Ruang Vektor Euclid R2 dan R3

Ruang Vektor Euclid R2 dan R3
Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
September 2015
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
1 / 116
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.
2
Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.
3
Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.
4
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti
Aminah.
Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.
5
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
2 / 116
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
3 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
4 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Vektor di Sekolah Menengah: Operasi Aritmetika
Latihan
Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang
telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R2 , yaitu P1 (3; 5)
!
!
dan P2 ( 1; 2). Jika ~u = P1 P2 dan ~v = P2 P 1 , tentukan:
1
~u
2
~v
3
3~u
4~v
4
5
1
2
(~u + 4~v )
MZI (FIF Tel-U)
( 2~v + ~u) + 12 ~u
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
5 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
6 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi:
1
!
~u = P1 P2 = ( 1
MZI (FIF Tel-U)
3; 2
( 5)) = ( 4; 3).
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
6 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi:
1
2
!
~u = P1 P2 = ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).
!
~v = P2 P1 = (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
6 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi:
1
2
3
!
~u = P1 P2 = ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).
!
~v = P2 P1 = (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)
3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
6 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi:
1
2
3
4
!
~u = P1 P2 = ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).
!
~v = P2 P1 = (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)
3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)
4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
6 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi:
1
2
3
4
5
!
~u = P1 P2 = ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3).
!
~v = P2 P1 = (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)
3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)
4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12).
1
u + 4~v )
2 (~
1
1
~
u
u
2 + 2~
( 2~v + ~u) + 12 ~u = 12 ~u + 2~v + 2~v ~u + 12 ~u =
~u + 2~v + 2~v = 4~v = 4 (4; 3) = (16; 12).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
6 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Vektor di Sekolah Menengah: Jarak dan Panjang
Latihan (Jarak dan Panjang di R2 )
Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang
telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R2 , yaitu P1 (3; 5)
dan P2 ( 1; 2). Tentukan
1
2
Jarak dari P1 ke P2 .
!
Panjang vektor P2 P1
Latihan (Jarak dan Panjang di R3 )
Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang
telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R3 , yaitu
P1 (1; 1; 3) dan P2 ( 2; 1; 1). Tentukan
1
2
Jarak dari P2 ke P1 .
!
Panjang vektor P1 P2 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
7 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi untuk vektor di R2 :
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
8 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi untuk vektor di R2 :
1
Misalkan
q d adalah jarak dari P1 ke P2 , maka
2
2
d = (x (P2 ) x (P1 )) + (y (P2 ) y (P1 )) =
q
q
2
2
2
2
( 1 3) + ( 2 ( 5)) = ( 4) + (3) = 5 satuan.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
8 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi untuk vektor di R2 :
1
2
Misalkan
q d adalah jarak dari P1 ke P2 , maka
2
2
d = (x (P2 ) x (P1 )) + (y (P2 ) y (P1 )) =
q
q
2
2
2
2
( 1 3) + ( 2 ( 5)) = ( 4) + (3) = 5 satuan.
!
!
Panjang dari vektor P2 P1 = panjang dari vektor P1 P2 = jarak dari P1 ke P2 ,
yaitu 5 satuan.
Solusi untuk vektor di R3 :
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
8 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi untuk vektor di R2 :
1
2
Misalkan
q d adalah jarak dari P1 ke P2 , maka
2
2
d = (x (P2 ) x (P1 )) + (y (P2 ) y (P1 )) =
q
q
2
2
2
2
( 1 3) + ( 2 ( 5)) = ( 4) + (3) = 5 satuan.
!
!
Panjang dari vektor P2 P1 = panjang dari vektor P1 P2 = jarak dari P1 ke P2 ,
yaitu 5 satuan.
Solusi untuk vektor di R3 :
1
Misalkan
q d adalah jarak dari P2 ke P1 , maka
2
2
2
d = (x (P1 ) x (P2 )) + (y (P1 ) y (P2 )) + (z (P1 ) z (P2 )) =
q
q
2
2
2
2
2
2
(1 ( 2)) + ( 1 ( 1)) + ( 3 1) = (3) + (0) + ( 4) = 5
satuan.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
8 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Solusi untuk vektor di R2 :
1
2
Misalkan
q d adalah jarak dari P1 ke P2 , maka
2
2
d = (x (P2 ) x (P1 )) + (y (P2 ) y (P1 )) =
q
q
2
2
2
2
( 1 3) + ( 2 ( 5)) = ( 4) + (3) = 5 satuan.
!
!
Panjang dari vektor P2 P1 = panjang dari vektor P1 P2 = jarak dari P1 ke P2 ,
yaitu 5 satuan.
Solusi untuk vektor di R3 :
1
2
Misalkan
q d adalah jarak dari P2 ke P1 , maka
2
2
2
d = (x (P1 ) x (P2 )) + (y (P1 ) y (P2 )) + (z (P1 ) z (P2 )) =
q
q
2
2
2
2
2
2
(1 ( 2)) + ( 1 ( 1)) + ( 3 1) = (3) + (0) + ( 4) = 5
satuan.
!
!
Panjang dari vektor P1 P2 = panjang dari vektor P2 P1 = jarak dari P2 ke P1 ,
yaitu 5 satuan.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
8 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil
Kali Silang
Latihan
Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang
telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R3 , yaitu
~u = (2; 1; 0) dan ~v = (0; 2; 1). Tentukan nilai dari
1
~u ~v
2
~u
~v
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
9 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil
Kali Silang
Latihan
Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang
telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R3 , yaitu
~u = (2; 1; 0) dan ~v = (0; 2; 1). Tentukan nilai dari
1
~u ~v
2
~u
~v
Solusi:
1
~u ~v = (2; 1; 0) (0; 2; 1) = (2) (0) + ( 1) ( 2) + (0) (1) = 2.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
9 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil
Kali Silang
Latihan
Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang
telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R3 , yaitu
~u = (2; 1; 0) dan ~v = (0; 2; 1). Tentukan nilai dari
1
~u ~v
2
~u
~v
Solusi:
1
2
~u ~v = (2; 1; 0) (0; 2; 1) = (2) (0) + ( 1) ( 2) + (0) (1) = 2.
^{
|^ k^
2
1 ^
1 0
2 0
k=
^{
|^ +
~u ~v = 2
1 0 =
0 1
0
2
1 1
0
2 1
^{ 2^
| 4k^ = ( 1; 2; 4)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
9 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Vektor di Sekolah Menengah: Sudut antara Dua Vektor
Latihan
Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang
telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R3 , yaitu
~u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2). Tentukan sudut terkecil antara ~u dan ~v .
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
10 / 116
Vektor di Sekolah Menengah
Vektor di Sekolah Menengah: Sudut antara Dua Vektor
Latihan
Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang
telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R3 , yaitu
~u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2). Tentukan sudut terkecil antara ~u dan ~v .
Solusi:
Kita memiliki hubungan ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan k~uk, k~v k berturut-turut
adalah panjang dari vektor ~u dan ~v , serta adalah sudut antara vektor ~u dan ~v .
Akibatnya
cos
=
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
~u ~v
(0; 0; 1) (0; 2; 2)
=
k~uk k~v k
k(0; 0; 1)k k0; 2; 2k
2
p
p
2
2
2
0 +0 +1
02 + 22 + 22
2
2
1
1p
p p = p =p =
2. Jadi
2
1 8
2 2
2
45 =
4
rad.
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
10 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
11 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Pendahuluan: Skalar dan Vektor
Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah
besaran skalar dan besaran vektor.
Besaran Skalar
Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja.
Contohnya:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
12 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Pendahuluan: Skalar dan Vektor
Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah
besaran skalar dan besaran vektor.
Besaran Skalar
Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja.
Contohnya: massa, panjang, dan waktu.
Besaran Vektor
Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk
mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
12 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Pendahuluan: Skalar dan Vektor
Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah
besaran skalar dan besaran vektor.
Besaran Skalar
Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja.
Contohnya: massa, panjang, dan waktu.
Besaran Vektor
Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk
mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah kecepatan,
perpindahan, dan gaya.
Di sini kita akan mengkaji struktur aljabar untuk vektor dan himpunan yang
anggota-anggotanya adalah vektor.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
12 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Penyajian Vektor
Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda belajar penyajian vektor dalam
diagram berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
13 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R2 ) juga
dapat disajikan dengan cara berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
14 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R2 ) juga
dapat disajikan dengan cara berikut.
Pada kuliah ini, kita akan menyajikan vektor dalam bentuk tupel, matriks baris,
atau matriks kolom. Jika ditinjau pada bidang, maka suatu vektor ditulis sebagai
(a; b). Perlu diingat bahwa (a; b) tidak selalu sama dengan (b; a).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
14 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Vektor dan Notasinya
Suatu vektor ditulis dengan huruf cetak tebal (contoh: vektor a) atau huruf
cetak miring dengan anak panah di atasnya (contoh: vektor ~a). Ini dilakukan
!
untuk membedakan skalar dan vektor. Vektor AB menyatakan vektor dengan titik
pangkal A dan titik akhir B.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
15 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Lebih Jauh tentang Notasi Vektor I
Secara aljabar, vektor di R2 dapat ditulis dalam bentuk pasangan bilangan real
a
(a; b), matriks baris a b , atau matriks kolom
. Kita akan cukup sering
b
a
untuk
menggunakan notasi tupel (a; b) dan notasi matriks kolom
b
menyatakan suatu vektor. Notasi matriks baris a b jarang digunakan, tetapi
perlu Anda ketahui.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
16 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Lebih Jauh tentang Notasi Vektor II
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
17 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Lebih Jauh tentang Notasi Vektor III
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
18 / 116
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
Lebih Jauh tentang Notasi Vektor IV
Pada suatu vektor ~a = a = (a1 ; a2 ) yang ditinjau pada bidang (ditinjau pada R2 ),
a1 dan a2 keduanya adalah bilangan real.
Kita katakan a1 sebagai komponen pertama (atau komponen x) dari ~a dan a2
sebagai komponen kedua (atau komponen y) dari ~a. Secara serupa, jika
~a = a = (a1 ; a2 ; a3 ) 2 R3 , maka a1 adalah komponen pertama (atau komponen
x) dari ~a, a2 adalah komponen kedua (atau komponen y) dari ~a, dan a3 adalah
komponen ketiga (atau komponen z) dari ~a.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
19 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
20 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Kesamaan Vektor Secara Fisik
Secara intuitif, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama bila besar dan arahnya
sama (meskipun titik pangkal dan titik akhirnya mungkin berbeda).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
21 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Kesamaan Vektor Secara Geometris
Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah
dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem
koordinat.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
22 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Kesamaan Vektor Secara Geometris
Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah
dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem
koordinat.
y
4
2
-4
-2
2
-2
4
x
-4
Semua vektor yang ada pada gambar di atas adalah vektor yang sama, yaitu
vektor (1; 2).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
22 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Kesamaan Dua Vektor Secara Aljabar
Kesamaan Dua Vektor
Dua vektor ~a dan ~b sama, ditulis dengan ~a = ~b jika dan hanya jika
komponen-komponen yang bersesuaian sama.
Diberikan dua vektor di R2 , yaitu ~a = (a1 ; a2 ) dan ~b = (b1 ; b2 ), maka
~a = ~b , (a1 = b1 ) ^ (a2 = b2 ) .
Diberikan dua vektor di R3 , yaitu ~a = (a1 ; a2 ; a3 ) dan ~b = (b1 ; b2 ; b3 ), maka
~a = ~b , (a1 = b1 ) ^ (a2 = b2 ) ^ (a3 = b3 ) .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
23 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Penjumlahan Vektor Secara Geometris
Dua buah vektor yang berada di ruang yang sama dapat dijumlahkan.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
24 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Sifat Komutatif Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua vektor di R2 maupun R3 mengikuti hukum paralelogram
(hukum jajar genjang). Akibatnya penjumlahan vektor bersifat komutatif, yaitu
v + w = w + v untuk setiap vektor v dan w yang ada di ruang yang sama.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
25 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Sifat Asosiatif Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua vektor di R2 maupun R3 bersifat asosiatif. Jika u, v, dan w
adalah tiga vektor di ruang yang sama, maka (u + v) + w = u + (v + w).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
26 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Penjumlahan Vektor Secara Aljabar
Penjumlahan Vektor
Diberikan dua vektor ~a dan ~b pada ruang yang sama, suatu vektor ~c merupakan
hasil penjumlahan dua vektor ~a dan ~b, ditulis dengan ~a + ~b, bila
komponen-komponen vektor ~c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor
~a dan ~b yang bersesuaian.
Diberikan ~a = (a1 ; a2 ) dan ~b = (b1 ; b2 ). Jika ~c = (c1 ; c2 ) dan ~c = ~a + ~b, maka
c1 = a1 + b1 dan c2 = a2 + b2 . Kita dapat menulisnya sebagai
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
27 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Penjumlahan Vektor Secara Aljabar
Penjumlahan Vektor
Diberikan dua vektor ~a dan ~b pada ruang yang sama, suatu vektor ~c merupakan
hasil penjumlahan dua vektor ~a dan ~b, ditulis dengan ~a + ~b, bila
komponen-komponen vektor ~c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor
~a dan ~b yang bersesuaian.
Diberikan ~a = (a1 ; a2 ) dan ~b = (b1 ; b2 ). Jika ~c = (c1 ; c2 ) dan ~c = ~a + ~b, maka
c1 = a1 + b1 dan c2 = a2 + b2 . Kita dapat menulisnya sebagai
(a1 ; a2 ) + (b1 ; b2 ) =
a1
b1
+
=
a2
b2
(a1 + b1 ; a2 + b2 )
a1 + b1
a2 + b2
Hal serupa juga berlaku untuk vektor di R3 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
27 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Dari de…nisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor
bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R2 kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
28 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Dari de…nisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor
bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R2 kita memiliki
a1
a2
+
b1
b2
=
a1 + b1
a2 + b2
=
b1 + a1
b2 + a2
=
b1
b2
+
a1
a2
.
