f z  t  z '  t dt ,
b
dimana z’(-t) menyatakan turunan dari z(t) pada t yang dihitung di –t. Dengan perubahan
dari variabel dalam integral sebelumnya (lihat latihan 6(a), bagian 31), kita peroleh
 f z dz    f z dz .
(5)
C
C
Misalkan bahwa lintasan C terdiri dari lintasan C1 dan lintasan C2, dengan
lintasan C1 dari titik z1 ketitik z0 dan C2 dari titik z0 ketitik z2, titik awal dari C2
merupakan titik akhir dari C1. Maka terdapat bilangan real c, dimana z0 = z(c), sehingga
C1 adalah dinyatakan dengan z = z(t) (atc) dan C2 adalah dinyatakan dengan z = z(t)
(ctb). Maka

f  z dz 
C
c

f z t z ' t dt   f z t z ' t dt ,
b
a
c
hal ini menjelaskan bahwa
140
(6)
 f z dz   f z    f z  .
C
C1
C2
Kadang-kadang lintasan C disebut jumlah dari C1 dan C2 dan dinotasikan dengan C1+C2.
Jumlah dari dua lintasan C1 dan –C2 adalah terdefinisi dengan baik jika C1 dan C2
mempunyai titik akhir yang sama, dan ditulis dengan C1-C2.
Terakhir, dari definisi (2) di atas dan sifat (8), bagian (30),

b
f  z dz   f z t z ' t  dt .
C
a
Juga, untuk setiap konstanta non negatif M sehingga nilai dari f pada C memenuhi
ketaksamaan f  z   M ,

b
f  z dz  M  z ' t dt .
C
a
Karena integral pada bagian kanan menyatakan panjang L dari lintasan (lihat bagian 31),
dari sini bahwa modulus dari integral f sepanjang C tidak melebihi ML,
(7)
 f z dz
 ML.
C
Hal ini jelas bahwa ketaksamaan terjadi jika nilai dari f pada C, f  z   M .
Sebagai catatan, semua garis atau garis edar atau jalur (path) dari integral adalah
dipertimbangkan sebagai lintasan dan yang diintegralkan adalah fungsi yang kontinu
titik demi titik yang didefinisikan pada lintasan-lintasan, suatu bilangan M yang
ditampilkan pada persamaan (7) akan selalu ada. Ini disebabkan karena fungsi f z t 
adalah kontinu pada interval tertutup dan terbatas atb dimana f adalah kkontinu pada
C; dan sehingga fungsi selalu mencapai maksimum yang bernilai M pada interval. Juga
f  z  mempunyai suatu nilai maksimum pada C dimana f kontinu pada C. Sekarang,
dengan cara serupa juga benar untuk fungsi f yang kontinu titik demi titik pada C.
141
Integral tentu dalam kalkulus dapat diinterprestasikan sebagai luas. Kecuali
dalam kasus khusus, tidak berhubungan dengan interprestasi, goemetri atau fisika adalah
disediakan untuk integral dalam bidang kompleks.
33. CONTOH-CONTOH
Contoh 1. Carilah nilai integral
(1)
I=
 zdz
C
dimana C adalah setengah bagian kanan dari lingkaran z =2, dari z = -2i ke z = 2i
(gambar 28), yakni

 
     .
2
 2
z = 2ei
Dari definisi (2) bagian 32,

I=


 2e 2e ' d ;
2
i
i
 2
karena ei  e i dan (ei)’=iei,

maka ini berarti bahwa, I =
2
 2e


 i
2
2ie d  4i  d  4i .
i

2
2
Sebagai catatan bahwa jika suatu titik z pada lingkaran z =2, maka diperoleh
bahwa z z = 4, atau z 
(2)
4
. Jadi hasil I = 4i dapat juga ditulis
z
dz
 i .
z
C

142
y
y
2i
i
C
A
1+i
B
C1
0
x
C2
-2i
x
0
Gambar 28
Gambar 29
CONTOH 2. Dalam contoh ini, misalkan bahwa C1 menyatakan lintasan OAB seperti
pada gambar 29 dan akan dihitung integral
 f z dz   f z dz   f z dz
(3)
C1
OA
AB
dimana f(z) = y-x-i3x2(z=x+iy)
Segmen OA dapat dinyatakan dalam bentuk parameter melalui z = 0+iy (0y1); jadi
x=0 dititik-titik pada segemen. Nilai dari f(z) dapat dibawah kepersamaan parameter y
dan diperoleh persamaan f(z) = y (0y1). Akibatnya,
1
1
0
0
 f z dz   yidy  i  ydy  2 .
OA
i
Pada segmen AB, z = x+i (0x1); dan juga

