materi - Blog Staff UI

MATERI
BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN





Pendahuluan
Ruang Sampel
Kejadian
Dua Kejadian Yang Saling Lepas
Operasi Kejadian
BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL







Prinsip Perkalian/ Aturan Dasar
Notasi Faktorial
Permutasi
Permutasi (Seluruhnya) Dengan Beberapa Unsur Yang Sama
Permutasi Melingkar
Kombinasi
Diagram Pohon
BAB III PELUANG KEJADIAN
 Definisi Klasik
 Beberapa Hukum Peluang
 Kejadian Saling Bebas
BAB IV PELUANG BERSYARAT DAN ATURAN BAYES
 Peluang Bersyarat
 Aturan Bayes
BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
A. Pendahuluan
Dari jaman dulu sampai sekarang orang sering berhadapan
dengan “peluang”.
Misalnya orang melambungkan satu kali mata uang logam
bersisi gambar dan bersisi angka, maka peluang muncul sisi
gambar = peluang muncul sisi angka;
kemungkinan muncul sisi gambar adalah 1 dari 2, yaitu
peluangnya muncul sisi gambar adalah 1/2, demikian pula
peluangnya muncul sisi angka adalah 1/2.
Misalnya dalam permainan sepakbola, seorang wasit
melambungkan mata uang logam satu kali untuk mengundi
tempat bermain masing-masing kesebelasan yang
berhadapan sebagai lawan, upaya wasit melakukan undian
seperti ini dipandang adil baik oleh para pemain maupun
penonton.
1
B. Ruang Sampel
 Definisi 1.1
Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada
suatu percobaan disebut ruang sampel, sedangkan
anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik
sampel.
 Ruang sampel biasa disimbolkan dengan huruf S,
sedangkan anggota-anggota ruang sampel didaftar
dengan menuliskannya diantara dua kurung kurawal
(alokade), masing-masing anggota dipisah dengan tanda
koma.
 Contoh
Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali maka
ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6} dengan 1
menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada satu,
2 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada
dua, dan seterusnya.
C. Kejadian
Definisi
Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang
Sampel. Pada umumnya kejadian dibedakan menjadi dua
macam, yaitu :
Kejadian sederhana; yaitu kejadian yang hanya mempunyai
satu titik sampel.
Contoh
{1}, {4}, {5} adalah kejadian-kejadian sederhana dari percobaan
melempar sebuah dadu bersisi enam.
Kejadian majemuk; yaitu kejadian yang mempunyai lebih dari
satu titik sampel.
Contoh
{1,2}, {2,4,6}, {2,3,5} adalah kejadian-kejadian majemuk pada
percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam.
Dari definisi kejadian juga dapat disimpulkan bahwa S dan  juga
suatu kejadian, karena SS dan S.
2
D. Dua kejadian Yang Saling Lepas (Saling Asing)
 Dua kejadian dikatakan saling lepas/asing apabila dua
kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama
atau tidak mungkin dipertemukan. Dengan kata lain
kejadian yang satu meniadakan kejadian yang lain.
 Contoh
Pada percobaan melempar sebuah dadu satu kali,
kejadian munculnya mata dadu 1 dan kejadian munculnya
mata dadu 3 adalah dua kejadian yang saling lepas,
sebab apabila muncul mata dadu 1 maka mata dadu 3
tidak mungkin muncul, demikian pula sebaliknya.
 Dalam notasi himpunan dua kejadian A dan B disebut
saling lepas jika AB=.
Pada contoh diatas misalkan A adalah kejadian
munculnya mata dadu 1 dan B adalah kejadian
munculnya mata dadi 3 maka A = {1} dan B={3} sehingga
AB=, disimpulkan kejadian A dan B saling lepas
E. Operasi Kejadian
Operasi antar kejadian antara lain: operasi gabungan (union), operasi
irisan (interseksi) dan komplemen
Contoh
Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali dengan
ruang sampel S={1,2,3,4,5,6}. Misalkan A kejadian munculnya mata dadu
ganjil, maka A={1,3,5}, dan B kejadian munculnya mata dadu prima,
maka B={2,3,5}.
Dari dua kejadian tersebut dapat dibentuk kejadian majemuk sebagai berikut .

Gabungan dua kejadian , P = AB = {1,2,3,5}. Kejadian P adalah
kejadian munculnya mata dadu ganjil atau prima. Arti kata “atau” dalam
hal ini adalah kejadian A atau kejadian B atau kejadian kedua-duanya.
Jadi gabungan kejadian A dan B ditulis AB adalah himpunan titik
sampel yang terdapat pada kejadian A atau kejadian B atau keduaduanya.