Dan juga
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
28 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Dari de…nisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor
bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R2 kita memiliki
a1
a2
+
b1
b2
=
a1 + b1
a2 + b2
=
b1 + a1
b2 + a2
b1
b2
=
a1
a2
+
.
Dan juga
a1
a2
+
MZI (FIF Tel-U)
b1
b2
+
c1
c2
=
a1 + b1
a2 + b2
=
a1 + b1 + c1
a2 + b2 + c2
=
a1
a2
+
=
a1
a2
+
Ruang Vektor R2 dan R3
+
c1
c2
b1 + c1
b2 + c2
b1
b2
+
c1
c2
.
September 2015
28 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Vektor Nol
Vektor Nol
Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol. Secara geometris vektor nol
digambarkan sebagai titik di R2 atau R3 . Secara aljabar vektor nol, ditulis ~0,
merupakan
(0; 0) , jika ~0 2 R2
~0 =
(0; 0; 0) , jika ~0 2 R3
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
29 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Catatan
Vektor nol adalah satu-satunya vektor yang tidak berarah, vektor nol hanya
memiliki besar (panjang) saja, yang nilainya adalah nol.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
30 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Latihan 0 Bagian 1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
31 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Latihan 0 Bagian 2
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
32 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Perkalian Vektor dengan Skalar
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas, b searah dengan a dan panjang b lima kali panjang a. Kita
dapat menuliskan b = 5a ataupun a = 15 b.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
33 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Misalkan k 2 R dang k 6= 0. Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
34 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Misalkan k 2 R dang k 6= 0. Kita memiliki
Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
34 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Misalkan k 2 R dang k 6= 0. Kita memiliki
Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a.
Jika k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya k kali
panjang a.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
34 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Misalkan k 2 R dang k 6= 0. Kita memiliki
Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a.
Jika k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya k kali
panjang a.
Jika k = 1, maka ka = a. Dalam hal ini a dikatakan sebagai negatif
dari a. Kita juga memiliki sifat a + ( a) = 0.
Dua Vektor yang Sejajar
Dua vektor a dan b dikatakan sejajar apabila a = kb untuk suatu k 2 R. Dengan
perkataan lain ketika dua vektor sejajar maka vektor yang satu merupakan
kelipatan skalar vektor yang lain.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
34 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
35 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Selisih Vektor
Selisih Vektor
Misalkan u dan v adalah dua vektor di ruang yang sama. Maka u
dide…nisikan sebagai u + ( v).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
v
September 2015
36 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Vektor dari Dua Titik
Misalkan P1 (x1 ; y1 ; z1 ) dan P2 (x2 ; y2 ; z2 ) adalah dua titik di R3 dan O
!
menyatakan titik (0; 0; 0). Vektor P1 P2 merupakan vektor yang dide…nisikan
sebagai
!
P1 P2 = (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) .
Kita juga memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
37 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Vektor dari Dua Titik
Misalkan P1 (x1 ; y1 ; z1 ) dan P2 (x2 ; y2 ; z2 ) adalah dua titik di R3 dan O
!
menyatakan titik (0; 0; 0). Vektor P1 P2 merupakan vektor yang dide…nisikan
sebagai
!
P1 P2 = (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) .
Kita juga memiliki
!
!
OP1 = (x1 ; y1 ; z1 ) dan OP2 = (x2 ; y2 ; z2 ) .
Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki
!
P1 P2 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
37 / 116
Dasar-dasar Aljabar Vektor
Vektor dari Dua Titik
Misalkan P1 (x1 ; y1 ; z1 ) dan P2 (x2 ; y2 ; z2 ) adalah dua titik di R3 dan O
!
menyatakan titik (0; 0; 0). Vektor P1 P2 merupakan vektor yang dide…nisikan
sebagai
!
P1 P2 = (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) .
Kita juga memiliki
!
!
OP1 = (x1 ; y1 ; z1 ) dan OP2 = (x2 ; y2 ; z2 ) .
Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki
!
!
P1 P2 = OP2
!
OP1 .
Hal yang serupa juga jelas berlaku di R2 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
37 / 116
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
38 / 116
Sifat Aritmetika Vektor
Teorema
Misalkan ~u, ~v , dan w
~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang
sama), serta ; 2 R, maka
Sifat Aritmetika Vektor
Teorema
Misalkan ~u, ~v , dan w
~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang
sama), serta ; 2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
Sifat Aritmetika Vektor
Teorema
Misalkan ~u, ~v , dan w
~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang
sama), serta ; 2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
Sifat Aritmetika Vektor
Teorema
Misalkan ~u, ~v , dan w
~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang
sama), serta ; 2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
3
~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u
Sifat Aritmetika Vektor
Teorema
Misalkan ~u, ~v , dan w
~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang
sama), serta ; 2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
3
~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u
4
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
Sifat Aritmetika Vektor
Teorema
Misalkan ~u, ~v , dan w
~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang
sama), serta ; 2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
3
~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u
4
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
5
( ~u) = (
) ~u
Sifat Aritmetika Vektor
Teorema
Misalkan ~u, ~v , dan w
~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang
sama), serta ; 2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
3
~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u
4
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
5
( ~u) = (
6
) ~u
(~u + ~v ) = ~u + ~v
Sifat Aritmetika Vektor
Teorema
Misalkan ~u, ~v , dan w
~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang
sama), serta ; 2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
3
~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u
4
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
5
6
7
( ~u) = (
) ~u
(~u + ~v ) = ~u + ~v
( + ) ~u = ~u + ~u
Sifat Aritmetika Vektor
Teorema
Misalkan ~u, ~v , dan w
~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang
sama), serta ; 2 R, maka
1
~u + ~v = ~v + ~u
2
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
3
~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u
4
~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0
( ~u) = (
5
) ~u
(~u + ~v ) = ~u + ~v
6
7
( + ) ~u = ~u + ~u
8
1 (~u) = ~u.
Bukti
Cukup mudah. Tinjau ~u, ~v , dan w
~ sebagai suatu matriks kolom berukuran 2 1
atau 3 1. Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang
dimiliki matriks kolom berukuran 2 1 maupun 3 1. (Q.E.D).
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
Teorema
Jika ~u adalah vektor di R2 atau R3 , dan
1
0~u = ~0
2
3
2 R maka
~0 = ~0
( 1) ~u =
~u
Teorema
Jika ~u adalah vektor di R2 atau R3 dengan sifat ~u = ~0, maka
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
= 0 atau ~u = ~0.
September 2015
40 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
41 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Basis Standar di R2
Himpunan vektor-vektor basis standar di R2 adalah fi = (1; 0) ; j = (0; 1)g.
Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis
sebagai |^, ~e2 , atau e2 .
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ) 2 R2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{
dan |^ secara tunggal
~v = ^{ + |^ ,
MZI (FIF Tel-U)
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
42 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Basis Standar di R2
Himpunan vektor-vektor basis standar di R2 adalah fi = (1; 0) ; j = (0; 1)g.
Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis
sebagai |^, ~e2 , atau e2 .
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ) 2 R2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{
dan |^ secara tunggal
~v = ^{ + |^ ,
MZI (FIF Tel-U)
= v1 dan
Ruang Vektor R2 dan R3
=
September 2015
42 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Basis Standar di R2
Himpunan vektor-vektor basis standar di R2 adalah fi = (1; 0) ; j = (0; 1)g.
Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis
sebagai |^, ~e2 , atau e2 .
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ) 2 R2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{
dan |^ secara tunggal
~v = ^{ + |^ ,
MZI (FIF Tel-U)
= v1 dan
Ruang Vektor R2 dan R3
= v2 .
September 2015
42 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Basis Standar di R2
Himpunan vektor-vektor basis standar di R2 adalah fi = (1; 0) ; j = (0; 1)g.
Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis
sebagai |^, ~e2 , atau e2 .
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ) 2 R2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{
dan |^ secara tunggal
~v = ^{ + |^ ,
MZI (FIF Tel-U)
= v1 dan
Ruang Vektor R2 dan R3
= v2 .
September 2015
42 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Basis Standar di R3
Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah
fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{,
~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga
^ ~e3 , atau e3 .
dapat ditulis sebagai k,
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
^{, |^, dan k^ secara tunggal
~v = ^{ + |^ + k^ , =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
43 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Basis Standar di R3
Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah
fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{,
~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga
^ ~e3 , atau e3 .
dapat ditulis sebagai k,
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
^{, |^, dan k^ secara tunggal
~v = ^{ + |^ + k^ , = v1 , =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
43 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Basis Standar di R3
Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah
fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{,
~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga
^ ~e3 , atau e3 .
dapat ditulis sebagai k,
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
^{, |^, dan k^ secara tunggal
~v = ^{ + |^ + k^ , = v1 , = v2 , dan =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
43 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Basis Standar di R3
Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah
fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{,
~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga
^ ~e3 , atau e3 .
dapat ditulis sebagai k,
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
^{, |^, dan k^ secara tunggal
~v = ^{ + |^ + k^ , = v1 , = v2 , dan = v3 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
43 / 116
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
Basis Standar di R3
Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah
fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{,
~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga
^ ~e3 , atau e3 .
dapat ditulis sebagai k,
Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
^{, |^, dan k^ secara tunggal
~v = ^{ + |^ + k^ , = v1 , = v2 , dan = v3 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
43 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
44 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dari Vektor di R2
Norm Euclid dari Vektor di R2
Misalkan u = ~u = (u1 ; u2 ) adalah suatu vektor di R2 . Norm Euclid atau panjang
dari u, ditulis dengan kuk, dide…nisikan sebagai
q
kuk = u21 + u22 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
45 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dari Vektor di R3
Norm Euclid dari Vektor di R3
Misalkan u = ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) adalah suatu vektor di R3 . Norm Euclid atau
panjang dari u, ditulis dengan kuk, dide…nisikan sebagai
q
kuk = u21 + u22 + u23 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
46 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Penting
Norm Euclid (panjang) dari suatu vektor selalu bernilai tak negatif. Untuk
sembarang vektor u pada bidang maupun ruang, kuk 0.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
47 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Norm dan Jarak Dua Titik
Kita akan meninjau keterkaitan antara norm Euclid dan jarak antara dua titik
pada R3 .
Diberikan dua titik P1 (x1 ; y1 ; z1 ) dan P2 (x2 ; y2 ; z2 ) di R3 . Jarak dari P1 ke P2
!
tidak lain merupakan norm dari vektor P1 P2 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
48 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
!
Karena P1 P2 = (x2
x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ), kita memiliki
q
!
2
2
P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) + (z2
Bila d menyatakan jarak dari P1 ke P2 , kita memiliki
q
!
2
2
d = P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) + (z2
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
2
z1 ) .
2
z1 ) .
September 2015
49 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
!
Karena P1 P2 = (x2
x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ), kita memiliki
q
!
2
2
P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) + (z2
Bila d menyatakan jarak dari P1 ke P2 , kita memiliki
q
!
2
2
d = P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) + (z2
2
z1 ) .
2
z1 ) .
Untuk dua titik P1 (x1 ; y1 ) dan P2 (x2 ; y2 ) di R2 , bila jarak dari P1 ke P2
dinyatakan dengan d, kita memiliki
q
!
2
2
d = P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) .
Latihan
Tentukan jarak dari P1 (2; 1; 5) ke P2 (4; 3; 1).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
49 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
!
Karena P1 P2 = (x2
x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ), kita memiliki
q
!
2
2
P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) + (z2
Bila d menyatakan jarak dari P1 ke P2 , kita memiliki
q
!
2
2
d = P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) + (z2
2
z1 ) .
2
z1 ) .
Untuk dua titik P1 (x1 ; y1 ) dan P2 (x2 ; y2 ) di R2 , bila jarak dari P1 ke P2
dinyatakan dengan d, kita memiliki
q
!
2
2
d = P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) .
Latihan
Tentukan jarak dari P1 (2; 1; 5) ke P2 (4; 3; 1).
Solusi:
q bila jarak dari P1 ke P2 adalah d, maka
p
2
2
2
d = (4 2) + ( 3 + 1) + (1 + 5) = 2 11.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
49 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor
Teorema
Diberikan sembarang vektor ~u di R2 atau R3 dan bilangan real , maka
k ~uk = j j k~uk .
Bukti
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
50 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor
Teorema
Diberikan sembarang vektor ~u di R2 atau R3 dan bilangan real , maka
k ~uk = j j k~uk .
Bukti
Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila ~u = (u1 ; u2 ), maka
k ~uk
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
50 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor
Teorema
Diberikan sembarang vektor ~u di R2 atau R3 dan bilangan real , maka
k ~uk = j j k~uk .
Bukti
Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila ~u = (u1 ; u2 ), maka
k ~uk
=
=
k (u1 ; u2 )k
k( u1 ; u2 )k (perkalian skalar suatu vektor)
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
50 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor
Teorema
Diberikan sembarang vektor ~u di R2 atau R3 dan bilangan real , maka
k ~uk = j j k~uk .
Bukti
Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila ~u = (u1 ; u2 ), maka
k ~uk
=
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
k (u1 ; u2 )k
k( u1 ; u2 )k (perkalian skalar suatu vektor)
q
q
q
2
2
2 u2 + 2 u2 =
2 (u2 + u2 )
( u1 ) + ( u2 ) =
1
2
1
2
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
50 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor
Teorema
Diberikan sembarang vektor ~u di R2 atau R3 dan bilangan real , maka
k ~uk = j j k~uk .
Bukti
Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila ~u = (u1 ; u2 ), maka
k ~uk
=
=
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
k (u1 ; u2 )k
k( u1 ; u2 )k (perkalian skalar suatu vektor)
q
q
q
2
2
2 u2 + 2 u2 =
2 (u2 + u2 )
( u1 ) + ( u2 ) =
1
2
1
2
q
p
2
u21 + u22
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
50 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor
Teorema
Diberikan sembarang vektor ~u di R2 atau R3 dan bilangan real , maka
k ~uk = j j k~uk .
