BAB IV - Simponi MDP

BAB IV
FUNGSI PERANGSANG EKSPONENSIAL
Ditinjau dari sumbernya, listrik terbagi menjadi arus searah dan arus bolak – balik.
Rangkaian searah (DC) mempunyai besaran arus, tegangan, polaritas dan arah yang konstan,
sehingga tidak mempunyai arus dan tegangan untuk kapasitansi dan induktansi. Rangkaian
arus bolak – balik (AC) mempunyai besaran arus, tegangan dengan beda phasa yang disebut
sudut phasa (φ). Arus bolak – balik yang dijumpai di rumah kita berubah arah dua (2) kali
setiap seperlimapuluh (1 / 50) detik, arusnya merupakan fungsi sinusoida dan biasanya terdiri
atas :
1.
Arus transien (Arus sesaat)
2.
Arus steady state (Arus dari keadaan tetap sampai terjadinya gangguan)
Dalam elektronika sering dijumpai berbagai bentuk gelombang, antara lain
a.
Gelombang pulsa (denyut)
b. Segi empat
a.
Gigi gergaji
d. Eksponen berulang
e.
Sinusoida
Diantara semua bentuk di atas, gelombang eksponensial dan sinusoida merupakan
bentuk gelombang yang paling mudah dibangkitkan maupun dianalisis. Bentuk sinusoida AC
(bolak – balik) maupun DC (searah) dapat diturunkan dari fungsi eksponensial, dimana
turunan dan integral fungsinya merupakan bentuk yang sama dengan fungsi aslinya. Dengan
demikian di dalam menganalisa rangkaian dapat diperluas dengan melibatkan induktansi dan
kapasitansinya.
A. IMPEDANSI DAN TANGGAPAN UNSUR
Tegangan dan arus yang berubah secara eksponensial dengan waktu dapat ditulis
sebagai :
ν = V0 est
dan
i = Ic est
Dimana :

V0 dan I0 adalah nilai tegangan dan arus pada saat t = 0

Jika s positif, tegangan dan arus bertambah menurut waktu

Jika s negatif, tegangan dan arus berkurang menurut waktu

Jika s nol, tegangan dan arus akan konstan

Kondisi ini dapat digambarkan sebagai berikut :

