Probstat_TI39 Genap 2015_03 dosen part 01

15/01/2017
PROBSTAT (MUG2D3)
III. PROBABILITAS (PROBABILITY)
3.1 Probabilitas dan Statistika
3.2 Konsep Probabilitas
a. Pengertian: Eksperimen, Ruang Contoh, Titik Contoh, Event.
b. Operasi dalam Himpunan
- Komplemen
- Irisan
- Mutually Exclusive
- Gabungan
- Independent, and Dependent Event
- Sifat Operasi Himpunan
3.3 Analisis Kombinatorika
3.4
3.4 Perumusan Nilai Probabilitas (Hitung Peluang)
1
3.1 Probabiltas dan Statistika
Probabilitas
Probabilitas metode ilmiah yang dikembangkan untuk menyelesaikan persoalan
yang berhubungan dengan ketidakpastian (uncertaint).
Statistika
Statistika adalah metode ilmiah untuk mengumpulkan, mengorganisasi, meringkas,
menganalisis dan menarik kesimpulan dari data.
1
15/01/2017
3.2 Konsep Probabilitas
Terminologi
Probabilitas (Probability) : kemungkinan, peluang, kesempatan.
Konsep
Probabilitas merupakan konsep umum yang didefinisikan sebagai
kemungkinan (change) terjadinya suatu kejadian (event).
Teori probabilitas telah dikembangkan sebagai alat ilmiah berurusan dengan
kemungkinan (change), yaitu alat untuk mengukur ketidakpastian (quantify
uncertainty), baik untuk memastikan sesuatu kejadian di dalam kehidupan
sehari-hari dan dalam berbagai bidang peneltian seperti hasil percobaan
acak (randomized experiments) dan hasil sampel secara acak (random
sampling ) dari suatu survey.
Definisi Probabilitas
Probabilitas adalah derajat atau tingkat kepastian atau keyakinan dari
munculnya hasi percobaan statistik (biasanya dilambangkan dengan P).
Kehidupan Sehari-hari. Banyak kejadian di dalam kehidupan sehari-hari yang
bersifat tidak pasti terlebih kejadian di masa mendatang yang sulit untuk
dipastikan tetapi segera diputuskan walaupun tidak yakin tentang hasil.
̶ Apakah hari ini akan turun hujan? Memastikan apakah hari ini akan turun
hujan untuk memutuskan membawa payung atau tidak.
̶ Apakah rencana bisnis akan berhasil? Memastikan apakah akan untung
ketika akan memutuskan memulai suatu bisnis
̶ Apakah harga minyak mentah akan naik? Memastikan apakah harga
minyak mentah akan naik ketika akan memutuskan membeli mobil yang
memiliki konsumsi bahan bakar yang efisien, dsb.
2
15/01/2017
Hasil Percobaan dan Survey Sampling. Percobaan dengan menggunakan uang
logam (coin), kartu ataupun dadu atau suvery sampling.
̶ Percobaan pelemparan uang logam tidak diketahui hasilnya dengan pasti
apakah yang akan muncul muka gambar atau angka.
̶ Percobaan penarikan sebuah kartu remi (bridge) dari suatu box tidak
diketahui dengan pasti apakah yang terambil gambar hati (hart), wajik
(diamond), sekop (spade) atau keriting (club/clover).
̶ Percobaan pelemparan sebuah dadu tidak diketahui hasilnya dengan pasti
apakah yang akan muncul muka muka dadu 1, 2, 3 4, 5 atau 6.
̶ Menghitung kemungkinan untuk memenangkan lotre.
̶ Menghitung kemungkinan suatu saham akan naik.
̶ Pengujian keandalan 2 buah produk untuk menentukan mana yang lebih
berkualitas.
̶ Pengujian-pengujian hipotesis dalam berbagai bidang penelitian.
a. Pengertian: Eksperimen, Ruang
Contoh, Titik Contoh, Event.
Percobaan (Experiment) adalah kegiatan yang direncanakan dan suatu
proses (trial) yang memberikan hasil (outcome) berupa data mentah.
○ Data mentah yang dicatat hasil dari suatu percobaan baik numerik maupun
kategorik sering disebut sebagai pengamatan.
Acak (Random)
Random adalah sesuatu yang terjadi berdasarkan kemungkinan (happen by
change) atau benar-benar tidak diketahui (utterly unknow).