Bukti
Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila ~u = (u1 ; u2 ), maka
k ~uk
=
=
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
k (u1 ; u2 )k
k( u1 ; u2 )k (perkalian skalar suatu vektor)
q
q
q
2
2
2 u2 + 2 u2 =
2 (u2 + u2 )
( u1 ) + ( u2 ) =
1
2
1
2
q
p
2
u21 + u22
j j k~uk , karena norm selalu tak negatif (Q.E.D).
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
50 / 116
Vektor Satuan (Unit Vector)
De…nisi
Suatu vektor ~u di R2 atau R3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) bila
k~uk = 1.
Contoh
Vektor-vektor basis standar ^{, |^, dan k^ di R3 adalah vektor satuan karena
Vektor Satuan (Unit Vector)
De…nisi
Suatu vektor ~u di R2 atau R3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) bila
k~uk = 1.
Contoh
Vektor-vektor basis standar ^{, |^, dan k^ di R3 adalah vektor satuan karena
k^{k = k(1; 0; 0)k = 1, k^
|k = k(0; 1; 0)k = 1,
Vektor ~u =
karena
p1 ; 0; p1
2
2
dan ~v =
p1 ;
3
p1 ; p1
3
3
k^ = k(0; 0; 1)k = 1.
juga merupakan vektor satuan
Vektor Satuan (Unit Vector)
De…nisi
Suatu vektor ~u di R2 atau R3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) bila
k~uk = 1.
Contoh
Vektor-vektor basis standar ^{, |^, dan k^ di R3 adalah vektor satuan karena
k^{k = k(1; 0; 0)k = 1, k^
|k = k(0; 1; 0)k = 1,
Vektor ~u =
karena
p1 ; 0; p1
2
2
k~uk =
dan ~v =
1
1
p ; 0; p
2
2
p1 ;
3
p1 ; p1
3
3
= 1, k~v k =
k^ = k(0; 0; 1)k = 1.
juga merupakan vektor satuan
1
p ;
3
1
1
p ;p
3
3
= 1.
Catatan
Secara umum, suatu vektor ~u di Rn dikatakan sebagai vektor satuan bila k~uk = 1.
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan
Permasalahan
Diberikan suatu vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor
satuan yang sejajar dengan ~u.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
52 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan
Permasalahan
Diberikan suatu vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor
satuan yang sejajar dengan ~u.
Pilih vektor ~v =
MZI (FIF Tel-U)
1
u.
k~
uk ~
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
52 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan
Permasalahan
Diberikan suatu vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor
satuan yang sejajar dengan ~u.
Pilih vektor ~v =
1
u.
k~
uk ~
k~v k
MZI (FIF Tel-U)
Karena ~u tak nol, maka k~uk =
6 0. Perhatikan bahwa
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
52 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan
Permasalahan
Diberikan suatu vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor
satuan yang sejajar dengan ~u.
Pilih vektor ~v =
1
u.
k~
uk ~
k~v k
MZI (FIF Tel-U)
Karena ~u tak nol, maka k~uk =
6 0. Perhatikan bahwa
=
1
~u =
k~uk
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
52 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan
Permasalahan
Diberikan suatu vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor
satuan yang sejajar dengan ~u.
Pilih vektor ~v =
1
u.
k~
uk ~
k~v k
Karena ~u tak nol, maka k~uk =
6 0. Perhatikan bahwa
=
1
1
~u =
k~uk (sifat norm)
k~uk
k~uk
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
52 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan
Permasalahan
Diberikan suatu vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor
satuan yang sejajar dengan ~u.
Pilih vektor ~v =
1
u.
k~
uk ~
k~v k
Karena ~u tak nol, maka k~uk =
6 0. Perhatikan bahwa
=
=
1
1
~u =
k~uk (sifat norm)
k~uk
k~uk
1
k~uk = 1.
k~uk
Jadi k~v k adalah suatu vektor satuan. Karena ~v adalah kelipatan skalar dari ~u,
maka ~v adalah vektor satuan yang sejajar dengan ~u.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
52 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Diberikan sebuah vektor tak nol ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Semua vektor
~v =
1
~u
k~uk
merupakan vektor satuan yang sejajar dengan ~u. Lebih jauh, kita memiliki
1
vektor
2
vektor
1
k~
uk
1
k~
uk
k~uk sejajar dan searah dengan ~u,
k~uk sejajar dan berlawanan arah dengan ~u.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
53 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Latihan 1: Mengkonstruksi Vektor Satuan
Latihan
1
2
3
4
Berikan vektor satuan yang sejajar dan searah dengan ~u = (3; 4) di R2 .
Berikan vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan ~v = ( 6; 8)
di R2 .
Berikan vektor satuan yang sejajar dan searah dengan ~a = ( 1; 2; 2) di R3 .
Berikan vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan
~b = ( 2; 1; 2) di R3 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
54 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
55 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Solusi:
1
p
Kita memiliki k~uk = 32 + 42 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah
dengan ~u adalah k~u1 k ~u = 15 (3; 4) = 35 ; 45 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
55 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Solusi:
1
2
p
Kita memiliki k~uk = 32 + 42 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah
dengan ~u adalah k~u1 k ~u = 15 (3; 4) = 35 ; 45 .
q
2
Kita memiliki k~v k = ( 6) + 82 = 10. Vektor satuan yang sejajar dan
berlawanan arah dengan ~v adalah k~v1k ~v = 101 ( 6; 8) = 35 ; 54 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
55 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Solusi:
1
2
3
p
Kita memiliki k~uk = 32 + 42 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah
dengan ~u adalah k~u1 k ~u = 15 (3; 4) = 35 ; 45 .
q
2
Kita memiliki k~v k = ( 6) + 82 = 10. Vektor satuan yang sejajar dan
berlawanan arah dengan ~v adalah k~v1k ~v = 101 ( 6; 8) = 35 ; 54 .
q
2
2
Kita memiliki k~ak = ( 1) + 22 + ( 2) = 3. Vektor satuan yang sejajar
1 2
2
dan searah dengan ~a adalah k~a1k ~a = 13 ( 1; 2; 2) =
3; 3;
3 .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
55 / 116
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
Solusi:
1
2
3
4
p
Kita memiliki k~uk = 32 + 42 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah
dengan ~u adalah k~u1 k ~u = 15 (3; 4) = 35 ; 45 .
q
2
Kita memiliki k~v k = ( 6) + 82 = 10. Vektor satuan yang sejajar dan
berlawanan arah dengan ~v adalah k~v1k ~v = 101 ( 6; 8) = 35 ; 54 .
q
2
2
Kita memiliki k~ak = ( 1) + 22 + ( 2) = 3. Vektor satuan yang sejajar
1 2
2
dan searah dengan ~a adalah k~a1k ~a = 13 ( 1; 2; 2) =
3; 3;
3 .
q
2
Kita memiliki ~b = ( 2) + 12 + 22 = 3. Vektor satuan yang sejajar dan
berlawanan arah dengan ~b adalah ~b1 ~b = 31 ( 2; 1; 2) = 23 ; 31 ; 32 .
kk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
55 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
56 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Hasil Kali Titik (Dot Product) di R2 dan R3
Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R2 atau R3 . Ketika titik pangkal dari u
dan v dibuat saling bertumpuan, kita dapat menentukan sudut antara u dan v.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
57 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R2 atau R3 . Jika
antara u dan v maka kita senantiasa memiliki 0
.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
adalah sudut terkecil
September 2015
58 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R2 atau R3 . Jika
antara u dan v maka kita senantiasa memiliki 0
.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
adalah sudut terkecil
September 2015
58 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Hasil Kali Titik Dua Vektor: De…nisi 1
Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengenal de…nisi berikut.
De…nisi (Hasil Kali Titik)
adalah
Diberikan dua vektor u dan v di R2 atau R3 , jika dengan 0
sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) antara u dan v, ditulis
dengan u v, dide…nisikan sebagai
u v=
MZI (FIF Tel-U)
0,
kuk kvk cos ,
jika u = 0 atau v = 0
lainnya.
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
59 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Hasil Kali Titik Dua Vektor: De…nisi 2
Teorema
Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R2 atau R3 , jika
adalah sudut antara u dan v, maka
u v
= kuk kvk cos
u1 v1 + u2 v2 ,
=
u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 ,
dengan 0
jika u; v 2 R2
jika u; v 2 R3
Untuk 1 i 3, ui adalah komponen ke-i dari vektor u dan vi adalah komponen
ke-i dari vektor v.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
60 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Untuk membuktikan teorema tersebut, terlebih dulu tinjau gambar berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
61 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Bukti
Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus,
ku
vk
2
MZI (FIF Tel-U)
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
62 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Bukti
Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus,
ku
vk
2
kuk kvk cos
MZI (FIF Tel-U)
=
2
kuk + kvk
2
2 kuk kvk cos , jadi
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
62 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Bukti
Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus,
ku
vk
2
kuk kvk cos
=
=
2
2
kuk + kvk
2 kuk kvk cos , jadi
1
2
2
2
kuk + kvk
ku vk .
2
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
62 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Bukti
Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus,
ku
vk
2
kuk kvk cos
=
=
=
Tinjau bahwa (u1
MZI (FIF Tel-U)
2
2
kuk + kvk
2 kuk kvk cos , jadi
1
2
2
2
kuk + kvk
ku vk .
2
1 2
2
u + u22 + v12 + v22
(u1 v1 ) + (u2
2 1
2
v1 ) + (u2
2
v2 )
.
2
v2 ) =
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
62 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Bukti
Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus,
ku
vk
2
kuk kvk cos
=
=
=
Tinjau bahwa (u1
Akibatnya
2
2
v1 ) + (u2
kuk kvk cos
MZI (FIF Tel-U)
2
kuk + kvk
2 kuk kvk cos , jadi
1
2
2
2
kuk + kvk
ku vk .
2
1 2
2
u + u22 + v12 + v22
(u1 v1 ) + (u2
2 1
2
v2 ) = u21 + u22 + v12 + v22
2
v2 )
2u1 v1
.
2u2 v2 .
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
62 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Bukti
Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus,
ku
vk
2
kuk kvk cos
=
=
=
Tinjau bahwa (u1
Akibatnya
2
2
kuk + kvk
2 kuk kvk cos , jadi
1
2
2
2
kuk + kvk
ku vk .
2
1 2
2
u + u22 + v12 + v22
(u1 v1 ) + (u2
2 1
2
v1 ) + (u2
kuk kvk cos
2
v2 ) = u21 + u22 + v12 + v22
=
2
v2 )
2u1 v1
.
2u2 v2 .
1
(2u1 v1 + 2u2 v2 )
2
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
62 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Bukti
Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3
dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus,
ku
vk
2
kuk kvk cos
=
=
=
Tinjau bahwa (u1
Akibatnya
2
2
v1 ) + (u2
kuk kvk cos
MZI (FIF Tel-U)
2
kuk + kvk
2 kuk kvk cos , jadi
1
2
2
2
kuk + kvk
ku vk .
2
1 2
2
u + u22 + v12 + v22
(u1 v1 ) + (u2
2 1
2
v2 ) = u21 + u22 + v12 + v22
2
v2 )
2u1 v1
.
2u2 v2 .
1
(2u1 v1 + 2u2 v2 )
2
= u1 v1 + u2 v2 (Q.E.D).
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
62 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Dua De…nisi Hasil Kali Titik
De…nisi (De…nisi hasil kali titik 1)
Diberikan dua vektor u dan v di R2 atau R3 , jika dengan 0
adalah
sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) antara u dan v, ditulis
dengan u v, dide…nisikan sebagai
0,
kuk kvk cos ,
u v=
jika u = 0 atau v = 0
lainnya.
De…nisi (De…nisi hasil kali titik 2)
Diberikan dua vektor u dan v di R2 atau R3 . Jika ui dan vi menyatakan
komponen ke-i dari masing-masing vektor tersebut, maka
u v
=
u v
=
u1 v1 + u2 v2 (jika u; v 2 R2 )
u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 (jika u; v 2 R3 )
De…nisi kedua selanjutnya juga akan kita gunakan untuk memperumum de…nisi
hasil kali titik di Rn untuk n 4.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
63 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Sudut dan Hasil Kali Titik Dua Vektor
Berdasarkan rumus hasil kali titik, untuk dua vektor u dan v pada ruang yang
sama dan adalah sudut antara keduanya, kita memiliki
u v = kuk kvk cos .
Perhatikan bahwa
maka
1 cos
1. Karena kuk dan kvk senantiasa tak negatif,
8
< < 0, jika cos < 0 atau sudut tumpul
= 0, jika u tegak lurus dengan v
u v
:
> 0, jika cos > 0 atau sudut lancip.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
64 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Dua Vektor yang Saling Ortogonal
De…nisi
Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0.
Teorema
Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama.
Bukti
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
65 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Dua Vektor yang Saling Ortogonal
De…nisi
Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0.
Teorema
Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama.
Bukti
Bukti untuk kasus di R3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti
untuk kasus di R2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0; 0) dan u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , maka
0 u =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
65 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Dua Vektor yang Saling Ortogonal
De…nisi
Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0.
Teorema
Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama.
Bukti
Bukti untuk kasus di R3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti
untuk kasus di R2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0; 0) dan u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , maka
0 u =
(0; 0) (u1 ; u2 )
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
65 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Dua Vektor yang Saling Ortogonal
De…nisi
Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0.
Teorema
Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama.
Bukti
Bukti untuk kasus di R3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti
untuk kasus di R2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0; 0) dan u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , maka
0 u =
=
(0; 0) (u1 ; u2 )
0u1 + 0u2 = 0 (Q.E.D).
Diberikan dua vektor u dan v pada ruang yang sama, notasi u?v menyatakan
bahwa u dan v saling ortogonal.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
65 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Catatan
Secara geometris, dua vektor u dan v di R2 atau R3 yang keduanya tak nol
bersifat ortogonal bila u tegak lurus dengan v.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
66 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Hasil Kali Titik
Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik?
Diberikan suatu vektor u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , kita memiliki u u = kuk kuk cos .
Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
67 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Hasil Kali Titik
Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik?
