logika matematika

LOGIKA MATEMATIKA
Matematika Industri I
TIP – FTP - UB
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Proposisi dan negasinya
Nilai kebenaran dari proposisi
Tautologi
Ekuivalen
Kontradiksi
Kuantor
Validitas pembuktian
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Proposisi dan negasinya
Nilai kebenaran dari proposisi
Tautologi
Ekuivalen
Kontradiksi
Kuantor
Validitas pembuktian
Matematika Industri I
Logika dan Logika Matematika
• Logika  ilmu yang mempelajari secara
sistematis kaidah-kaidah penalaran yang valid
– Penalaran deduktif dan penalaran induktif
– Penalaran diungkapkan dalam bahasa (kalimatkalimat)
– Logika mempelajari kalimat-kalimat yang
mengungkapkan atau merumuskan penalaran
manusia
• Logika matematika (logika simbol)  logika yang
menggunakan bahasa matematika (lambanglambang atau simbol-simbol)
– Ringkas, univalent dan universal
Matematika Industri I
Pernyataan dan Proposisi
• Pernyataan
– Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau
salah).
– Pernyataan yang tidak mengandung kata hubung
kalimat disebut pernyataan primer / pernyataan
tunggal / pernyataan atom, sedangkan pernyataan
yang mengandung satu atau lebih kata hubung
kalimat disebut pernyataan majemuk
• Proposisi
– Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar
(true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya
Matematika Industri I
Permainan
“Gajah lebih besar daripada tikus.”
Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
Matematika Industri I
BENAR
Permainan
“520 < 111”
Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
Matematika Industri I
SALAH
Permainan
“y > 5”
Apakah ini sebuah pernyataan?
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
TIDAK
Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut
bergantung pada y, tapi nilainya belum
ditentukan.
Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai
fungsi proposisi atau kalimat terbuka.
Matematika Industri I
Permainan
“Sekarang tahun 2011 dan 99 < 5”
Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
Matematika Industri I
SALAH
Permainan
“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”
Apakah ini sebuah pernyataan?
TIDAK
Ini adalah sebuah permintaan.
Apakah ini sebuah proposisi?
TIDAK
Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi
proposisi.
Matematika Industri I
Permainan
“x < y jika dan hanya jika y > x.”
Apakah ini pernyataan ?
Apakah ini proposisi ?
… karena nilai kebenarannya
tidak bergantung harga
spesifik x maupun y.
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini ?
Matematika Industri I
YA
YA
BENAR
Proposisi dilambangkan dengan huruf
kecil p, q, r, ….
Contoh:
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Soekarno adalah alumnus UGM.
r: 2+2=4
Matematika Industri I
Mengkombinasikan Proposisi
• Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Konjungsi (conjunction): p dan q
Notasi p  q,
2. Disjungsi (disjunction): p atau q
Notasi: p  q
3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p
Notasi: p
• p dan q disebut proposisi atomik
• Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi
majemuk (compound proposition)
Matematika Industri I
Contoh Proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
p  q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan
dari sekolah
p  q : Hari ini hujan atau murid-murid
diliburkan dari sekolah
p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini
tidak hujan)
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Proposisi dan negasinya
Nilai kebenaran dari proposisi
Tautologi
Ekuivalen
Kontradiksi
Kuantor
Validitas pembuktian
Matematika Industri I
Tabel Kebenaran
p
q
pq
p
q
pq
p
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
F
q
F
T
Contoh. Misalkan
p : 17 adalah bilangan prima (benar)
q : bilangan prima selalu ganjil (salah)
p  q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima
selalu ganjil (salah)
Matematika Industri I
Hukum-hukum Logika
Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.
1. Hukum identitas:
 p F p
 p T  p
2. Hukum null/dominasi:
 p F F
 p T  T
3. Hukum negasi:
 p  ~p  T
 p  ~p  F
4. Hukum idempoten:
 p p  p
 p p  p
5. Hukum involusi (negasi
ganda):
 ~(~p)  p
6. Hukum penyerapan
(absorpsi):
 p  (p  q)  p
 p  (p  q)  p
Matematika Industri I
7. Hukum komutatif:
 p  q  q  p
 p  q  q  p
8. Hukum asosiatif:
 p  (q  r)  (p  q)  r
 p  (q  r)  (p  q)  r
9. Hukum distributif:
10.


p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)


Hukum De Morgan:
~(p  q)  ~p  ~q
~(p  q)  ~p  ~q
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Proposisi dan negasinya
Nilai kebenaran dari proposisi
Tautologi
Ekuivalen
Kontradiksi
Kuantor
Validitas pembuktian
Matematika Industri I
TAUTOLOGI
• Tautologi adalah suatu bentuk kalimat majemuk
yang selalu bernilai benar untuk setiap penggantian
peubahnya dengan sebarang pernyataan.
