Logika Predikat 2: Kebenaran Predikat dengan Kuantor Tunggal

Logika Predikat 2: Kebenaran Predikat dengan Kuantor
Tunggal – Hukum-hukum Ekuivalensi Logika Predikat
Kuliah Logika Matematika Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas Informatika
Telkom University
FIF Tel-U
September 2015
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
1 / 43
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1
Discrete Mathematics and Its Applications (Bab 1), Edisi 7, 2012, oleh K. H.
Rosen (acuan utama).
2
Discrete Mathematics with Applications (Bab 3), Edisi 4, 2010, oleh S. S.
Epp.
3
Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems (Bab
2), Edisi 2, 2004, oleh M. Huth dan M. Ryan.
4
Mathematical Logic for Computer Science (Bab 5, 6), Edisi 2, 2000, oleh M.
Ben-Ari.
5
Slide kuliah Matematika Diskret 1 (2012) di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja.
6
Slide kuliah Logika Matematika di Telkom University oleh A. Rakhmatsyah,
B. Purnama.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan
untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda
memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim
email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
2 / 43
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
3 / 43
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
3 / 43
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
3 / 43
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
4
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
3 / 43
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
4
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
5
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
3 / 43
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
4
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
5
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
6
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
3 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
4
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
5
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
6
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
4 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (1)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 < 10”. Tentukan nilai
kebenaran formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpunan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
5 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (1)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 < 10”. Tentukan nilai
kebenaran formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpunan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
5 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (1)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 < 10”. Tentukan nilai
kebenaran formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpunan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
P (0) ^ P (1) ^ P (2) ^ P (3)
Logika Predikat 2
September 2015
5 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (1)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 < 10”. Tentukan nilai
kebenaran formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpunan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
P (0) ^ P (1) ^ P (2) ^ P (3)
02 < 10 ^ 12 < 10 ^ 22 < 10 ^ 32 < 10
Logika Predikat 2
September 2015
5 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (1)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 < 10”. Tentukan nilai
kebenaran formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpunan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
8x P (x)
P (0) ^ P (1) ^ P (2) ^ P (3)
02 < 10 ^ 12 < 10 ^ 22 < 10 ^ 32 < 10
(0 < 10) ^ (1 < 10) ^ (4 < 10) ^ (9 < 10)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
5 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (1)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 < 10”. Tentukan nilai
kebenaran formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpunan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
8x P (x)
P (0) ^ P (1) ^ P (2) ^ P (3)
02 < 10 ^ 12 < 10 ^ 22 < 10 ^ 32 < 10
(0 < 10) ^ (1 < 10) ^ (4 < 10) ^ (9 < 10)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
T.
September 2015
5 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
6 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
P (1) ^ P (2) ^ P (3) ^ P (4)
Logika Predikat 2
September 2015
6 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
P (1) ^ P (2) ^ P (3) ^ P (4)
12 < 10 ^ 22 < 10 ^ 32 < 10 ^ 42 < 10
Logika Predikat 2
September 2015
6 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
8x P (x)
P (1) ^ P (2) ^ P (3) ^ P (4)
12 < 10 ^ 22 < 10 ^ 32 < 10 ^ 42 < 10
(1 < 10) ^ (4 < 10) ^ (9 < 10) ^ (16 < 10)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
6 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
8x P (x)
P (1) ^ P (2) ^ P (3) ^ P (4)
12 < 10 ^ 22 < 10 ^ 32 < 10 ^ 42 < 10
(1 < 10) ^ (4 < 10) ^ (9 < 10) ^ (16 < 10)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
F.
September 2015
6 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
8x P (x)
P (1) ^ P (2) ^ P (3) ^ P (4)
12 < 10 ^ 22 < 10 ^ 32 < 10 ^ 42 < 10
(1 < 10) ^ (4 < 10) ^ (9 < 10) ^ (16 < 10)
F.