Diberikan suatu vektor u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , kita memiliki u u = kuk kuk cos .
Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka = 0, sehingga
cos ( ) =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
67 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Hasil Kali Titik
Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik?
Diberikan suatu vektor u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , kita memiliki u u = kuk kuk cos .
Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka = 0, sehingga
2
cos ( ) = 1. Akibatnya u u = kuk . Jadi kuk =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
67 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Norm Euclid dan Hasil Kali Titik
Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik?
Diberikan suatu vektor u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , kita memiliki u u = kuk kuk cos .
Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah
p 0, maka = 0, sehingga
2
cos ( ) = 1. Akibatnya u u = kuk . Jadi kuk = u u.
Teorema
Jika u adalah sebuah vektor di R2 atau R3 , maka kuk =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
p
u u.
September 2015
67 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Diberikan dua vektor ~u dan ~v yang keduanya ada di R2 atau R3 , maka
j~u ~v j
k~uk k~v k .
Bukti
Perhatikan bahwa
j~u ~v j =
=
MZI (FIF Tel-U)
jk~uk k~v k cos j
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
68 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Diberikan dua vektor ~u dan ~v yang keduanya ada di R2 atau R3 , maka
j~u ~v j
k~uk k~v k .
Bukti
Perhatikan bahwa
j~u ~v j =
=
MZI (FIF Tel-U)
jk~uk k~v k cos j
k~uk k~v k jcos j , karena k~uk ; k~v k
Ruang Vektor R2 dan R3
0
September 2015
68 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Diberikan dua vektor ~u dan ~v yang keduanya ada di R2 atau R3 , maka
j~u ~v j
k~uk k~v k .
Bukti
Perhatikan bahwa
j~u ~v j =
=
jk~uk k~v k cos j
k~uk k~v k jcos j , karena k~uk ; k~v k
k~uk k~v k , karena jcos j
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
0
1. (Q.E.D)
September 2015
68 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Beberapa Sifat Hasil Kali Titik
Teorema
Jika u; v; w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan
maka
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
2 R,
September 2015
69 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Beberapa Sifat Hasil Kali Titik
Teorema
Jika u; v; w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan
maka
1
2 R,
u v=v u
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
69 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Beberapa Sifat Hasil Kali Titik
Teorema
Jika u; v; w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan
maka
1
u v=v u
2
u (v + w) = u v + u w
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
2 R,
September 2015
69 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Beberapa Sifat Hasil Kali Titik
Teorema
Jika u; v; w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan
maka
1
u v=v u
2
u (v + w) = u v + u w
3
2 R,
(u v) = ( u) v = u ( v)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
69 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Beberapa Sifat Hasil Kali Titik
Teorema
Jika u; v; w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan
maka
1
u v=v u
2
u (v + w) = u v + u w
3
4
2 R,
(u v) = ( u) v = u ( v)
v v > 0 jika v 6= 0, dan v v = 0 jika dan hanya hanya jika v = 0.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
69 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Bukti
Bukti untuk sifat nomor 1–3 cukup mudah dan diserahkan kepada pembaca
sebagai latihan. Untuk sifat nomor 4 kita akan membuktikan untuk vektor di R2
saja. Bukti untuk vektor di R3 dapat diperoleh secara analog. Misalkan
v = (v1 ; v2 ), maka
v v
=
(v1 ; v2 ) (v1 ; v2 ) = v12 + v22 0 berdasarkan sifat bilangan real
= 0, jika v1 = v2 = 0.
v12 + v22
> 0, lainnya
Jadi v v > 0 jika v 6= 0 dan v v = 0 jika dan hanya jika v = 0. (Q.E.D)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
70 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Latihan 2: Hasil Kali Titik
Latihan
1
Jika panjang vektor ~u adalah dua kali panjang vektor ~v , panjang vektor ~v
adalah 10 satuan, serta ~u dan ~v membentuk sudut 45 , tentukan nilai dari
~u ~v .
2
Tentukan besar sudut terkecil antara vektor ~u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2).
3
Tentukan besar sudut terkecil antara vektor ~u = (2; 1; 1) dan ~v = (1; 1; 2).
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
71 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Latihan 2: Hasil Kali Titik
Latihan
1
Jika panjang vektor ~u adalah dua kali panjang vektor ~v , panjang vektor ~v
adalah 10 satuan, serta ~u dan ~v membentuk sudut 45 , tentukan nilai dari
~u ~v .
2
Tentukan besar sudut terkecil antara vektor ~u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2).
3
Tentukan besar sudut terkecil antara vektor ~u = (2; 1; 1) dan ~v = (1; 1; 2).
Solusi:
1
Kita memiliki k~uk = 2 k~v k, sehingga k~uk = 20 dan k~v k = 10. Akibatnya
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
71 / 116
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
Latihan 2: Hasil Kali Titik
Latihan
1
Jika panjang vektor ~u adalah dua kali panjang vektor ~v , panjang vektor ~v
adalah 10 satuan, serta ~u dan ~v membentuk sudut 45 , tentukan nilai dari
~u ~v .
2
Tentukan besar sudut terkecil antara vektor ~u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2).
3
Tentukan besar sudut terkecil antara vektor ~u = (2; 1; 1) dan ~v = (1; 1; 2).
Solusi:
1
Kita memiliki k~uk = 2 k~v k, sehingga k~uk = 20 dan k~v k = 10. Akibatnya
~u ~v = k~uk k~v k cos (45 ) = (20) (10)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
1p
2
2
p
= 100 2.
September 2015
71 / 116
2
Kita memiliki
~u ~v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, k~uk = 1, dan
p
k~v k = 2 2. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
= k~uk k~v k cos , maka
cos
=
2
Kita memiliki
~u ~v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, k~uk = 1, dan
p
k~v k = 2 2. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
= k~uk k~v k cos , maka
1p
~u ~v
2
=
2
= p =
k~uk k~v k
2
2 2
=
2
Kita memiliki
~u ~v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, k~uk = 1, dan
p
k~v k = 2 2. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
= k~uk k~v k cos , maka
1p
~u ~v
2
=
2
= p =
k~uk k~v k
2
2 2
1p
= arccos
2 = 45 .
2
2
Kita memiliki
~u ~v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, k~uk = 1, dan
p
k~v k = 2 2. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
3
= k~uk k~v k cos , maka
1p
~u ~v
2
=
2
= p =
k~uk k~v k
2
2 2
1p
= arccos
2 = 45 .
2
Kita memiliki
~u ~v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, k~uk =
p
k~v k = 6. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
= k~uk k~v k cos , maka
cos
=
p
6, dan
2
Kita memiliki
~u ~v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, k~uk = 1, dan
p
k~v k = 2 2. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
3
= k~uk k~v k cos , maka
1p
~u ~v
2
=
2
= p =
k~uk k~v k
2
2 2
1p
= arccos
2 = 45 .
2
Kita memiliki
~u ~v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, k~uk =
p
k~v k = 6. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
= k~uk k~v k cos , maka
~u ~v
3
1
= p 2 =
=
k~uk k~v k
2
6
=
p
6, dan
2
Kita memiliki
~u ~v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, k~uk = 1, dan
p
k~v k = 2 2. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
3
= k~uk k~v k cos , maka
1p
~u ~v
2
=
2
= p =
k~uk k~v k
2
2 2
1p
= arccos
2 = 45 .
2
Kita memiliki
~u ~v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, k~uk =
p
k~v k = 6. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
= k~uk k~v k cos , maka
~u ~v
3
1
= p 2 =
=
k~uk k~v k
2
6
=
arccos
1
2
= 60 .
p
6, dan
Proyeksi Ortogonal
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
73 / 116
Proyeksi Ortogonal
Proyeksi Ortogonal pada Sumbu Koordinat
Pada pelajaran Fisika di sekolah, Anda sudah diperkenalkan dengan proyeksi dari
suatu vektor pada sumbu koordinat.
Pada ilustrasi di atas, kita memiliki v = vx + vy .
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
74 / 116
Proyeksi Ortogonal
Proyeksi Ortogonal
Pada kuliah ini kita akan mempelajari proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada
sembarang vektor tak nol.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
75 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita
akan mencari keterkaitan antara u1 dan b.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita
akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya
u1 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita
akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya
u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita
akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya
u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita
akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya
u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b =
MZI (FIF Tel-U)
(u1 + u2 ) b =
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita
akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya
u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b =
(u1 + u2 ) b = u1 b + u2 b
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita
akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya
u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b =
=
=
MZI (FIF Tel-U)
(u1 + u2 ) b = u1 b + u2 b
kb b + 0 (karena u1 = kb dan u2 ?b)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita
akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya
u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b =
=
=
k
MZI (FIF Tel-U)
(u1 + u2 ) b = u1 b + u2 b
kb b + 0 (karena u1 = kb dan u2 ?b)
2
2
k kbk (karena b b = kbk )
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita
akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya
u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R.
Perhatikan bahwa
u b =
=
=
k
MZI (FIF Tel-U)
=
(u1 + u2 ) b = u1 b + u2 b
kb b + 0 (karena u1 = kb dan u2 ?b)
2
2
k kbk (karena b b = kbk )
u b
2.
kbk
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
76 / 116
Proyeksi Ortogonal
Oleh karenanya kita memiliki
u1 =
u b
kbk
2
!
b
Vektor u1 juga akan kita tuliskan sebagai projb u yang berarti proyeksi dari vektor
u sepanjang vektor b.
Proyeksi Ortogonal
Diberikan sebuah vektor u dan vektor tak nol b pada ruang yang sama. Proyeksi
ortogonal dari u sepanjang b (atau proyeksi ortogonal dari u pada b), ditulis
dengan projb u, dide…nisikan sebagai
!
u b
projb u =
b.
2
kbk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
77 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
ku1 k = kuk cos ,
dengan
adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
ku1 k = kuk cos ,
dengan
adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa
u b
MZI (FIF Tel-U)
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
ku1 k = kuk cos ,
dengan
adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa
u b
=
cos
=
MZI (FIF Tel-U)
kuk kbk cos
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
ku1 k = kuk cos ,
dengan
adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa
u b
=
cos
=
ku1 k
=
MZI (FIF Tel-U)
kuk kbk cos
u b
, karena ku1 k = kuk cos , maka
kuk kbk
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
ku1 k = kuk cos ,
dengan
adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa
u b
=
cos
=
ku1 k
=
kuk kbk cos
u b
, karena ku1 k = kuk cos , maka
kuk kbk
u b
u b
kuk
=
.
kuk kbk
kbk
Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
ku1 k = kuk cos ,
dengan
adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa
u b
=
cos
=
ku1 k
=
kuk kbk cos
u b
, karena ku1 k = kuk cos , maka
kuk kbk
u b
u b
kuk
=
.
kuk kbk
kbk
Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj = ku1 k = kbk. Akibatnya
diperoleh
u1 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
ku1 k = kuk cos ,
dengan
adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa
u b
=
cos
=
ku1 k
=
kuk kbk cos
u b
, karena ku1 k = kuk cos , maka
kuk kbk
u b
u b
kuk
=
.
kuk kbk
kbk
Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj = ku1 k = kbk. Akibatnya
diperoleh
u1 = kb =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
ku1 k = kuk cos ,
dengan
adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa
u b
=
cos
=
ku1 k
=
kuk kbk cos
u b
, karena ku1 k = kuk cos , maka
kuk kbk
u b
u b
kuk
=
.
kuk kbk
kbk
Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj = ku1 k = kbk. Akibatnya
diperoleh
ku1 k
b=
u1 = kb =
kbk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita
mengetahui bahwa
ku1 k = kuk cos ,
dengan
adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa
u b
=
cos
=
ku1 k
=
kuk kbk cos
u b
, karena ku1 k = kuk cos , maka
kuk kbk
u b
u b
kuk
=
.
kuk kbk
kbk
Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj = ku1 k = kbk. Akibatnya
diperoleh
ku1 k
u b
b=
u1 = kb =
2 b.
kbk
kbk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
78 / 116
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
79 / 116
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
proj~v ~u = ~v ,
dengan
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
79 / 116
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
proj~v ~u = ~v ,
dengan
=
~
u~
v
,
k~
v k2
jadi
proj~v ~u =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
79 / 116
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
proj~v ~u = ~v ,
dengan
=
~
u~
v
,
k~
v k2
jadi
proj~v ~u =
MZI (FIF Tel-U)
~u ~v
2
k~v k
!
~v =
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
79 / 116
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
proj~v ~u = ~v ,
dengan
=
~
u~
v
,
k~
v k2
jadi
proj~v ~u =
=
=
MZI (FIF Tel-U)
~u ~v
2
k~v k
q
!
2
~v =
12
( 2; 4; 3) (1; 3; 4)
k(1; 3; 4)k
12
2
12
+
32
+ ( 4)
(1; 3; 4)
(1; 3; 4)
2
26
(1; 3; 4) =
26
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
79 / 116
Proyeksi Ortogonal
Contoh
Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap
~v = (1; 3; 4). Kita memiliki
proj~v ~u = ~v ,
dengan
=
~
u~
v
,
k~
v k2
jadi
proj~v ~u =
=
=
MZI (FIF Tel-U)
~u ~v
2
k~v k
q
!
2
~v =
12
( 2; 4; 3) (1; 3; 4)
k(1; 3; 4)k
12
2
12
+
32
+ ( 4)
(1; 3; 4)
(1; 3; 4)
2
26
(1; 3; 4) = ( 1; 3; 4) .
26
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
79 / 116
Proyeksi Ortogonal
Latihan 3: Proyeksi Ortogonal
Latihan
1
Misalkan ~u = ( 1; 1) dan ~v = (0; 1). Tentukan
1
2
2
Proyeksi ortogonal dari ~
u terhadap ~v .
Proyeksi ortogonal dari ~v terhadap ~
u.