1


1
1
0
0
f  z dz   1  x  i3x 2 .1dx   1  x dx  3i  x 2 dx 
AB
0
1
i.
2
Sehingga, persamaan (3) kita peroleh
 f z dz 
(4)
C1
1 i
.
2
Jika C2 menyatakan segmen OB dari garis y = x, dengan bentuk parameter z =
x+ix (0x1),
143

(5)
1
1
0
0
f  z dz    i3x 2 1  i dx  31  i  x 2 dx  1  i .
C2
Jelas bahwa integral dari f(z) sepanjang dua lintasan C1 dan C2 mempunyai nilai yang
berbeda walaupun mereka mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama.
Selanjutnya nilai integral dari f(z) atas lintasan tertutup sederhana OABO, atau
C1 – C2, adalah
 f z dz   f z dz 
C1
C2
1 i
.
2
CONTOH 3. Kita mulai dengan memisalkan C sebagai arc mulus sembarang z = z(t)
(atb) dari titik tetap z1 ketitik tetap z2. Secara terurut kita hitung integral
b
I   zdz   z t z ' t dt ,
C
a
dari latihan 4(a) bagian 31,
d z t 
 z t z ' t  .
dt 2
2
Jadi,
z t 2 
I
b
 
2 a
z b 2  z a 2 .
Tetapi z(b) = z2 dan z(a) = z1; dan juga
2
z22  z12
. Ini berarti, bahwa nilai dari integralnya
2
hanya bergantung pada titik-titik akhir dari C, dan dengan kata lain tidak bergantung
pada arc yang diberikan, kita dapat menulis
z2
(6)
 zdz 
z1
z22  z12
.
2
(bandingkan dengan contoh 2, dimana nilai dari suatu integral dari satu titik tetap ke
yang lain bergantung pada segmen yang diberikan).
144
Persamaan (6) adalah juga benar jika C menyatakan lintasan yang tidak perlu
mulus diman lintasan tersebut terdiri dari sejumlah hingga busur berarah yang mulus Ck
(k = 1, 2, …,n) yang dihubungkan secara bersambung (end to end). Secara umum,
misalkan bahwa Ck bergerak dari zk ke zk+1. Maka
zk21  zk2 zn21  z12
,

2
2
k 1
n
n
 zdz    zdz  
(7)
k 1 C k
C
diman z1 merupakan titik awal dari C dan zn merupakan titik akhir dari C.
Dari persamaan (7) di atas bahwa integral dari f(z) mengelilingi setiap lintasan
tertutup sederhana dalam bidang mempunyai nilai nol. (bandingkan dengan contoh 2,
dimana nilai dari integral dari fungsi diberikan mengelilingi segmen tertutup adalah
tidak nol). Hal ini akan dijelaskan pada bagian selanjutnya jika integral dari lintasan
tertutup sederhana mempunyai nilai nol. Pertanyaan ini merupakan pusat dari teori
fungsi bernilai kompleks.
CONTOH 4. Misalkan C menyatakan path setengah lingkaran
z = 3ei (0)
dari titik z = 3 ketitik z = -3 (lihat gambar 30). Walaupun cabang dari bagian (36)
(8)
f(z) =
re
i 2
(r>0. 0<<2)
1
dari fungsi bernilai banyak z 2 adalah tidak terdefinisi pada titik awal z = 3 dari lintasan
C, integral
1
I   z 2 dz
(9)
C
y
-3

3
x
Gambar 30
145
dari cabang tersebut ada. Untuk integral adalah kontinu titik demi titik pada C. Kita akan
tunjukan dengan menghitung z() = 3ei, limit-limit kanan dari bagian real dan bagian
imajiner dari fungsi


 i 3 sin
2
2
f z    3e 2  3 cos
i
di  = 0 adalah
(0<)
3 dan 0 masing-masing. Juga f[z()] adalah kontinu pada interval
tutup 0 dimana nilai  = 0 adalah didefinisikan sebagai