Dalam hal ini, 4 adalah contoh penyangkal (counterexample) dari formula
8x x2 < 10 yang ditinjau pada domain f1; 2; 3; 4g.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
6 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (2)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 x”. Tentukan
kebenaran dari formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan f0; 1; 2g
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
7 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (2)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 x”. Tentukan
kebenaran dari formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan f0; 1; 2g
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2g, maka
8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
7 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (2)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 x”. Tentukan
kebenaran dari formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan f0; 1; 2g
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2g, maka
8x P (x) P (0) ^ P (1) ^ P (2)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
7 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (2)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 x”. Tentukan
kebenaran dari formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan f0; 1; 2g
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2g, maka
02 0 ^ 12
8x P (x) P (0) ^ P (1) ^ P (2)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
1 ^ 22
2
September 2015
7 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (2)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 x”. Tentukan
kebenaran dari formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan f0; 1; 2g
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2g, maka
02 0 ^ 12
8x P (x) P (0) ^ P (1) ^ P (2)
(0 0) ^ (1 1) ^ (4 2)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
1 ^ 22
2
September 2015
7 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (2)
Latihan
Diberikan formula 8x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 x”. Tentukan
kebenaran dari formula 8x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan f0; 1; 2g
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2g, maka
02 0 ^ 12
8x P (x) P (0) ^ P (1) ^ P (2)
(0 0) ^ (1 1) ^ (4 2) T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
1 ^ 22
2
September 2015
7 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila x = 0, maka
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
x benar
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2
bila x 1,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
x benar
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
bila x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
bila x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x2 x benar
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
x, jadi
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
x, jadi
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
x
MZI (FIF Tel-U)
1, mengalikan kedua ruas dengan
Logika Predikat 2
x, jadi
x memberikan
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
x
( x) ( x)
MZI (FIF Tel-U)
1, mengalikan kedua ruas dengan
x, jadi
x memberikan
( x)
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
x
( x) ( x)
x2
MZI (FIF Tel-U)
1, mengalikan kedua ruas dengan
x, jadi
x memberikan
( x)
x
1
x (karena
Logika Predikat 2
x
1
1
x)
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
x
( x) ( x)
x2
sehingga diperoleh x2
1, mengalikan kedua ruas dengan
x, jadi
x memberikan
( x)
x
1
x (karena
x
1
1
x)
x benar.
Jadi
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
1, mengalikan kedua ruas dengan
x
( x) ( x)
x
sehingga diperoleh x2
MZI (FIF Tel-U)
8x x
x memberikan
( x)
x2
Jadi 8x P (x)
x, jadi
2
1
x (karena
x
1
1
x)
x benar.
x
T.
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
1, mengalikan kedua ruas dengan
x
( x) ( x)
x
sehingga diperoleh x2
Jadi 8x P (x)
8x x
x memberikan
( x)
x2
3
x, jadi
2
1
x (karena
x
1
1
x)
x benar.
x
T.
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real R,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
1, mengalikan kedua ruas dengan
x
( x) ( x)
x
sehingga diperoleh x2
Jadi 8x P (x)
8x x
x memberikan
( x)
x2
3
x, jadi
2
1
x (karena
x
1
1
x)
x benar.
x
T.
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real R, untuk x =
kita memiliki
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
1
2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
1, mengalikan kedua ruas dengan
x
( x) ( x)
x
sehingga diperoleh x2
Jadi 8x P (x)
8x x
x memberikan
( x)
x2
3
x, jadi
2
1
x (karena
x
1
1
x)
x benar.
x
T.
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real R, untuk x = 21
2
1
kita memiliki x2 = 14 < 12 = x, atau dengan perkataan lain 21
2 salah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
1, mengalikan kedua ruas dengan
x
( x) ( x)
x
sehingga diperoleh x2
Jadi 8x P (x)
8x x
x memberikan
( x)
x2
3
x, jadi
2
1
x (karena
x
1
1
x)
x benar.
x
T.
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real R, untuk x = 21
2
1
kita memiliki x2 = 14 < 12 = x, atau dengan perkataan lain 21
2 salah.