Misalkan ~a = (1; 1; 1) dan ~b = (0; 2; 2). Tentukan
1
2
Proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b:
Proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
80 / 116
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1
Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
81 / 116
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1
Kita memiliki
1
proyeksi ortogonal dari ~
u terhadap ~v adalah
( 1;1) (0;1)
u
~ ~
v
~
v
=
(0; 1) = 11 (0; 1) = (0; 1),
proj~v ~
u = k~
2
vk
k(0;1)k2
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
81 / 116
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1
Kita memiliki
1
2
2
proyeksi ortogonal dari ~
u terhadap ~v adalah
( 1;1) (0;1)
u
~ ~
v
~
v
=
(0; 1) = 11 (0; 1) = (0; 1),
proj~v ~
u = k~
2
vk
k(0;1)k2
proyeksi ortogonal dai ~v terhadap ~
u adalah
(0;1) ( 1;1)
1
~
v u
~
~
u
=
;
proju~ ~v = k~
(
1;
1) = 12 ( 1; 1) =
2
uk
2
k( 1;1)k
1
2
.
Kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
81 / 116
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1
Kita memiliki
1
2
2
proyeksi ortogonal dari ~
u terhadap ~v adalah
( 1;1) (0;1)
u
~ ~
v
~
v
=
(0; 1) = 11 (0; 1) = (0; 1),
proj~v ~
u = k~
2
vk
k(0;1)k2
proyeksi ortogonal dai ~v terhadap ~
u adalah
(0;1) ( 1;1)
1
~
v u
~
~
u
=
;
proju~ ~v = k~
(
1;
1) = 12 ( 1; 1) =
2
uk
2
k( 1;1)k
1
2
.
Kita memiliki
1
proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b adalah
~
(0;2;2)
(0; 2; 2) = 84 (0; 2; 2) = (0; 1; 1).
proj~b~a = ~a~ b2 ~b = (1;1;1)
k0;2;2k2
k bk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
81 / 116
Proyeksi Ortogonal
Solusi:
1
Kita memiliki
1
2
2
proyeksi ortogonal dari ~
u terhadap ~v adalah
( 1;1) (0;1)
u
~ ~
v
~
v
=
(0; 1) = 11 (0; 1) = (0; 1),
proj~v ~
u = k~
2
vk
k(0;1)k2
proyeksi ortogonal dai ~v terhadap ~
u adalah
(0;1) ( 1;1)
1
~
v u
~
~
u
=
;
proju~ ~v = k~
(
1;
1) = 12 ( 1; 1) =
2
uk
2
k( 1;1)k
1
2
.
Kita memiliki
1
2
proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b adalah
~
(0;2;2)
(0; 2; 2) = 84 (0; 2; 2) = (0; 1; 1).
proj~b~a = ~a~ b2 ~b = (1;1;1)
k0;2;2k2
k bk
proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a adalah
~
(1;1;1)
proj~a~b = k~bak~a2 ~a = (0;2;2)
(1; 1; 1) = 34 (1; 1; 1) = 43 ; 43 ; 43 .
k(1;1;1)k2
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
81 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
82 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang (Cross-Product) di R3
Di pelajaran Fisika sekolah menengah, kita sudah mengenal de…nisi hasil kali
silang (cross product) berikut.
Hasil Kali Silang di R3
Diberikan dua vektor u = (u1 ; u2 ; u3 ) dan v = (v1 ; v2 ; v3 ) di R3 , hasil kali silang
u v merupakan vektor yang diperoleh sebagai berikut
u
v=
i
u1
v1
j
u2
v2
k
u3
v3
.
Dari pengetahuan kita tentang menghitung determinan dengan kofaktor, kita
memiliki
u2 u3
u1 u3
u1 u2
u v=
i
j+
k.
v2 v 3
v1 v3
v1 v2
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
83 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Penyalahagunaan Notasi
Catatan
i
j
k
u1 u2 u3 merupakan suatu bentuk
v1 v2 v3
penyalahgunaan notasi (abuse of notation) mengingat i, j, dan k ketiganya adalah
vektor satuan. Kita tidak mengenal nilai determinan dari suatu matriks yang
entrinya adalah vektor.
Perlu diingat bahwa de…nisi u
MZI (FIF Tel-U)
v=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
84 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
De…nisi Hasil Kali Silang
Agar tidak terjadi penyalahgunaan notasi, kita akan mende…nisikan hasil kali
silang dari dua vektor sebagai berikut.
De…nisi
Diberikan dua vektor u = (u1 ; u2 ; u3 ) dan v = (v1 ; v2 ; v3 ) di R3 . Hasil kali silang
u v dide…nisikan sebagai vektor
u
v=
u2
v2
u3
v3
u1
v1
;
u3
v3
;
u1
v1
u2
v2
Kita dapat mengingat de…nisi ini dengan membentuk matriks 2
u1
v1
u2
v2
Hasil kali silang u v tak lain adalah
u1 u2 u3
u1 u2 u3
u1
;
;
v1 v2 v3
u1 u2 u3
u1
MZI (FIF Tel-U)
.
3 berikut
u3
v3
u2
u2
Ruang Vektor R2 dan R3
u3
u3
.
September 2015
85 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Latihan 4: Hasil Kali Silang
Latihan
1
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).
2
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
86 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Latihan 4: Hasil Kali Silang
Latihan
1
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).
2
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).
Solusi:
1
u
v=
2
0
2
;
1
1
3
2
1
;
1
3
2
0
= (2;
(7) ; 6) =
(2; 7; 6).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
86 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Latihan 4: Hasil Kali Silang
Latihan
1
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).
2
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).
Solusi:
1
u
v=
2
0
1
3
0
2
( 7) ; 6) = ( 2; 7; 6).
(2; 7; 6). v
( 2;
2
;
1
MZI (FIF Tel-U)
u=
2
1 2
;
= (2; (7) ; 6) =
1
3 0
1
3
1
3 0
;
;
=
2
1
2
1 2
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
86 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Latihan 4: Hasil Kali Silang
Latihan
1
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).
2
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).
Solusi:
1
u
v=
2
0
1
3
0
2
( 2; ( 7) ; 6) = ( 2; 7; 6).
4
4
1
u v=
;
3
2
0
(2; 7; 6). v
2
2
;
1
u=
2
1 2
;
= (2; (7) ; 6) =
1
3 0
1
3
1
3 0
;
;
=
2
1
2
1 2
4
1
;
2
0
4
3
= (20;
(2) ; 3) =
(20; 2; 3).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
86 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Latihan 4: Hasil Kali Silang
Latihan
1
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).
2
Carilah u
v dan v
u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).
Solusi:
1
u
v=
2
0
1
3
2
1 2
;
= (2; (7) ; 6) =
1
3 0
1
3
1
3 0
;
;
=
2
1
2
1 2
0
2
( 2; ( 7) ; 6) = ( 2; 7; 6).
4
4
1
4
1 4
u v=
;
;
= (20; (2) ; 3) =
3
2
0
2
0 3
3
2
0
2
0 3
;
;
=
(20; 2; 3). v u =
4
4
1
4
1 4
( 20; ( 2) ; 3) = ( 20; 2; 3).
(2; 7; 6). v
2
2
;
1
u=
Dari dua soal di atas, kita menemukan bahwa u
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
v=
(v
u).
September 2015
86 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Penting
Operasi Hasil Kali Silang
Operasi hasil kali silang (cross product) merupakan operasi yang melibatkan dua
vektor dan menghasilkan sebuah vektor. Dengan perkataan lain, operasi ini
memiliki input dua buah vektor (boleh sama) dan memberikan output sebuah
vektor. Perlu diingat bahwa hasil kali silang hanya dide…nisikan di ruang vektor R3
saja. Kita tidak memiliki de…nisi hasil kali silang untuk dua vektor di ruang Rn
untuk n selain 3.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
87 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar
Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan
k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain
yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa
i
j=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
88 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar
Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan
k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain
yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa
0 0
1 0
1 0
;
;
i j=
=
1 0
0 0
0 1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
88 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar
Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan
k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain
yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa
0 0
1 0
1 0
;
;
i j=
= (0; 0; 1) =
1 0
0 0
0 1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
88 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar
Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan
k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain
yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa
0 0
1 0
1 0
;
;
i j=
= (0; 0; 1) = k.
1 0
0 0
0 1
j
k=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
88 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar
Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan
k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain
yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa
0 0
1 0
1 0
;
;
i j=
= (0; 0; 1) = k.
1 0
0 0
0 1
1 0
0 0
0 1
;
;
=
j k=
0 1
0 1
0 0
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
88 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar
Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan
k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain
yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa
0 0
1 0
1 0
;
;
i j=
= (0; 0; 1) = k.
1 0
0 0
0 1
1 0
0 0
0 1
;
;
= (1; 0; 0) =
j k=
0 1
0 1
0 0
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
88 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar
Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan
k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain
yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa
0 0
1 0
1 0
;
;
i j=
= (0; 0; 1) = k.
1 0
0 0
0 1
1 0
0 0
0 1
;
;
= (1; 0; 0) = i.
j k=
0 1
0 1
0 0
i
i=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
88 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar
Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan
k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain
yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa
0 0
1 0
1 0
;
;
i j=
= (0; 0; 1) = k.
1 0
0 0
0 1
1 0
0 0
0 1
;
;
= (1; 0; 0) = i.
j k=
0 1
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
;
;
=
i i=
0 0
1 0
0 0
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
88 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar
Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan
k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain
yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa
0 0
1 0
1 0
;
;
i j=
= (0; 0; 1) = k.
1 0
0 0
0 1
1 0
0 0
0 1
;
;
= (1; 0; 0) = i.
j k=
0 1
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
;
;
= (0; 0; 0) = 0.
i i=
0 0
1 0
0 0
Secara serupa, kita juga dapat dengan mudah membuktikan bahwa j j = 0 dan
k k = 0.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
88 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengetahui bahwa hasil kali
silang vektor-vektor basis standar dapat diingat dengan diagram berikut
Dari diagram di atas, kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
89 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengetahui bahwa hasil kali
silang vektor-vektor basis standar dapat diingat dengan diagram berikut
Dari diagram di atas, kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa:
j = k dan j
i=
k
j
k = i dan k
j=
i
i
k=
i
MZI (FIF Tel-U)
j dan k
Ruang Vektor R2 dan R3
i=j
September 2015
89 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Hasil Kali Skalar Tripel
De…nisi (Hasil Kali Skalar Tripel)
Diberikan tiga vektor di R3 berikut: u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ), dan
w = (w1 ; w2 ; w3 ). Hasil kali skalar tripel dinotasikan dengan u (v w).
Teorema
Jika u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ), dan w = (w1 ; w2 ; w3 ), maka
2
3
u1 u2 u3
u (v w) = det 4 v1 v2 v3 5 .
w1 w2 w3
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
90 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Perhatikan bahwa
u (v
w)
=
(u1 ; u2 ; u3 )
v2
w2
v3
w3
;
v1
w1
v3
w3
;
v1
w1
v2
w2
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
91 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Perhatikan bahwa
u (v
w)
=
(u1 ; u2 ; u3 )
=
u1
v2
w2
v3
w3
v2
w2
v3
w3
+ ( 1) u2
;
v1
w1
v1
w1
v3
w3
;
v1
w1
v2
w2
v3
w3
+ u3
v1
w1
v2
w2
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
91 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Perhatikan bahwa
u (v
w)
=
(u1 ; u2 ; u3 )
=
u1
=
MZI (FIF Tel-U)
v2
w2
v3
w3
;
v1
w1
v2 v3
v1 v3
+ ( 1) u2
w2 w3
w1 w3
3
2
u1 u2 u3
det 4 v1 v2 v3 5 . (Q.E.D).
w1 w2 w3
Ruang Vektor R2 dan R3
v3
w3
;
v1
w1
v2
w2
+ u3
v1
w1
v2
w2
September 2015
91 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Aturan Tangan Kanan
Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengenal aturan tangan
kanan. Jika u dan v adalah dua vektor (yang tidak sejajar), maka “arah” dari
u v selalu tegak lurus dengan u maupun v dan dapat ditentukan melalui
aturan tangan kanan.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
92 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Keterkaitan Hasil Kali Silang dan Hasil Kali Titik
Teorema
Misalkan u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ), dan w = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah tiga
vektor di R3 , maka:
1
u (u v) = 0 dan v (u
terhadap u v.
2
ku
3
4
u
(u
2
2
2
vk = kuk kvk
(v
v)
v) = 0. Ini berarti baik u maupun v ortogonal
2
(u v) (identitas Lagrange).
w) = (u w) v
(u v) w
w = (u w) v
(v w) u
Bukti dari sifat-sifat pada teorema di atas tidak sulit, Anda hanya butuh ketelitian
dan kesabaran untuk membuktikannya. Di sini kita hanya akan membuktikan sifat
pada nomor 1 dan ide untuk membuktikan sifat nomor 2. Sisanya dapat
dikerjakan sebagai latihan.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
93 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Bukti (Bukti sifat nomor 1)
Perhatikan bahwa
u (u
v)
=
(u1 ; u2 ; u3 )
u2
v2
u3
v3
;
u1
v1
u3
v3
;
u2
v2
u3
v3
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
94 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Bukti (Bukti sifat nomor 1)
Perhatikan bahwa
u (u
v)
=
(u1 ; u2 ; u3 )
= u1
u2
v2
u3
v3
u2
v2
u3
v3
+ ( 1) u2
;
u1
v1
u1
v1
u3
v3
;
u2
v2
u3
v3
u3
v3
+ u3
u2
v2
u3
v3
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
94 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Bukti (Bukti sifat nomor 1)
Perhatikan bahwa
u (u
v)
=
u2
v2
= u1
=
u2
v2
(u1 ; u2 ; u3 )
u1
u1
v1
u3
v3
u2
u2
v2
u3
v3
+ ( 1) u2
u3
u3
v3
;
u1
v1
u1
v1
u3
v3
;
u2
v2
u3
v3
u3
v3
+ u3
u2
v2
u3
v3
= 0 (baris pertama dan kedua sama).