Percobaan Acak (Random Experiment)
Suatu percobaan jika keluarannya (out comes) tidak dapat diprediksi terlebih
dahulu. Atau:
Suatu percobaan yang memberikan hasil berbeda-beda, mesikipun beberapa
kali diulang dengan cara yang sama.
3
15/01/2017
Ruang Sampel (Sample Space) adalah himpunan semua hasil yang
mungkin dari suatu percobaan statistika (S) dan setiap anggotanya disebut titik
sampel.
Ada 2 macam ruang sampel, yaitu ruang sampel terhingga
dan tidak terhingga.
G
A
Ruang sampel terhingga, setiap anggotanya dapat
didaftar berurutan dipisahkan dengan koma diantara dua
akolade {}.
S = {G, A}
Ruang Sampel tidak terhingga, yang dapat diterangkan melalui suatu
pernyataan atau aturan.
Misalnya kemungkinan hasil percobaan berupa himpunan kota di dunia yang
berpenduduk satu juta, maka ruang sampelnya dinyatakan dengan:
S={x|x suatu kota yang berpenduduk melebihi satu juta}
dibaca: S merupakan kumpulan semua x, bila x menyatakan kota yang
berpenduduk lebih dari satu juta.
4
15/01/2017
Diagram Pohon dapat digunakan untuk membantu menentukan
kemungkinan hasil dari suatu percobaan.
Soal:
Jika sebuah keluarga memiliki 3 anak,
tentukan ruang sampel untuk gender
anak laki-laki (B) dan anak perempuan (G)?
Solusi:
Terdapat 8 kemungkinan
dengan 3 anak, sehingga ruang
sampelnya:
S = {BBB, BBG, BGB, BGG, GBB,
GBG, GGB, GGG}
Tabel Kontingensi dapat digunakan untuk membantu menentukan
kemungkinan hasil dari suatu percobaan.
Soal:
Jika 2 buah dadu dilantukan, tentukan ruang sampel yang mungkin?
Solusi:
Terdapat 36 kemungkinan untuk 2 muka,
yaitu:
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
5
15/01/2017
Kejadian (Event)
Suatu kejadian (event) adalah himpunan dari hasil yang
muncul/terjadi suatu percobaan statistik (notasi A).
Artinya bahwa suatu kejadian merupakan himpunan bagian
dari ruang sampel (A ⊆ S)
Soal:
Kejadian A adalah hasil lemparan sebuah
dadu yang dapat dibagi tiga.
Ada 2 macam kejadian, yaitu:
Solusi:
Hasilnya: A = { 3, 6 }.
Dimana kejadian A merupakan himpunan
bagian dari ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Kejadian sederhana yang hanya terdiri atas satu titik sampel
Kejadian majemuk yang dinyatakan sebagai gabungan beberapa kejadian
sederhana.
Ruang sampel nol disebut sebagai himpunan kosong (φ) yaitu himpunan bagian dari
ruang sampel yang tidak mengandung satupun anggota.
Contoh terhingga:
• Percobaan: Pelemparan tiga koin bersamaan dan mencatat banyaknya muka yang
muncul sehingga diperoleh :
Ruang sampel S = {0, 1, 2, 3}, maka:
A = Kejadian tidak ada muka yang muncul:
A = {0}
B = Kejadian banyaknya muka yang muncul 2 atau kurang:
B = {0, 1, 2}
Contoh tidak terhingga:
• Percobaan: Pengamatan terhadap umur (dalam bulan) sebuah lampu.
Ruang sampel:
S = {t|t ≥ 0}
E = Kejadian umur lampu melebihi 10 bulan:
E = {t|t > 10}
F = Kejadian umur lampu sebelum 36 bulan:
F = {t|0 ≤ t < 36}
6
15/01/2017
3.2 Operasi Himpunan
Operasi Dasar Himpunan
1. Komplemen (Complement)
dinotasikan ( ‘)
2. Irisan (Intersection)
dinotasikan (∩)
3. Gabungan (Union)
dinotasikan (∪)
A’
(A∩B)
(A ∪ B)
Komplemen (Complement)
Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah
himpunan semua unsur S yang tidak termasuk A yang
dinyatakan dengan A’.