I
i

2

3e 3ie d  3 3i  e
i
0
i
3 . Akibatnya,
3
2
d ;
0
dan

e
i
3
2
0
3
2 i
d  e 2
3i


2
 =  1  i 
3i
 0
Terakhir, maka
I  2 3 1  i  .
CONTOH 5. Misalkan CR adalah path setengah lingkaran z = Rei (0), dan
1
z 2 merupakan cabang (8) dari akar fungsi kuadrat yang digunakan dalam contoh 4.
Tanpa mencari nilai dari integral, dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
1
(10)

lim
R 
1
Jika z =R>1, z 2 
CR
z2
dz  0 .
z2  1
i
R e 2  R dan z 2  1  z 2  1  R 2  1 .
Akibatnya, titik-titik pada CR dimana integral terdefinisi,
1
R
z2
.
 M R dimana M R  2
2
z 1
R 1
Karena panjang dari CR adalah bilangan L = R, dan dari sifat (7) bagian 32, bahwa
146
1

CR
z2
dz  M R L.
2
z 1
Tetapi

R R 1 R 2
R ,
M RL  2
.

R  1 1R 2 1  1 2
R
 
dan jelas bahwa bagian kanan bentuk di atas menuju nol asalkan R menuju takhingga.
Ini berarti (10) telah dibuktikan.
LATIHAN
Untuk fungsi f dan lintasan C dalam latihan 1 sampai dengan 6, gunakan bentuk
parameter yang diberikan untuk C, untuk menghitung
 f z dz .
C
1.
f z  
z2
dan C adalah
z
a. setengah lingkaran z = 2ei (0);
b. setengah lingkaran z = 2ei (2)
c. lingkaran z = 2ei (02)
2.
f(z) = z-1 dan C adalah busur berarah dari z = 0 sampai z = 2 yang terdiri dari
a. setengah lingkaran z = 1 + ei (2)
b. Segmen 0x2 dari sumbu real.
3.
f(z) = exp( z ) dan C adalah batas dari bujur sangkar dengan titik-titik sudut 0, 1,
1+i, dan i, orientasi C berlawanan dengan arah jarum jam.
4.
1
f(z) adalah dinyatakan dengan persamaan f z   
4 y
jika y  0
jika y  0
dan C adalah
busur berarah dari z = -1-i sampai dengan z = 1+i sepanjang kurva y = x3.
5.
f(z) = 1 dan C sembarang lintasan dari setiap titk z1 kesetiap titik tetap z2 dalam
bidang.
147
6.
f(z) adalah cabang z-1+i =exp[(-1+i)log z]
z
 0,0  arg z  2  dan C adalah
lingkaran satuan z  1 dengan arah positif.
7.
Dengan menggunakan hasil pada latihan nomor 2 bagian 31, hitunglah integral
z
m
n
z dz dimana m dan n adalah bilangan bulat dan C adalah lingkaran satuan
C
z  1 dengan arah berlawanan dengan jarum jam.
8.
Hitunglah integral I dalam contoh 1 bagian 33 dengan menggunakan bentuk C :
z  4  y 2  iy (-2y2) (lihat juga latihan 9 bagian 31)
9.
Misalkan C adalah busur berarah dari lingkaran z  2 dari z = 2 ke z = 2i terletak
dalam kuadran pertama. Dengan tanpa menghitung integral, tunjukkan bahwa
z
C
10.
dz


1 3
2
Misalkan C menyatakan segmen garis dari z = i ke z =1. Dengan memperhatikan
bahwa semua titik pada segmen garis, titik tengah adalah closest to origin,
tunjukkan bahwa
dz
z
4
 4 2 dengan tanpa menghitung integral.
C
11.
Tunjukkan bahwa jika C adalah batas dari segitiga dengan titik-titik sudut 0, 3i,
dan –4, serta orientasinya berlawanan dengan arah jarum jam, maka
 e
z