Dengan cara yang serupa, v (u v) = 0 (Anda dapat memperoleh matriks yang
baris pertama dan ketiganya sama). (Q.E.D)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
94 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Bukti (Ide untuk nomor 2)
Tinjau bahwa u
ku
u2
v2
v=
2
vk = (u2 v3
u3
v3
;
2
u1
v1
u3 v2 ) + (u3 v1
u3
v3
u1
v1
;
u2
v2
. Akibatnya
2
u1 v3 ) + (u1 v2
2
u2 v1 ) .
(1)
Tinjau pula bahwa
2
2
kuk kvk
(u v)
2
=
u21 + u22 + u23
2
v12 + v22 + v32
(2)
2
(u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 ) .
Bukti dapat diperoleh dengan menjabarkan bentuk (1) dan (2) serta memeriksa
kesamaannya.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
95 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Norm dari Vektor Hasil Kali Silang
2
2
2
2
Identitas Langrange menyatakan bahwa ku vk = kuk kvk
(u v) untuk
setiap vektor di R3 . Karena u v = kuk kvk cos , dengan adalah sudut antara
u dan v, maka
ku
MZI (FIF Tel-U)
2
vk
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
96 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Norm dari Vektor Hasil Kali Silang
2
2
2
2
Identitas Langrange menyatakan bahwa ku vk = kuk kvk
(u v) untuk
setiap vektor di R3 . Karena u v = kuk kvk cos , dengan adalah sudut antara
u dan v, maka
ku
MZI (FIF Tel-U)
2
vk
=
=
2
kuk kvk
2
2
2
kuk kvk cos2
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
96 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Norm dari Vektor Hasil Kali Silang
2
2
2
2
Identitas Langrange menyatakan bahwa ku vk = kuk kvk
(u v) untuk
setiap vektor di R3 . Karena u v = kuk kvk cos , dengan adalah sudut antara
u dan v, maka
ku
2
vk
=
=
2
2
2
2
kuk kvk
kuk kvk
2
1
2
kuk kvk cos2
cos2
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
96 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Norm dari Vektor Hasil Kali Silang
2
2
2
2
Identitas Langrange menyatakan bahwa ku vk = kuk kvk
(u v) untuk
setiap vektor di R3 . Karena u v = kuk kvk cos , dengan adalah sudut antara
u dan v, maka
ku
2
vk
=
=
=
ku
MZI (FIF Tel-U)
vk
=
kuk kvk
2
2
2
2
2
2
kuk kvk
2
1
2
kuk kvk cos2
cos2
kuk kvk sin2
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
96 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Norm dari Vektor Hasil Kali Silang
2
2
2
2
Identitas Langrange menyatakan bahwa ku vk = kuk kvk
(u v) untuk
setiap vektor di R3 . Karena u v = kuk kvk cos , dengan adalah sudut antara
u dan v, maka
ku
2
vk
=
=
=
ku
vk
=
kuk kvk
2
2
2
2
2
2
kuk kvk
2
1
2
kuk kvk cos2
cos2
kuk kvk sin2
kuk kvk sin
mengingat sin
0 untuk 0
Jadi kita memiliki
ku
MZI (FIF Tel-U)
vk = kuk kvk sin .
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
96 / 116
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
Sifat-sifat Hasil Kali Silang & Skalar Tripel
Teorema
Misalkan u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ), dan w = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah tiga
vektor di R3 dan k 2 R, maka
v=
(v
1
u
2
Jika u sejajar dengan v, maka u
3
(ku)
4
u
5
u (v
v=u
u);
(kv) = k (u
(v + w) = (u
w) = (u
MZI (FIF Tel-U)
v) + (u
v=v
u = 0. Akibatnya u
u = 0;
v);
w);
v) w
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
97 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
98 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Hasil Kali Silang dan Luas Jajar Genjang di R3
Perhatikan paralelogram (jajar genjang) berikut
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
99 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Jika luas jajar genjang tersebut adalah A, kita memiliki
A
MZI (FIF Tel-U)
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
100 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Jika luas jajar genjang tersebut adalah A, kita memiliki
A
=
(panjang alas)
(tinggi)
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
100 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Jika luas jajar genjang tersebut adalah A, kita memiliki
A
=
(panjang alas)
=
kuk kvk sin
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
(tinggi)
September 2015
100 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Jika luas jajar genjang tersebut adalah A, kita memiliki
A
=
(panjang alas)
=
kuk kvk sin
=
ku
(tinggi)
vk .
Teorema
Luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor u dan v di R3 adalah ku
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
vk.
September 2015
100 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Hasil Kali Silang dan Luas Segitiga di R3
Jika P (x1 ; y1 ; z1 ), Q (x2 ; y2 ; z2 ), dan R (x3 ; y3 ; z3 ) adalah tiga titik berbeda di
! !
R3 , maka kita dapat membentuk segitiga yang sisi-sisinya adalah P Q, P R, dan
!
QR. Dari pengetahuan kita sebelumnya, luas jajar genjang yang sisi-sisinya adalah
!
!
P Q dan P R adalah dua kali luas segitiga P QR. Akibatnya luas segitiga P QR
adalah
A P QR =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
101 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Hasil Kali Silang dan Luas Segitiga di R3
Jika P (x1 ; y1 ; z1 ), Q (x2 ; y2 ; z2 ), dan R (x3 ; y3 ; z3 ) adalah tiga titik berbeda di
! !
R3 , maka kita dapat membentuk segitiga yang sisi-sisinya adalah P Q, P R, dan
!
QR. Dari pengetahuan kita sebelumnya, luas jajar genjang yang sisi-sisinya adalah
!
!
P Q dan P R adalah dua kali luas segitiga P QR. Akibatnya luas segitiga P QR
adalah
!
1 !
A P QR =
PQ PR
2
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
101 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Contoh Kalkulasi Luas Jajar Genjang dan Segitiga di R3
Diberikan titik-titik P (1; 1; 2), Q (4; 1; 0), dan R (2; 3; 3). Jika A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibangun oleh vektor P Q dan P R, maka
A
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
102 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Contoh Kalkulasi Luas Jajar Genjang dan Segitiga di R3
Diberikan titik-titik P (1; 1; 2), Q (4; 1; 0), dan R (2; 3; 3). Jika A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibangun oleh vektor P Q dan P R, maka
A
=
!
PQ
!
P R = k(4
= k(3; 2; 2)
1; 1 + 1; 0
2)
(2
1; 3 + 1; 3
2)k
(1; 4; 1)k
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
102 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Contoh Kalkulasi Luas Jajar Genjang dan Segitiga di R3
Diberikan titik-titik P (1; 1; 2), Q (4; 1; 0), dan R (2; 3; 3). Jika A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibangun oleh vektor P Q dan P R, maka
A
=
!
PQ
!
P R = k(4
1; 1 + 1; 0
= k(3; 2; 2) (1; 4; 1)k
2
2
3
2
=
;
4 1
1 1
;
3
1
2)
(2
1; 3 + 1; 3
2)k
2
4
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
102 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Contoh Kalkulasi Luas Jajar Genjang dan Segitiga di R3
Diberikan titik-titik P (1; 1; 2), Q (4; 1; 0), dan R (2; 3; 3). Jika A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibangun oleh vektor P Q dan P R, maka
A
=
!
PQ
!
P R = k(4
1; 1 + 1; 0
2)
(2
1; 3 + 1; 3
2)k
= k(3; 2; 2) (1; 4; 1)k
2
2
3
2
3 2
=
;
;
4 1
1 1
1 4
q
p
2
= k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
102 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Contoh Kalkulasi Luas Jajar Genjang dan Segitiga di R3
Diberikan titik-titik P (1; 1; 2), Q (4; 1; 0), dan R (2; 3; 3). Jika A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibangun oleh vektor P Q dan P R, maka
A
=
!
PQ
!
P R = k(4
1; 1 + 1; 0
2)
(2
1; 3 + 1; 3
2)k
= k(3; 2; 2) (1; 4; 1)k
2
2
3
2
3 2
=
;
;
4 1
1 1
1 4
q
p
2
= k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 = 15 satuan luas.
Kemudian luas segitiga P QR adalah
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
102 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Contoh Kalkulasi Luas Jajar Genjang dan Segitiga di R3
Diberikan titik-titik P (1; 1; 2), Q (4; 1; 0), dan R (2; 3; 3). Jika A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibangun oleh vektor P Q dan P R, maka
A
=
!
PQ
!
P R = k(4
1; 1 + 1; 0
2)
(2
1; 3 + 1; 3
2)k
= k(3; 2; 2) (1; 4; 1)k
2
2
3
2
3 2
=
;
;
4 1
1 1
1 4
q
p
2
= k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 = 15 satuan luas.
Kemudian luas segitiga P QR adalah 12 A =
MZI (FIF Tel-U)
15
2
= 7 12 satuan luas.
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
102 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Untuk mencari luas segitiga P QR, kita juga dapat mencari setengah dari luas
!
!
jajar genjang yang sisi-sisinya adalah RP dan RQ. Misalkan A adalah luas jajar
genjang yang dimaksud, maka
A
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
103 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Untuk mencari luas segitiga P QR, kita juga dapat mencari setengah dari luas
!
!
jajar genjang yang sisi-sisinya adalah RP dan RQ. Misalkan A adalah luas jajar
genjang yang dimaksud, maka
A
=
!
RP
!
RQ = k(1
= k( 1; 4; 1)
2; 1
3; 2
3)
(4
2; 1
3; 0
3)k
(2; 2; 3)k
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
103 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Untuk mencari luas segitiga P QR, kita juga dapat mencari setengah dari luas
!
!
jajar genjang yang sisi-sisinya adalah RP dan RQ. Misalkan A adalah luas jajar
genjang yang dimaksud, maka
A
=
!
RP
!
RQ = k(1
2; 1
= k( 1; 4; 1) (2; 2; 3)k
4
1
1
1
=
;
2
3
2
3
3; 2
;
3)
1
2
(4
2; 1
3; 0
3)k
4
2
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
103 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Untuk mencari luas segitiga P QR, kita juga dapat mencari setengah dari luas
!
!
jajar genjang yang sisi-sisinya adalah RP dan RQ. Misalkan A adalah luas jajar
genjang yang dimaksud, maka
A
=
!
RP
!
RQ = k(1
2; 1
3; 2
3)
(4
2; 1
3; 0
3)k
= k( 1; 4; 1) (2; 2; 3)k
4
1
1
1
1
4
=
;
;
2
3
2
3
2
2
q
p
2
= k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
103 / 116
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
Untuk mencari luas segitiga P QR, kita juga dapat mencari setengah dari luas
!
!
jajar genjang yang sisi-sisinya adalah RP dan RQ. Misalkan A adalah luas jajar
genjang yang dimaksud, maka
A
=
!
RP
!
RQ = k(1
2; 1
3; 2
3)
(4
2; 1
3; 0
3)k
= k( 1; 4; 1) (2; 2; 3)k
4
1
1
1
1
4
=
;
;
2
3
2
3
2
2
q
p
2
= k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 = 15.
Akibatnya luas segitiga P QR adalah 12 A =
MZI (FIF Tel-U)
15
2
= 7 21 satuan luas.
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
103 / 116
Latihan
Bahasan
1
Vektor di Sekolah Menengah
2
Pendahuluan: Vektor dan Notasinya
3
Dasar-dasar Aljabar Vektor
4
Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3
5
Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3
6
Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3
7
Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3
8
Proyeksi Ortogonal
9
Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3
10
Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3
11
Latihan
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
104 / 116
Latihan
Latihan 5: Vektor yang Ortogonal Dengan Vektor Lain
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R2 )
Berikan semua vektor di R2 yang ortogonal terhadap ~u = (1; 2).
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
105 / 116
Latihan
Latihan 5: Vektor yang Ortogonal Dengan Vektor Lain
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R2 )
Berikan semua vektor di R2 yang ortogonal terhadap ~u = (1; 2).
Solusi: Misalkan ~v adalah vektor yang ortogonal terhadap ~u, maka ~u ~v = 0.
Karena ~v 2 R2 , maka ~v = (v1 ; v2 ). Akibatnya
~u ~v
MZI (FIF Tel-U)
=
(1; 2) (v1 ; v2 ) =
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
105 / 116
Latihan
Latihan 5: Vektor yang Ortogonal Dengan Vektor Lain
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R2 )
Berikan semua vektor di R2 yang ortogonal terhadap ~u = (1; 2).
Solusi: Misalkan ~v adalah vektor yang ortogonal terhadap ~u, maka ~u ~v = 0.
Karena ~v 2 R2 , maka ~v = (v1 ; v2 ). Akibatnya
~u ~v
=
(1; 2) (v1 ; v2 ) = 0
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
105 / 116
Latihan
Latihan 5: Vektor yang Ortogonal Dengan Vektor Lain
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R2 )
Berikan semua vektor di R2 yang ortogonal terhadap ~u = (1; 2).
Solusi: Misalkan ~v adalah vektor yang ortogonal terhadap ~u, maka ~u ~v = 0.
Karena ~v 2 R2 , maka ~v = (v1 ; v2 ). Akibatnya
~u ~v
=
(1; 2) (v1 ; v2 ) = 0
= v1
2v2 = 0,
diperoleh v1 = 2v2 . Jika v2 = t, maka v1 = 2t, akibatnya (v1 ; v2 ) = (2t; t),
dengan t 2 R. Jadi semua vektor yang berbentuk (2t; t) dengan t 2 R ortogonal
terhadap (1; 2). Salah satunya adalah vektor (2; 1) yang diperoleh ketika t = 1.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
105 / 116
Latihan
y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
x
-2
-3
-4
-5
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
106 / 116
Latihan
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 )
Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan
~v = (3; 1; 5).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
107 / 116
Latihan
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 )
Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan
~v = (3; 1; 5).
Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara.
Cara 1:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
107 / 116
Latihan
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 )
Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan
~v = (3; 1; 5).
Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara.
Cara 1: karena vektor ~u ~v ortogonal terhadap ~u maupun ~v , maka semua vektor
yang ortogonal terhadap ~u dan ~v adalah vektor yang berbentuk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
107 / 116
Latihan
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 )
Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan
~v = (3; 1; 5).
Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara.
Cara 1: karena vektor ~u ~v ortogonal terhadap ~u maupun ~v , maka semua vektor
yang ortogonal terhadap ~u dan ~v adalah vektor yang berbentuk
k (~u
~v ) , dengan k 2 R.
Perhatikan bahwa
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
107 / 116
Latihan
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 )
Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan
~v = (3; 1; 5).
Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara.
Cara 1: karena vektor ~u ~v ortogonal terhadap ~u maupun ~v , maka semua vektor
yang ortogonal terhadap ~u dan ~v adalah vektor yang berbentuk
k (~u
~v ) , dengan k 2 R.
Perhatikan bahwa
~u
MZI (FIF Tel-U)
~v
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
107 / 116
Latihan
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 )
Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan
~v = (3; 1; 5).
Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara.
Cara 1: karena vektor ~u ~v ortogonal terhadap ~u maupun ~v , maka semua vektor
yang ortogonal terhadap ~u dan ~v adalah vektor yang berbentuk
k (~u
~v ) , dengan k 2 R.
Perhatikan bahwa
~u
~v
4
1
=
=
(20
2
5
2;
;
6
3
2
5
( 30
6) ; ( 6
;
6
3
4
1
12))
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
107 / 116
Latihan
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 )
Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan
~v = (3; 1; 5).
Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara.
Cara 1: karena vektor ~u ~v ortogonal terhadap ~u maupun ~v , maka semua vektor
yang ortogonal terhadap ~u dan ~v adalah vektor yang berbentuk
k (~u
~v ) , dengan k 2 R.
Perhatikan bahwa
~u
~v
4
1
=
2
5
2;
;
6
3
( 30
6) ; ( 6
=
(20
=
(18; 36; 18) .
2
5
;
6
3
4
1
12))
Jadi semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v adalah semua vektor w
~
yang berbentuk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
107 / 116
Latihan
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 )
Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan
~v = (3; 1; 5).
Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara.
Cara 1: karena vektor ~u ~v ortogonal terhadap ~u maupun ~v , maka semua vektor
yang ortogonal terhadap ~u dan ~v adalah vektor yang berbentuk
k (~u
~v ) , dengan k 2 R.
Perhatikan bahwa
~u
~v
4
1
=
2
5
2;
;
6
3
( 30
6) ; ( 6
=
(20
=
(18; 36; 18) .
2
5
;
6
3
4
1
12))
Jadi semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v adalah semua vektor w
~
yang berbentuk
s (18; 36; 18) =
(18s; 36s; 18s)
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
107 / 116
Latihan
Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 )
Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan
~v = (3; 1; 5).
Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara.
Cara 1: karena vektor ~u ~v ortogonal terhadap ~u maupun ~v , maka semua vektor
yang ortogonal terhadap ~u dan ~v adalah vektor yang berbentuk
k (~u
~v ) , dengan k 2 R.
Perhatikan bahwa
~u
~v
4
1
=
2
5
2;
;
6
3
( 30
6) ; ( 6
=
(20
=
(18; 36; 18) .
2
5
;
6
3
4
1
12))
Jadi semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v adalah semua vektor w
~
yang berbentuk
s (18; 36; 18) =
=
MZI (FIF Tel-U)
(18s; 36s; 18s)
(t; 2t; t) , dengan t 2 R.
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
107 / 116
Latihan
Cara 2: misalkan w
~ = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah vektor yang ortogonal dengan ~u
maupun ~v , kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
108 / 116
Latihan
Cara 2: misalkan w
~ = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah vektor yang ortogonal dengan ~u
maupun ~v , kita memiliki
w
~ ~u =
6w1 + 4w2 + 2w3
=
0
w
~ ~v = 3w1 + w2 + 5w3
=
0
Dengan menyelesaikan SPL, diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
108 / 116
Latihan
Cara 2: misalkan w
~ = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah vektor yang ortogonal dengan ~u
maupun ~v , kita memiliki
w
~ ~u =
6w1 + 4w2 + 2w3
=
0
w
~ ~v = 3w1 + w2 + 5w3
=
0
Dengan menyelesaikan SPL, diperoleh w1 = t, w2 = 2t, dan w3 = t. Jadi
semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v pasti berbentuk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
108 / 116
Latihan
Cara 2: misalkan w
~ = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah vektor yang ortogonal dengan ~u
maupun ~v , kita memiliki
w
~ ~u =
6w1 + 4w2 + 2w3
=
0
w
~ ~v = 3w1 + w2 + 5w3
=
0
Dengan menyelesaikan SPL, diperoleh w1 = t, w2 = 2t, dan w3 = t. Jadi
semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v pasti berbentuk
( t; 2t; t) dengan t 2 R
atau
(t; 2t; t) dengan t 2 R
Catatan
Cara 1 hanya dapat digunakan di R3 saja. Cara 2 dapat digunakan pada semua
ruang vektor Rn , n 1.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
108 / 116
Latihan
Latihan 6
Latihan
1
2
Tentukan besar sudut terkecil yang dapat dibentuk oleh pasangan
vektor-vektor berikut:
2
3
2
3
1
0
1
6
(a) ~u =
dan ~v =
(b) ~u = 4 1 5 dan ~v = 4 1 5
2
8
0
1
Tentukan panjang vektor proyeksi ortogonal dari ~u2terhadap
~
v
bila
diketahui
3
3
2
1
1
2
3
dan ~v =
(b) ~u = 4 2 5 dan ~v = 4 0 5
(a) ~u =
1
2
3
1
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
109 / 116
Latihan
Solusi:
1
(a)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
110 / 116
Latihan
Solusi:
1
(a) Kita memiliki p
~u ~v = (1; 2) (6; 8) = 6 16 = 10,
k~uk = k(1; 2)k = 5, dan k~v k = k(6; 8)k = 10. Misalkan
antara ~u dan ~v , karena
MZI (FIF Tel-U)
~u ~v
= k~uk k~v k cos , maka
cos
=
Ruang Vektor R2 dan R3
sudut terkecil
September 2015
110 / 116
Latihan
Solusi:
1
(a) Kita memiliki p
~u ~v = (1; 2) (6; 8) = 6 16 = 10,
k~uk = k(1; 2)k = 5, dan k~v k = k(6; 8)k = 10. Misalkan
antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
= k~uk k~v k cos , maka
~u ~v
10
= p
=
=
k~uk k~v k
5 (10)
sudut terkecil
1p
5, jadi
5
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
110 / 116
Latihan
Solusi:
1
(a) Kita memiliki p
~u ~v = (1; 2) (6; 8) = 6 16 = 10,
k~uk = k(1; 2)k = 5, dan k~v k = k(6; 8)k = 10. Misalkan
antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
= k~uk k~v k cos , maka
~u ~v
10
= p
=
=
k~uk k~v k
5 (10)
1p
= arccos
5 .
5
sudut terkecil
1p
5, jadi
5
(b)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
110 / 116
Latihan
Solusi:
1
(a) Kita memiliki p
~u ~v = (1; 2) (6; 8) = 6 16 = 10,
k~uk = k(1; 2)k = 5, dan k~v k = k(6; 8)k = 10. Misalkan
antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
= k~uk k~v k cos , maka
~u ~v
10
= p
=
=
k~uk k~v k
5 (10)
1p
= arccos
5 .
5
sudut terkecil
1p
5, jadi
5
(b) Kita memiliki ~u ~vp= (1; 1; 0) (0; 1; 1) = 1,p
k~uk = k(1; 1; 0)k = 2, dan k~v k = k(0; 1; 1)k = 2. Misalkan
terkecil antara ~u dan ~v , karena
MZI (FIF Tel-U)
~u ~v
=
cos
=
sudut
k~uk k~v k cos , maka
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
110 / 116
Latihan
Solusi:
1
(a) Kita memiliki p
~u ~v = (1; 2) (6; 8) = 6 16 = 10,
k~uk = k(1; 2)k = 5, dan k~v k = k(6; 8)k = 10. Misalkan
antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
= k~uk k~v k cos , maka
~u ~v
10
= p
=
=
k~uk k~v k
5 (10)
1p
= arccos
5 .
5
sudut terkecil
1p
5, jadi
5
(b) Kita memiliki ~u ~vp= (1; 1; 0) (0; 1; 1) = 1,p
k~uk = k(1; 1; 0)k = 2, dan k~v k = k(0; 1; 1)k = 2. Misalkan
terkecil antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
=
cos
=
k~uk k~v k cos , maka
~u ~v
1
p =
= p
k~uk k~v k
2
2
sudut
1
, jadi
2
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
110 / 116
Latihan
Solusi:
1
(a) Kita memiliki p
~u ~v = (1; 2) (6; 8) = 6 16 = 10,
k~uk = k(1; 2)k = 5, dan k~v k = k(6; 8)k = 10. Misalkan
antara ~u dan ~v , karena
~u ~v
cos
= k~uk k~v k cos , maka
~u ~v
10
= p
=
=
k~uk k~v k
5 (10)
1p
= arccos
5 .
5
sudut terkecil
1p
5, jadi
5
(b) Kita memiliki ~u ~vp= (1; 1; 0) (0; 1; 1) = 1,p
k~uk = k(1; 1; 0)k = 2, dan k~v k = k(0; 1; 1)k = 2. Misalkan
terkecil antara ~u dan ~v , karena
MZI (FIF Tel-U)
~u ~v
=
cos
=
k~uk k~v k cos , maka
~u ~v
1
p =
= p
k~uk k~v k
2
2
=
arccos
1
2
= 120 =
Ruang Vektor R2 dan R3
sudut
1
, jadi
2
4
rad.
September 2015
110 / 116
Latihan
2
(a) proj~v ~u =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
111 / 116
Latihan
2
(a) proj~v ~u =
~
u~
v
~v
k~
v k2
=
Akibatnya kproj~v ~uk =
MZI (FIF Tel-U)
(2;1) (3; 2)
k(3; 2)k2
(3; 2) =
Ruang Vektor R2 dan R3
4
13
(3; 2).
September 2015
111 / 116
Latihan
2
(a) proj~v ~u =
=
~
u~
v
~v
k~
v k2
=
Akibatnya kproj~v ~uk
(b) proj~v ~u =
MZI (FIF Tel-U)
(2;1) (3; 2)
4
(3; 2) = 13
(3; 2).
k(3; 2)k2
p
4
4
4
= 13 (3; 2) = 13 k(3; 2)k = 13
13.
~
u~
v
~v
k~
v k2
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
111 / 116
Latihan
2
(a) proj~v ~u =
=
~
u~
v
~v
k~
v k2
=
Akibatnya kproj~v ~uk
(b) proj~v ~u =
(2;1) (3; 2)
4
(3; 2) = 13
(3; 2).
k(3; 2)k2
p
4
4
4
= 13 (3; 2) = 13 k(3; 2)k = 13
13.
~
u~
v
~v
k~
v k2
Akibatnya kproj~v ~uk =
MZI (FIF Tel-U)
(1;2;3) (1;0; 1)
k(1;0; 1)k2
(1; 0; 1) =
Ruang Vektor R2 dan R3
(1; 0; 1).
September 2015
111 / 116
Latihan
2
(a) proj~v ~u =
=
~
u~
v
~v
k~
v k2
=
Akibatnya kproj~v ~uk
(b) proj~v ~u =
(2;1) (3; 2)
4
(3; 2) = 13
(3; 2).
k(3; 2)k2
p
4
4
4
= 13 (3; 2) = 13 k(3; 2)k = 13
13.
~
u~
v
~v
k~
v k2
(1;2;3) (1;0; 1)
k(1;0; 1)k2
(1; 0; 1).
p
Akibatnya kproj~v ~uk = k (1; 0; 1)k = j 1j k(1; 0; 1)k = 2.
MZI (FIF Tel-U)
(1; 0; 1) =
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
111 / 116
Latihan
Latihan 7
Latihan
1
2
Carilah dua vektor satuan di R2 yang ortogonal dengan ~u = (3; 2).
Carilah dua vektor satuan di R3 yang ortogonal dengan ~u = ( 7; 3; 1) dan
~v = (2; 0; 4).
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
112 / 116
Latihan
Solusi nomor 1:
Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena
~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya
~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2)
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
=
0
September 2015
113 / 116
Latihan
Solusi nomor 1:
Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena
~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya
~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2)
3x1
2x2
=
0
=
0.
Bila x2 = t, maka x1 = 23 t. Jadi vektor yang ortogonal dengan (3; 2) berbentuk
2
3 t; t dengan t 2 R, atau dapat pula ditulis (2t; 3t) dengan t 2 R. Pilih t = 1,
maka diperoleh vektor ~x = (2; 3). Kita memiliki (2; 3) ? (3; 2) karena
(2; 3) (3; 2) = 0. Vektor satuan yang sejajar dengan ~x ada dua, yaitu
~y
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
113 / 116
Latihan
Solusi nomor 1:
Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena
~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya
~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2)
3x1
2x2
=
0
=
0.
Bila x2 = t, maka x1 = 23 t. Jadi vektor yang ortogonal dengan (3; 2) berbentuk
2
3 t; t dengan t 2 R, atau dapat pula ditulis (2t; 3t) dengan t 2 R. Pilih t = 1,
maka diperoleh vektor ~x = (2; 3). Kita memiliki (2; 3) ? (3; 2) karena
(2; 3) (3; 2) = 0. Vektor satuan yang sejajar dengan ~x ada dua, yaitu
~y
=
1
~x =
k~xk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
113 / 116
Latihan
Solusi nomor 1:
Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena
~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya
~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2)
3x1
2x2
=
0
=
0.