Jika s = ± , maka ν = V0 e±t/T dan i = I0 e±t/T
tanda ± dipilih agar T selalu berharga positif dan T adalah konstanta waktu yang
merupakan ukuran kecepatan perubahan fungsi eksponens waktu dengan satuan detik, dan
satuan s adalah 1/detik (det-1).
Pada rangkaian paralel GLC di bawah ini :
Sumber arus i(t) digunakan untuk
mendapat tegangan sebesar V0 est
pada masing – masing unsur
rangkaian. Arus yang mengalir
ke setiap unsur dapat ditentukan
menurut hubungan volt – Ampere (hukum Ohm), sehingga :
iG(t)
= G. V(t) = 6 . V0 est = IG est
iL(t)
= ∫V(t) dt = ∫V0 est dt =
iC(t)
= C
=C
V0 est = IL est
= CS V0 est = IC est
Hubungan Amplitudo tegangan dan arunsya adalah :
IG = G V0
→
=G
IL =
→
=
→
=
V0
IC =
V0
Karena persamaan di atas merupakan perbandingan antara arus dan tegangan maka
besaran G,
dan
mempunyai satuan 1 / ohm atau mho (siemens). Hubungan ketiga
besaran tersebut disebut admitansi (Y(s)) yang merupakan variabel frekuensi kompleks, s.
Sedangkan perbandingan antara tegangan dan arus pada sepasang kutub disebut
Impedansi (Z(s)) dengan satuan ohm merupakan kebalikan dari (Y(s)). Hubungan Volt –
Ampere impedansi dan admitansi yang secara umum merupakan fungsi s disebut
pernyataan daerah (kawasan) frekuensi atau frequency domain unsur rangkaian. Dari
hukum Kirchoff I, arus sumber i(t) diperoleh sebesar :
i(t) = iG(t) + IL(t) + IC(t)
= G V(t) + ∫V(t) dt + c
= G V0 est +
= (G +
V0 est + CS V0 est
+ CS) V0 est
= I0 est
Dengan demikian perbandingan antara arus dan tegangan atau sebaliknya dapat
ditulis sebagai berikut :
Y(s) =
= G + CS +
Z(s) =
=
Sehingga dapat disimpulkan bahwa :
Untuk rangkaian paralel dapat diperoleh dengan menjumlahkan admitansi masing –
masing unsur, sedangkan untuk rangkaian seri merupakan penjumlahan dari impedansi
masing – masing unsur. Selanjutnya apabila diberikan suatu rangsangan eksponensial,
maka akan menghasilkan tanggapan yang berupa eksponensial dengan eksponen yang
sama. Akan tetapi bila rangsangan berbentuk fungsi sinusoida atau cosinusoida maka
tanggapan juga berupa sinusoida atau cosinusoida, yaitu :
a. Arus sebagai fungsi sinusoida dan cosinusoida
Elemen
V bila i = Im sin ωt
Tegangan untuk I
V bila i = Im cos ωt
R
VR = R . I
VR = R . Im sin ωt
VR = R . Im cos ωt
L
VL = L di/dt
VL = ωl . Im cos ωt
VL = ωl . Im [-sin ωt]
C
VC = 1/c ∫ i dt
VS = Im/ωc [-cos ωt]
VC = Im/ωc [sin ωt]
b. Tanggapan sebagai fungsi sinusoida dan cosinusoida
Elemen
I bila V = Vm sin ωt
Arus untuk V
I bila V = Vm cos ωt
R
IR = VR / R
IR = Vm / R . sin ωt
IR = Vm / R . cos ωt
L
IL = IL ∫ V di/dt
IL = Vm / ωl [-cos ωt]
IL = Vm / ωl . sin ωt
C
IC = C dv/dt
IS = Vm . ωc . cos ωt
IC = Vm . ωC . [-sin ωt]
Contoh :
1. Rangkaian RLC seri sebagai berikut :
Tentukan besar sumber tegangan v jika arus yang
mengalir dalam rangkaian adalah :
i = 2 est Ampere
Jawab :
Menurut hukum Kirchoff II untuk tegangan :
V = VL + VC + VR
= L di/dt +
∫ i dt + R . i
= Lsi +
.i + R.i
= (ZL + ZC + ZR) . i
= ZL . i + ZC . i + ZR . i
= Z(s) . i
Dengan demikian :
ZL = L . S = 2 . 3 = 6 ; ZC =
=
= 1 ; ZR = R = 8.
Z(s) = ZL + ZC + ZR = 6 + 1 + 8 = 15
Sehingga :
V = Z(s) . i = 15 . 2 e3t = 30 . e3t volt
2. Rangkaian RC paralel
V = 100 e-50t
Tentukan : Arus i ?
Jawab :
Konstanta waktu (T) = 1/50 = 0,02 s. Maka tegangan yang dikenakan berkurang
amplitudonya dengan faktor 1/e (±37%) dalam setiap selang 0,02 s.
Dari hukum paralel untuk s = - 50
Y = YC + YR = CS + G
= 1 . 10-6 (-50) + 1/104
= - 50 . 10-6 + 10-4
= - 0,5 . 10-4 + 10-4 = 0,5 . 10-4
Sehingga :
i = YV = 0,5 . 10-4 . 100 e-50t = 0,005 e-50t Amp
B. SIFAT ALAMIAH
Metoda analisa rangkaian eksponensial mempunyai tanggapan rangkaian RLC
terhadap eksitasi tetap sebagai salah satu kasus khusus. Misalkan pernyataan umum bagi
tegangan dinyatakan sebagai :
V = V0est.
Jika s = 0, nilai eksponensialnya = 1 sehingga didapat suatu tegangan konstan V0 volt,
ketiga impedansi dasarnya adalah : ZR = R, ZL = LS = 0 dan ZC = 1/CS = 1/0 = ~ . Maka