 z dz  60
C
12.
Misalkan C dan C0 menyatakan lingkaran z = Rei (02) dan z = z0 + Rei
(02) masing-masing. Gunakan bentuk parameter tersebut untuk menunjukkan
bahwa
 f z dz   f z  z dz dimana f adalah kontinu titik demi titik pada C.
0
C
C0
148
13.
Misalkan C0 menyatakan lingkaran z  z0  R berlawanan dengan jarum jam.
Gunakan bentuk parameter z = z0 + Rei (-) dari C0 untuk menurunkan
rumus integral berikut.
a.
c.
dz
C z  z0  2i ;
0
b.
n 1
  z  z0 
dz  0 n  1,  2,... 
C0
2Ra
dz  i
sin a  , dimana a adalah bilangan real yang lebih besar
a
a 1
 z  z 
0
C0
dari nol dan dimana cabang utama dari integral dan nilai utama dari Ra adalah
diambil.
34. ANTI TURUNAN
Meskipun nilai dari integral lintasan dari suatu fungsi f(z) dari titik tetap z1 ke titik tetap
z2 umumnya bergantung pada path yang diambil, namun terdapat juga fungsi yang
mempunyai integral dari z1 ke z2 tidak tergantung dari path. (ingat contoh 2 dan 3 bagian
33). Contoh-contoh juga masih mengilustrasikan kenyataan bahwa nilai dari integral
path tertutup adalah kadang-kadang nol, tetapi tidak selalu nol. Teorema dibawah ini
selalu mempertimbangkan kapan suatu integral adalah tidak tergantung pada path dan
selain itu kapan suatu integral sekitar path tertutup mempunyai nilai nol.
Dalam pembuktian teorema kita selalu menemukan suatu perluasan dari teorema
dasar kalkulus untuk mempermudah perhitungan berbagai integral lintasan. Perluasan ini
melibatkan konsep dari suatu antiturunan dari suatu fungsi kontinu f dalam suatu domain
D, atau suatu fungsi F sedemikian sehingga F’(z) = f(z) untuk semua z dalam D. Sebagai
catatan bahwa suatu antiturunan adalah dibutuhkan suatu fungsi analitik, anti turunan
suatu fungsi f yang diberikan adalah tunggal kecuali untuk penjumlahan konstanta
kompleks. Hal ini disebabkan karena dari pengurangan F(z) – G(z) = 0 dari dua anti
turunan F(z) dan G(z) adalah nol. Dan berdasarkan teorema bagian 20, suatu fungsi
analitik adalah konstan dalam domain D jika turunannya adalah nol seluruh D.
149
Teorema
Misalkan bahwa suatu fungsi f adalah kontinu pada domain D. Jika satu dari pernyataan
berikut benar, maka pernytaan yang lain juga benar.
a. f mempunyai antiturunan F di D
b. integral dari f(z) sepanjang lintasan-lintasan yang terletak sepenuhnya dalam D
dan memanjang dari titik tetap z1 ketitik tetap z2 semuanya mempunyai nilai
yang sama.
c. Integral dari f(z) sekitar lintasan tertutup yang terletak sepenuhnya dalam D
semuanya mempunyai nilai nol.
Sebagai catatan bahwa teorema tersebut tidak mengklaim bahwa setiap pernyataan
adalah benar untuk sembarang fungsi f dan domain D yang diberikan. Yang diketahui
adalah dari teorema di atas adalah benar semua atau tidak benar semua. Untuk
membuktikan teorema di atas cukup dibuktikan bahwa pernyataan (a) mengakibatkan
pernyataan (b), pernyataan (b) mengakibatkan pernyataan (c), dan pernyataan (c)
mengakibatkan pernyataan (a).
Sekarang, asumsikan bahwa pernyataan (a) benar. Jika suatu lintasan C dari z1 ke
z2 terletak dalam D dan benar-benar suatu arc yang mulus dengan bentuk parameter z =
z(t) (atb), kita ketahui dari latihan 11, bagian 31. bahwa
d
F z t   F ' z t z ' t   f z t z ' t  (atb).
dt
Karena teorema dasar kalkulus dapat diperluas kedalam fungsi bernilai kompleks dari
variabel real (bagian 30), maka
b
 f z dz   f zt z ' t dt  F zt 
b
a
C
 F z b   F z a  .
a
Dimana z(b) = z2 dan z1 = z(a), maka nilai dari integral lintasan di atas adalah F(z2)F(z1); dan nilainya jelas tidak tergantung dari lintasan C sepanjang C menuju dari z1 ke
z2 dan terletak dalam seluruh D. Jadi,
150
z2
 f z dz  F z 
z2
z1
(1)
 F  z2   F  z1  .
z1
Hasil ini adalah juga benar untuk C adalah sembarang lintasan, tidak perlu mulus dan
terletak dalam D. Khususnya, jika C terdiri dari sejumlah hingga arc yang mulus Ck (k =
1, 2, …,n), setiap Ck bergerak sepanjang titik zk ketitik zk+1, maka

