PERMUTASI dan KOMBINASI

PERMUTASI
dan
KOMBINASI
(1)
Oleh: Heri Sismoro, S.Kom., M.Kom.
S1-Teknik Informatika
STMIK AMIKOM YOGYAKARTA
DASAR PENGHITUNGAN



|A| : jumlah elemen dalam himpunan A
Aturan Penjumlahan:
|A| = |S1|+|S2|+|S3|+ . . . . .+|Sn|, dimana
himpunan-himpunan bagian (S1, S2,..., Sn)
semuanya saling asing
Aturan Perkalian:
suatu pekerjaan melibatkan k buah langkah
langkah 1  dengan n1 cara
langkah 2  dengan n2 cara
................
langkah k  dengan nk cara
Maka keseluruhan pekerjaan dapat dilakukan
dengan: (n1) (n2) (n3).... (nk) cara
DASAR PENGHITUNGAN
Contoh 1:
Dalam suatu kartu bridge, berapa cara untuk
mengambil:
a. Sebuah jantung atau sebuah daun
b. Sebuah jantung atau kartu As
c. Sebuah As atau King
d. Sebuah kartu bernomor 2 hingga 10
JAWAB:
a. Karena antar gambar kartu adalah saling
asing, maka banyak cara mendapatkan
= 13 + 13 = 26 cara
b. Banyak cara = 13+3 = 16 cara
c. Banyak cara = 4+4 = 8 cara
d. Banyak cara = 9+9+9+9 = 36 cara
DASAR PENGHITUNGAN
Contoh 2:
Misal 2 dadu yang berbeda warnanya
dilontarkan. Ada berapa cara untuk
mendapatkan jumlah angka 4 atau 8
JAWAB:
- Cara mendapatkan jumlah angka 4 ada 3 cara
- Cara mendapatkan jumlah angka 8 ada 5 cara
Sehingga untuk mendapatkan jumlah angka 4
atau 8 ada : 3+5 = 8 cara
DASAR PENGHITUNGAN
Contoh 3:
Jika 2 buah dadu yang berbeda dilontarkan,
berapa banyak kemungkinan angka yang
muncul?
JAWAB:
Sebuah dadu mempunyai 6 kemungkinan
kemunculan angka-angka, sehingga kalau 2
buah dadu ada: 6*6=26 cara
(Jika ada n dadu, ada 6n kemungkinan)
DASAR PENGHITUNGAN
Contoh 4:
Suatu kode terdiri dari 3 huruf dan diikuti 4 angka,
contoh BAC4321.
a. Jika baik huruf atau angka dapat diulangi
penggunaannya, ada berapa kode berbeda
yang dihasilkan
b. Bagaimana jika hurufnya saja yang boleh diulang
c. Bagaimana jika huruf maupun angka tidak boleh
diulang
JAWAB:
a. Banyak cara = 26*26*26*10*10*10*10 = 263*104
b. Banyak cara = 263*10*9*8
c. Banyak cara = 26*25*24*10*9*8
DASAR PENGHITUNGAN
Contoh 5:
Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 2 atau
3 digit dapat dibentuk dengan menggunakan
angka-angka 1,3,4,5,6,8 dan 9, jika perulangan
tidak diperbolehkan
JAWAB:
Banyak cara : 7*6 + 7*6*5 cara
PERMUTASI



Urutan diperhatikan
Perulangan tidak diperbolehkan
Dinotasikan:
n!
P(n, r ) 
(n  r )!

Bila r=n, mana P(n,r) = n!
PERMUTASI
Contoh 6:
Dalam suatu kelas ada 20 orang. Berapa cara
untuk memilih ketua dan bendahara
JAWAB:
Banyak cara = 20*19 =380 cara (urutan
diperhatikan)
(hal ini akan berbeda jika akan dipilih 2 orang
wakil kelas, karena urutan tidak diperhatikan)
PERMUTASI
Contoh 7:
Tuliskan semua permutasi 3 objek {a,b,c}
JAWAB:
Ada 3! = 6 kemungkinan, yaitu:
abc, acb, bca, bac, cab, cba
Contoh 8:
Suatu undian menggunakan 7 digit angka, jika digitdigitnya harus berbeda dengan yang lain, ada berapa
kemungkinan nomor undian?
JAWAB:
P(10,7) =10!/3! = 10.9.8.7.6.5.4 macam kemungkinan
KOMBINASI


Urutan kemunculan tidak diperhatikan
Dinotasikan
n!
C (n, r ) 
r!(n  r )!

Bila r=n, mana C(n,r) = 1
KOMBINASI
Contoh 9:
Berapa tim Basket yang dapat dibentuk dari 12
orang?
JAWAB:
Urutan pemain tidak diperhatikan (abc = bac)
Jadi, banyak tim:
12!
C (12,5) 
 792
5!7!
LATIHAN
1.
2.
Berapa banyak kode barang yang dapat
dibuat dengan 1 atau 2 atau 3 huruf yang
diikuti dengan 4 angka
Nomor kendaraan DIY adalah AB diikuti
dengan 4 angka dan 2 huruf. Ada berapa
nomor yang dapat dibuat, jika:
a.
Semua angka dan huruf dapat dipakai,
serta boleh berulang
b.
Sama dengan a) tetapi huruf terakhirnya A
LATIHAN
3.
Sebuah bank memberikan layanan ATM untuk
nasabah tertentu dengan kode akses berupa PIN yang
terdiri dari 10 digit bilangan, yaitu 2 digit bilangan
heksadesimal, 3 digit bilangan oktal, dan 5 digit
bilangan desimal. Ada berapa susunan PIN berbeda
yang mungkin, jika
a.
Digit-digitnya tidak boleh berulang
b.
Digit-digitnya boleh berulang
c.
Digit-digitnya boleh berulang tetapi tidak boleh
menunjukkan urutan digit, misalnya 3F06580116,
digit 5 tidak diperbolehkan karena menunjukkan
urutan ke-5