Teori Peluang

MODUL 5
TEORI PELUANG
DAN STATISTIKA
MATERI
KB 1 : TEORI PELUANG
KB 2 : STATISTIKA DESKRIPTIF
KB 03 : STATISTIKA INFERENSIAL
KB 1 : TEORI PELUANG
Ruang Sampel
Ruang sampel : himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan.
Ruang sampel biasa disimbulkan dengan huruf S
Titik sampel : anggota-anggota dari ruang sampel.
Contoh :
Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam, tentukan ruang sampel dan titik sampelnya!
Jawab :
Ruang sampelnya adalah {A, G} dan titik sampelnya adalah A, G.
Kejadian
Kejadian atau peristiwa :
himpunan bagian dari
ruang sampel.
Pada umumnya kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu :
Kejadian sederhana : kejadian yang hanya mempunyai satu titik
sampel.
Contoh :
{1}, {4}, {5} adalah kejadian-kejadian sederhana dari percobaan
melempar sebuah dadu bersisi enam.
Kejadian majemuk : kejadian yang mempunyai lebih dari satu
titik sampel.
Contoh :
{1,2}, {2,4,6}, {2,3,5} adalah kejadian-kejadian majemuk pada
percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam.
Aturan Perkalian
Misal :
Dalam acara syukuran ulang tahun Andi secara sederhana tersedia tiga macam makanan dan dua macam
minuman, yakni Nasi Goreng, Bakso, Soto untuk makanan, Es teh, dan Es jeruk untuk minuman.
Jika seorang yang hadir dalam acara tersebut hanya memilih satu macam makanan dan satu macam
minuman, maka ada berapa susunan semua pasangan makanan dan minuman yang dapat dipilih?
Aturan Perkalian
Definisi :
Jika suatu kejadian dapat
terjadi dengan n1 cara yang
berbeda,
dan
kejadian
berikutnya (disebut kejadian
kedua) terjadi dengan n2 cara
yang berbeda, dan seterusnya
kejadian ke k dengan nk cara
yang berbeda, maka banyaknya
keseluruan kejadian dapat
terjadi secara berurutan dalam
n1.n2.n3 ... nk cara yang
berbeda.
Contoh :
Didalam pemilihan kepengurusan Himatika, terdapat 25 mahasiswa yang
memenuhi syarat untuk dipilih sebagai ketua, sekretaris, bendahara (dengan
asumsi tidak boleh ada jabatan rangkap). Ada berapa cara untuk memilih
pengurus Himatika tersebut ?
Penyelesaian.
Misalkan pemilihan pengurus organisasi dimulai dari ketua, sekretaris, kemudian
bendahara.
 ketua dapat dipilih dalam 25 cara
 sekretaris dapat dipilih dalam 24 cara (karena satu orang sudah menempati
posisi pada ketua dan tidak boleh ada jabatan rangkap)
 bendahara dapat dipilih dalam 23 cara (karena satu orang sudah menempati
posisi sebagai ketua dan satu orang lagi sudah menempati posisi pada
sekretaris serta tidak boleh ada jabatan rangkap)
Jadi banyaknya cara untuk memilih pengurus tersebut adalah 25.24.23 = 13.800
Permutasi
Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan.
Definisi :
Banyaknya permutasi r elemen
yang diambil dari n elemen ditulis
P(n,r) atau nPr atau 𝑃𝑟𝑛 atau 𝑃𝑛,𝑟
adalah
n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)
yang dapat diperoleh dengan
aturan perkalian.
Dengan
notasi
faktorial
banyaknya permutasi r elemen
yang diambil dari n elemen dapat
ditulis
𝑛!
sebagai P(n,r) = 𝑛−𝑟 !
Contoh :
Tentukan banyaknya kata (tidak harus punya arti) yang terdiri dari 3
huruf yang dapat dibentuk dari
huruf-huruf dari kata CINTA
a) Apabila setiap huruf yang digunakan tidak boleh lebih dari
sekali.
b) Apabila setiap huruf bisa diulangi dalam sebarang penyusunan.
Penyelesaian.
a) Pengaturan 5 huruf yang berbeda diambil 3 dengan pengulangan