Irisan dua kejadian Q= AB ={3,5}. Kejadian Q adalah kejadian
munculnya mata dadu ganjil dan prima. Kata “dan” berarti kejadian A
terjadi dan bersamaan dengan itu kejadian B terjadi. Jadi irisan kejadian
A dan B ditulis AB adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada
kejadian A dan terdapat pada kejadian B.

Operasi Komplemen. Komplemen kejadian A dalam ruang sampel S
adalah himpunan semua unsur di S yang tidak termasuk di A.
Misalkan A={1,3,5} maka komplemen A ditulis Ac atau A’ = {2,4,6}.
3
BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL
A. Prinsip Perkalian/Aturan Dasar
Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan
n1 cara yang berbeda, dan kejadian
berikutnya (sebut kejadian kedua) terjadi
dengan n2 cara yang berbeda, dan
seterusnya maka banyaknya
keseluruhan kejadian dapat terjadi
secara berurutan dalam n1.n2.n3… cara
yang berbeda.
Contoh
Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap
kertas ditulisi bilangan 3 angka yang dibentuk dari lima
angka 1,3,5,7,9, jika :
a. pengulangan tidak diperbolehkan
b. pengulangan diperbolehkan.
Penyelesaian.
a. Misalkan ada tiga kotak untuk mempresentasikan bilangan
sebarang. kotak pertama dapat diisi dengan 5 cara, karena
pengulangan tidak diperbolehkan maka kotak kedua dan
ketiga masing-masing dapat diisi dengan 4 dan 3 cara.
Jadi banyaknya bilangan yang dapat terbetuk ada
5.4.3=60 bilangan.
Karena tiap bilangan dituliskan pada sebuah kertas maka
banyaknya kertas yang harus disediakan ada 60 kertas.
b. Karena pengulangan diperbolehkan maka kotak pertama,
kedua dan ketiga dapat diisi dengan 5 cara, sehingga
banyaknya bilangan yang terbentuk ada 5.5.5 = 125
bilangan. Jadi banyaknya kertas yang harus disediakan
ada 125 lembar.
4
B. Notasi Faktorial
 Definisi 2.1
Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai n
disebut n faktorial ditulis n! .
Jadi n! = 1.2.3…..(n-2)(n-1).n ; dan 0! = 1
Contoh
Hitunglah (a) 5!
(b) 10 !
Penyelesaian
(a) 5! = 5.4.3.2.1 = 720
(b) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800
C. Permutasi
Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau
sebagian elemen suatu himpunan
Contoh
Tentukan banyaknya kata (tidak harus punya arti) yang
terdiri dari 3 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dari
kata CINTA:
a. Apabila setiap huruf yang digunakan tidak boleh lebih
dari sekali.
b. Apabila setiap huruf bisa diulangi dalam sebarang
penyusunan.
Penyelesaian.
a. Banyaknya kata-kata = pengaturan 5 huruf yang
berbeda diambil 3 sekaligus = 5.4.3 = 60
b. Banyaknya kata-kata = 5.5.5 = 125
5
D. Permutasi (Seluruhnya) dengan
Beberapa Unsur yang Sama
 Teorema
Banyaknya permutasi yang berlainan dari
n elemen bila n1 diantaranya berjenis
pertama, n2 berjenis kedua, … ,nk
berjenis ke-k adalah
n!
P(n , (n1,n2,n3,…nk)) =
,
n1!n 2!n 3!...nk!
Contoh
Ada berapa penyusunan kata-kata (tidak harus
punya arti) yang diambil dari kata “KAKAKKU”.
Penyelesaian
Permutasi dari 7 huruf dimana ada 4 huruf sama
yaitu K, dan 2 huruf sama yaitu A adalah
P(7, (4,2,1)) =
7!
= 105.
4! 2! 1!
Jadi banyaknya penyusunan kata yang mungkin
ada 105 kata.
dimana n1 + n2 + n3 + …+ nk = n
6
E. Permutasi Melingkar (Permutasi Siklis)
Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang
disusun melingkar adalah (n-1)!
Contoh
Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4
orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar.
Dalam berapa cara keempat orang mahasiswa
tadi dapat duduk mengelilingi meja tersebut.
Penyelesaian.
Keempat mahasiswa tadi dapat diatur
mengelilingi meja dalam (4-1)! = 3! = 6
F. Kombinasi
 Definisi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur
yang urutannya tidak diperhatikan.
Banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n
elemen ditulis C(n,r) atau nCr atau  n  atau C nr
adalah
n!
r! (n  r )!
dengan r  n.
 
r
7
Contoh
Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan
dipilih darin 10 pemain. Berapa macam susunan
dapat dipilih ?
Penyelesaian.
Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan
5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak
diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya
kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang =
C(10,5) =
10!
10!

