α α α α α

Vty2 = Vo2 sin2 α – 2 g h, di titik tertinggi
kita dapatkan Vty = 0, maka diperoleh :
h = hmaks
GERAK PELURU
Teori Singkat :
Y
Vy = 0
Vy = Vo sin α
Vo
hmaks =
Vo2 sin 2 α
2g
hmaks
hmaks = tinggi maksimum
α
X
Vx = Vo cos α
Xmaks
Gerak parabola terdiri
komponen gerak yaitu :
dari
dua
thmaks =
A. Gerak horisontal berupa GLB
B. Gerak vertikal berupa GLBB
A.Gerak horisontal
berupa GLB
(searah
3. Dari perumusan :
Vty = Vo sin α – g t, di titik tertinggi Vy =
0, maka didapat :
sumbu-x)
Vo sin α
=
g
padahal txmaks = 2 thmaks, sehingga :
txmaks =
X = Vx t → X = Vo cos α t
dengan Vx = Vo cos α
B.Gerak vertikal (searah sumbu-y) berupa
GLBB
Vty = Vo sin α ± g t
2 h maks
g
2 Vo sin α
=2
g
2 h maks
g
Jika nilai txmaks ini dimasukkan ke
dalam nilai t pada X = Vo cos α t, maka
akan diperoleh :
Vo 2 sin 2α
Xmaks =
g
Vty2 = Vo2 sin2 α ± 2 g h
h = Vo sin α t ± ½ g t2
Xmaks = Jauh maksimum
• Tanda positif jika gerakan
menuju ke bawah
• Tanda negatif jika gerakan
menuju ke atas
benda
benda
4. Energi kinetik pada titik tertinggi :
Ek = ½ m Vx2 = ½ m ( Vo cos α )2
Ek = Eko cos2 α
Catatan :
5. Energi potensial pada titik tertinggi :
1. Kecepatan dititik tertinggi :
• Vy = 0
• Vx = Vo cos α (tetap)
Secara umum :
Ep = mghmaks = m g
Ep = Eko sin2 α
V = Vx2 + Vy2
Y
Vy V
Vy = 0
V = Vx = Vo cos α
Vx
Vx
V
Vy
X
-g
2. Dari perumusan :
Vo 2 sin 2 α
2g
+g
6. Perbandingan antara Xmaks dan hmaks adalah :
Vo 2 sin 2 α
X maks
g
=
= 4 ctg α
2
h maks
Vo sin 2 α
2g
X maks
= 4 ctg α
h maks
7. Dua benda yang menjalani lintasan parabola
akan jatuh tepat berimpit pada jarak terjauh
yang sama jika jumlah sudut elevasi
keduanya 900. Pada gambar di bawah α + β
= 900
Y
Catatan :
1. Gerak Melingkar Beraturan (GMB)
adalah gerak yang lintasannya berupa
lingkaran dengan kelajuan konstan
(
v = konstan )
VB
berimpit
α
VA ≠ VB
VA = VB
R
θω
S
R
β
X
=====O0O=====
VA
GERAK MELINGKAR
Teori Singkat :
Gerak melingkar dibagi menjadi 2 :
1. GMB
2. GMBB
Sebelum membahas lebih jauh perumusan
gerak melingkar, perlu diingat terdapat
konversi awal hubungan antara gerak lurus
(linear) dengan gerak melingkar (rotasi)
V=ωR
a=αR
S=θR
Keterangan :
ω = Kecepatan sudut / anguler (rad/det)
α = Percepatan sudut (rad/s2)
θ = Jarak lintasan sudut (rad)
1. GMB
(Gerak Melingkar Beraturan)
Perumusan GMB mirip GLB, sehingga
diperoleh persamaan sebagai berikut :
1. Dari GLB → S = V t, maka :
θ R = ω R t, diperoleh :
θ =ωt
2. Dari GLB → V = tetap, maka :
ω R = tetap, diperoleh :
ω = tetap
3. Dari GLB → a = 0, maka
α R = 0 diperoleh :
α=0
Kecepatan pada GMB tidak sama di