arus yang mengalir ke masing – masing unsur adalah IR = V0/R ; IL = V0/LS = V0/0 = ~
dan IC = V0/~ =0.
Pada rangkaian listrik yang mengandung unsur penyimpanan tenaga, induktansi
dan kapasitansi. Jika rangsangan yang diberikan ke rangkaian dihilangkan, maka tenaga
yang tersimpan dalam kedua unsur akan tetap memberikan tanggapan yang berkurang
secara eksponensial sampai seluruh tenaga yang terkandung dalam induktansi dan
kapasitansi pada rangkaian habis. Arus (tanggapan) yang meluncur dalam rangkaian listrik
disebut sifat alamiah (natural behaviour) dan tanggapannya disebut tanggapan alamiah
(natural respons).
Berbagai macam tanggapan secara eksponensial akan terjadi secara alamiah dalam
suatu rangkaian yang mengalami gangguan. Sebaliknya tanggapan yang terjadi karena
rangsangan yang sengaja dikenakan pada rangkaian disebut tanggapan terpaksa. Sebagai
gambaran yaitu apabila dalam rangkaian tersebut kapasitansi C berisi muatan dan
mempunyai tegangan V0 pada saat t = 0. Tanggapan sistemnya adalah penggunaan tenaga
kapasitor oleh konduktansi pada rangkaian. Karena tidak ada sumber luar yang dikenakan
pada rangkaian, maka satu-satunya tanggapan dalam rangkaian adalah tanggapan alamiah.
Persamaan hukum arus (hukum Kirchoff I) pada rangkaian :
c
+ G V(t) = 0 
c
= -6 V(t)
= - dt.
Integrasi persamaan di atas menjadi :
Ln V(t) = -
t + konstanta
V(t) = e -Gt/c konstanta
= V0 e-Gt/C
Dimana :
V0 = e
konstanta
merupakan nilai V(t) saat t = 0 yang dikenal sebagai keadaan awal
(Initial Condition).
Contoh :
Suatu rangkaian dengan arus yang mengalir saat t = 0.
Tentukan arus tanggapan alamiah dan pada waktu yang
lain.
Jawab :
Misalkan arus tanggapan alamiah IN = I0 est dan I0 = arus saat t = 0.
Impedansi rangkaian dihitung dengan memperhatikan dari kutub mana arah arus mengalir,
yaitu dari
Z(i) = 3 +
=3+
=
=
=
Dari hukum Ohm :
V=Z.i
Untuk V = 0, arus hanya akan ada jika Z(s) = 0, maka :
= 0 → 7s + 6 = 0 → 7s = - 6
S = - 6/7
Jika arus tanggapan :
iN = I0 e-6/7t
Jika rumus umum suatu fungsi arus :
Dalam bentuk normal :
i(t) = I0 e-st
= e-st = e-t/T
Dimana :
T = ¼ = konstanta waktu
Perbandingan i(t)/I0 sebagai fungsi t/T dapat dilukis sebagai berikut :
Nilai T dipandang sebagai ukuran waktu yang
diperlukan oleh tanggapan alamiah untuk hilang.
C. RANGKAIAN ARUS BOLAK – BALIK KEADAAN MANTAP
Tanggapan terhadap rangsangan luar yang dikenakan pada rangkaian dikenal
sebagai tanggapan terpaksa (Forced Respons). Rangkaian dapat berupa arus atau tegangan
sinusoida. Menurut rumus Euler ejx = cos x + j sin x. Fungsi sinusoida merupakan kasus
khusus fungsi eksponensial.
1. FUNGSI BERULANG
Jika suatu fungsi f(t) mempunyai bentuk gelombang sedemikian sehingga f(t)
= f (t + T).
Maka fungsi tersebut berulang dengan periode T.
Bagian bentuk gelombang yang terdapat pada satu periode disebut satu putaran
(daur / cycle), banyaknya putaran setiap detik disebut frekuensi (f) suatu gelombang
dan mempunyai satuan Hertz (Hz), atau :
f =
Hz
persamaan arus menurut fungsi waktu adalah :
i(t) = Im cos ωt
Dimana :
i(t)
= nilai sesaat arus pada setiap waktu t
Im
= nilai maksimum (Amplitudo)
oab
= merupakan satu putaran = T = 2πf (rad/detik)
ω
= frekuensi sudut (kecepatan sudut) =
= 2πf (rad/detik)
Persamaan arus menjadi :
i = Im cos ωt 2πft = Im cos
Untuk menggambarkan gelombang, titik asal waktu (sumbu acuan) dipilih pada
titik dimana arus mempunyai nilai maksimum positif.
Pada umumnya dalam suatu
rangkaian, gelombang tegangan dan arus tidak selalu mencapai nol atau maksimum
pada saat yang sama melainkan terpisah oleh suatu sudut fasa. (lihat gambar).
Persamaan – persamaan gelombang adalah:
v = Vm cos (ωt + α)
i = Im cos (ωt + β)
Beda sudut fasa antara kedua gelombang = θ = β – α. Gelombang tegangan yang
mencapai puncaknya sebelum gelombang arus dikatakan mendahului arus sebesar θ
(leading) sebaliknya arus tertinggal dari tegangan sebesar θ (lagging).