 252
5! (10  5)! 5! 5!
G. Diagram Pohon
Diagram pohon merupakan cara yang mudah
untuk menggambarkan hasil-hasil yang mungkin
dari sederetan percobaan jika dari setiap
percobaan hasil yang mungkin berhingga.
(dalam teori peluang disebut proses stokastik).
Diagram pohon bila diperhatikan menurut suatu
arah tertentu, mulai dengan satu titik, bercabang
dan cabang-cabang itu mungkin bercabangcabang lagi dan cabang-cabang baru itu
bercabang lagi dan seterusnya. Jadi menurut
suatu arah tertentu, dan banyaknya cabang
yang meninggalkan titik itu paling sedikit satu.
8
A
AAA
G
GAA
A
AGA
G
AGG
A
AGG
G
GAA
A
GGA
G
GGG
A
A
Contoh
Melempar 3 mata uang bersama-sama (sisi
mata uang angka disingkat A dan gambar
disingkat G), hasilnya dapat digambar dengan
diagram pohon sebagai berikut .
G
A
G
G
Gambar diatas menggambarkan semua hasil yang mungkin terjadi pada percobaan
melempar 3 mata uang, sehingga kita bisa menentukan ruang sampel dan peluang
setiap kejadian yang berkaitan dengan percobaan tersebut.
9
BAB III
PELUANG KEJADIAN
A. Definisi Peluang Klasik
Jika suatu percobaan menghasilkan n hasil
yang tidak mungkin terjadi bersama-sama dam
masing-masing mempunyai kesempatan yang
sama untuk terjadi, maka peluang suatu
kejadian A ditulis P(A) = n ( A ) ,
n
dimana n(A) adalah banyaknya hasil dalam
kejadian A.
Setiap hasil dari n hasil yang mungkin muncul
dengan kesempatan yang sama itu berpeluang
muncul yang sama dengan 1/n.
 Jika kejadian yang diharapkan tidak pernah
terjadi, berarti n(A) = 0, maka
P(A) = 0/n = 0, sehingga peluangnya = 0.
 Jika kejadian A yang diharapkan itu selalu
terjadi terus menerus, berarti n(A)=n maka P(A)
= n/n = 1. Sehingga peluangnya = 1
 Kesimpulannya adalah bahwa nilai P(A) terletak
diantara nol dan satu, atau ditulis 0  P(A)  1.
10
Contoh
Sebuah mata uang dilempar dua kali, tentukan
peluang munculnya sisi gambar pada lemparan
pertama dan sisi angka pada lemparan kedua.
Penyelesaian.
Ruang sampel dari percobaan diatas S= {(A,A),
(A,G), (G,A), (G,G)}
Misalkan D kejadian munculnya sisi gambar
pada lemparan pertama dan sisi angka pada
lemparan kedua, maka D = {(G,A)}.
Karena semua titik sampel bersempatan sama
untuk terjadi maka P(D) = ¼.
B. Beberapa Hukum Peluang
Teorema
Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka
P(AB) = P(A )+ P(B) – P(AB).
Akibat 1.
Bila A dan B kejadian yang saling lepas (terpisah),
maka P(AB) = P(A) + P(B).
Akibat 2.
Bila A1, A2, A3, ..., An saling lepas, maka
P(A1 A2A3 ... An) =
P(A1)+P(A2)+P(A3)+...+P(An)
Teorema
Bila A dan A’ kejadian yang saling berkomplemen, maka
P(A’) = 1 – P(A).
11
C. Kejadian Saling Bebas
Definisi
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika dan
hanya jika
P(A).P(B) =P(AB).
Contoh
Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas
dengan P(A) =0,2 dan P(B)=0,3, hitung P(AB)
?
Penyelesaian
Karena A dan B kejadian yang saling bebas,
maka P(AB)= P(A).P(B)=0,2.0,3=0,6
BAB IV PELUANG BERSYARAT DAN
ATURAN BAYES
A. Peluang Bersyarat
Definisi