setiap lintasannya, sebab kecepatan
adalah
besaran
vektor
yang
mensyaratkan adanya besar (magnitude) dan arah. Namun lajunya tetap
2. Penyebab gerak melingkar adalah
percepatan sentripetal (asp) atau
percepatan radial (ar) yang arahnya
menuju ke pusat lingkaran
V2
asp = ar =
= ω2R
R
3. Gaya Sentripetal :
Fsp = m
V2
= mω 2 R
R
4. 1 putaran = 3600 = 2 π radian
Keterangan :
V = Kecepatan linear (m/s)
S = Jarak (m)
asp = Percepatan sentripetal / radial
(m/s2)
aT = Percepatan tangensial(m/s2)
a = Percepatan linear / total(m/s2)
Fsp = Gaya sentripetal (N)
2. GMBB
(Gerak Melingkar Berubah Beraturan)
Perumusan GMBB mirip dengan GLBB, dan
dengan konversi sebagaimana yang terdahulu
diperoleh persamaan sebagai berikut :
1. Vt = Vo ± a t, dikonversi menjadi :
ωt = ωo ± α t
2. Vt2 = Vo2 ± 2 a S, dikonversi menjadi :
ωt2 = ωo2 ± 2 α θ
3. S = Vo t ± ½ a t2, dikonversi menjadi :
θ = ωo t ± ½ α t2
Catatan :
1. Gerak Melingkar Berubah Beraturan
(GMBB) adalah gerak yang lintasannya
berupa lingkaran dengan percepatan
sudut konstan (α = konstan)
2. Percepatan linear total (at) adalah
merupakan
resultan
percepatan
tangensial
(aT)
dan
percepatan
sentripetal (asp)
Aplikasi Gerak Melingkar
1. (Benda diputar vertikal)
1
T
mg
T
θ
T
2
3
θ
mg cos θ
mg
mg
Ketentuan :
1. Gaya berat selalu berarah ke bawah
2. Gaya tegangan tali selalu menuju pusat
lingkaran
3. Dalam perumusan, arah gerak ke pusat
lingkaran di beri tanda positif, sedang
gaya yang menjauhi pusat negatif.
R
θω a
Dari persamaan : ∑Fsp = m ω 2 R
asp
aT
1. Kondisi di titik tertinggi :
Secara vektor :
T + W = m ω2 R
r r
r
a = a T + aasp
T - W = m ω2 R
Secara skalar :
at =
2
2. Kondisi di titik terendah :
2
aT + a sp , karena
asp = ω 2 R dan aT = α R, maka
3. Kondisi di titik yang membentuk sudut θ
terhadap vertikal
T - W cos θ = m ω2 R
at = α 2 R 2 + ω 4 R 2
2. (Benda bergerak di luar bola)
at = R
α +ω
2
4
N
=====O0O=====
1
mg
2
θ
N
θ
mg cos θ
mg
Catatan :
Persamaan untuk kondisi ini sesuai dengan
persamaan untuk benda diputar vertikal dengan
mengganti T dengan N (gaya normal)
Dari persamaan : ∑Fsp = m ω 2 R
•
Kondisi pada nomor 1.
VA = VB
ωA R A = ωB R B
mg – N = m ω2 R
•
Kondisi pada nomor 2.
mg cos θ – N = m ω2 R
4. (Kecepatan di sepanjang Lingkaran)
3. (Benda bergerak di dalam bola)
B
VB = g R
1
R
N
mg
N
mg cos θ
3
mg
Keterangan :
•) VA = Kecepatan minimum agar benda
dapat
bergerak
satu
kali
lingkaran penuh
•)VB
Dari persamaan : ∑Fsp = m ω 2 R
• Kondisi pada nomor 1.
mg + N = m ω2 R
•
Kondisi pada nomor 2.
N - mg cos θ = m ω2 R
•
Kondisi pada nomor 3.
