BAB 3 PRINSIP INKLUSI – EKSKLUSI

BAB 3
PRINSIP INKLUSI – EKSKLUSI
1. Tentukan banyak bilangan bulat dari 1 sampai dengan 10.000 yang tidak habis
dibagi 4, 6, 7 atau 10.
Jawab:
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 10.000}
a1 = {sifat habis dibagi 4}
a2 = {sifat habis dibagi 6}
a3 = {sifat habis dibagi 7}
a4 = {sifat habis dibagi 10}
N(a1) = banyak anggota S yang habis dibagi 4
( )=
10.000
= 2.500
4
N(a2) = banyak anggota S yang habis dibagi 6
10.000
= 1.666
6
N(a3) = banyak anggota S yang habis dibagi 7
(
)=
(
)=
10.000
= 1.428
7
N(a4) = banyak anggota S yang habis dibagi 10
10.000
= 1.000
10
N(a1a2) = banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 6
(
(
)=
)=
10.000
= 416
24
N(a1a3) = banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 7
10.000
= 357
28
N(a1a4) = banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 10
(
)=
(
)=
10.000
= 250
40
N(a2a3) = banyak anggota S yang habis dibagi 6 dan 7
10.000
= 238
42
N(a2a4) = banyak anggota S yang habis dibagi 6 dan 10
(
)=
10.000
= 166
60
N(a3a4) = banyak anggota S yang habis dibagi 7 dan 10
(
)=
10.000
= 142
70
N(a1a2a3) = banyak anggota S yang habis dibagi 4, 6 dan 7
(
)=
(
)=
10.000
= 54
168
N(a1a2a4) = banyak anggota S yang habis dibagi 4, 6 dan 10
10.000
= 41
240
N(a2a3a4) = banyak anggota S yang habis dibagi 6, 7 dan 10
(
)=
10.000
= 23
420
N(a1a2a3a4) = banyak anggota S yang habis dibagi 4, 6, 7 dan 10
(
)=
(
(
=
)=
10.000
=5
1680
)
−
( )+
+
,
, ,
, , ,
= N – N (a1) – N (a2) – N (a3) – N (a4) + N (a1a2) + N (a1a3) + N (a1a4) + N
(a2a3) + N (a2a4) + N (a3a4) – N (a1a2a3) – N (a1a2a4) – N (a2a3a4) + N
(a1a2a3a4)
= 10000 – 2500 – 1666 – 1428 – 1000 + 416 + 357 + 250 + 238 + 166 + 142 –
54 – 41 – 23 + 5
= 4857.
Jadi, banyak bilangan bulat dari 1 sampai dengan 10.000 yang tidak habis
dibagi 4, 6, 7, dan 10 adalah 4857.
2. Tentukan banyak bilangan bulat dari 1 sampai dengan 1.000.000 yang tidak
habis dibagi bilangan kuadrat sempurna kurang dari 20 (<20) atau bilangan
cacah pangkat 3 kurang dari 30 (<30).
Jawab
Missal: S = {1,2,3, … 1000.000}
= sifat habis dibagi 4
= sifat habis dibagi 9
= sifat habis dibagi 16
= sifat habis dibagi 8
= sifat habis dibagi 27
= ISI =1000000
( ) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4 = (1000000/4) =250000
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 9 = (1000000/9) =111111
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 16 = (1000000/16) = 62500
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 8 = (1000000/8) =125000
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 27 = (1000000/27) =37037
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 9 = (1000000/36)
= 27777
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 16
= (1000000/64) = 15625
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 8
= (1000000/32) = 31250
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4 dan 27
= (1000000/108) = 9259
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 9 dan 16
= (1000000/144) = 6944
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 9 dan 8
= (1000000/72) = 13888
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 9 dan 27
= (1000000/243) = 4115
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 16 dan 8