Untuk rangkaian arus bolak – balik, daya sesaat pada rangkaian merupakan hasil
kali v . i. Dari gambar terlihat bahwa untuk v dan i negatif selama setengah putaran,
daya p akan bernilai positif ( kecuali jika θ = 90° ) sehingga tegangan dan arus bolak –
balik merupakan cara efektif untuk menyalurkan daya dan tenaga.
Selama bagian putaran daya sama dengan sudut fasa antara arus dan tegangan,
daya tersebut menjadi negatif sehingga arah penyalurannya terbalik. Dibandingkan
dengan arus searah, keadaan ini merupakan suatu kerugian sebagaimana halnya
dengan daya sesaatnya yang tidak tetap besarnya. Kerugian ini dapat diatasi dengan
mempergunakan transformator.
Contoh :
PLN menghasilkan tenaga listrik dengan frekuensi 50 Hz dengan tegangan
maksimum 164 volt yang dicapai pada saat t = 0. Tentukan tegangan sesaat
Jawab :
Fungsi gelombang sinusoida tegangannya :
V(t) = Vm cos (ωt - α)
= 164 cos (2πf - α)
= 164 cos (2 . 3,14 . 50 . t - α)
= 164 cos (314 t - α) volt
Tegangan ini mencapai maksimum pada saat t = 0, maka :
V(0) = 164 cos (0 + α) = 164, α = 0.
Maka :
V(t) = 164 cos (314 t) volt.
2. NILAI RATA – RATA DAN NILAI EFEKTIF
Arus rata – rata identik dengan nilai searah ( konstan ) yang berguna untuk
menentukan perpindahan tenaga pada rangkaian arus searah, berikut ini akan
dipergunakan untuk fungsi perangsang berulang (sinusoida). Secara umum nilai rata –
rata setiap fungsi f(t) sepanjang selang tertentu antara t1 dan t2 dinyatakan sebagai :
F rata – rata =
f(t) dt
Untuk f(t) = fungsi berulang dengan suatu periode T detik, maka
Frata – rata =
f(ωt) d(ωt) =
f(t) dt =
f(θ) dθ
Nilai rata – rata tegangan sinusoida adalah :
Vrata-rata =
Vm cos (ωt - α) d(ωt - α)
Untuk Ø = ωt, maka :
Vrata-rata =
Vm cos (Ø - α) dØ =
=
=0
Jadi nilai rata – rata suatu gelombang sinusoida terhadap satu daur lengkap
sama dengan nol, sehingga dalam kasus ini nilai rata – rata harus dicari untuk setengah
daur positifnya atau setengah daur negatifnya yang kemudian dikali dengan dua (2).
Menurut hukum Joule, panas yang ditimbulkan oleh arus searah sebesar I
Ampere dalam resistor adalah tetap dan tidak tergantung dengan waktunya, yaitu :
P = I2R. Untuk arus yang berubah secara berulang terhadap waktu, maka daya
merupakan fungsi waktu, yaitu : P = I2(t)R.
Daya rata – rata untuk satu daur penuh adalah nol, karena penyerapan daya
selalu positif, baik arus yang mengalir ke arah positif atau sebaliknya.
Atau :
Prata – rata =
i2(t) R dt = {
t2 (t) dt} R
Daya rata – rata ini harus dibandingkan dengan daya searah, I2R, sehingga arus
berulang yang memberikan daya rata – rata yang sama dengan yang diberikan arus
searah i harus sebesar
i2 dt. Arus disini merupakan arus efektif dari arus
berulang menurut waktu dan dapat ditulis sebagai :
Ief =
Rumus ini juga berlaku untuk tegangan. Nilai efektif dikenal sebagai nilai
rumus (Root Mean Square).
Untuk arus sinusoida , nilai efektif :
Ief =
=
= 0,707 Im A
Pada dasarnya setiap rangkaian listrik menyalurkan daya dan tenaga, dimana
kedua besaran ini berbanding langsung dengan hasil kali tegangan dan arus. Oleh
karena nilai efektif selalu dipakai untuk menyatakan besar arus atau tegangan bolak –
balik, maka sebagai contoh : Penerangan rumah 110 volt berarti tegangan rms 110
volt, selain daripada itu hampir setiap alat ukur arus bolak – balik selalu menunjukkan
nilai efektif.
Fungsi waktu dari persamaan umum dapat ditulis :
v=
V cos (ωt - ) = Vm cos (ωt - )
i=
i cos (ωt - β) = Im cos (ωt - β)
Dimana :
V dan I adalah Nilai efektif, sedangkan Vm dan Im adalah Nilai maksimum
Contoh :
Bentuk gelombang arus pada suatu
penyearah
diperlihatkan
seperti
pada gambar.
Gelombang berbentuk sinusoida
antara π / 3 dan π radian dan sama
dengan nol untuk bagian daur
lainnya. Tentukan nilai efektifnya.
Jawab :
Fungsi arus tidak sinambung sehingga operasi yang diberikan untuk tiga
daerah diskrit dengan variabel ωt , maka :
I=
Karena nilai i adalah :