N – mg = m ω2 R
Kecepatan di titik tertinggi
sedemikian
sehingga
gaya
normal / gaya tegang tali nol
Σ Fsp = m V2/R
W – N = m V2/R → mg = m V2/R
V = gR
•) Bukti VA = 5 g R , dapat diperoleh
sebagai berikut :
1. Roda A dan roda B sesumbu :
Dari hukum kekekalan energi :
ωA = ωB
VA
V
= B
RA RB
ωB
=
•) Bukti VB = g R
4. (Hubungan roda-roda)
ωA
VA = 5 g R
A
2
N
EpA + EkA = EpB + EkB
0 + 1/2 m VA2 = m g h + 1/2 m VB2
Dengan mengingat hB = 2 R, maka :
VA2 = 2 g (2R) + g R = 5 g R
2. Roda A dan roda B bersinggungan :
VA = 5 g R
ωB
5. (Benda di putar horizontal / ayunan
konis)
ωA
RA
RB
θ θ
T
VA = VB
ωA R A = ωB R B
T cos θ
l
T sin θ
3. Roda A dan roda B dihubungkan tali
R
R = l sin θ
ωB
ωA
RA
RB
Fsf
W = mg
•) Gaya pada arah sumbu –x :
V2
T sin θ = m
...............................(1)
R
•) Gaya pada arah sumbu –y :
T cos θ = m g ..................................(2)
•) Persamaan (1) jika dibagi persamaan (2) :
tg θ =
V2
→
gR
arah datar dan tinggi maksimum peluru
adalah :
A. 8
D. 0,25
B. 4
E. 0,125
C. 1
V = g R tg θ
Jawaban : B
(Lihat catatan no.6)
6. (GMB pada bidang datar kasar)
Fsp
m
Fges
•) Fges = gaya gesekan, berfungsi sebagai
gaya sentrifugal (menjauhi pusat)
Fsp =
m V2
, dan Fges = µ N = µ mg
R
Dari skema diperoleh Fsp = Fges, maka
diperoleh hubungan :
m V2
= µ mg →
R
V = υgR
=====O0O=====
Contoh Soal dan Pembahasan :
1. Terhadap koordinat x horisontal dan y
vertikal, sebuah benda yang bergerak
mengikuti gerak peluru mempunyai
komponen-komponen kecepatan yang :
A. Besarnya tetap pada arah x dan berubahubah pada arah y
B. Besarnya tetap pada arah y dan berubahubah pada arah x
C. Besarnya tetap baik pada arah x maupun
pada arah y
D. Besarnya berubah-ubah baik pada arah x
maupun pada arah y
E. Besar dan arahnya terus-menerus
berubah-ubah terhadap waktu
Jawaban : A
Vx = Vo cos α (tetap)
Vy = Vo sin α – g t (berubah-ubah
tergantung waktu)
2. Bila besar sudut antara horisontal dan arah
tembak
suatu
peluru
450,
maka
perbandingan antara jarak tembak dalam
Xmaks
= 4 ctg 450 = 4
hmaks
3. Peluru A dan B ditembakkan dari senapan
yang sama dengan sudut elevasi yang
berbeda. Peluru A dengan sudut 300 dan
peluru B dengan sudut 600. Perbandingan
antara tinggi maksimum yang dicapai
peluru A dan B adalah :
A. 1 : 2
D. 1 : √3
B. 1 : 3
E. √3 : 1
C. 2 : 1
Jawaban : B
hmaks.A sin 2 30 1
=
=
hmaks.B sin 2 60 3
4. Sebuah peluru bergerak mengikuti lintasan
parabolik seperti tergambar. Sumbu tegak h
menyatakan tinggi sedangkan sumbu
mendatar s jarak yang ditempuh peluru
dalam arah horisontal. Pada kedudukan A
dan B masing-masing :
(1) Energi potensial peluru sama besar
(2) Laju peluru sama besar
(3) Energi total peluru sama besar
(4) Besar momentum peluru sama
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
h
A
α // h
B
// h
S
Jawaban : (semua benar) → E
Dua titik dengan lintasan parabolik pada
posisi yang berbeda, namun memiliki
ketinggian sama, akan mempunyai nilai
yang sama untuk :
- Energi potensial
- Laju
- Energi total
- momentum
6. Sebuah peluru ditembakkan dengan arah
horisontal dengan kecepatan V pada
ketinggian h dari permukaan tanah. Jika
gesekan udara diabaikan, jarak horisontal
yang ditempuh peluru tergantung pada :
Vo
h
x
1. Kecepatan awal V
2. Ketinggian h
3. Percepatan gravitasi
4. Massa peluru
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
Jawaban : (1, 2, dan 3 benar) → A
(Lihat catatan no. 3)
Jarak horisontal yang dapat ditempuh
peluru pada posisi hmaks adalah :
X=Vt→X=V
2 h maks
g
6. Setiap benda yang bergerak secara
beraturan dalam suatu lintasan bentuk
lingkaran ...