= (1000000/128) = 7812
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 16 dan 27
= (1000000/432) = 2314
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 8 dan 27
= (1000000/216) = 4629
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4, 9 dan 16
= (1000000/576) = 1736
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4, 9 dan 8
= (1000000/288) = 3472
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4, 9 dan 27
= (1000000/972) = 1028
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 9, 16 dan 8
= (1000000/1152) = 868
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 9, 16 dan 27
= (1000000/3888) = 257
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 16, 8 dan 27
= (1000000/3456) = 289
(
) = Banyak anggota S yang habis dibagi 4, 9, 16 dan 8
= (1000000/4608) = 217
(
,
) = (1000000/124416) = 8
3. Tentukan banyaknya permutasi dari {1, 2, 3, 4, 5, 6} hingga pola-pola “124”
dan “35” tidak muncul
Jawab
S = himpunan p. Semua permutasi dari {1,2,3,4,5,6}
= pola “124”muncul
= pola “35”muncul
= ISI = 6!
( ) = banyak permutasi di S ⇒ pola 124 muncul
= banyaknya permutasi dari {1,2,3,4,5,6}
= 4! (atau: ((6-3+1)!=4!)
(
) = banyak permutasi di S ⇒ pola 35 muncul
= banyaknya permutasi dari {1,2,3,4,5,6}
= 5! (atau: ((6-2+1)!=5!)
(
)
= banyak permutasi di S ⇒ pola 124 dan 35 muncul
= banyaknya permutasi dari {1,2,3,4,5,6} = 3!
( ′
′) = banyak permutasi di S ⇒ pola 124 dan 35 tidak muncul
=
−
( )−
(
)+
(
)
= 6! - 4! - 5! + 3! = 720 – 24 – 120 + 6 =582
4 Sebuah kata sandi dengan panjang 9 dibentuk dari angka-angka 0,1 dan 2
sedemikian hingga tiap angka muncul tiga kali dan tiga angka berurutan dalam
kata sandi tersebut tidak boleh sama.Ada berapa kata sandi yang dapat
dibentuk?
Jawab:
Misal: S :{permutasi sebuah kata sandi dengan panjang 9 dari angka-angka 0,1
dan 2 tiap angka muncul 3x dan tiga angka muncul tidak boleh sama}
:{“0”,”0”,”0”,”1”,”1’,”1’,”2,”,”2”,”2”}
a1 : sifat”kode” “0” muncul 3x = muncul pola “000”
a2 : sifat kode”1” muncul 3x = muncul pola “111”
a3 : sifat kode”2” muncul 3x = muncul pola “222”
Ditanya :
N(
)=banyaknya kata sandi yang dapat dibentuk dengan panjang 9,
dimana tiga angka berurutan tidak boleh sama.
N =│S│=
!
! ! !
= 1680
N = (a1) = Banyaknya anggota S yang punya sifat muncul kode “000” dari
{0,0,0,1,1,1,2,2,2} atau = {“000”1,1,1,2,2,2} =
!
! !
= 140
N =(a2) =Banyaknya anggota S yang punya sejenis muncul kode “111” dari
{0,0,0,1,1,1,2,2,2} =
!
! !
= 140
N = (a3) =140
N
=
(a1a2)
=Banyaknya
anggota
!
“000”dan”111”dari {0,0,0,1,1,1,2,2,2} =
!
yang
punya
sifat
muncul
kode
= 20
N =(a1a3) = N(a2a3)=20
N = (a1a2a3) = Banyaknya anggota S yang punya sifat muncul kode
“000”,”111”,”222”, dari {0,0,0,1,1,1,2,2,2} = 3! =6
) =N 
N(
 N a    a a    a a a 
i
i
i
j
i , jberbeda
i
i , j , kberbeda
j
k
= 1680 – 3(140) + 3(20) – 6 = 1314 cara
5. Delapan kecelakaan terjadi dalam satu minggu dengan prinsip inklusi dan
eksklusi, hitung probabilitas bahwa terdapat paling sedikit satu kecelakaan tiap
hari.
Jawab :
7
7
7
7
7
7
7
Banyak kecelakaan
1
2
3
4
5
6
7
Hari
sen
sel
rab
kam
jum
sab
ming
Mis : S : {semua kejadian kecelakaan yang mungkin terjadi }
a1
: sifat bahwa hari kNe-i tidak terjadi kecelakaan dengan i = { sen sel rab
kam jum sab ming}
N = 5  7 8
8
 