Peluang bersyarat B dengan dengan diketahui A ditentukan
oleh
P( A  B)
P(BA) =
, bila P(A) > 0
P( A)
Akibat 1
P(AB)=P(A) P(BA)
Akibat 2
Bila suatu percobaan, kejadian A1, A2, A3, …. dapat terjadi
maka
P(A1 A2 A3 …. ) = P(A1).P(A2|A1).P(A3| A1 A2)…
12
Contoh
Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu
secara berturut-turut sebanyak dua kali.
Tentukan peluang pengambilan pertama As dan
pengambilan kedua King.
Penyelesaian
Misalkan A: kejadian pertama (terambil kartu As)
B: kejadian kedua (terambil kartu King)
Maka P(A) = 4/52 dan P(BA)=4/51 (karena
satu kartu telah terambil).
Jadi P(AB)=P(A) P(BA) = 4/52. 4/51 = 4/663.
B. ATURAN BAYES
Teorema (Aturan Bayes).
Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, …, Bk
adalah partisi dari ruang sampel S dengan
P(BI)  0 , I = 1.2,3,..,k maka untuk setiap
kejadian A dalam S denga P(A)  0
berlaku
P ( Bi ).P ( A Bi )
P( Bi  A)
 k
P(BiA) = k
 P( B  A)  P( B ).P( A B )
i
i 1
i
i
i 1
13
Contoh
FKM ingin menyewa Bus dari 3 perusahaan , yaitu 60% bus Jawa
Indah, 30% Bus Nusantara, dan 10% bus Kramat Jati. Diketahui juga
9% bus Jawa Indah tidak berAC, 20% bus Nusantara tidak berAC, dan
6% bus Kramat Jati tidak berAC. Jika sebuah Bus yang disewa dan
ternyata tidak berAC, hitung peluang yang disewa adalah bus Jawa
Indah.
Penyelesaian
Misalkan J : kejadian yang terambil adalah bus Jawa Indah
N : kejadian yang terambil adalah bus Nusantara
K : kejadian yang terambil adalah bus Kramat Jati
P( J ) P( A J )
Maka P(JA) =
P( J ) P( A J )  P ( N ) P ( A N )  P( K ) P ( A K )
=
60%.9%
60%.9%  30%.20%  10%.6%
= 0,45
PEUBAH ACAK
Peubah Acak X adalah fungsi dari S ruang sampel ke
bilangan real R, X : S  R
Contoh : Menjawab soal multipel choice 2 kali
S = {SS, SB, BS, BB}
X : Peubah Acak banyaknya jawaban benar, maka X =
{0,1,2}
S
BB
SB
BS
SS
X
R
0
1
2
14
RUANG BERSAMA PEUBAH ACAK
Misalkan didefinisikan terdapat n buah peubah acak X1,
X2,…, Xn maka ruang peubah acak dari X1, X2,…, Xn
atau ruang bersama X1, X2,…, Xn adalah
AX1, X2,…, Xn={(x1, x2,…, xn)| xi = X(c), c di S, i = 1,2,…,n}
Contoh
Sebuah uang koin dilambungkan 3 kali berturut-turut
Misal X=banyaknya muncul muka
Y=banyak muncul belakang didahului muka
Maka Ax={0,1,2,3} dan Ay={0,1,2}
Ruang bersama peubah acak X dan Y adalah
Axy={(x,y) | x=0,1,2,3 dan y=0,1,2}
={(0,0),(0,1), …, (3,2)}
Axy adalah himpunan bagian dari R2
FUNGSI KEPADATAN PELUANG
Peubah Acak Diskrit
1. P( X  x)  0
2.  P( X  x)  1
PA Kontinu
1 . f x   0
2 .  f  x dx  1
x A
xX
b
b
3. P(a  X  b)   P( X  x)
xa
3. P (a  X  b) 
 f x dx
a
15
EKSPEKTASI MATEMATIKA
2. Varians dari X
V (X )  E( X  E( X )) 2
1. Ekspektasi Matematik (Nilai Harapan)
Misal X adalah PA yang mpy FKP f(x) dan
u(X) adalah fungsi dari X, maka ekspektasi
dari u(X) adalah
E[u(X)] =
u ( x ) f ( x) untuk X diskret

xX
~
E[u(X)] = u x  f x dx untuk X kontinu

~
 E( X 2 )  E( X ) 2
3. Fungsi Pembangkit Momen
M(t) = E(etX)
KEBEBASAN STOKASTIK
Definisi
Peubah acak X dan Y dikatakan bebas
stokastik (independent) jika:
f(x,y) = f1(x).f2(y)
16
17