0


i (t )  10 sin t


0


0  i 

3

3
 i 
  i  2
Maka :
I =
=
= 10
= 10
= 10
= 10
=
=5
=5
= 5,089694 = 4,485 Ampere
3. FAKTOR BENTUK (F)
Didefinisikan sebagai perbandingan antara harga efektif dan harga rata – rata
dari bentuk gelombang, atau :
F=
=
Keadaan ini dipakai untuk tegangan dan faktor koreksi dari peralatan untuk
bentuk setengah gelombang simetris,
F(t) = - f (t +
)
dan mempunyai harga rata – rata = 0
Bila bentuk gelombang sinusoida dicari dahulu harga perioda (
atau disebut juga rata – rata
.
Note : Fungsi Goneometri yang penting :
1. Sin2 x = (1 – cos 2x)
2. Cos2 x = (1 + cos 2x)
3. 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x - y)
4. 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x - y)
5. 2 sin x sin y = cos (x - y) - cos (x + y)
6. ∫ sin x = - cos x + c
7. ∫ cos x = sin x + c
8. d sin f(x) = cos f(x) . d f(x)
9. d cos f(x) = - sin f(x) . d f(x)
Contoh : Cari harga rata – rata RMS untuk fungsi : Y(t) = Ym sin ωt
Yav =
→0
=
Yrms =
=0
=
=
=
=
=
Untuk fungsi sinus atau cosinus :
Harga efektif =
= 0,707 Ym
) positifnya
4. RANGSANGAN SINUSOIDA DALAM UNSUR – UNSUR RANGKAIAN

Untuk rangkaian Resistor, V = I . R, dimana R
adalah konstanta, jika arus berbentuk sinusoida,
maka akan menghasilkan tegangan sinusoida
pula, karena R konstan, maka tidak ada beda
fasa antara tegangan dan arus. Jadi jika :
i = Im sin (ωt + α)
Maka :
V = I .R = R . Im sin (ωt + α)

Untuk rangkaian Induktansi, V = L di/dt, jika
arus mengalir dalam rangkaian, maka :
= ωL Im cos (ωt - α)
V=L
Substitusi dengan goneometri didapat :
V = ωL Im sin (ωt – α + π/2) = Vm sin (ωt – α + π/2)
Arus akan tertinggal oleh tegangan sebesar π/2 radian atau 90°, jadi arus
mencapai nilai maksimum setelah tegangan melalui ¼ putaran dari nilai
maksimumnya..