A. vektor kecepatannya tetap
B. vektor percepatannya tetap
C. gaya radialnya tetap
D. momentum linearnya tetap
E. semua jawaban diatas salah
Jawaban : E
Pilihan A,B,C dan D merupakan besaran
vektor, sedang besaran vektor mensyaratkan
adanya besar (magnitude) dan arah. Pada
pilihan A,B,C,D besar/magnitude nya tetap,
namun arah pada gerak melingkar berubahubah sehingga pilihan tersebut semua salah.
7. Suatu benda bergerak melingkar beraturan,
maka :
1. Benda mendapat gaya yang besarnya
sebanding dengan lajunya
2. Kecepatan benda tetap
3. Benda mempunyai percepatan radial
yang besarnya sebanding dengan
lajunya
4. Benda mempunyai percepatan radial
menuju pusat lingkaran
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
Jawaban : (4 saja benar) → D
Analisa :
1. (salah, lihat perumusan GMB) Gaya
sebanding kuadrat lajunya
Σ Fsp = m V2/R
1. (salah, lihat catatan 3) kecepatan tidak
tetap, karena besaran vektor yang
arahnya berubah-ubah
2. (salah, lihat perumusan GMB) besar
percepatan radial sebanding dengan
kuadrat lajunya asp = V2/R
3. (benar. lihat catatan 1) percepatan
sentripetal arahnya selalu menuju ke
pusat lingkaran
8. Sebuah benda bermassa 5 kg bergerak
secara beraturan dalam lintasan yang
melingkar dengan kelajuan 2 m/s. Bila jarijari lingkaran itu 0,5 m, maka :
1. Waktu putarnya adalah 0,5 π detik
2. Percepatan sentripetalnya 8 m/s2
3. Gaya sentripetalnya 40 Newton
4. Vektor kecepatannya tidak tetap
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
Jawaban : (1,2,3,4 benar) → E
(Lihat teori singkat soal no.51, perumusan
GMB)
Analisa :
1. (benar) Rumus kecepatan :
2 π (0,5)
V=2πR/T→ T=
= 0,5πs
2
2. (benar) rumus percepatan :
asp = V2/R → asp = (2)2/0,5 = 8 m/s2
3. (benar) Rumus gaya sentripetal :
Σ Fsp = m asp → Σ Fsp = (5) (8) = 40 N
4. (benar) vektor kecepatannya tak tetap,
karena arahnya berubah-ubah
9. Dari keadaan diam, benda tegar melakukan
garak rotasi dengan percepatan sudut 15
rad/s2. Titik A berada pada benda tersebut,
berjarak 10 cm dari sumbu putar. Tepat
setelah benda berotasi selama 0,4 sekon, A
mengalami percepatan total (dalam m/s2)
sebesar :
A. 1,5
D. 3,9
B. 2,1
E. 5,1
C. 3,6
Jawaban : D
•) α = 15 rad/s2, t = 0,4 dt, ωo = 0 (diam)
•) ωt = ωo + α t → ωt = α t → ωt = 6 rad/s
•) asp = ω2 R → asp = 3,6 m/s2
•) aT = α R → aT = 1,5 m/s2
gambar. Dari grafik
disimpulkan
bahwa
penembakan adalah :
•) a total = (a T ) 2 + (a sp ) 2
•) a total = (1,5) 2 + (3,6) 2 m/s 2 = 3,9 m/s 2
10. Sebuah batu dengan massa 2 kg diikat
dengan tali dan diputa, sehingga lintasannya
berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari
0,5 m. Jika kecepatan sudut batu 6 rad/s dan
g = 10 m/s2, maka tegangan tali pada saat
batu di titik tertinggi adalah :
A. 36 N
D. 124 N
B. 144 N
E. 56 N
C. 16 N
A. 300
B. 450
C. 750
tersebut dapat
sudut
elevasi
D. 900
E. 600
5. Agar suatu lemparan sebuah bola dapat
mencapai jarak terjauh, maka besar sudut
lemparan terhadap bidang horisontal
sebesar ...