tidak diperbolehkan, maka susunan ini membentuk permutasi
sehingga banyaknya kata yang terbentuk= P(5,3)= 60
b) Karena boleh ada pengulangan, maka selalu ada 5 huruf yang
bisa terpilih, sehingga banyaknya kata-kata = 5.5.5 = 75.
Permutasi (seluruhnya) dengan beberapa unsur yang sama
Teorema :
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n elemen bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,
𝑛!
... ,nk berjenis ke-K adalah P(n , (n1,n2,n3,...nk)) =𝑛1!𝑛2!𝑛3!…𝑛𝑘!, dimana n1 + n2 + n3 + ...+ nk = n
Contoh 2.14
Ada berapa penyusunan kata-kata (tidak harus punya arti) yang diambil dari kata “KAKAKKU”.
Penyeleaian :
Permutasi dari 7 huruf dimana ada 4 huruf sama yaitu K, dan 2 huruf sama yaitu A adalah
7!
P(7,(4,2,1)) =4!2!1! = 105. Jadi banyaknya penyusunan kata yang mungkin ada 105 kata.
Permutasi Melingkar (Permutasi Siklis)
Secara
umum
dikatakan bahwa :
dapat
Banyaknya permutasi n
unsur berlainan yang
disusun melingkar adalah
𝑛!
= 𝑛−1 !
𝑛
Contoh :
Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4
orang duduk mengelilingi sebuah meja
bundar. Dalam
berapa cara keempat orang mahasiswa tadi
dapat duduk mengelilingi meja tersebut.
Penyelesaian.
Keempat mahasiswa tadi dapat diatur
mengelilingi meja dalam (4-1)!= 3! = 6
Kombinasi
Definisi :
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang urutannya tidak diperhatikan. Banyaknya kombinasi
𝑛!
r elemen yang diambil dari n elemen ditulis C(n,r) atau nCr atau (𝑛𝑟) atau 𝐶𝑟𝑛 adalah 𝑟! 𝑛−𝑟 !
dengan
r ≤ n.
Contoh :
Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih darin 10 pemain. Berapa macam susunan yang
dapat dipilih?
Penyelesaian :
Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan 5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak
diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang = C(10,5)
10!
10!
= 5! 10−5 ! = 5!5! = 252
Peluang Klasik
Definisi :
Jika suatu percobaan menghasilkan n hasil yang tidak mungkin terjadi bersama-sama dan
masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang suatu kejadian A
ditulis P(A) =
𝑛(𝐴)
,
𝑛
dimana n(A) adalah banyaknya hasil dalam kejadian A.
Contoh :
Sebuah mata uang dilempar dua kali, tentukan peluang munculnya sisi gambar pada
lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua.
Penyelesaian :
Ruang sampel dari percobaan diatas S= {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}
Misalkan D kejadian munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka pada
lemparan kedua, maka D = {(G,A)}. Karena semua titik sampel bersempatan sama untuk terjadi
maka P(D) = ¼.
Hukum Peluang
Teorema :
Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka
U
P(A U B) = P(A )+ P(B)–P(A B)
Contoh :
Sebuah mata uang dilempar dua kali, berapa peluang munculnya paling sedikit satu sisi angka atau dua sisi
angka.
Penyelesaian :
Banyaknya hasil yang mungkin pada percobaan diatas ada 4 yaitu AA,AG,GA, GG sehingga n=4.
Misalkan B kejadian munculnya paling sedikit satu sisi angka maka B={AA, AG, GA}, misalkan
U
C kejadian munculnya dua sisi angka maka C ={AA}, sehingga B C ={AA}.
3
1
1
3
U
Jadi P(A U B) = P(A )+ P(B)–P(A B) = 4 + 4 - 4 = 4
Hukum Peluang
Teorema
Bila A dan A’ kejadian yang saling berkomplemen, maka P(A’) = 1–P(A).
Contoh 3.8
Suatu uang logam dilatunkan berturut-turut sebanyak 5 kali. Berapa peluangnya paling sedikit sekali
muncul sisi gambar (G)?