N = a i:  7  1 ,I E {1,2,........7}
N = aiaj   7  2 8
i j
N = aiajak   7  38 ,
i,j,k berbeda
N = aia 2......... a7   7  7 8  0


N = aia 12 ........a71  N   N ai  
i
 N a a   ..........   17 N a a .........a7 
i
i , jberbeda
j
i
2
= 78  17 7  18  27 7  2 8  37 7  38



 47 7  4  57 7  5  7  6   77 7  7 
8
8
8
8

= 5764801-7. 6 8  21.58  35.4 8  35.38  21.2 8  7.18  0
= 5764801 - 11.757.312 + 8203125 - 229376 + 7-0
= 141120
Jadi banyaknya semua peristiwa yang mungkin di mana ada 7 hari terjadi
kecelakaan yaitu 141120
Dengan demikian, peluang peristiwa dimana tiap hari terjadi kecelakaan :


N a11a12 .......... .a71
141120
=
= 0,024479596 = 0,02
N
78
P
6. Untuk suatu bilangan cacah n, banyaknya solusi bulat dari persamaan X1 + X2
 n  k  1
+X3+…+ Xk = n, X ≥ 0  i  1,2,3,...k  adalah 
 gunakan PIE untuk
n

menentukan banyaknya solusi bulat dari banyaknya solusi bulat dari setiap
persamaan berikut.
+ x2 + x3 = 16,
0  X i  7,  i  1, 2,3
b) x1 + x2 + x3 = 14,
1  X i  7,  i  1, 2,3
c)
1  X 1  6, 0  X 2  7
a)
x1
x1 +
x2 + x3 = 20,
4  X3  8,2  X4  6
d) x1 + x2 + x3 + x4 = 28, i  X i  5 i ,  i  1,2,3, 4
Jawab
a)
x1
+ x2 + x3 = 16, 0  X i  7 ,  i  1, 2,3 . Misalkan S himpunan semua solusi
bulat dari persamaan X1 + X2 + X3 = 16, 0  X i  7 ,  i  1, 2,3 untuk setiap
i  1,2,3 missal a i menyatakan sifat X i  6 .
16  3  1 18 
   
N= S  
 16  16 
N a1  = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a i
= banyaknya solusi bulat x1 + x2 + x3 =16, x1  8 , x 2  0 , x 3  0 .
= banyaknya solusi bulat x1 – 8 + x2 + x3 = 8, x1  8  0 , x 2  0 , x 3  0
= banyaknya solusi bulat x 11 + x2 + x3 = 8, x1  8  0 , x 2  0 , x 3  0
 8  3  1 10 
= 
 =  
8
 8 
N a 2  = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a i
= banyaknya solusi bulat x1 + x2 + x3 =16, x1  0 , x 2  8 ., x 3  0 .
= banyaknya solusi bulat x1 + x2 - 8 + x3 = 8, x1  0 , x 2  8  0 , x3  0
= banyaknya solusi bulat x1 + x 12 - 8 + x3 = 8, x1  0 , x 2  0 , x 3  0
 8  3  1 10 
= 
 =  
8

 8 
10 
Dengan cara yang sama diperoleh N a3  =  
8 
N a1 a 2  = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a1 dan a 2
= banyaknya solusi bulat x1 + x2 + x3 =16, X 11  8 , X 2  8 ., X 3  0 .
= banyaknya solusi bulat x11 – 8 + x2 – 8 + x3 = 0, x1  8  0 , x2  8  0 ,
x3  8
= banyaknya solusi bulat x11 + x12 + x3 = 0, x11  8  0 , x12  8  0 ,
x3  0
 0  3  1
2
= 
 =   = 1
0

1 
2
Dengan cara yang sama diperoleh N a1 a3  = N a1 a 2  =   = 1
1 
N a1 a 2 q 3  = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a1 , a 2 dan a3
= tak mungkin
=0