2
Akibatnya 8x P (x) 8x x
x
F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat
Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g, kita memiliki
bila
bila
x2
bila
x = 0, maka x2 = 0, akibatnya pernyataan x2 x benar
x 1, dengan mengalikan kedua ruas dengan x diperoleh x2
x benar
x
1, kita memiliki
1, mengalikan kedua ruas dengan
x
( x) ( x)
x
sehingga diperoleh x2
Jadi 8x P (x)
8x x
x memberikan
( x)
x2
3
x, jadi
2
1
x (karena
x
1
1
x)
x benar.
x
T.
Bila domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real R, untuk x = 21
2
1
kita memiliki x2 = 14 < 12 = x, atau dengan perkataan lain 21
2 salah.
1
2
Akibatnya 8x P (x) 8x x
x
F. Dalam hal ini x = 2 adalah contoh
penyangkal (counterexample) dari 8x x2 x untuk domain R.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
8 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x) P (0) _ P (1) _ P (2) _ P (3)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x) P (0) _ P (1) _ P (2) _ P (3)
02 > 10 _ 12 > 10 _
22 > 10 _ 32 > 10
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x) P (0) _ P (1) _ P (2) _ P (3)
02 > 10 _ 12 > 10 _
22 > 10 _ 32 > 10
(0 > 10) _ (1 > 10) _ (4 > 10) _ (9 > 10)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x) P (0) _ P (1) _ P (2) _ P (3)
02 > 10 _ 12 > 10 _
22 > 10 _ 32 > 10
(0 > 10) _ (1 > 10) _ (4 > 10) _ (9 > 10) F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
2
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x) P (0) _ P (1) _ P (2) _ P (3)
02 > 10 _ 12 > 10 _
22 > 10 _ 32 > 10
(0 > 10) _ (1 > 10) _ (4 > 10) _ (9 > 10) F.
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
9x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
2
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x) P (0) _ P (1) _ P (2) _ P (3)
02 > 10 _ 12 > 10 _
22 > 10 _ 32 > 10
(0 > 10) _ (1 > 10) _ (4 > 10) _ (9 > 10) F.
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
9x P (x) P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
2
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x) P (0) _ P (1) _ P (2) _ P (3)
02 > 10 _ 12 > 10 _
22 > 10 _ 32 > 10
(0 > 10) _ (1 > 10) _ (4 > 10) _ (9 > 10) F.
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
12 > 10 _ 22 > 10 _
9x P (x) P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4)
32 > 10 _ 42 > 10
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
2
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x) P (0) _ P (1) _ P (2) _ P (3)
02 > 10 _ 12 > 10 _
22 > 10 _ 32 > 10
(0 > 10) _ (1 > 10) _ (4 > 10) _ (9 > 10) F.
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
12 > 10 _ 22 > 10 _
9x P (x) P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4)
32 > 10 _ 42 > 10
(1 > 10) _ (4 > 10) _ (9 > 10) _ (16 > 10)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (3)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “x2 > 10”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
himpuan bilangan f0; 1; 2; 3g
himpunan bilangan f1; 2; 3; 4g
Solusi:
1
2
Bila domain yang ditinjau adalah f0; 1; 2; 3g, maka
9x P (x) P (0) _ P (1) _ P (2) _ P (3)
02 > 10 _ 12 > 10 _
22 > 10 _ 32 > 10
(0 > 10) _ (1 > 10) _ (4 > 10) _ (9 > 10) F.
Bila domain yang ditinjau adalah f1; 2; 3; 4g, maka
12 > 10 _ 22 > 10 _
9x P (x) P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4)
32 > 10 _ 42 > 10
(1 > 10) _ (4 > 10) _ (9 > 10) _ (16 > 10)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
T.
9 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (4)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “ x1 x”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
himpunan bilangan f2; 3; 4; : : :g
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
10 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (4)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “ x1 x”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
himpunan bilangan f2; 3; 4; : : :g
Solusi:
1
Untuk domain bilangan bulat Z,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
10 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (4)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “ x1 x”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
himpunan bilangan f2; 3; 4; : : :g
Solusi:
1
Untuk domain bilangan bulat Z, kita memiliki 1 2 Z dan memenuhi
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
10 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (4)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “ x1 x”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
himpunan bilangan f2; 3; 4; : : :g
Solusi:
1
Untuk domain bilangan bulat Z, kita memiliki 1 2 Z dan memenuhi
Akibatnya 9x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
1
1
September 2015
1.
