Probabilitas - Simponi MDP

PROBABILITAS
Kata Probabilitas sering dipertukarkan
dengan istilah lain seperti peluang dan
kemungkinan.
Secara umum probabilitas
merupakan peluang bahwa sesuatu
akan terjadi.
Probabilitas dinyatakan dengan
bilangan desimal atau pecahan
Contoh :
0,50, 0,25, 0,75
5 25 70
,
,
10 100 100
Nilai probabilitas berkisar
antara 0 dan 1
Semakin dekat nilai
probabilitas ke nilai 0,
semakin kecil kemungkinan
suatu kejadian akan terjadi
Sebaliknya semakin dekat nilai
probabilitas ke nilai 1 semakin
besar peluang suatu kejadian akan
terjadi.
Pendekatan Perhitungan Probabilitas
Bersifat
Obyektif
Bersifat
Subyektif
Pendekatan Klasik
Pendekatan
Frekuensi Relatif
Didasarkan pada asumsi bahwa
seluruh hasil dari suatu eksperimen
mempunyai kemungkinan (peluang)
yang sama
Pendekatan yang mutakhir ialah
perhitungan yang didasarkan atas limit
dari frekuensi relatif, besarnya nilai
yang diambil oleh suatu variabel juga
merupakan kejadian.
Probabilitas suatu kejadian merupakan
limit dari frekuensi relatif kejadian
tersebut.
Probabilitas Subyektif didasarkan
atas penilaian seseorang dalam
menyatakan tingkat kepercayaan.
Jika tidak ada pengamatan masa lalu
sebagai dasar, maka pernyataan
probabilitas tersebut bersifat
subyektif.
A. HIMPUNAN
1.Pengertian Himpunan.
• Himpunan adalah kumpulan objek
yang didefinisikan dengan jelas
dan dapat dibeda-bedakan.
• Setiap objek yang secara kolektif
membentuk himpunan, disebut
elemen atau unsur atau anggota
himpunan.
2.Penulisan Himpunan
• Dalam Statistik, himpunan dikenal
sebagai populasi.
• Himpunan dilambangkan dengan
pasangan kurung kurawal { }, dan
dinyatakan dengan huruf besar: A,
B,...
• Anggota himpunan ditulis dengan
lambang , bukan anggota himpunan
dengan lambang .
Himpunan dapat ditulis
dengan 2 cara :
• Cara Pendaftaran.
Unsur himpunan ditulis satu
persatu/didaftar
Contoh : A={a,i,u,e,o}, B={1,2,3,4,5}
• Cara Pencirian.
Unsur himpunan ditulis dengan
menyebutkan sifat-sifat / ciri-ciri
himpunan tsb.
Contoh :
A={ X : x huruf hidup }
B={ X : 1  x  5 }
3. Macam-macam Himpunan
a.Himpunan Semesta
• Himpunan yang memuat seluruh
objek yang dibicarakan atau
menjadi objek pembicaraan.
• Dilambangkan S atau U.
• Contoh : S=U={a,b,c,…..}
S=U={ X : x bilangan asli}
b.Himpunan Kosong.
• Himpunan yang tidak memiliki anggota.
• Dilambangkan { } atau .
c.Himpunan Bagian.
• Himpunan yang menjadi bagian dari
himpunan lain.
• Dilambangkan .
• Dalam statistik himpunan bagian
merupakan sampel.
Contoh :
• Himpunan A merupakan himpunan bagian
B, jika setiap unsur A merupakan unsur B,
atau A termuat dalam B, atau B memuat A.
• Dilambangkan : A  B.
• Banyaknya himpunan bagian dari sebuah n
unsur adalah 2n
d. Himpunan Komplemen.
• Himpunan komplemen adalah himpunan
semua unsur yang tidak termasuk dalam
himpunan yang diberikan.
• Jika himpunannya A maka himpunan
komplemennya dilambangkan A’ atau A
4. Operasi Himpunan.
a.Operasi Gabungan (Union).
• Gabungan himpunan A dan
himpunan B adalah semua unsur
yang termasuk di dalam A atau di
dalam B.
• Gabungan dari himpunan A dan
himpunan B dilambangkan A  B.
• A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }
b. Operasi Irisan (interseksi)
• Irisan dari himpunan A dan B adalah
himpunan semua unsur yang
termasuk di dalam A dan di dalam B.