∫ i dt, jika
Untuk rangkaian kapasitansi : V =
arus mengalir dalam rangkaian, maka :
V=
∫ Im sin (ωt - α) dt =
cos (ωt - α)
Atau
V = 1/ωc . Im sin (ωt – α - π/2)
= Vm sin (ωt – α - π/2)
Disini fungsi arus mendahului tegangan sejauh π/2 radian (90°)
Contoh :
Diketahui : I = 2 cos 3t Ampere
Tentukan : V ?
Jawab :
Menurut hukum Kirchoff II :
V = VL + VR = L di/dt + IR = 5
+ 3 (2 cos 3t)
= 10(-3 sin 3t) + 6 cos 3t = (6 cos 3t – 30 sin 3t) volt
D. METODE BILANGAN KOMPLEX
Metode ini diperlukan untuk menganalisa rangkaian yang mendapat rangsangan
sinusoida pada impedansi. Menurut kalkulus, setiap fungsi dapat diuraikan menjadi suatu
deret tak terhingga sehingga :

Cos θ = 1 -
+
-
+ ...

Sin θ = θ -
+
-
+ ...

ex =1 + x +
+
+
+...
jika x = j θ dan j2 = -1, maka :
ejθ = 1 + jθ -
-
+
=
+
...
+j
ejθ = cosθ + j sinθ → Rumus Euler
Contoh :
Jika suatu rangkaian terdiri dari R, L dan C maka berdasarkan
hukum Kirchoff II didapat :
-V(t) + VR + VL + VC = 0
V(t) = R . I + L
+ ∫ i dt
Untuk :
i = in + j ik
dan j =
Maka :
v = Vn + j Vk, dimana n = nyata dan k = khayal
Sehingga :
Vn = R . in + L
+ ∫ in dt
Vk = R . ik + L
+ ∫ ik dt
Persamaan ini dapat direlasikan dengan metoda bilangan komplex dimana :
In = Im cos ωt dan Ik = Im sin ωt
i = Im [cos ωt + j sin ωt]
memakai bentuk eksponen komplek :
i = Im est , dimana s = jω,
Maka :
VL = sLi = jωLi
VC =
i=
i
Secara umum dapat ditulis :
V = (R + LS + 1/CS) . i = (R + jωL + 1/jωl) i
= [R + j(ωL – 1/ωC)] Im (cos ωat + j sin ωt)
Memakai metoda bilangan kompleks :
= z . → z = f(jω)
Dimana :
= Vm ej(ωt + α)
Z = R + LS + 1/CS = R + j (ωL – 1/ωC)
Memakai komponen nyata dan khayal dapat ditulis :
Z = R + jx
Y = G + jβ
Arus kompleks :
=
=
=
ej(ωt + α - θ) =
=
cos(ωt + α - θ)
Kesimpulan :
1. Amplitudo arus dihubungkan dengan amplitudo tegangan dan besar impedansi oleh
persamaan : Vm = Im . z
2. Arus tertinggal oleh tegangan sebesar sudut impedansi atau mendahului jika
sudutnya negatif.
Macam – macam bentuk bilangan komplek :
1. Bentuk rectangular
:
z = R + jx
2. Bentuk polar (stein metz) :
z = |z| < θ
3. Bentuk eksponensial
:
z = |z| ejθ
4. Bentuk trigonometri
:
z = |z| ( cos θ + j sin θ)
Contoh :
1. z = 10 + j5
Ubah ke bentuk bilangan komplek lain
Jawab :