Penyelesaian :
Penyelesaian.
Misalkan E kejadian paling sedikit sekali muncul sisi gambar (G). Ruang sampel S mengandung 25 = 32
titik sampel, karena tiap lantunan dapat menghasilkan dua macam hasil (gambar atauangka). Dari
teorema 3.2 P(E) = 1-P(E’), dengan E’ adalah kejadian bahwa tidak ada sisi gambar yang muncul. Hal ini
hanya akan terjadi dalam satu cara, yaitu bila semua lantunan menghasilkan sisi angka (A). Jadi P(E’) =
1
31
1/32 , sehingga P(E) = 1- 32 = 32
Peluang Bersyarat
Definisi :
Peluang bersyarat B jika diketahui A ditentukan oleh 𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃 𝐴
bila 𝑃(𝐴) > 0
Contoh :
Diantara 10 orang laki- laki dan 10 orang wanita 2 orang laki- laki dan 3 wanita yang buta warna.
Jika dipilih secara acak seorang yang buta warna, tentukan peluang yang terpilih adalah laki-laki.
Penyelesaian :
Pertanyaan diatas dapat ditulis kembali dengan kalimat ‘ tentukan peluang terpilih laki-laki dengan syarat buta warna’.
Misalkan A adalah kejadian terpilih laki-laki, B adalah kejadian terpilih wanita, dan C adalah kejadian terpilih buta warna maka :
𝑃 𝐴∩𝐶 =
𝑃 𝐶 =
𝑛 𝐶
𝑛 𝑆
𝑃 𝐴|𝐶 =
𝑛 𝐴∩𝐵
𝑛 𝑆
=
5
20
𝑃 𝐴∩𝐶
𝑃 𝐶
=
2
20
sehingga
=
2
20
5
20
=
2
5
Kejadian Saling Bebas
Definisi :
Dua kejadian dikatakan
saling bebas apabila kedua
kejadian tersebut tidak
saling mempengaruhi.
Dalam bahasa matematik
dua kejadian saling bebas
ditulis sebagai berikut :
Kejadian A dan B dikatakan
saling bebas jika dan hanya
jika
𝑃 𝐴 .𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
Contoh :
Dua duah dadu bersisi enam satu merah dan satu biru dilempar bersama-sama. Jika A kejadian
munculnya mata dadu 5 pada dadu merah dan B munculnya mata dadu 4 pada dadu biru, serta C
munculnya kedua mata dadu berjumlah 8, periksa apakah A dan B bebas, A dan C bebas.
Penyelesaian :
Ruang sampel dari percobaan diatas dapat ditulis S= {(1,1) , (1,2), (1,3), ...(6,6)}
Kejadian A = {(5,1) , (5,2) , (5,3),(5,4), (5,5), (5,6) }
Kejadian B = {(1.4), (2,4) , (3,4) , (4,4), (5,5) , (6,4) }
Kejadian C = {(2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3), (6,2)}
1
1
5
𝑃 𝐴 = ,𝑃 𝐵 = ,𝑃 𝐶 =
6
𝐴∩𝐵 =
6
5,4 ; 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
36
1
=
36
1
=
36
𝐴 ∩ 𝐵 = 5,3 ; 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶
Ternyata 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵 dan 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐶 sehingga kejadian A dan B bebas,
sedangkan kejadian A dan C tidak bebas (bergantung)
Teorema (Aturan Bayes)
Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, …, Bk adalah partisi dari ruang sampel S dengan
P(BI) ≠ 0 , I = 1.2,3,..,k maka untuk setiap kejadian A dalam S denga P(A) ≠ 0 berlaku
Ingat B1, B2, B3, …, Bk adalah partisi dari ruang sampel S berarti B1, B2, B3, …, Bk saling lepas
dan B1 U B2 U B3 U …Bk=S
Contoh
Jurusan matematika FMIPA UNNES ingin menyewa Bus dari 3 perusahaan, yaitu 60% bus Jawa Indah, 30% Bus
Nusantara, dan 10% bus Kramat Jati. Diketahui juga 9% bus Jawa Indah tidak ber-AC, 20% bus Nusantara tidak
ber-AC, dan 6% bus Kramat Jati tidak ber-AC. Jika sebuah Bus yang disewa dan ternyata tidak ber-AC, hitung
peluang yang disewa adalah bus Jawa Indah.
Penyelesaian.
Misalkan J : kejadian yang terambil adalah bus Jawa Indah
N : kejadian yang terambil adalah bus Nusantara
K : kejadian yang terambil adalah bus Kramat Jati