Soal:
Pada lantunan sebuah dadu, A kejadian munculnya bilangan yang dapat dibagi tiga,
tentukan anggota dari kejadian komplemen A?
Solusi:
Ruang sampel S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A={3, 6}, maka komplemen A yaitu A’={1, 2, 4, 5}.
7
15/01/2017
Irisan (Intercept)
Irisan kejadian A dan B yaitu kejadian yang anggotanya
termasuk dalam A dan B.
Definisi: A∩B = {x|x∈A dan x∈B}
berlaku A ∩ B = B ∩ A, di mana A ∩ B dimuat baik
oleh himpunan A maupun himpunan B, yaitu :
(A ∩ B) ⊂ A dan (A ∩ B) ⊂ B.
Soal:
Pada lantunan sebuah dadu, A kejadian munculnya bilangan
genap yang muncul dan B kejadian bilangan lebih besar dari 3.
Tentukan irisan A dan B?
Solusi:
Ruang sampel S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2,4,6} dan B = {4,5,6}, maka : A ∩ B = {4,6}
Mutually Exclusive (Disjoint)
Kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah
apabila A dan B tidak memiliki anggota persekutuan.
Definisi: A∩B = ∅
Soal:
Pada lantunan sebuah dadu, A kejadian munculnya bilangan
genap yang muncul dan B kejadian bilangan ganjil. Tentukan
irisan A dan B?
Solusi:
Ruang sampel S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2,6} dan B = {1,3,5}, maka : A ∩ B = ∅
8
15/01/2017
Gabungan (Union)
Gabungan kejadian A dan B yaitu kejadian yang
mengandung semua anggota yang termasuk A atau B
atau keduanya.
Definisi: AUB = {x|x∈A atau x∈B atau x∈A dan x∈B}
Berlaku A ∪ B = B ∪ A, di mana kedua himpunan A
dan B selalu merupakan himpunan bagian dari A ∪ B,
yaitu: A ⊂ ( A ∪ B ) dan B ⊂ ( A ∪ B ) .
Soal:
Pada lantunan sebuah dadu, A kejadian munculnya bilangan
genap yang muncul dan B kejadian bilangan ganjil kurang dari
5. Tentukan gabungan A dan B?
Solusi:
Ruang sampel S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6} dan B = {1, 3}, maka : A U B = {1, 2, 3, 4, 6}
Kejadian Saling Bebas
(Independent Event)
Jika munculnya satu kejadian tidak berpengaruh ke kejadian yang lain.
Contoh:
○ Lantunan dadu atau coin
○ Penarikan kelereng atau kartu bridge dengan pengembalian (with
replacement - WR)
Kejadian Saling Terpisah
(Dependent Event)
Jika munculnya satu kejadian berpengaruh ke kejadian yang lain.
Contoh:
○ Penarikan kelereng atau kartu bridge tanpa pengembalian (without
replacement - WOR)
9
15/01/2017
Sifat Operasi Himpunan
Sifat kumulatif
A ∩ B = B ∩ A dan A U B = B U A
Sifat asosiatif
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A U (B U C) = (A U B) U C
Sifat distributif
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Sifat komplemen (De Morgan)
A ∩ A’ = ∅
A ∪ A’ = S
(A’)’ = A
S’ = ∅
∅’ = S
(A ∩ B)’ = A’ U B’
(A U B)’ = A’ ∩ B’
Sifat lainnya
A∩∅=∅
A∪∅=A
3.3 Analisis Kombinatorika
Analisis Kombinatorika (Menghitung Titik Sampel)
Menentukan probabiltas suatu kejadian dari suatu ruang sampel sederhana
dapat dibantu dengan tabel atau diagram pohon. Untuk persoalan dengan
kejadian yang beragam akan menjadi lebih sulit menentukan berapa keluaran
semua kemungkinan kejadian tersebut, oleh karena itu untuk membantu hal
tesebut membutuhkan teknik untuk menghitungnya (counting techniques) yang
dikenal dengan analysis combinatorial.
Ada tiga macam teknik:
a. Fundamental Counting Rule: Aturan Perkalilan dan Faktorial
b. Permutation Rule: Permutasi
c. Combination Rule: Kombinasi
10
15/01/2017
a. Fundamental Counting Rule
Aturan Perkalian/Kaidah Penggandaan
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk tiap cara ini
operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan seterusnya, maka deretan
k operasi dapat dikerjakan bersama-sama dengan:
n1n2…nk cara.