A. 300
D. 900
B. 450
E. 600
0
C. 75
6. Tentukan besar tan α bila benda tiba di B
setelah 2 detik
Jawaban : C
Vo = 50 m/s
Pada kondisi di titik tertinggi :
A
T = m ω2 R – mg
T = (2) (6)2 (0,5) –(2) (10) N = 16 N
=====O0O=====
α
Soal-soal :
1. Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat
terbang yang sedang melaju horisontal 720
km/jam pada ketinggian 490 m. Benda itu
akan jatuh pada jarak horisontal sejauh
...meter (diketahui g = 9,8 m/s2)
A. 1000
D. 2900
B. 2000
E. 4000
C. 2450
2. Pada tendangan bebas suatu permaian
sepakbola, lintasan mencapai titik tertinggi
45 m di atas tanah. Berapa lama harus
ditunggu sejak bola ditendang sampai bola
kembali di tanah. Abaikan gesekan udara
dan ambil g = 10 m/s2
A. 3 detik
D. 9 detik
B. 4,5 detik
E. 10 detik
C. 6 detik
3. Sebuah peluru ditembakkan dengan
kecepatan awal tertentu, maka jarak tembak
yang sama akan dihasilkan oleh pasangan
sudut :
A. 300 dan 450
D. 530 dan 370
0
0
B. 45 dan 60
E. 600 dan 350
C. 750 dan 250
4.
E (Joule)
400
Ek
300
Ep
t detik
Grafik hubungan antara energi terhadap
waktu dari gerak parabola seperti pada
B
A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5
E. 0,6
7. Pada tendangan bebas suatu permainan
sepakbola, bola ditendang melayang di
udara selama 4 detik. Jika gesekan udara
diabaikan dan g = 10 m/s2, maka bola
mencapai tinggi sebesar ...
A. 12 m
D. 30 m
B. 16 m
E. 48 m
C. 20 m
8. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan
awal 20 m/s dengan sudut elevasi 300. Jika
g = 10 m/s2 jarak mendatar terjauh yang
dicapai bola adalah ...
A. 20 √3 m
B. 20 m
C. 10 √3 m
D. 10 m
E. 5 m
9. Sebuah peluru ditembakkan sedemikian
rupa sehingga jarak tembakannya sama
dengan tiga kali tinggi maksimum. Jika
sudut elevasi α, maka besar tan α adalah ...
A. 4/3
B. 3/4
C. 1/2
D. 2
E. 1/4
10. Sebuah peluru bermassa 10 gram dan
kecepatan 100 m/s mengenai dan
menembus sebuah balok dengan massa 10
kg yang diam di atas bidang datar tanpa
gesekan. Ternyata kecepatan balok setelah
tumbukan 0,05 m/s dan jatuh sejauh Xb =
0,2 m dari titik 0. Berapa jauh peluru tiba di
tanah ?.