Maka P(J)=60%, P(N)= 30%, P(K)=10%, dan
P(A|J)=9%, P(A|N)= 20%, P(A|K)=6%
Sehingga
KB 2 : STATISTIKA DESKRIPTIF
PENGERTIAN STATISTIKA
Statistika diartikan sebagai ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang metode
atau prosedur yang berhubungan dengan pengumpulan data, organisasi data,
pengujian data, pengolahan data atau penganalisaan dan penarikan kesimpulan
ber-dasarkan kumpulan data tersebut
PENGERTIAN STATISTIKA
STATISTIKA DESKRIPTIF
STATISTIKA
INFERENSIAL/DEDUKTIF
bertujuan untuk mendeskripsikan
atau memberi gambaran objek
yang diteliti sesuai data yang ada
tanpa menarik kesimpulan
maupun generalisasi
bertujuan untuk penarikan
kesimpulan. Objek yang diteliti
dibahas dengan penekanan pada
interprestasi data dan
Pengambilan kesimpulan
STATISTIKA
STATISTIKA
POPULASI DAN SAMPEL
POPULASI adalah totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung maupun pengukuran, kuantitatif
maupun kualitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas
yang ingin dipelajari sifat-sifatnya
SAMPEL merupakan himpunan bagian dari populasi
PARAMETER merupakan karakteristik/konstanta dari suatu populasi
STATISTIK merupakan suatu harga yang dihitung dari suatu sampel
SUMBER PENGAMATAN DALAM STATISTIK
UNIT STATISTIK
Unit Statistik adalah individu objek atau orang yang akan
diteliti, disurvey atau didata
SUMBER
PENGAMATAN
UNIT STATISTIK
Unit Statistik adalah individu objek atau orang yang akan
diteliti, disurvey atau didata
MACAM-MACAM DATA
Menurut Cara
Memperolehnya
•
•
Menurut Sifatnya
•
•
Data Primer
Data Sekunder
MACAMMACAM
DATA
Menurut Waktu
Pengumpulannya
Menurut Sumbernya
Menurut
Sumbernya
•
•
Data Internal
Data Eksternal
Data Kualitatif
Data Kuantitaif
•
•
Data Cross Section
Data Berkala
SYARAT DATA YANG BAIK
a)
b)
c)
d)
e)
Data harus obyektif artinya data sesuai dengan keadaan sebenarnya;
Data harus mewakili (representatif);
Kesalahan baku (standar error) harus kecil. Suatu nilai estimasi harus memiliki tingkat ketelitian
yang tinggi;
Data harus tepat waktu (up to date) terutama apabila data digunakan untuk tujuan pengendalian
dan evaluasi;
Data harus relevan dengan masalah yang akan dipecahkan artinya data yang dikumpulkan harus
berhubungan dengan masalah yang diamati.
PENGUMPULAN DATA
Wawancara (Interview)
Angket (Kuesioner)
Pengamatan (Observasi)
PENYAJIAN DATA
Penyajian Data dengan Tabel
Tabel merupakan kumpulan angka-angka yang disusun
menurut kategori-kategori sehingga memudahkan dalam
pembuatan analisis data
Penyajian Data dengan Diagram
Grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan secara
visual (dapat pula berupa simbol) data berupa angka yang
biasanya juga berasal dari tabel-tabel yang sudah dibuat
PENYAJIAN DATA
Daftar Baris Kolom
Daftar Distribusi Frekuensi
Diagram Lambang
(Pictogram)
Diagram Garis
Digram Batang
TABEL
DAN
DIAGRAM
Diagram Lingkaran
Diagram Peta (Kartogram)
Diagram Pencar
DAFTAR BARIS KOLOM
Penyajian data yang dituliskan dalam bentuk matriks baris dan kolom
Tabel Satu Arah
Tabel Dua Arah
Tabel satu arah adalah tabel yang hanya memuat
keterangan mengenai satu hal atau satu
karakteristik saja
Tabel satu arah adalah tabel yang hanya memuat
keterangan mengenai dua hal atau dua karakteristik.
DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI
Langkah-langkah menyusun tabel distribusi frekuensi
1. Menentukan banyak dan lebar inteval kelas. Rumus