Bila x2 = t, maka x1 = 23 t. Jadi vektor yang ortogonal dengan (3; 2) berbentuk
2
3 t; t dengan t 2 R, atau dapat pula ditulis (2t; 3t) dengan t 2 R. Pilih t = 1,
maka diperoleh vektor ~x = (2; 3). Kita memiliki (2; 3) ? (3; 2) karena
(2; 3) (3; 2) = 0. Vektor satuan yang sejajar dengan ~x ada dua, yaitu
~y
=
~z
=
1
1
~x = p (2; 3) =
k~xk
13
MZI (FIF Tel-U)
2
3
p ;p
13
13
Ruang Vektor R2 dan R3
yang searah ~x, dan
September 2015
113 / 116
Latihan
Solusi nomor 1:
Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena
~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya
~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2)
3x1
2x2
=
0
=
0.
Bila x2 = t, maka x1 = 23 t. Jadi vektor yang ortogonal dengan (3; 2) berbentuk
2
3 t; t dengan t 2 R, atau dapat pula ditulis (2t; 3t) dengan t 2 R. Pilih t = 1,
maka diperoleh vektor ~x = (2; 3). Kita memiliki (2; 3) ? (3; 2) karena
(2; 3) (3; 2) = 0. Vektor satuan yang sejajar dengan ~x ada dua, yaitu
~y
=
~z
=
1
1
~x = p (2; 3) =
k~xk
13
1
~x =
k~xk
MZI (FIF Tel-U)
2
3
p ;p
13
13
Ruang Vektor R2 dan R3
yang searah ~x, dan
September 2015
113 / 116
Latihan
Solusi nomor 1:
Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena
~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya
~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2)
3x1
2x2
=
0
=
0.
Bila x2 = t, maka x1 = 23 t. Jadi vektor yang ortogonal dengan (3; 2) berbentuk
2
3 t; t dengan t 2 R, atau dapat pula ditulis (2t; 3t) dengan t 2 R. Pilih t = 1,
maka diperoleh vektor ~x = (2; 3). Kita memiliki (2; 3) ? (3; 2) karena
(2; 3) (3; 2) = 0. Vektor satuan yang sejajar dengan ~x ada dua, yaitu
~y
=
~z
=
1
1
~x = p (2; 3) =
k~xk
13
1
1
~x = p (2; 3) =
k~xk
13
2
3
p ;p
yang searah ~x, dan
13
13
2
3
p ;p
yang berlawanan arah ~x.
13
13
Jadi vektor satuan di R2 yang ortogonal dengan ~u adalah ~y =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
113 / 116
Latihan
Solusi nomor 1:
Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena
~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya
~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2)
3x1
2x2
=
0
=
0.
Bila x2 = t, maka x1 = 23 t. Jadi vektor yang ortogonal dengan (3; 2) berbentuk
2
3 t; t dengan t 2 R, atau dapat pula ditulis (2t; 3t) dengan t 2 R. Pilih t = 1,
maka diperoleh vektor ~x = (2; 3). Kita memiliki (2; 3) ? (3; 2) karena
(2; 3) (3; 2) = 0. Vektor satuan yang sejajar dengan ~x ada dua, yaitu
~y
=
~z
=
1
1
~x = p (2; 3) =
k~xk
13
1
1
~x = p (2; 3) =
k~xk
13
2
3
p ;p
yang searah ~x, dan
13
13
2
3
p ;p
yang berlawanan arah ~x.
13
13
Jadi vektor satuan di R2 yang ortogonal dengan ~u adalah ~y =
p2 ; p3
13
13
dan
~z =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
113 / 116
Latihan
Solusi nomor 1:
Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena
~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya
~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2)
3x1
2x2
=
0
=
0.
Bila x2 = t, maka x1 = 23 t. Jadi vektor yang ortogonal dengan (3; 2) berbentuk
2
3 t; t dengan t 2 R, atau dapat pula ditulis (2t; 3t) dengan t 2 R. Pilih t = 1,
maka diperoleh vektor ~x = (2; 3). Kita memiliki (2; 3) ? (3; 2) karena
(2; 3) (3; 2) = 0. Vektor satuan yang sejajar dengan ~x ada dua, yaitu
~y
=
~z
=
1
1
~x = p (2; 3) =
k~xk
13
1
1
~x = p (2; 3) =
k~xk
13
2
3
p ;p
yang searah ~x, dan
13
13
2
3
p ;p
yang berlawanan arah ~x.
13
13
Jadi vektor satuan di R2 yang ortogonal dengan ~u adalah ~y =
~z =
p2 ;
13
p3
13
MZI (FIF Tel-U)
p2 ; p3
13
13
dan
.
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
113 / 116
Latihan
Solusi nomor 2:
Misalkan ~x adalah vektor di R3 dengan sifat ~x?~u dan ~x?~v , maka ~x ~u = 0 dan
~x ~v = 0. Karena (~u ~v ) ?~u dan (~u ~v ) ?~v , maka kita dapat memilih ~x yang
sejajar dengan ~u ~v . Tinjau bahwa
~u
~v
=
( 7; 3; 1)
(2; 0; 4)
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
114 / 116
Latihan
Solusi nomor 2:
Misalkan ~x adalah vektor di R3 dengan sifat ~x?~u dan ~x?~v , maka ~x ~u = 0 dan
~x ~v = 0. Karena (~u ~v ) ?~u dan (~u ~v ) ?~v , maka kita dapat memilih ~x yang
sejajar dengan ~u ~v . Tinjau bahwa
~u
~v
=
=
=
MZI (FIF Tel-U)
( 7; 3; 1) (2; 0; 4)
3 1
7 1
;
;
0 4
2 4
(12;
( 28
7
2
3
0
2) ; 6) =
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
114 / 116
Latihan
Solusi nomor 2:
Misalkan ~x adalah vektor di R3 dengan sifat ~x?~u dan ~x?~v , maka ~x ~u = 0 dan
~x ~v = 0. Karena (~u ~v ) ?~u dan (~u ~v ) ?~v , maka kita dapat memilih ~x yang
sejajar dengan ~u ~v . Tinjau bahwa
~u
~v
=
=
=
( 7; 3; 1) (2; 0; 4)
3 1
7 1
;
;
0 4
2 4
(12;
( 28
7
2
3
0
2) ; 6) = (12; 30; 6) .
Perhatikan bahwa (12; 30; 6) =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
114 / 116
Latihan
Solusi nomor 2:
Misalkan ~x adalah vektor di R3 dengan sifat ~x?~u dan ~x?~v , maka ~x ~u = 0 dan
~x ~v = 0. Karena (~u ~v ) ?~u dan (~u ~v ) ?~v , maka kita dapat memilih ~x yang
sejajar dengan ~u ~v . Tinjau bahwa
~u
~v
=
=
=
( 7; 3; 1) (2; 0; 4)
3 1
7 1
;
;
0 4
2 4
(12;
( 28
7
2
3
0
2) ; 6) = (12; 30; 6) .
Perhatikan bahwa (12; 30; 6) = 3 (4; 10; 2). Akibatnya ~u
(4; 10; 2). Misalkan ~x = (4; 10; 2), kita memiliki
~v searah dengan
~x ~u =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
114 / 116
Latihan
Solusi nomor 2:
Misalkan ~x adalah vektor di R3 dengan sifat ~x?~u dan ~x?~v , maka ~x ~u = 0 dan
~x ~v = 0. Karena (~u ~v ) ?~u dan (~u ~v ) ?~v , maka kita dapat memilih ~x yang
sejajar dengan ~u ~v . Tinjau bahwa
~u
~v
=
=
=
( 7; 3; 1) (2; 0; 4)
3 1
7 1
;
;
0 4
2 4
(12;
( 28
7
2
2) ; 6) = (12; 30; 6) .
Perhatikan bahwa (12; 30; 6) = 3 (4; 10; 2). Akibatnya ~u
(4; 10; 2). Misalkan ~x = (4; 10; 2), kita memiliki
~x ~u =
~x ~v
MZI (FIF Tel-U)
3
0
(4; 10; 2) ( 7; 3; 1) =
28 + 30
~v searah dengan
2 = 0 dan
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
114 / 116
Latihan
Solusi nomor 2:
Misalkan ~x adalah vektor di R3 dengan sifat ~x?~u dan ~x?~v , maka ~x ~u = 0 dan
~x ~v = 0. Karena (~u ~v ) ?~u dan (~u ~v ) ?~v , maka kita dapat memilih ~x yang
sejajar dengan ~u ~v . Tinjau bahwa
~u
~v
=
=
=
( 7; 3; 1) (2; 0; 4)
3 1
7 1
;
;
0 4
2 4
(12;
( 28
7
2
3
0
2) ; 6) = (12; 30; 6) .
Perhatikan bahwa (12; 30; 6) = 3 (4; 10; 2). Akibatnya ~u
(4; 10; 2). Misalkan ~x = (4; 10; 2), kita memiliki
~x ~u =
(4; 10; 2) ( 7; 3; 1) =
~x ~v
(4; 10; 2) (2; 0; 4) = 8 + 0
MZI (FIF Tel-U)
=
Ruang Vektor R2 dan R3
28 + 30
~v searah dengan
2 = 0 dan
8 = 0.
September 2015
114 / 116
Latihan
Vektor satuan yang sejajar ~x ada dua, yaitu
~y
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
115 / 116
Latihan
Vektor satuan yang sejajar ~x ada dua, yaitu
~y
=
1
~x =
k~xk
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
115 / 116
Latihan
Vektor satuan yang sejajar ~x ada dua, yaitu
~y
=
~z
=
1
1
~x = p (4; 10; 2) =
k~xk
2 30
MZI (FIF Tel-U)
2
5
p ;p ;
30
30
Ruang Vektor R2 dan R3
1
p
30
yang searah ~x, dan
September 2015
115 / 116
Latihan
Vektor satuan yang sejajar ~x ada dua, yaitu
~y
=
~z
=
1
1
~x = p (4; 10; 2) =
k~xk
2 30
1
~x =
k~xk
MZI (FIF Tel-U)
2
5
p ;p ;
30
30
Ruang Vektor R2 dan R3
1
p
30
yang searah ~x, dan
September 2015
115 / 116
Latihan
Vektor satuan yang sejajar ~x ada dua, yaitu
~y
=
~z
=
1
~x =
k~xk
1
~x =
k~xk
1
p (4; 10; 2) =
2 30
1
p (4; 10; 2) =
2 30
2
5
1
p ;p ; p
yang searah ~x, dan
30
30
30
2
5
1
p ; p ;p
yang berlawanan arah
30
30
30
Jadi vektor satuan di R3 yang ortogonal ~u adalah ~y =
~z =
p2 ;
30
p5 ; p1
30
30
MZI (FIF Tel-U)
p2 ; p5 ;
30
30
p1
30
dan
.
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
115 / 116
Latihan
Latihan 8
Latihan
Diberikan tiga titik di R3 , yaitu P (1; 0; 0), Q (1; 3; 0), dan R (0; 5; 1). Tentukan
!
!
1
luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R,
2
luas segitiga P QR.
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
116 / 116
Latihan
Latihan 8
Latihan
Diberikan tiga titik di R3 , yaitu P (1; 0; 0), Q (1; 3; 0), dan R (0; 5; 1). Tentukan
!
!
1
luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R,
2
luas segitiga P QR.
Solusi:
!
1
Kita memiliki P Q =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
116 / 116
Latihan
Latihan 8
Latihan
Diberikan tiga titik di R3 , yaitu P (1; 0; 0), Q (1; 3; 0), dan R (0; 5; 1). Tentukan
!
!
1
luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R,
2
luas segitiga P QR.
Solusi:
!
!
1
Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R =
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
116 / 116
Latihan
Latihan 8
Latihan
Diberikan tiga titik di R3 , yaitu P (1; 0; 0), Q (1; 3; 0), dan R (0; 5; 1). Tentukan
!
!
1
luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R,
2
luas segitiga P QR.
Solusi:
!
!
1
Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R = ( 1; 5; 1). Misalkan A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R, maka
A
MZI (FIF Tel-U)
=
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
116 / 116
Latihan
Latihan 8
Latihan
Diberikan tiga titik di R3 , yaitu P (1; 0; 0), Q (1; 3; 0), dan R (0; 5; 1). Tentukan
!
!
1
luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R,
2
luas segitiga P QR.
Solusi:
!
!
1
Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R = ( 1; 5; 1). Misalkan A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R, maka
!
!
P Q P R = k(0; 3; 0) ( 1; 5; 1)k
A =
=
3
5
0
1
;
0
1
0
;
1
0
1
3
5
=
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
116 / 116
Latihan
Latihan 8
Latihan
Diberikan tiga titik di R3 , yaitu P (1; 0; 0), Q (1; 3; 0), dan R (0; 5; 1). Tentukan
!
!
1
luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R,
2
luas segitiga P QR.
Solusi:
!
!
1
Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R = ( 1; 5; 1). Misalkan A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R, maka
!
!
P Q P R = k(0; 3; 0) ( 1; 5; 1)k
A =
=
=
2
3
5
0
1
0
0 3
;
1
1 5
p
p
p
2
2
k(3; 0; 3)k = 3 + 3 = 18 = 3 2 satuan luas.
;
0
1
Luas segitiga P QR adalah setengah dari luas jajar genjang yang dibentuk
!
!
oleh P Q dan P R, yaitu
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
116 / 116
Latihan
Latihan 8
Latihan
Diberikan tiga titik di R3 , yaitu P (1; 0; 0), Q (1; 3; 0), dan R (0; 5; 1). Tentukan
!
!
1
luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R,
2
luas segitiga P QR.
Solusi:
!
!
1
Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R = ( 1; 5; 1). Misalkan A adalah luas
!
!
jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R, maka
!
!
P Q P R = k(0; 3; 0) ( 1; 5; 1)k
A =
=
=
2
3
5
0
1
0
0 3
;
1
1 5
p
p
p
2
2
k(3; 0; 3)k = 3 + 3 = 18 = 3 2 satuan luas.
;
0
1
Luas segitiga P QR adalah setengah dari luas jajar genjang yang dibentuk
p
p
!
!
oleh P Q dan P R, yaitu 12 3 2 = 23 2 satuan luas.
MZI (FIF Tel-U)
Ruang Vektor R2 dan R3
September 2015
116 / 116