Bilangan Faktorial
Bila n bilangan bulat posistif, maka bilangan faktorial ditulis dengan n!.
n! = n(n-1)(n-2) ... 3.2.1
untuk:
0! = 1
1! = 1
Soal:
Anda akan membeli sebuah kendaraan baru dengan kemungkinan pilihan
memperhatikan jenis, bahan bakar dan warnanya sebagai berikut:
Jenis : Fortuner, Pajero, Captiva
BBM : disesel, bensin
Warna : putih (W), red (R), hitam (B) dan hijau (G)
Tentukan ada berapa pilihan yang mungkin untuk menentukan sebuah mobil? Gunakan
aturan perkalian dan bandingkan dengan membuat diagram pohon untuk menentukan
hasilnya.
Solusi:
Artinya harus menentukan cara yang berbeda untuk memilih satu jenis mobil dengan
satu pilihan BBM dan sebuah pilihan warna):
Aturan Perkalian
Ada 3 pilihan untuk jenis kendaraan (n1=3), 2 pilihan untuk BBM (n2=2) dan 3 pilihan
untuk warna (n3=3). Maka jumlah cara yang mungkin untuk memilih satu jenis mobil,
satu BBM dan satu warna adalah:
n1n2n3 = (3)(2)(4) = 24 cara atau pilihan
11
15/01/2017
Diagram Pohon
Menggunakan diagram pohon dapat dijelaskan mengapa hasilnya 24.
Meliputi pilihan ke-1 (Fortuner, Diesel, putih), pilihan ke-2 (Fortuner, Diesel,
merah) dst. hingga pilihan terakhir ke-24 (Captiva, Bensin, hijau).
Soal:
Suatu access code untuk alarm mobil terdiri atas 4 digit. Masing-masing digit dapat
terdiri dari angka 0 sampai dengan 9.
Ada berapa access code yang mungkin, jika:
a. Masing-masing digit hanya dapat digunakan satu
kali dan tidak diulang?
b. Masing-masing dapat diulang?
c. Masing-masing dapat diulang tetapi digit pertama
bukan angka 0 dan 1
12
15/01/2017
b. Permutation Rule: Permutasi
Adalah susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu
himpunan (n) yang berlainan dengan mengambil sekaligus baik sebagian dan
seluruhnya anggota himpunan (r) dan memberi arti*) pada urutan masingmasing susunannya.
*) Misalnya susunan 2 anggota A dan B, maka AB ≠ BA (memiliki arti yang berbeda).
Ada beberapa jenis permutasi:
1. Permutasi Sebagian
2. Permutasi Menyeluruh (Faktorial)
3. Permutasi Melingkar
4. Permutasi Data Berkelompok
13
15/01/2017
Ada beberapa jenis permutasi:
1. Permutasi Sebagian
Bila r < n, maka:
Artinya, suatu himpunan yang terdiri atas n
anggota dan diambil sebagian sebanyak r<n
.
Soal:
Berapa banyak jadwal kuliah Probastat yang dapat disusun bila terdapat 2 orang
dosen yang bersedia diplot pada hari Senin sampai Kamis?
Solusi:
Banyaknya jadwal yang mungkin disusun:
n
Pr =
n!
4!
24
=
=
= 12
( n − r )! (4 − 2)! 2
2. Permutasi Menyeluruh (Faktorial),
Bila r = n, maka:
nPr
= n!
Artinya, suatu himpunan yang terdiri atas n anggota dan diambil seluruhnya
sebanyak r=n.
Soal:
Berapa banyak jadwal kuliah Probastat yang dapat disusun bila terdapat 3 orang
dosen yang bersedia diplot pada hari Senin, Rabu dan Kamis?
Solusi:
Anda 6 jadwal yang mungkin,yaitu srk, skr, rsk, rks, ksr dan krs. Ini merupakan hasil
permutasi:
nPr
= n! → 3P3 = 3!= (3)(2)(1) = 6
14
15/01/2017
3. Permutasi Melingkar
Adalah banyaknya permutasi n anggota yang berlainan yang disusun dalam
suatu lingkaran. Susunannya:
Contoh:
Ada 3 orang yang akan duduk di kursi dengan meja berbentuk lingkaran.