Sturges untuk menentukan banyak interval kelas,
yaitu k = 1 + 3,322 log n. Sedangkan lebar interval
kelas ditentukan dengan membagi jangkauan dengan
banyak interval kelas yang digunakan.
2. Interval-interval kelas tersebut diletakkan dalam suatu
kolom, diurutkan dari interval kelas terendah pada
kolom paling atas dan seterusnya.
3. Data yang ada kemudian dimasukkan ke dalam
interval kelas yang sesuai.
Contoh Tabel Distribusi Frekuensi
GRAFIK DISTRIBUSI FREKUENSI
HISTOGRAM
POLIGON
OGIVE
DIAGRAM LAMBANG (PICTOGRAM)
Diagram lambang dipakai untuk mendapatkan gambaran kasar mengenai suatu hal kepada orang awam.
Contoh Diagram Lambang
DIAGRAM GARIS
Diagram Garis Tunggal
Diagram Garis Berganda
DIAGRAM BATANG
Diagram Batang Tunggal
Diagram Batang Berganda
Diagram Batang
Tunggal Tegak
Diagram Batang
Berganda Tegak
Diagram Batang
Tunggal Mendatar
Diagram Batang
Berganda Mendatar
DIAGRAM LINGKARAN
Contoh Diagram Lingkaran
DIAGRAM PETA (KARTOGRAM)
Diagram Peta adalah suatu sajian data yang menggunakan peta geografis tempat data terjadi
Contoh Diagram Peta
DIAGRAM PENCAR
Contoh Diagram Pencar
Diagram Pencar adalah kumpulan
data kuantitatif dari terdiri atas dua
variabel, dapat disajikan dalam
bentuk diagram yang dibuat dalam
sistem sumbu koordinat dan
gambarnya akan merupakan
kumpulan titik-titik yang terpencar
UKURAN PEMUSATAN
Data Tidak Dikelompokkan
Rata-rata
Definisi 1
Jika suatu sampel berukuran n
dengan elemen x1, x2, ..., xn
maka rata-rata sampel adalah
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒙=
𝒏
atau
𝒙=
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊
𝒏
Data Dikelompokkan
Rata-rata Terbobot
Definisi 2
Misal x1, x2, ...,xk adalah
himpunan k buah nilai dan w1,
w2, ..., wk adalah bobot yang
diberikan pada masing-masing
nilai tersebut
𝒙
𝒘𝟏 𝒙𝟏 + 𝒘𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒘𝒏 𝒙𝒏
=
𝒘𝟏 + 𝒘𝟐 + ⋯ 𝒘 𝒏
atau
𝒙=
𝒌
𝒊=𝟏 𝒘𝒊 𝒙𝒊
𝒌
𝒊=𝟏 𝒘𝒊
Rata-rata Kelompok
Definisi 3
Rata-rata dari data yang
dikelompokkan adalah
𝒙=
𝒌
𝒊=𝟏 𝒇𝒊 𝒙𝒊
𝒌
𝒊=𝟏 𝒇𝒊
=
𝒌
𝒊=𝟏 𝒇𝒊 𝒙𝒊
𝒏
dengan xi adalah titik tengah
interval kelas ke-i, fi merupakan
frekuensi interval kelas ke-i, dan
n menunjukkan banyaknya
data.
UKURAN PEMUSATAN
MODUS
Data Tidak Dikelompokkan
Modus yang disingkat Mo adalah
nilai yang sering muncul atau nilai
yang mempunyai frekuensi tertinggi
dalam kumpulan data tersebut.
Data Dikelompokkan
Untuk data yang
dikelompokkan dan
disusun dalam tabel
distribusi frekuensi maka
modus dapat dihitung
dengan rumus
𝒃𝟏
𝑴𝒐 = 𝒃 + 𝒑
𝒃𝟏 + 𝒃𝟐
dengan:
b : batas bawah interval modus
p : panjang interval kelas modus
b1 : beda frekuensi antara
interval kelas modus dengan
interval kelas sebelumnya
b2 : beda frekuensi antara
interval kelas modus dengan
interval kelas sesudahnya.
UKURAN PEMUSATAN
MEDIAN
Data Tidak Dikelompokkan
• Untuk data yang tidak
dikelompokkan, jika jumlah data
ganjil, maka median merupakan
data paling tengah.
• Untuk data dengan jumlah
genap, maka setelah data
disusun menurut urutan nilainya,
median adalah rata-rata hitung
dua data tengah.
Data Dikelompokkan
Rumus untuk menghitung
median data berkelompok
adalah
𝟏
𝒏−𝑭
𝟐
𝑴𝒆 = 𝒃 + 𝒑
𝒇
dengan
b : batas bawah interval median
yaitu kelas di mana median
akan terletak
n : ukuran sampel atau banyak
data
p : panjang interval kelas median
F : jumlah frekuansi interval kelas
sebelum interval median
f : frekuensi kelas median
UKURAN LETAK