• Irisan dari himpunan A dan himpunan
B dilambangkan A  B.
c. Operasi Selisih
• Selisih himpunan A dan B adalah
semua unsur A yang tidak
termasuk di dalam B.
• Selisih himpunan A dan
himpunan B dilambangkan A – B
atau A  B’
B. PERMUTASI & KOMBINASI
•
Permutasi dan kombinasi selalu
berkaitan dengan prinsip dasar
membilang dan faktorial.
a. Prinsip dasar membilang
n1 x n2 x....x nk cara
Contoh :
Seorang pengusaha ingin dari
Jakarta ke Makasar melalui
Surabaya. Jika Jakarta-Surabaya
dapat dilalui dengan tiga maskapai
penerbangan dan SurabayaMakasar dapat dilalui dengan 2
maskapai penerbangan, ada berapa
cara pengusaha tersebut dapat tiba
di Makasar ?
b. Faktorial
• Faktorial adalah perkalian semua
bilangan bulat positif (bilangan asli)
terurut mulai dari bilangan 1 sampai
dengan bilangan bersangkutan.
• Faktorial dilambangkan “ ! “
• Jika : n = 1, 2, … maka :
n! = n (n-1) (n-2)…x 2 x 1
= n (n-1)!
1. Permutasi
a.Pengertian Permutasi
Suatu penyusunan atau pengaturan
beberapa objek ke dalam suatu urutan
tertentu.
Contoh :
3 Objek ABC, pengaturan objek tersebut adalah
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA yang disebut
permutasi. Jadi permutasi 3 objek
menghasilkan 6 pengaturan dengan cara yang
berbeda.
b. Rumus-rumus Permutasi
1.Permutasi dari n objek tanpa
pengembalian.
a. Permutasi dari n objek
seluruhnya.
nPn = n !
Contoh: Tentukan nilai dari 4P4 !
Jawab : 4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1
= 24
b. Permutasi sebanyak r dari n objek.
n!
n Pr 
( n  r )!
(nr )
Contoh :
• Dari empat calon pimpinan sebuah
perusahaan, misalkan A, B, C, D
hendak dipilih menjadi ketua,
sekretaris, bendahara.
a. Berapa cara keempat calon
tersebut
dipilih ?
b. Tuliskan kemungkinan
susunannya !
2. Permutasi dari n objek
dengan pengembalian.
• Permutasi dari n objek dengan
pengembalian dirumuskan :
n
Pr  n
r
Contoh : Tentukan permutasi dari ABC
sebanyak 2 unsur dengan
pengembalian unsur yang terpilih.
3. Permutasi dari n objek yang sama.
• Permutasi dari n objek yang sama
dirumuskan :
n!
nPn1 , n2 , n3 ,... 
n1!.n2 !.n3 !...
Contoh : Tentukan permutasi dari kata
“TAMAT”
2. KOMBINASI
• Kombinasi adalah suatu
penyusunan beberapa
objek tanpa
memperhatikan urutan
objek tersebut .
Rumus-rumus Kombinasi :
a. Kombinasi r dari n objek yang
berbeda.
n!
C 
r!(n  r)!
n
r
Dimana : n  r
Contoh : Dari 5 pemain bulu tangkis, akan
dipilih 2 orang untuk pemain ganda. Berapa
banyak kombinasi pemain ganda yang
mungkin terbentuk ?
2. Hubungan permutasi dengan
kombinasi.
• Hubungan permutasi dan
kombinasi dinyatakan sebagai
berikut :
n
r
P
P  r!C atau C 
r!
n
r
n
r
n
r
C. PROBABILITAS
1.Pengertian Probabilitas.
Pengertian probabilitas dapat
dilihat dari tiga macam pendekatan,
yaitu :
 Pendekatan Klasik.
 Frekuensi relatif.
 Subyektif.
Pendekatan Klasik
Probabilitas diartikan sebagai
hasil bagi dari banyaknya
peristiwa yang dimaksud
dengan seluruh peristiwa
yang mungkin.