Bentuk Polar
Z =
< Arctan 5/10
= 11,2 < 26,57° = 11,2 < 0,46 rad

Bentuk Ekponensial
Z = 11,2 ej0,46

Bentuk Trigonometri
Z = 11,2 (cos 26,57° + j sin 26,57°)
2. Suatu tegangan yang melalui jaringan sebesar 50 mV, arus pada cabang pertama
adalah 150 mA dan leading terhadap tegangan sebesar 60°. Arus pada cabang
kedua adalah 100 mA dan lagging terhadap tegangan sebesar 45. Buat dalam
bentuk polar dan rectangular ?
Jawab :
a.
Dalam bentuk polar
V = 10 < 0° mV
I1 = 150 < 60° mA
I2 = 100 < - 45° mA
b. Dalam bentuk rectangular
V
= 50 (cos 0° + j sin 0°) = (50 + j 0)mV
I1
= 150 (cos 60° + j sin 60°) = 150 (0,5 + j 0,866)
= (75 + j 129,9)mA
I2
= 100 (cos - 45° + j sin - 45°) = 100 (0,707 – j 0,707)
= (70,7 – j 70,7)mA
E. OPERASI MATEMATIKA BILANGAN KOMPLEK
1. PENJUMLAHAN / PENGURANGAN
a. Rectangular
z1 = A + jB
z2 = x + jY
z1
(x + jY)
z2 = (A + jB)
= (A
x) + j(B
Y)
b. Polar
z1 = A1 < φ1
z1
z2 = A2 < φ2
z2 = A1 < φ1
A2 < φ2
= A1(cos φ1 + j sin φ1)
= (A1 cos φ1
A2(cos φ2 + j sin φ2)
A2 cos φ2) + j (A1 sin φ1
A2 sin φ2)
c. Eksponensial
z1 = A1 ejφ1
z1
z2 = A2 e-jφ2
z2 = A1 < φ1´°
= (A1 cos φ1´
A2 < φ2´°
A2 cos φ2´) + j (A1 sin φ1´
A2 sin φ2´)
d. Trigonometri
z1 = A1(cos φ1 + j sin φ1)
z1
z2 = (A1 cos φ1
;
z2 = A2(cos φ2 + j sin φ2)
A2 cos φ2) + j (A1 sin φ1
2. PERKALIAN / PEMBAGIAN
a. Rektangular
z1 z2 = (A + jB)(x + jy)
= (Ax - By) + j (Ay + Bx)
z1 z2 =
x
=
b. Polar
z1 z2 = A1 < φ1 . A2 < φ2 = A1 . A2 <φ1 + φ2
z1 z2 =
=
< φ1 - φ2
c. Eksponensial
z1 z2 = A1 ejφ1 . A2 ejφ2 =A1 . A2 ej(φ1 + φ2)
z1 z2 =
=
e j(φ1 - φ2)
A2 sin φ2)
d. Trigonometri
z1 z2 = A1(cos φ1 + j sin φ1) . A2(cos φ2 + j sin φ2)
= A1 . A2{(cos φ1 cos φ2 - sin φ1 sin φ2) + j (cos φ1 sin φ2 + sin φ1 cos φ2)
= A1 . A2{cos(φ1+ φ2) + j sin (φ1+ φ2)}
z1 z2 =
=
{
=
{
=
{cos(φ1-φ2) + j sin(φ1-φ2)}
}
F. METODE FASOR
Merupakan cara untuk menyelesaikan persoalan rangkaian jika rangsangan arus
dan tegangan yang dikenakan pada rangkaian berupa sinusoida dengan frekuensi yang
sama. Pada metode ini fungsi arus dan tegangan dinyatakan sebagai bilangan eksponensial
kompleks dan dapat dilukiskan sebagai vektor.
Sebagai contoh :
1. gambarkan diagram phasor dari soal no 2 di atas.
2. Suatu tegangan sinusoida :
V = 3 cos (ωt + 45°)
merupakan bagian nyata dari fungsi eksponensial
kompleks : V = 3 ej(ωt + 45°). memakai metoda fasor
dapat dilukis sebagai:
Besar vektor = 3, sudutnya adalah fasa sesaat ωt +
45°.
Karena t bertambah menurut waktu, maka
sudutnya juga bertambah menurut waktu.
Nilai 3 ejωt disebut fasor tegangan yang memiliki besar dan sudut fasa atau dapat
ditulis v = 3 < 45°.
3. Suatu rangkaian fasor umum dengan dua kutub mempunyai tegangan dan arus yaitu :
v = Vm cos (ωt + α) = Vm < α°
i = Im cos (ωt + β) = Im < β°
sesuai dengan hukum Ohm, hubungan antara tegangan dan arus maka :
z =
=
=
= |z| <θ
z (impedansi) adalah bilangan kompleks, bukan fasor karena tidak mempunyai fungsi
eksponensial waktu. Bentuk koordinat segiempat dan biasa ditulis sebagai z = R + jx,
dimana R = Re |z| yaitu komponen resistif (Resistansi) dan x = Im|z| yaitu komponen