• Suatu bentuk kalimat majemuk yang selalu bernilai
salah untuk setiap perngantian peubahnya dengan
sebarang pernyataan disebut Kontradiksi
• Bila penggantian peubah-peubah itu dengan
pernyataan dapat menghasilkan pernyataan yang
benar atau pernyataan yang salah, maka bentuk itu
disebut Kontingensi
Matematika Industri I
TAUTOLOGI
•
Pembuktian Tautologi :
1. Dengan Tabel Kebenaran  Bentuk pernyataan
majemuk adalah tautologi bila kolom terakhir dari
daftar kebenarannya berisi nilai ‘1’ semua
2. Bentuk pernyataan majemuk diturunkan menjadi
bentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnya
diperoleh bentuk yang dikenal sebagai Tautologi
3. Khusus untuk bentuk pernyataan majemuk yang
berupa suatu ekuivalensi  Salah satu rupanya
diturunkan menjadi bentuk-bentuk lain yang
ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh bentuk dari
ruas lainnya.
Matematika Industri I
Proposisi majemuk disebut tautologi jika
ia benar untuk semua kasus
Contoh. p  ~(p  q) adalah sebuah tautologi
p
q
T
T
F
F
T
F
T
F
p  q ~(p  q)
T
F
F
F
F
T
T
T
p  ~(p  q)
T
T
T
T
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Proposisi dan negasinya
Nilai kebenaran dari proposisi
Tautologi
Ekuivalen
Kontradiksi
Kuantor
Validitas pembuktian
Matematika Industri I
Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..)
disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai
tabel kebenaran yang identik.
Notasi: P(p, q, …)  Q(p, q, …)
Contoh. Hukum De Morgan: ~(p  q)  ~p  ~q.
p
q
p  q ~ (p  q)
~p
~q ~ p  ~ q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Proposisi dan negasinya
Nilai kebenaran dari proposisi
Tautologi
Ekuivalen
Kontradiksi
Kuantor
Validitas pembuktian
Matematika Industri I
Proposisi majemuk disebut kontradiksi
jika ia salah untuk semua kasus
Conto. (p  q)  ~(p  q) adalah sebuah kontradiksi
p
q
pq
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
pq
F
T
T
F
~(p  q)
(p  q)  ~(p  q)
F
F
F
T
Matematika Industri I
F
F
F
F
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Proposisi dan negasinya
Nilai kebenaran dari proposisi
Tautologi
Ekuivalen
Kontradiksi
Kuantor
Validitas pembuktian
Matematika Industri I
PERNYATAAN BERKUANTOR
• Suatu kalimat terbuka akan diubah menjadi pernyataan
bila semua peubahnya diganti dengan konstanta dari
semesta pembicaraannya.
• Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi
pernyataan ialah dengan memakai kuantor (dari kata
”quantity” yang berarti ”banyaknya” ).
• Ada dua macam kuantor, yaitu:
a. Kuantor Universal, lambangnya : ” ”
b. Kuantor Eksistensial, lambangnya : ”  ”
Matematika Industri I
PERNYATAAN BERKUANTOR
• Kalimat terbuka ”P(x)” akan berubah menjadi pernyataan apabila
di depannya ditambahkan suatu kuantor, sbb:
• ( x ). P (x), yang dibaca :
Semesta pembicaraan: Bilangan Asli
Untuk setiap x, x adalah bilangan positif.
Setiap ( semua) x adalah bilangan positif.
Ini adalah pernyataan yang bernilai benar.
• ( x ). P ( x ), yang dibaca :
Semesta: Bilangan Bulat
Terdapatlah x sedemikian sehingga x adalah bilangan
positif ( “ Terdapat “ disini berarti sekurang – kurangnya
ada satu ).
Ini adalah pernyataan yang bernilai benar.
Matematika Industri I
• Bila suatu kalimat terbuka memuat lebih
dari satu peubah, maka untuk
mengubahnya menjadi pernyataan setiap
peubahnya harus diberi kuantor.
• Banyaknya kuantor yang dibutuhkan di
depan kalimat terbuka harus sama dengan
banyaknya peubah agar kalimat terbuka
itu berubah menjadi peryataan.
Matematika Industri I
• Misalnya suatu kalimat terbuka yang memuat dua
buah peubah x dan y disajikan dengan lambang
”P(x,y)” Jika mendapatkan tambahan kuantor
menjadi :
( x ). P(x,y)
( y ). P(x, y)
( x ) . P(x,y)
( y ). P(x,y)
Semuanya masih tetap merupakan kalimat terbuka.
• Peubah yang diberi kuantor disebut peubah terikat,
sedangkan peubah yang tidak diberi kuantor disebut
peubah bebas.