15. Pada gerak melingkar beraturan, bila ω =
kecepatan sudut, f = frekuensi dan T =
periode, maka hubungan antara ω, f dan T
adalah …
1
2π
dan ω =
T
f
1
B. f = dan ω = 2 π T
T
1
C. f = dan ω = 2 π f
T
1
D. T = dan ω = 2 π T
f
1
2π
E. T = dan ω =
f
f
A. f =
0
Xb
A.100 m
B. 200 m
C. 225 m
Xp
D. 250 m
E. 275 m
11. Sebuah benda dengan massa 5 kg diikat
dengan tali berputar dalam satu bidang
vertikal. Lintasan dalam bidang itu adalah
satu lingkaran dengan jari-jari 1,5 m. Jika
kecepatan sudut tetap 2 rad/s, dan g = 10
m/s2, maka tegangan tali pada saat benda itu
ada pada titik terendah adalah :
A. 30 N
B. 40 N
C. 50 N
D. 70 N
E. 80 N
16. Sebuah benda yang melakukan gerak
melingkar beraturan mempunyai …
A. Kecepatan yang konstan
B. Percepatan yang konstan
C. Sudut simpangan yang konstan
D. Kelajuan yang konstan
E. Gaya sentripetal yang konstan
12. Akibat rotasi bumi, keadaan Hasan yang
bermassa a dan ada di Bandung, dan David
yang bermassa a dan ada di London, akan
sama dalam hal :
A. laju linearnya
B. kecepatan linearnya
C. gaya gravitasi buminya
D. kecepatan angulernya
E. percepatan sentripetalnya
17. Sebuah benda bermassa m diikatkan di
ujung seutas tali, lalu diayunkan di bidang
vertikal. Agar benda dapat melakukan gerak
melingkar penuh, maka di titik terendah
gaya sentripetal maksimum haruslah :
A. 5 mg
D. 2 mg
B. 4 mg
E. 1 mg
C. 3 mg
13. Seorang anak duduk di atas kursi pada roda
yang berputar vertikal. Jika g = 10 m/s2 dan
jari-jari roda 2,5 m, maka laju maksimum
roda agar anak tidak terlepas dari tempat
duduknya ...m/s
18. Sebuah sepeda motor membelok pada
tikungan berbentuk busur lingkaran dengan
jari-jari 5 meter. Jika koefisien antara roda
dan jalan 0,5 dan g = 10 m/s2 , maka
kecepatan motor terbesar yang diizinkan
adalah :
A. 5 m/s
D. 2,0 m/s
B. 3,0 m/s
E. 1,5 m/s
C. 2,5 m/s
R
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
E. 2
14. Sebuah benda dengan massa 10 kg diikat
dengan tali dan diputar sehingga lintasan
berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari
1 meter. Gaya tegang maksimum yang
dapat ditahan tali 350 N. Jika g = 10 m/s2,
kecepatan benda maksimum ...m/s
A. 4,5
D. 6
B. 5
E. 6,5
C. 5,5
19. Sebuah batu massanya 1 kg diputar
mendatar di atas kepala dengan seutas tali
yang panjangnya 1 meter. Gaya tegang tali
maksimum 500 N. Jika tinggi batu dari
tanah 2 meter dan tiba-tiba tali putus
(seperti pada gambar), maka jarak mendatar
terjauh yang dapat ditempuh batu adalah :
h = 2m
X=?
X=?
A. 20 m
B. 14 m
C. 15 m
D. 21 m
E. 8,5 m
20. Sebuah benda 100 gram diikat dengan tali
sepanjang 50 cm digantung dan diputar
pada suatu ayunan konis. Tentukan kelajuan
ayunan tersebut jika sin θ = 0,6
A. 1,3 m/s
D. 1,6 m/s
B. 1,4 m/s
E. 1,8 m/s
C. 1,5 m/s
=====O0O=====