resistif (Reaktansi). Secara grafik dapat digambarkan sebagai :
Memakai persamaan pythagoras :
|z| = √ R2 + x2
θ = tan-1
Atau :
R = |z| cos θ dan x = |z| sin θ
Reaktansi terbagi menjadi reaktansi induktif (XL) = ωL dan reaktansi kapasitif (XC) =
-1/ωC. Telah diketahui bahwa : Y = 1/z = G + jβ; maka suseptansi juga memiliki
suseptansi induktif (BL)= – 1/ωL dan suseptansi kapasitif (BC) = ωC selanjutnya
diperoleh hubungan :
G=
dan B =
4. Gunakan diagram fasor untuk menentukan arus sumber i yang diperlukan untuk
mendapatkan tegangan
= 10 < 0° dalam rangkaian pada gambar di bawah ini :
Jawab :
Dari hukum Volt Ampere didapat harga masing –
masing arus :
IR =
=
. YR = 10 < 0° x 0,3 = 3 < 0°
IC =
=
. YC = 10 < 0° x j 0,6 = 10 < 0° x 0,6 < 90° = 6 < 90°
IL =
=
. YL = 10 < 0° x (-j 0,2) = 10 < 0° x 0,2 < - 90° = 2 < - 90°
Dari hukum arus :
Itotal = IR + IL + IC
Itotal = 3 < 0° + 6 < 90° + 2 < - 90°
= 3 + j6 – j2 = 3 + j4
=
< Arctan = 5 < 53,1° A
= 5 cos (ωt + 53,1°) A
. Gambar diagram fasor,
Secara umum dapat disimpulkan :
1. Arus dalam suatu resistansi sefasa dengan
tegangan resistansi.
2. Arus
dalam
induktansi
tertinggal
oleh
tegangan induktansi sebesar 90°
3. Arus dalam kapasitansi mendahului tegangan kapasitansi sebesar 90° (leading).
4. Arus – arus tegangan rangkaian dapat dijumlahkan secara grafik sesuai dengan
hukum Kirchoff dengan pertolongan diagram fasor.
G. PENYEDERHANAAN RANGKAIAN
Pada masalah – masalah sebelumnya telah dibahas metoda penyederhanaan suatu
rangkaian rumit menjadi resistansi setara tunggal. Metoda ini juga dapat dipergunakan
untuk rangkaian bolak – balik.
Jika kutub a dan b dipasang sumber, maka impedansi
driving point atau impedansi setara adalah :
z = V/I → Y = I/V = 1/z
secara umum impedansi dan admitansi adalah operator
fasor yang mempunyai bagian nyata dan khayal.
Selanjutnya persamaan tegangan menjadi :
= z = (R + jx) = R + j Ix
=
Y=
(G + jB) = G + j
Arus yang sama pada R dan x menunjukkan hubungan seri dan tegangan yang
sama pada G dan B menunjukkan hubungan paralel.
Note :
 Reaktansi induktif selalu positif dan
reaktansi kapasitif selalu negatif.
 Suseptansi induktif selalu negatif dan
suseptansi kapasitif selalu positif.
Metoda – metoda yang telah dibahas sebelumnya untuk rangkaian arus searah,
dapat dipakai untuk rangkaian bolak-balik dengan menggantikan resistansi menjadi
impedansi atau admitansi.
Contoh :
Tentukan impedansi masukan rangkaian pada gambar, jika frekuensi sudut fungsi
penggerak (Driving Function) = 10 rad/det
Jawab :
Impedansi kombinasi seri :
R + jωL = 10 + j 10 . 1 = 10 + j 10 = 14,14 < 45°Ω
Y= =
=
= (0,05 – j 0,05) siemens
Yaa´
= (0,05 – j 0,05) +
zaa´
=
zbaa´
= 40 + 8,84 + j 5,31 = (48,84 + j 5,31) Ω = 49,13 < 6,2° Ω
Ybaa´
=
=
=
= 0,083 – j 0,05 = 0,097 < -31° s.
= 10,31 < 31° Ω = (8,84 + j 5,31) Ω
= 0,02 < - 6,2° = (0,02 – j 0,002)s
Yc = jωC = j 10 . 10-3 = j 10-2 s
Ybb´
= 0,02 – j 0,002 + j 0,01 = 0,02 + j 0,08 = 0,022 < 21,8° s
Impedansi driving point (z) =
=
= 46,42 < - 21,8° Ω