matriks dan vektor-7-determinan ordo 2x2 minor kofaktor adjoint

DETERMINAN
Definisi Determinan :
Determinan merupakan suatu bilangan real
yang diperoleh dari Hasil Perkalian Elementer
dari suatu matriks bujur sangkar, dimana
setiap hasil perkalian n entri dari suatu
matriks tidak boleh berasal dari baris dan
kolom yg sama. Nilai dari bilangan ini akan
menunjukkan apakah matriks yang
bersangkutan singular atau tak singular.
FUNGSI dan NOTASI
 Fungsi determinan di A, disebut atau ditulis det A
adalah jumlah semua perkalian elementer dari A.
 Notasi | simbol lainnya yang banyak dipakai
untuk menyatakan determinan dari A, selain det
A adalah A.
 Contoh :
 a11
a
 21
a31
a12
a22
a32
a13 
a23 
a33 
DETERMINAN ORDO 2X2
a
Jika A = 
c
b

d
maka determinan matriks A
adalah = ad – bc
Hafidh munawir
d -c b
4
Jika
ad – bc = 0
berarti
matriks tsb tidak mempunyai invers.
Sebuah matriks yang tidak
mempunyai invers disebut
matriks singular
11 Juni 2013
5
PERMUTASI
 Merupakan suatu himpunan bilangan bulat {1,2,…,n}
yang disusun dalam suatu urutan tanpa penghilangan
atau pengulangan.
 Contoh :
 {1,2,3} ada 6 permutasi / susunan yang berbeda karena
tempat pertama dapat diisi oleh 3 bilangan yaitu 1,2,3.
Kemudian tempat kedua dapat diisi 2 bilangan dan
tempat ketiga dapat diisi dengan 1 bilangan. Sehingga
jumlah permutasi ada 3.2.1= 6 permutasi. Bagaimana
dengan {1,2,3,4} berapa jumlah permutasinya?
 Sebuah inversi dapat terjadi dalam sebuah
permutasi (j1,j2,..,jk) bila sebuah bilangan bulat
yang lebih besar mendahului sebuah bilangan
bulat yang lebih kecil.
 Jumlah inversi dapat dicari :
pertama: cari banyak bilangan bulat yang < j1 dan
yang mengikuti j1 didalam permutasi tersebut.
Kedua : carilah banyaknya bilangan bulat yang <
j2 dan yang mengikuti j2 didalam permutasi
tersebut.
teruskan untuk Jk yang ada.
 Jumlah invers = jumlah bilangan - bilangan
Contoh :
 (6,1,3,4,5,2)
Banyak invers = 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8 disebut
permutasi genap
 (1,2,3,4)
Banyak invers = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 tidak ada
invers, dikatakan permutasi genap
 (2,4,1,3)
Benyak invers = 1+2+0 =3, dikatakan permutasi
ganjil
Berapa invers dari {1,2,3} klasifikasikan
permutasinya?
Hasil Perkalian elementer bertanda
 Jika permutasi genap maka gunakan tanda (+)
 Jika permutasi ganjil maka gunakan tanda (-)
Hasil Perkalian
elementer
Permutasi yg
diasosiasikan
Genap
atau Ganjil
Hasil perkalian
elementer yg bertanda
a11a22a33
(1,2,3)
Genap
+ a11a22a33
a11a23a32
(1,3,2)
Ganjil
- a11a23a32
a12a21a33
(2,1,3)
Ganjil
- a12a21a33
a12a23a31
(2,3,1)
Genap
+ a12a23a31
a13a21a32
(3,1,2)
Genap
+ a13a21a32
a13a22a31
(3,2,1)
Ganjil
- a13a22a31
Minor dan Kofaktor
Definisi:
jika A adalah matriks bujursangkar, maka minor
anggota aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan
sebagai determinan sub matriks yang masih
tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j
dihilangkan dari A, kemudian Cij=(-1)I+jMij yang
disebut kofaktor anggota aij dengan Mij adalah
minor.
Carilah Minor dan Kofaktor dari
matriks A!
1
 1 2 3
 5 9 6

3

A
  1 2  6  2


8
6
1
2
Adjoin suatu Matriks
 Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij adalah
kofaktor dari aij maka matriks
C11 C12 .. C1n 
C

C
..
C
21
22
2n 

 :
:
:
: 


Cn1 Cn 2 .. Cnn 
Disebut matriks kofaktor dari A.
 Transpose dari matriks ini disebut Adjoin A dan
dinyatakan dengan Adj(A)
Contoh :
3 2 1


3
A  1 6
2  4 0 
Kofaktor dari A adalah
C11=12
C12=6
C13=-16
C21=4
C22=2
C23=16
C31=12
C32=-10
C33=16
Membentuk matriks kofaktornya adalah
 16
12 6
4

2
16


12  10 16 
.
 12 4 12 


Adj ( A)   6
2  10
 16 16 16 