10 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (4)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “ x1 x”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
himpunan bilangan f2; 3; 4; : : :g
Solusi:
1
Untuk domain bilangan bulat Z, kita memiliki 1 2 Z dan memenuhi
Akibatnya 9x P (x) T untuk domain Z.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
1
1
September 2015
1.
10 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (4)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “ x1 x”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
himpunan bilangan f2; 3; 4; : : :g
Solusi:
1
2
Untuk domain bilangan bulat Z, kita memiliki 1 2 Z dan memenuhi
Akibatnya 9x P (x) T untuk domain Z.
Untuk domain bilangan real R,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
1
1
September 2015
1.
10 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (4)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “ x1 x”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
himpunan bilangan f2; 3; 4; : : :g
Solusi:
1
2
Untuk domain bilangan bulat Z, kita memiliki 1 2 Z dan memenuhi
Akibatnya 9x P (x) T untuk domain Z.
Untuk domain bilangan real R, kita memiliki 1 2 R dan memenuhi
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
1
1
September 2015
1.
10 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (4)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “ x1 x”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
himpunan bilangan f2; 3; 4; : : :g
Solusi:
1
2
Untuk domain bilangan bulat Z, kita memiliki 1 2 Z dan memenuhi 11 1.
Akibatnya 9x P (x) T untuk domain Z.
Untuk domain bilangan real R, kita memiliki 1 2 R dan memenuhi 11 1.
Akibatnya 9x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
10 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal (4)
Latihan
Diberikan formula 9x P (x) dengan P (x) menyatakan “ x1 x”. Tentukan nilai
kebenaran dari formula 9x P (x) bila domain yang ditinjau adalah
1
2
3
himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g
himpunan bilangan real R
himpunan bilangan f2; 3; 4; : : :g
Solusi:
1
2
Untuk domain bilangan bulat Z, kita memiliki 1 2 Z dan memenuhi 11 1.
Akibatnya 9x P (x) T untuk domain Z.
Untuk domain bilangan real R, kita memiliki 1 2 R dan memenuhi 11 1.
Akibatnya 9x P (x) T untuk domain R.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
10 / 43
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
3
Untuk domain D = f2; 3; 4; : : :g, maka kita memiliki x 2 untuk setiap
1
x 2 D, akibatnya x1
2 untuk setiap x 2 D. Akan dibuktikan bahwa
1
F.
9x x x
Andaikan 9x x1 x
T, maka terdapat d 2 D sehingga d1 d
T.
T. Perhatikan bahwa
Karena d 2 > 0, maka ini berakibat 1 d2
untuk setiap d 2 D, maka kita juga memiliki d2 22 = 4 > 1, atau dengan
perkataan lain d2 > 1. Jadi kita juga memperoleh d2 > 1
T untuk setiap
d 2 D.
Kita memiliki hasil d2 > 1
T yang bertentangan dengan asumsi bahwa
d2 > 1
: 1 d2
:T = F.
Karena pengandaian kita tidak mungkin benar, maka haruslah
F.
9x x1 x
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
11 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
4
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
5
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
6
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
12 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua Variabel
8x8y P (x; y)
8y8x P (x; y)
8x9y P (x; y)
9x8y P (x; y)
9x9y P (x; y)
9y9x P (x; y)
benar ketika. . .
P (x; y) benar untuk setiap
pasangan x; y
Untuk setiap x, ada satu y
yang membuat P (x; y) benar
Ada satu x sehingga
P (x; y) benar untuk setiap y
P (x; y) benar untuk satu
pasangan x; y
salah ketika. . .