N a11a12 a13 = N -
 a  +  a a  +  a a a 
i
i
i
j
ij
i
j
k
ijk
18  10 
=   - 3   + 3
16   8 
b) X1 + X2 + X3 = 14, 1  X i  7 ,  i  1, 2,3
Missal :
X1 + X2 + X3 = 14 - 1, 0  X i  6 ,  i  1, 2,3
X1 + X2 + X3 = 13 , 0  X i  6 ,  i  1, 2,3
S=

semua solusi bulat dari persamaan X1 + X2 + X3 =13, X 1  0 , X 2  0 .,
X3  0

a1 = sifat X1 ≥ 7
a 2 = sifat X2 ≥ 7
a3 = sifat X2 ≥ 7
Maka didapat
13  3  1 15 
   
N = S  
 13
 13 
N a1  = banyaknya anggota S yang mempunyai sifat a1
= banyaknya solusi bulat dari persamaan X1 + X2 + X3 =13, dengan
X 1  7 , X 2  0 ., X 3  0 .
= banyaknya solusi bulat dari persamaan X1 - 7 + X2 + X3 = 6,
X1  7  0 , X 2  0 , X3  0
= banyaknya solusi bulat dari persamaan X 11 + X2 + X3 = 6, X 11  0 ,
X 2  0, X3  0
 6  3  1
8 
= 
 =   = 28
6