n
n
f  z dz    f  z dz   F  zk 1   F  zk   F  zn 1   F  z1  .
k 1 C k
C
k 1
(Bandingkan dengan contoh 3 bagian 33). Kenyataan ini bahwa pernyataan (b) telah
ditunjukkan.
Untuk membuktikan pernyataan (b) mengakibatkan pernyataan (c), kita misalkan
z1 dan z2 menyatakan dua titik pada lintasan tertutup C yang terletak dalam D dan
bentuk dua path, dengan setiap path titik awalnya z1 dan titik akhirnya z2 sehingga C =
C1-C2 (gambar 31). Asumsikan bahwa pernyataan (b) benar, dan tulis
 f z dz   f z dz , atau
(2)
C1
C2
 f z dz   f z dz  0 .
(3)
C2
C1
Jadi, integral dari f(z) sekitar lintasan tertutup C = C1-C2 mempunyai nilai nol.
y
D
C2
z1
z2
C1
x
Gambar 31
151
Terakhir, kita akan tunjukkan pernyataan (c) mengakibatkan pernyataan (a). Asumsikan
bahwa pernyataan (c) benar, dengan menggunakan kebenaran pernyataan (b). Misalkan
C1 dan C2 menyatakan sembarang dua lintasan yang terletak dalam D, dari titik z1 ke z2
dan dari pernyataan (c), persamaan (3) benar (lihat gambar 31). Selanjutnya persamaan
(2) benar. Oleh karena integral tidak bergantung pada path dalam D, maka kita dapat
mendefinisikan fungsi
F z  
z
 f s ds
z0
pada D. Untuk membuktikan teorema secara lengkap, tinggal ditunjukkan bahwa F’(z) =
f(z) untuk setiap z dalam D. Kita bekerja disini dengan memisalkan z+  z sembarang
titik, berbeda dengan z, terletak dalam suatu lingkungan dari z yaitu cukup kecil yang
termuat dalam D. Maka
F  z  z   F  z  
z  z

f s ds   f s ds 
z
z  z
z0
z0
z
 f s ds ,
dimana path dari integral dari z ke z+  z dapat dipilih melalui segmen garis (gambar
32). Dimana
z  z
 ds  z
z
(lihat latihan 5 bagian 33), kita dapat menulis
f z  
1
z
z  z
 f z ds  z ;
z
dan dari sini bahwa
F  z  z   F  z 
1
 f z  
z
z
z  z
  f s   f z ds .
z
Tetapi F kontinu dititik z. Juga untuk setiap bilangan  positif , terdapat bilangan 
positif sehingga
f s   f  z    asalkan s - z   .
152
Akibatnya, jika titik z+  z adalah cukup dekat ke z juga z   , maka
F  z  z   F  z 
1
 f z  
 z   ;
z
z
Jadi,
lim
z  0
F  z  z   F  z 
 f z 
z
atau F’(z) = f(z).
y
z+  z
s
s
z
z0
x
D
Gambar 32
35. CONTOH-CONTOH
Contoh-contoh berikut mengilustrasikan teorema dalam bagian 34 dan khususnya
penggunaan remus (1) di atas, yang mana merupakan perluasan teorema dasar kalkulus.
Contoh 1. Fungsi kontinu f(z) = z2 mempunyai anti turunan F(z) = z3/3 sepanjang
bidang. Jadi
1 i
1 i
z3 
1
2
3
0 z dz  3   3 1  i   3  1  i 
0
2
untuk setiap lintasan dari z=0 ke z = 1+i.
153
Contoh 2. Fungsi
turunan 
1
adalah kontinu disetiap titik kecuali dititik asal, mempunyai
z2
1
dalam domain z  0 . Akibatnya
z
z2
z
dz
1 2 1 1