KUARTIL
Data Tidak Dikelompokkan
Letak kuartil ke i diberi lambang Ki,
ditentukan dengan rumus
𝒊(𝒏+𝟏)
𝟒
Letak Ki = data kedengan i = 1, 2, 3.
Data Dikelompokkan
Untuk mengitung Kuartil data
yang telah dikelompokkan
dalam bentuk tabel distribusi
frekuensi digunakan rumus
berikut.
𝒊
𝒏−𝑭
𝟒
𝑲𝒊 = 𝒃 + 𝒑
𝒇
dengan i = 1, 2, 3.
dengan
b : batas bawah kelas Ki yaitu
kelas di mana Ki akan
terletak
n : ukuran sampel atau banyak
data
p : panjang kelas Ki
F : jumlah frekuansi interval
kelas sebelum interval
kuartil
f : frekuensi kelas Ki
UKURAN PENYIMPANGAN DATA
JANGKAUAN/ RENTANG
RENTANG ANTAR KUARTIL
Rentang adalah selisih data
terbesar dan terkecil.
Rentang = Xmax – Xmin
SIMPANGAN KUARTIL
Rentang antar kuartil dapat
dihitung dengan menghitung
selisih antara kuartil 3
dan kuartil 1.
RAK = K3 – K1
Simpangan kuartil atau deviasi
kuartil atau disebut pula
rentang semi antar kuartil
nilainya setengah dari rentang
antar kuartil.
SK = ½ (K3 – K1)
UKURAN PENYIMPANGAN DATA
RATA-RATA SIMPANGAN
Data Tidak Dikelompokkan
Rata-rata simpangan adalah harga rata-rata
penyimpangan tiap data terhadap rata-ratanya.
Besar perbedaaan antara data dan rata-ratanya
adalah harga mutlaknya.
𝒙=
𝒏
𝒊=𝟏
𝒙𝒊 − 𝒙
𝒏
Data Dikelompokkan
Rata-rata simpangan untuk data yang
dikelompokkan, dihitung dengan rumus:
𝒏
𝒊=𝟏 𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙
𝒙=
𝒏
dengan xi adalah titik tengah inteval kelas ke-i, fi
merupakan frekuensi interval kelas ke-i, dan n
menunjukkan banyak data.
UKURAN PENYIMPANGAN DATA
VARIAN DAN SIMPANGAN BAKU
Data Tidak Dikelompokkan
Variansi untuk data yang tidak dikelompokkan,
dapat dihitung dengan
𝑺𝟐 =
𝒏
𝒊=𝟏
𝒙𝒊 − 𝒙
𝒏
Simpangan Baku = 𝑆 2 = S
Data Dikelompokkan
Variansi untuk data yang dikelompokkan, dapat
dihitung dengan
𝟐
𝑺𝟐 =
𝒏
𝒊=𝟏
𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙
𝒏
Simpangan Baku = 𝑆 2 = S
𝟐
KB 3 : STATISTIKA INFERENSIAL
STATISTIKA INFERENSIAL
Statistika inferensial adalah metode statistika yang membahas mengenai cara
menganalisis data serta mengambil kesimpulan (berkaitan dengan estimasi
parameter dan pengujian hipotesis).
Statistik inferensial dibagi menjadi 2, yaitu :
a) Non Parametris
b) Parametris
STATISTIKA NON PARAMETRIS
Statistika nonparametris digunakan untuk menganalisis data ordinal dan nominal
dari populasi yang distribusinya tidak mesti diasumsikan normal
Contoh uji nonparametris :
 Koefisien korelasi Spearmen
 Uji Mann-Whitney
 Uji Friedman
STATISTIKA PARAMETRIS
Statistika parametris digunakan untuk menganalisis data interval atau rasio yang
diambil dari populasi yang berdistribusi normal.
Contoh analisis statistika parametris :
 Uji-t
 ANOVA
 Regresi
DISTRIBUSI NORMAL
Tiga alasan yang mendasari tingkat kepentingan distribusi normal pada statistika inferensial
yaitu :
Distribusi
normal merupakan model yang baik untuk mendekati frekuensi distribusi
fenomena alam dan sosial jika sampelnya besar
Ada
hubungan yang kuat antara besarnya sampel dengan distribusi rata-rata yang diperoleh
dari sampel-sampel acak yang diambil dari suatu populasi yang sama
Distribusi
normal memberikan penghampiran (aproksimasi) yang baik terhadap distribusi
teoritis lainnya yang pada umumnya lebih sulit digunakan untuk memodelkan distribusi
peluang
GRAFIK DISTRIBUSI NORMAL
SYARAT DISTRIBUSI NORMAL BAKU
Adaapun syarat-syarat distribusi normal baku adalah sebagai berikut :