 6
N(a1a2) = banyaknya solusi bulat dari persamaan x1+x2+x3=13, x1≥7, x2≥7, x3≥0
= banyaknya solusi bulat dari
-7+x2-7+x3=-1, x1-7≥0, x2-7≥0, x3≥0
= banyaknya solusi bulat dari persamaan x1+x2+x3 =-1, x1≥0, x2≥0, x3≥0
=0
Dengan cara yang sama diperoleh
N(a1a3)= N(a2a3) = 0
N(a1a2a3) = banyaknya solusi bulat dari persamaan x1+x2+x3=13, x1≥7, x2≥7, x3≥7
=0
N(
′
′
′
) = N-∑
( ) +∑ ,
−∑ ,
(
,
)
= 105-84
= 21
Jadi banyaknya solusi bulat dari persamaan x1+x2 +x3=14, 1≤ x2 ≤ 7, i {1,2,3}
adalah 21.
c) x1 + x2 + x3 + x4 = 20, 1 ≤ x1 ≤ 6, 0 ≤ x2 ≤ 7, 4 ≤ x3 ≤ 8, 2 ≤ x4 ≤ 6
Maka,
x 1 + x2 + x3 + x4 = 20 – 1 – 4 – 2; 0 ≤ x1 ≤ 5, 0 ≤ x2 ≤ 7, 0 ≤ x3 ≤ 4, 0 ≤ x4 ≤ 4
Misal S{semua solusi bulat dari x1 + x2 + x3 + x4 = 13 dengan 0 ≤ x1 ≤ 5,
0 ≤ x2 ≤ 7, 0 ≤ x3 ≤ 4, 0 ≤ x4 ≤ 4}
a1 = sifat x1 ≥ 6 , a3 = sifat x3 ≥ 5
a2 = sifat x2 ≥ 8 , a4 = sifat x4 ≥ 5
13 + 4 − 1
16
N=| |=
=
= 560
13
13
N(a1) = banyaknya solusi bulat x1 + x2 + x3 = x4 = 13 dengan x1 ≥ 6, x2 ≥ 0,
x3 ≥ 0, x4 ≥ 0
= banyak solusi bulat x1 – 6 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0
7+4−1
10
=
= 120
7
7
N(a2) = banyaknya solusi bulat +
=
≥ 0,
≥ 8,
≥ 0,
= banyaknya solusi bulat
≥ 0,
− 8 ≥ 0,
+
+
= 13;
≥0
+
−8+
≥ 0,
≥0
+
= 5;
+
= banyaknya solusi bulat
≥ 0,
=
N(
≥ 0,
≥ 0,
) = banyaknya solusi bulat
≥ 0,
= 5;
≥0
≥ 0,
≥ 0,
≥ 0,
+
+
= 13;
≥0
+
≥ 0,
= banyaknya solusi bulat
≥ 0,
+
≥ 5,
= banyaknya solusi bulat
−8+
−5 +
= 8;
≥0
+
≥ 0,
+
+
= 5;
+
= 13;
≥0
8+4−1
11
=
= 165
8
8
=
) = banyaknya solusi bulat
≥ 0,
≥ 0,
+
≥ 0,
+
≥5
8+4−1
11
=
= 165
8
8
=
N(
+
8
5+4−1
=
≤ 56
5
5
≥ 0,
N(
+
+
) = banyaknya solusi bulat
≥ 6,
≥ 8,
+
≥ 0,
−6+
= banyaknya solusi bulat
− 6 ≥ 0,
+
= 13
≥0
−8+
− 8 ≥ 0,
+
≥ 0,
= −1,
≥0
= 0 (tidak mungkin)
N(
) = banyaknya solusi bulat
≥ 6,
+
≥ 0,
≥ 0,
=
≥ 0,
≥ 0,
2+4−1
5
=
= 10
2
2
+
+
≥0
= 13
≥0
+
− 5 ≥ 0,
= banyaknya solusi bulat
≥ 0,
+
≥ 5,
−6+
= banyaknya solusi bulat
− 6 ≥ 0,
+
−5 +
≥0
+
=2;
=2;
N(
) = banyaknya solusi bulat
≥ 6,
=
N(
+
≥ 0,
+
+
≥ 0,
= 13
≥5
2+4−1
5
=
= 10
2
2
) = banyaknya solusi bulat
≥ 0,
+
≥ 8,
N(
N(
) = banyaknya solusi bulat
= 13
≥0
−8+
− 8 ≥ 0,
0+4−1
=1
0
) = N(
) =1
+
≥ 5,
+
= banyaknya solusi bulat
≥ 0,
+
−5 +
=0
− 5 ≥ 0,
≥0
=
≥ 0,
+
≥ 0,
=
(
+
≥ 5,
+
= banyaknya solusi bulat
≥ 0,
+
≥ 0,
= 13
≥5
+
−5 +
− 5 ≥ 0,
−5=3
−5≥0
3+4−1
6
=
= 20
3
3
) = banyaknya solusi bulat
≥ 6,
+
≥ 8,
+
+
≥ 5,
= 13
≥0
= 0
(
) = banyaknya solusi bulat
≥ 6,
+
≥ 8,
+
+
≥ 0,
= 13
≥5
= 0
(
) = banyaknya solusi bulat
≥ 6,
+
≥ 0,
+
+
≥ 5,
= 13
≥5
= 0
(
) = banyaknya solusi bulat
≥ 0,
+
≥ 8,
+
+
≥ 5,
= 13
≥5
= 0
(
) = banyaknya solusi bulat
≥ 6,
= 0
≥ 8,
+
+
≥ 5,
+
= 13
≥5
Jadi, N(
) =
− ( )− (
1+ (
(
)− (
)+ (
)+ (
(
)− (
)+
(
)− (
)− (
)+
)+
(
)− (
)− (
)+
)−
)
= 560 – 120 – 56 – 165 – 165 + 0 + 10 + 10 + 1 + 1 + 20 – 0
–0–0–0
= 96
d)
+
+
+
= 28, ≤
≤ 5 , ∀ {1,2,3,4}
Misal
+
+
+
= 28 − 1 − 2 − 3 − 4, 0 ≤
≤4
+
+
+
= 18, 0 ≤
≤ 4, 0 ≤
≤ 8,
0≤
≤ 12, 0 ≤
≤ 16
Misalkan