 z 2 z  z  z1  z2
z1
1
(z1  0, z2  0)
untuk setiap lintasan dari z1 ke z2 dan tidak melalui titik asal. Khususnya
dz
z
2
0
C
dimana C adalah lingkaran z = 2ei (-).
Sebagai catatan, integral dari fungsi f(z) = 1/z mengelilingi lingkaran yang sama
tidak dapat dihitung dengan cara yang serupa. Untuk semua turunan dari setiap cabang
F(z) dari logz adalah 1/z (bagian (26)), F(z) tidak terdiferensiabel, atau definisi yang
sama sepanjang potongan cabang. Khususnya, jika sudut  =  dari titik asal digunakan
untuk potongan cabang, F’(z) lemah untuk keberadaan titik dimana sudut irisan
lingkaran C. Jadi C tidak terletak dalam suatu domain yang dimiliki seluruh F’(z) = 1/z,
dan kita tidak dapat menggunakan secara langsung dari suatu anti turunan.
Contoh 3. Misalkan D domain z  0,  Argz   , terdiri dari seluruh bidang yang
memuat titik asal dan sumbu real negatif. Cabang utama Log z dari fungsi logaritma
bernilai banyak melalui suatu anti turunan dari fungsi kontinu seluruh D. Juga dapat
ditulis
dz
 


2i
 Logz  2i  Log 2i   Log  2i    ln 2  i    ln 2  i   i
z
2 
2

 2i
2i

dimana path pengintegralan dari –2i sampai 2i, untuk hal lain, arc
z  rei

 
    
2
 2
dari lingkaran dalam contoh 2 (bandingkan contoh 1 bagian 33, dimana dimana integral
ini telah dihitung dengan menggunakan bentuk parameter untuk arc).
Contoh 4. Misalkan kita menggunakan suatu anti turunan untuk menghitung integral
154
1
2
 z dz
(1)
C1
dimana yang diintegralkan adalah cabang
r  0, 0  
i
1
z 2  re 2
(2)
 2 
dari fungsi akar kuadrat dan dimana C1 adalah suatu lintasan dari z = -3 ke z = 3, kecuali
untuk titik akhir, terletak di atas sumbu x (lihat gambar 33). Seluruh pengintegralan
adalah kontinu titik demi titik pada C1, dan oleh karena itu integralnya ada, cabang (2)
1
dari z 2 adalah tidak terdefinisi pada sudut  = 0, khususnya dititk z = 3. Tetapi cabang
yang lain,
f1 z   r e 2
i

3 

 r  0, -   

2
2 

adalah terdefinisi dan kontinu dimana-mana pada C1. Nilai dari f1(z) disemua titik pada
C1 kecuali z = 3 sama dengan mengitegralkan (2); juga pengitegralan dapat diganti
kembali dengan f1(z). Dimana suatu anti turunan dari f1(z) adalah fungsi
F1  z  
i 3
2 32 2
z  r re 2
3
3

3 

 r  0, -   
.
2
2 

Kita dapat menulis kembali
1
 z 2 dz 
C1
3
 f z dz  F z 
1
3
1
3
3
 2 3  ei 0  e 2   2 3 1  i  .


i 3
(bandingkan dengan contoh 4 bagian 33)
155
y
C2
0
-3

x
3
C1
Gambar 33
Integral (1) atas lintasan C2 dari z = -3 ke z = 3 dibawah sumbu x mempunyai
nilai yang lain. Dalam kasus ini, kita mengintegralkan kembali dengan cabang
f 2 z   r e 2
i

5

 r  0,   
2
2


,

yang mempunyai nilai terletak dalam cabang (2) dibawah half plane. Fungsi analitik
F2  z  
i 3
2 32 2
z  r re 2
3
3

5 

 r  0,   

2
2 

adalah suatu anti turunan dari f2(z). Jadi
1
 z 2 dz 
C2
3
3
i 3
3 f1 z dz  F1 z 3  2 3 e  e 2   2 3 1  i  .
i 3
Perlu dicatat bahwa integral dari fungsi (2) mengelilingi lintasan tertutup C2 – C1
mempunyai nilai 2 3  1  i   2 3 1  i   4 3 .
36. TEOREMA CAUCHY-GOUSTRAT
Dalam bagian 24, kita telah mengetahui bahwa jika suatu fungsi kontinu f mempunyai
suatu anti turunan dalam suatu domain D, integral dari f(z) mengelilingi sembarang
156
lintasan C yang seluruhnya terletak dalam D mempunyai nilai nol. Dalam bagian ini kita
hadirkan suatu teorema yang memberikan sifat yang lain pada suatu fungsi f
157