Menurut pendekatan klasik,
Probabilitas dirumuskan :
X
P(A) 
n
Keterangan :
P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A
X
= peristiwa yang dimaksud
n
= banyaknya peristiwa yang mungkin
Pendekatan Frekuensi Relatif
Menurut pendekatan frekuensi relatif,
probabilitas diartikan sebagai :
1. Proporsi waktu terjadinya peristiwa
dalam jangka panjang, jika kondisi
stabil ; atau
2. Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa
dalam sejumlah besar percobaan.
Menurut pendekatan frekuensi relatif,
Probabilitas dirumuskan :
fi
P(X) 
n
Keterangan :
P(X) = probabilitas peristiwa i
fi
= frekuensi peristiwa i
n
= Banyaknya peristiwa.
Pendekatan subyektif
Menurut pendekatan
subyektif, probabilitas
diartikan sebagai tingkat
kepercayaan individu yang
didasarkan pada peristiwa
yang lalu.
Probabilitas memiliki batas mulai
0 sampai dengan 1 ( 0  P  1 )
• Jika P = 0, disebut probabilitas
kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa
tersebut tidak akan terjadi.
• Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian,
artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti
terjadi.
• Jika 0  P  1, disebut probabilitas
kemungkinan,artinya kejadian atau peristiwa
tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.
2. Percobaan, Ruang Sampel,
Titik Sampel dan Peristiwa.
• Percobaan adalah proses pelaksanaan
pengukuran atau observasi yang
bersangkutan.
• Ruang sampel adalah himpunan semua
hasil yang mungkin pada suatu
percobaan.
• Titik Sampel adalah setiap anggota dari
ruang sampel.
• Kejadian atau peristiwa adalah
himpunan bagian dari ruang sampel
pada suatu percobaan, atau hasil dari
percobaan.
3. Probabilitas Beberapa Peristiwa.
• Peristiwa Saling Lepas.
( Mutually exclusive)
Dua peristiwa atau lebih disebut
peristiwa saling lepas jika kedua
atau lebih peristiwa itu tidak dapa
terjadi pada saat yang bersamaan.
Jika peristiwa A dan B saling
lepas, probabilitas terjadinya
peristiwa tersebut adalah :
P (A atau B) = P (A) + P (B) atau
P ( A  B) = P (A) + P (B)
Peristiwa tidak saling lepas.
(non exclusive)
Dua peristiwa atau lebih disebut
peristiwa tidak saling lepas,
apabila kedua peristiwa atau
lebih tersebut dapat terjadi pada
saat yang bersamaan. Peristiwa
tidak saling lepas disebut juga
peristiwa bersama.
Jika dua peristiwa A dan B tidak saling
lepas, probabilitas terjadinya peristiwa
tersebut adalah :
P (A atau B ) = P(A) + P(B) - P(A dan B)
P ( A  B)
= P(A) + P(B) – P(A  B)
Peristiwa Saling Bebas.
( peristiwa independen)
Apabila terjadinya peristiwa yang satu
tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa
yang lain.
Probabilitas peristiwa saling lepas dibedakan
atas tiga macam, yaitu :
1. Probabilitas marginal / tidak bersyarat.
2. Probabilitas gabungan.
3. Probabilitas bersyarat.
1. Probabilitas marginal.
Probabilitas tidak bersyarat.
Probabilitas terjadinya suatu
Peristiwa yang tidak memiliki
hubungan dengan terjadinya
peristiwa lain.
2. Probabilitas Gabungan
• Terjadinya 2 peristiwa atau lebih
secara berurutan dan peristiwaperistiwa tersebut tidak saling
mempengaruhi.
• Jika peristiwa A dan B gabungan,
probabilitas terjadinya peristiwa
tersebut adalah :
P (A  B) = P (A) x P (B)
3. Probabilitas Bersyarat
• Probabilitas terjadinya suatu
peristiwa dengan syarat peristiwa lain
harus terjadi.
• Jika B bersyarat terhadap A,
probabilitas terjadinya peristiwa
tersebut adalah :
P (B/A) = P (B)
Peristiwa tidak saling bebas.
• Apabila peristiwa yang satu
dipengaruhi atau bergantung pada
peristiwa lainnya.
• Probabilitas Bersyarat :
P(B  A)
P(B/A) 
P(A)
• Probabilitas Gabungan.
P (A  B) = P (A) x P (B/A)
• Probabilitas Marginal.
P (A)
= P (B  A)
= P (A1) x P (B/A1) , i = 1,2,3