Unimodal

Simetrik

Identik

Asimtotik

Rata-rata nilai = 0

Simpangan Baku nilai = 1
NORMALITAS
Uji Normalitas merupakan salah satu dari uji persyaratan analisis data atau uji asumsi klasik,
artinya sebelum melakukan analisis sesungguhnya, data penelitian tersebut harus diuji
kenormlan distribusinya
Uji Normalitas bertujuan untuk menguji apakah data penelitian yang dilakukan memiliki
distribusi normal atau tidak.
Dasar pengambilan keputusan
jika nilai signifikansi > 0,05 maka data tersebut berditribusi normal
jika nilai signifikansi < 0,05 maka data tersebut tidak berdistribusi normal
UJI NORMALITAS
Distribusi normal atau kurva normal atau pula sering disebut distribusi gauss adalah
distribusi dengan variabel acak kontinu dan salah satu distribusi yang paling penting
dan banyak digunakan.
Beberapa cara melakukan uji normalitas :
 Menggunakan
analisis Chi Square
 Uji Lilliefors
 Kolmogorov-Smirnov.
1. Chi-Square (𝑿𝟐 )
Distribusi Chi-Square merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu.
Karakteristik Chi-Square:
 Nilai Chi‐Square selalu positip.
 Distribusi Chi‐Square dengan dk=1, 2, 3, dst.
 Bentuk Distribusi Chi‐Square adalah menjulur positif.
Kegunaan Pengujian Chi-Square (𝑿𝟐 )
Adapun Kegunaan Pengujian Chi-Square adalah sebagai berikut :
 Untuk mengetahui kesesuaian antara frekuensi observasi variabel tertentu dengan
frekuensi harapan teoritis
 Untuk mengetahui independensi antara variabel satu dengan variabel lainnya.
Syarat Pengujian Chi-Square (𝑿𝟐 )
Adapun persyaratan Metode Chi Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal)
adalah sebagai berikut :
 Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribus
frekuensi.
 Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )
Setelah harga chi-kuadrat dihitung, maka harga tersebut dibandingkan dengan tabel
harga chi-kuadrat dengan alpha 5% dan dk=k-1.
Jika 𝑥𝑒 2 < 𝑥𝑡 2 maka dapat disimpulkan bahwa sebaran data berasal dari populasi
yang berdistribusi normal.
Signifikansi Chi-Square (𝑿𝟐 )
Signifikansi uji, nilai 𝑥 2 hitung dibandingkan dengan 𝑥 2 tabel (Chi-Square).
 Jika
𝑥 2 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝑥 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
maka Ho diterima ; Ha ditolak.
 Jika
𝑥 2 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝑥 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
maka Ho ditolak ; Ha diterima.
2. Uji Lilliefors
Uji Lilliefors adalah uji normalitas secara nonparametrik. Keunggulan metode Liliefors dapat
digunakan dengan sampel kecil dan tidak perlu membuat tabel distribusi bergolong atau
frekuensi.
Langkah-langkah Uji Lilliefors
Adapun langkah – langkah uji Lilliefors adalah :
1. Menentukan hipotesis
H0 : Sampel random berasal dari populasi normal, yang rata-rata dan standar deviasinya tidak
diketahui.
Ha : Distribusi data populasi tidak normal.
2. Pengamatan X1, X2 , ... , Xn dijadikan angka baku Z1, Z2 , ... , Zn dengan menggunakan
rumus 𝑍𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑥 ( 𝑥 dan s masing-masing merupakan rata-rata dan simpangan baku dari
𝑠
sampel ).
3. Untuk tiap angka baku ini dan menggunakan daftar distribusi normal baku, kemudian
dihitung peluang 𝐹(𝑍𝑖 ) = 𝑃(𝑧 < 𝑍𝑖 )
Langkah-langkah Uji Lilliefors
4. Selanjutnya dihitung proporsi Z1, Z2 , ... , Zn yang lebih kecil atau sama dengan 𝑍𝑖 . Jika
proporsi ini dinyatakan oleh 𝑆(𝑍𝑖 ), maka 𝑆 𝑍𝑖 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑍1, 𝑍2 , . . . , 𝑍𝑛 ≤ 𝑍𝑖
𝑛
5. Hitung selisih F(Zi) – S(Zi) kemudian tentukan harga mutlaknya.
6. Ambil harga yang paling besar di antara harga-harga mutlak selisih tersebut, kita
sebutlah harga terbesar ini L0
Persyaratan :

Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

Dapat untuk n besar maupun n kecil.
2)
Uji Lilliefors

Signifikansi
Signifikasi uji, nilai
𝐹 𝑥 − 𝑆(𝑥)
Signifikansi uji, nilai
tabel Liliefors.
𝐹 𝑥 terbesar
− 𝑆(𝑥) dibandingkan dengan nilai
1. Jika nilai
terbesar < nilai tabel liliefors,
Maka H0 diterima,
𝐹 𝑥 sedangkan
− 𝑆(𝑥) H1 ditolak.
2. Jika nilai
terbesar > dari nilai tabel liliefors,
maka H0 ditolak, sedangkan H1 diterima
𝐹 𝑥 − 𝑆(𝑥)
3)

Metode Kolmogorov Smirniov
Konsep dasar dari uji normalitas Kolmogorov Smirnov adalah dengan
membandingkan distribusi data (yang akan diuji normalitasnya) dengan
distribusi normal baku.
3)
Metode Kolmogorov Smirniov
Persyaratan

Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusiFrekuensi

Dapat untuk n besar maupun n kecil.
3)

Metode Kolmogorov Smirniov
Siginifikansi
Signifikansi uji, nilai |FT – FS| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel
Kolmogorov Smirnov.

Jika nilai |FT – FS| terbesar < nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho
diterima ; Hi ditolak.

Jika nilai |FT – FS| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho
ditolak ;Hi diterima.
Manfaat Statistika Untuk Penelitian
Pelaksanaan sebuah penelitian akan melalui sejumlah tahapan yang
membutuhkan alat bernama statistika, terutama dalam tahap:

penentuan sampel,

pengumpulan dan penyajian data,

serta dalam tahap analisis data.
Manfaat Statistika Untuk Penelitian
Pelaksanaan sebuah penelitian akan melalui sejumlah tahapan yang
membutuhkan alat bernama statistika, terutama dalam tahap:
penentuan sampel, sampel yang digunakan dapat dianggap
representative terhadap populasi

pengumpulan data dengan alat bantu yang digunakan oleh si peneliti
dalam proses pengumpulan data


penyajian data agar data yang disajikan lebih komunikatif,
tahap analisis data yaitu kegiatan mengolah data menjadi sebuah
kesimpulan.

ANALISIS REGRESI DAN KORELASI
Jika hanya dua variabel yang dipelajari dikenal dengan analisis regresi dan
korelasi sederhana. Misalkan kita punya dua variabel X dan Y, umumnya
masalah hubungan X dan Y berkisar pada dua hal:

Pencarian bentuk persamaan yang sesuai guna meramal rata-rata Y jika
X diketahui atau sebaliknya dianalisis dengan regresi.

Pengukuran tingkat hubungan antara variabel X dan Y dianalisis dengan
korelasi.
ANALISIS REGRESI LINIER
Analisis regresi mempelajari bentuk hubungan antara satu atau lebih
peubah/variabel bebas (X) dengan satu peubah tak bebas (Y)
ANALISIS REGRESI LINIER
Tujuan :
Apakah
seperangkat atau sekumpulan variabel prediktor signifikan dalam
memprediksi variabel respon?
Variabel
predictor manakah yang signifikan dalam menjelaskan variable
respon? Hal ini ditunjukkan dengan koefisien estimasi regresi. Koefisien
estimasi inilah yang nantinya akan membentuk persamaan regresi.
ANALISIS REGRESI LINIER

Bentuk Hubungan Variabel Bebas dan Terikat

Bentuk hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas
(Y) bisa dalam bentuk polinom derajat satu (linear) polinom derajat dua
(kuadratik). Polinom derajat tiga (Kubik) dan seterusnya. Disamping itu
bisa juga dalam bentuk lain misalnya eksponensial, logaritma, sigmoid
dan sebagainya. Bentuk-bentuk ini dalam analisis regresi-korelasi
biasanya dilakukan transformasi supaya menjadi bentuk polinom
ANALISIS REGRESI LINIER

Persamaan Regresi

Dalam bentuk yang paling sederhana yaitu satu peubah bebas (X)
dengan satu peubah tak bebas (Y) mempunyai persamaan:
Y =a +bx

Disini a disebut intersep dan b adalah koefisien arah atau koefisien beta.
ANALISIS REGRESI LINIER

Grafik Persamaan Regresi