Matematika Industri I
• Sedangkan bentuk-bentuk:
( x ) ( y ). P(x,y).
( x ) (y ). P(x,y)
( x) ( y ). P(x,y).
(x ) ( y ). P(x,y)
Semuanya merupakan pernyataan.
Matematika Industri I
Ingkaran dari pernyataan
berkuantor
• Ingkaran dari suatu peryataan berkuantor dapat
dinyatakan dengan lambang logika berikut ini:
(x ) P ( x)  (x) P ( x )
(x ) P ( x)  (x) P ( x )
• Menyatakan bahwa “ Tidak semua manusia pandai “
sama dengan menyatakan bahwa : “ Ada manusia
yang tidak pandai “
Dengan P(x) adalah lambang untuk “x adalah pandai “
Demikian pula : Mengatakan bahwa “Tidak ada
manusia yang pandai “ Sama dengan mengatakan
bahwa : “ Semua manusia tidak pandai “
Dengan perkataan lain kedua peryataan tersebut adalah
ekuivalen
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•
•
Proposisi dan negasinya
Nilai kebenaran dari proposisi
Tautologi
Ekuivalen
Kontradiksi
Kuantor
Validitas pembuktian
Matematika Industri I
Validitas pembuktian
• Validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu
dan dengan bantuan tabel kebenaran
• Bentuk kebenaran yang digeluti matematikawan adalah
kebenaran relatif
– Benar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan
dengan sistem aksiomatik tertentu
– Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid
dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah
• Menentukan validitas argumen dengan tabel kebenaran
tidaklah selalu praktis.
– Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran
dasar dan bentuk kondisional
• Bentuk agumen yang paling sederhana dan klasik
– Modus ponens dan Modus tolens
Matematika Industri I
Modus Ponen
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Premis 1 : p  q
Premis 2 : p
Konklusi
:q
Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar,
dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang
menggunakan tanda  untuk menyatakan konklusi, seperti p
 q, p  q)
Contoh :
Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)
Premis 2 : Saya belajar (benar)
Konklusi
: Saya lulus ujian (benar)
Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi)
menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen
Matematika Industri I
Modus Tolen
Premis 1
:pq
Premis 2
:~q
Konklusi
:~p
Contoh :
Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai
jas hujan (benar)
• Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar)
• Konklusi : Hari tidak hujan (benar)
• Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi,
sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi.
•
•
•
•
•
Matematika Industri I
Silogisma
Premis 1
Premis 2
Konklusi
:pq
:qr
:pr
Contoh :
Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (B)
Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (B)
Konklusi : Jika kamu benar, saya minta maaf (B)
Matematika Industri I
Silogisma Disjungtif
Premis 1 : p  q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : p
Jika ada kemungkinan kedua pernyataan
p dan q dapat sekaligus bernilai benar,
maka argumen di bawah ini tidak valid
Premis 1 : p ∨ q
Premis 2 : q
Konklusi : ~ p
Tetapi jika ada kemungkinan kedua
pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai
benar
(disjungsi
eksklusif),
maka
sillogisma disjungtif di atas adalah valid.
Contoh :
1. Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya
atau membosankan (B)
Premis 2 : Pengalaman ini tidak
berbahaya (B)
Konklusi
:
Pengalaman
ini
membosankan (B)
2. Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B)
Premis 2 : Air ini panas (B)
Konklusi : Air ini tidak dingin (B)
3. Premis 1 : Obyeknya berwarna merah
atau sepatu
Premis 2 : Obyek ini berwarna merah
Konklusi : Obyeknya bukan sepatu
(tidak valid)
Matematika Industri I
Konjungsi
Premis 1 : p
Premis 2 : q
Konklusi : p  q
Artinya : p benar, q benar. Maka p  q
benar.
Matematika Industri I
Tambahan (Addition)
Premis 1 : p
Konklusi : p  q
Artinya : p benar, maka p  q benar
(tidak peduli nilai benar atau nilai salah
yang dimiliki q).
Matematika Industri I
Dilema Konstruktif
Premis 1
: (p  q)  (r  s)
Premis 2
:p r
Konklusi
:q s
Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua
argumen modus ponen (periksa argumen modus
ponen).
Contoh :
Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah;
tetapi jika pacar datang, aku pergi berbelanja.
Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang.
Konklusi : Aku akan tinggal di rumah atau pergi
berbelanja.
Matematika Industri I
Dilema Destruktif
Premis 1
: (p  q)  (r  s)
Premis 2
:~q~s
Konklusi
:~p~r
Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua
argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolen).
Contoh :
Premis 1 : Jika aku memberikan pengakuan, aku akan
digantung; dan jika aku tutup mulut, aku akan ditembak
mati
Premis 2 : Aku tidak akan ditembak mati atau digantung.
Konklusi : Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau
tidak akan tutup mulut
Matematika Industri I