Berapakah jumlah komposisi yang mungkin?
Solusi:
Komposisi yang mungkin:
(3-1)! = 2
Contoh:
Ada 4 orang akan bermain bridge dengan duduk berhadap-hadapan.
Berapakah susunan duduk yang mungkin?
Solusi:
Komposisi yang mungkin:
(4-1)! = 6
15
15/01/2017
4. Permutasi Data Berkelompok
Adalah banyaknya permutasi n anggota yang berbeda jenisnya, n1 berjenis 1,
n2 berjenis 2, …, nk berjenis k dan n1 + n2 + … + nk. Susunannya:
Contoh:
Berapa banyak cara untuk menampung 7 orang petinju di 3 kamar hotel, bila
1 kamar bertempat tidur 3 dan 2 lainnya bertempat tidur 2?
Solusi:
Banyaknya cara:
 7 
7!
3,2,2 = 3! 2! 2! = 210


c. Combination Rule: Kombinasi
Adalah susunan-susunan yang dibentuk dari
anggota-anggota suatu himpunan (n) dengan
mengambil sekaligus seluruh atau sebagian
anggota himpunan (r) dan tanpa memberi
arti*) pada urutan masing-masing susunannya.
n
n!
Cr =  
 r  r! (n − r)!
di mana : r ≤ n
n
*) Misalnya susunan 2 anggota A dan B, maka AB = BA (memiliki arti yang sama).
Soal:
Berapa banyak jadwal kuliah Probastat yang dapat disusun bila 1 orang dosen
bersedia diplot selama 2 hari per minggu pada hari Senin sampai Kamis?
Solusi:
Banyaknya jadwal yang mungkin disusun: n Cr =
n!
4!
24
=
=
=6
r! (n − r)! 2! (4 − 2)! 4
16
15/01/2017
Soal:
Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, carilah banyaknya panitia yang terdiri dari 3
orang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan?
Solusi:
Banyaknya cara memilih 2 orang
kimiawan dari 4:
Banyaknya cara memilih seorang
fisikawan 3:
4
C2 =
4!
=6
2! (4 − 2)!
4
C2 =
3!
=3
1! (3 − 1)!
Banyaknya panitia yang teridiri dari 2 orang kimiawan dan 1 orang fisikawan:
Aturan perkalian:
n1.n2 = (6)(3) = 18
Soal:
Dari 500 chips dalam sebuah box 9 cacat. Apabila dilakukan random sampling
sebanyak 3 buah dari box tanpa pengembalian, maka:
a. Ada berapa sampel yang mungkin:
b. Ada berapa sampel yang mungkin mengandung 3 chips yang cacat?
Solusi:
Banyaknya sample yang mungkin
terpilih adalah:
Banyaknya sampel yang
mengandung 3 chips yang cacat:
500
9
C3 =
C3 =
500!
= 20708500
3! (500 − 3)!
9!
= 84
3! (9 − 3)!
17
15/01/2017
3.4 Perumusan Nilai Probabilitas
Definisi Probabilitas
Probabilitas adalah derajat atau tingkat kepastian atau keyakinan dari
munculnya hasi percobaan statistik (biasanya dilambangkan dengan P).
Nilai Probabilitas
Nilai probabilitas dapat dinyatakan sebagai pecahan, desimal atau dengan
persentase yang menyatakan pengertian yang sama.
Ketika bertanya, “Berapa peluang munculnya gambar dalam lantunan
sebuah koin?”
Maka dapat dijawab dengan pernyataan “1/2”, “0.5” atau “50%”.
Probabilitas bagi ruang sampel terhingga, memberikan segugus bilangan nyata
yang disebut pembobot atau peluang dengan nilai 0 sd. 1. Setiap titik sampel
diberikan satu nilai peluang sehingga jumlah peluang untuk semua titik
sampelnya = 1.
Tingkat keyakinan bahwa suatu titik sampel tertentu kemungkinan besar
akan terjadi, maka bobotnya mendekati 1.
Tingkat keyakinan bahwa suatu titik sampel tertentu kemungkinan kecil
akan terjadi, maka bobotnya mendekati 0.
Tingkat keyakinan bahwa suatu titik sampel tertentu tidak mungkin
terjadi, maka bobotnya sama dengan 0.
18