S = {semua solusi bulat dari X + X + X + X = 18 }
a = Sifat X ≥ 5
a = Sifat X ≥ 4
a = Sifat X ≥ 13
a = Sifat X ≥ 17
N = |s| =
=
= 1330
N(a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18
dengan x ≥ 5, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0
= banyak nya solusi bulat dari x − 5 + x + x + x = 13
dengan x − 5, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0
=
=
= 560
N(a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18
dengan X ≥ 0, X ≥ 9, X ≥ 0, X ≥ 0
=
=
= 220
N(a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18
dengan x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 13, x ≥ 0
=
=
= 56
N(a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18
dengan x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 17
–
=
=
=4
N(a a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18
dengan X ≥ 5, X ≥ 4, X ≥ 0, X ≥ 0
–
=
=
= 35
N(a a ) = banyak nya solusi bulat dari x + x + x + x = 18
dengan X ≥ 5, X ≥ 0, X ≥ 13, X ≥ 0
–
=
=
=1
N(a a ) = N(a a ) = N(a a ) = (a a ) = 0
N(a a a ) = N(a a a ) = N(a a a ) = (a a a ) = 0
N(a a a a ) = 0
N(a a a a ) = N − N(a ) − N(a ) − N(a ) − N(a ) +
N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) + N(a a ) − 0
= 1330 − 560 − 220 − 56 − 4 + 35 + 1 + 0
= 526
8. Terdapat 10 orang pilot dan 5 pesawat terbang di bandara A. Kesepuluh pilot
tersebut di tugasi oleh atasannya untuk menerbangkan ke-5 pesawat tersebut
bersama-sama ke bandara udara B. Ada berapa cara yang mungkin untuk
mengelompokkan pilot-pilot tersebut ke dalam pesawat.
Jawab :
Misalkan :
= {semua kejadian yang mungkin}
= kejadian bahwa pesawat ke- kosong
= sifat bahwa kejadian
muncul, ∈ {1, 2, ⋯ , 10}
= sifat pesawat ke- tidak mempunyai pilot, ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
( ) = banyaknya cara mengelompokkan 10 pilot ke dalam pesawat 7 pesawat
kosong = (5 − 1)
ke-
=4
Kita peroleh :
=| |=5
( ) = ( − 1)
=4
= ( − 2)
=3
= ( − 3)
=2
⋮
(
) = ( − 5)
⋯
′
′
⋯+ (
⋯
′
=0
− ∑
=
( )+ ∑
− ∑
+
)
⋯
5
=
5 (
5 − 4)
4
5 (
5 (
5 − 1) +
5 − 2)
1
2
5 (
−
5 − 5) + 0
5
−
−
5 (
5 − 3)
3
Banyak cara yang dimaksud adalah :
5
−5∙4
+ 10 ∙ 3
− 10 ∙ 2
+ 5 − 1 = 5103000
9. Tentukan banyaknya permutasi dari {1, 2, ⋯ , 10} sehingga :
a. tidak ada bilangan ganjil menempati tempatnya semula
b. terdapat tepat 3 bilangan menempati tempatnya semula
c. terdapat tepat 6 bilangan menempati tempatnya semula
Jawab :
a.
= {semua permutasi dari {1, 2, ⋯ , 10}}
= sifat bahwa unsur “1” menempati tempatnya semula
= sifat bahwa unsur “3” menempati tempatnya semula
= sifat bahwa unsur “5” menempati tempatnya semula
= sifat bahwa unsur “7” menempati tempatnya semula
= sifat bahwa unsur “9” menempati tempatnya semula
Karena terdapat 10 bilangan maka
= | | = 10!
+
( ) = banyaknya permutasi yang memenuhi sifat
= (10 − 1)! = 9!
(
) = 9!
(
) = 9!
(
) = 9!
(
) = 9!
(
) = banyaknya permutasi yang memenuhi sifat
dan
= (10 − 2)!
= 8!
(
) = 8!
(
) = 8!
(
) = 8!
(
(
(
) = 8!
(
) = 8!
(
(
) = 8!
) = 8!
) = 8!
(
) = banyaknya permutasi yang memenuhi sifat
) = 8!
,
dan
= (10 − 3)!
= 7!
(
) = 7!
(
) = 7!
(
) = 7!
(
) = 7!
(
) = 7!
(
) = 7!
(
) = 7!
(
) = 7!
(
) = 7!
(
(
) = 6!
(
) = 6!
(
) = 6!
(
) = 6!
(
) = (10 − 4) = 6!
) = 5!
′
P = N(
= N-∑
∑,
, ,
P = 10! -
′
′
′
)
( i)+ ∑
(
9! +
)–∑,
(
) - N(
8! -
7! +
(
,
)+
)
6! -
5!
Banyaknya permutasi dari {1,2, … ,10} Ǝ tidak ada bilangan ganjil menempati
tempatnya semula adalah P
b.
Misalkan S ={semua permutasi {1,2, … ,10} }
= menyatakan sifat dimana
bilangan ke-i muncul, 1 ≤ i ≤ 10
N = | S | = 10!
N( )
= banyaknya permutasi yang mungkin dimana bilangan ke-i muncul.
= banyaknya permutasi (n-1) elemen
= (n-1)!
) = banyaknya permutasi yang mungkin dimana bilangan ke-i dan ke-j
N(
muncul
= (n-2)!
Secara umum diperoleh :
N( ,
,…,
) = (n-1)!
Karena ada
cara memilih k sifat dari ketiga n sifat yang ada, maka :
= ∑ N( ,
,…,
)=
(n-k)!
Dari T.3.1 (r = 10, m = 3),maka diperoleh :
=
-
+
-
+
(10 − 3)! -
=
6)! +
-
+
(10 − 4)! +
(10 − 7)! -
(10 − 5)! -
(10 − 8)! +
(10 −
(10 − 9)! -
(10 − 10)!
= 222480
... banyaknya permutasi dari {1,2,...,10} Ǝ tepat 3 bilangan menempati
tempatnya semula = 222480 cara
c. seperti jawaban b, akan tetapi untuk tepat 6 bilangan menempati tempat semula.
Berarti r = 10, m = 6
=
-
+
-
(10 − 6)! -
=
9)! +
=
=
+
4! !
!
!
-
(10 − 8)! -
(10 − 10)!
!
!
(10 − 7)! +
!
! !
!
!
! ! !
+
!
! !
3! +
!
-
!
! !
!
!
! ! !
+
!
! !
2! !
!
! ! !
!
1! +
!
!
! !
1!
(10 −
=
!
!
[1−
!
+
!
−
!
+
!
]
10. Hitunglah banyaknya permutasi dari { 1, 2, 3, .........., n } sedemikian hingga
terdapat tepat k bilangan menempati tempatnya semula.
Jawab :
Dari teorema 33A
Ek =
SK+P , dengan SK+P ∑ (
(−1)
...........
)
Mij = S = { Semua permutasi dari {1,2,3,......, n}}
Ai = sifat dimana bilangan ke-1 menempati tempatnya semula.
i  {1,2,3,......, n}
Karena terdapat n bilangan maka N = |S| = n! Selanjutnya diperoleh.
N(ai) = banyak bilangan mungkin dimana bilangan ke-1 menempati
tempatnya semula i  {1,2,3,......, n} = banyaknya permutasi (n-1) elemen =
(n-1)!
∑ ( ) =
(n-1)!
N(ai aj) = banyaknya bilangan yang mungkin dimana bilangan ke-i dan
ke-j menempatkan tempatnya semula = banyaknya permutasi (n-2) elemen =
(n-2)!
Secara umum diperoleh :
N(ai1, ai2......., aik) = (n - k)!
Karena ada
cara memilih k sifat dan n sifat yang ada, maka :
Sk = ∑ N(a , a . . . . . . . , a )
=
(n - k)!
N (ai aj) = banyaknya permutasi di S7 bilangan i dan j menempati tempat
semula i{1,2,3,......, n} = (n - 2)!
∑ (
2)
=
(n - 2)!
N(ai1, ai2......., aik) =
banyaknya permutasi di S7 bilangan i1 , i2......ik
menempati tempat semula = (n - k)!
∑ N(a , a . . . . . . . , a ) =
(n - k)!
Secara analogi diperoleh
∑ N(a , a . . . . . . . , a
) = n – (k + p)! = (n- k – p)!
∑ N(a , a . . . . … , a
)=n
Sk+p =
(n - k - p)!
(n - k - p)!
Jadi :
Ek =
=
Ek = ∑
(−1)
(−1)
(
)
! !
(n - k - p)!
(
)!
! ! (
!
=
!
!
∑
)! (
)!
(
)
!
(n - k - p)!