P (x; y) salah untuk satu
pasangan x; y
Ada satu x sehingga
P (x; y) salah untuk setiap y
Untuk setiap x, ada satu y
yang membuat P (x; y) salah
P (x; y) salah untuk setiap.
pasangan x; y
Ingat juga bahwa 8x9y P (x; y) tidak ekuivalen dengan 9y8x P (x; y).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
13 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Kebenaran Formula 8x9y P (x; y) dan 9x8y P (x; y)
Misalkan P (x; y) adalah predikat biner yang dievaluasi pada domain D = fa; bg,
maka
8x9y P (x; y)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
14 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Kebenaran Formula 8x9y P (x; y) dan 9x8y P (x; y)
Misalkan P (x; y) adalah predikat biner yang dievaluasi pada domain D = fa; bg,
maka
8x9y P (x; y)
MZI (FIF Tel-U)
8x (P (x; a) _ P (x; b))
Logika Predikat 2
September 2015
14 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Kebenaran Formula 8x9y P (x; y) dan 9x8y P (x; y)
Misalkan P (x; y) adalah predikat biner yang dievaluasi pada domain D = fa; bg,
maka
8x9y P (x; y) 8x (P (x; a) _ P (x; b))
(P (a; a) _ P (a; b)) ^ (P (b; a) _ P (b; b))
9x8y P (x; y)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
14 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Kebenaran Formula 8x9y P (x; y) dan 9x8y P (x; y)
Misalkan P (x; y) adalah predikat biner yang dievaluasi pada domain D = fa; bg,
maka
8x9y P (x; y) 8x (P (x; a) _ P (x; b))
(P (a; a) _ P (a; b)) ^ (P (b; a) _ P (b; b))
9x8y P (x; y)
MZI (FIF Tel-U)
9x (P (x; a) ^ P (x; b))
Logika Predikat 2
September 2015
14 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Kebenaran Formula 8x9y P (x; y) dan 9x8y P (x; y)
Misalkan P (x; y) adalah predikat biner yang dievaluasi pada domain D = fa; bg,
maka
8x9y P (x; y) 8x (P (x; a) _ P (x; b))
(P (a; a) _ P (a; b)) ^ (P (b; a) _ P (b; b))
9x8y P (x; y) 9x (P (x; a) ^ P (x; b))
(P (a; a) ^ P (a; b)) _ (P (b; a) ^ P (b; b))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
14 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Secara umum, jika domain D yang ditinjau berhingga, katakanlah
D = fa1 ; a2 ; : : : ; an g, maka
8x9y P (x; y)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
15 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Secara umum, jika domain D yang ditinjau berhingga, katakanlah
D = fa1 ; a2 ; : : : ; an g, maka
8x9y P (x; y)
(P (a1 ; a1 ) _ P (a1 ; a2 ) _
^ (P (a2 ; a1 ) _ P (a2 ; a2 ) _
^
MZI (FIF Tel-U)
_ P (a1 ; an ))
_ P (a2 ; an ))
^ (P (an ; a1 ) _ P (an ; a2 ) _
Logika Predikat 2
_ P (an ; an ))
September 2015
15 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Secara umum, jika domain D yang ditinjau berhingga, katakanlah
D = fa1 ; a2 ; : : : ; an g, maka
8x9y P (x; y)
(P (a1 ; a1 ) _ P (a1 ; a2 ) _
^ (P (a2 ; a1 ) _ P (a2 ; a2 ) _
_ P (a1 ; an ))
_ P (a2 ; an ))
^
^ (P (an ; a1 ) _ P (an ; a2 ) _
n _
n
^
P (ai ; aj )
_ P (an ; an ))
i=1 j=1
dan
9x8y P (x; y)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
15 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Secara umum, jika domain D yang ditinjau berhingga, katakanlah
D = fa1 ; a2 ; : : : ; an g, maka
8x9y P (x; y)
(P (a1 ; a1 ) _ P (a1 ; a2 ) _
^ (P (a2 ; a1 ) _ P (a2 ; a2 ) _
_ P (a1 ; an ))
_ P (a2 ; an ))
^
^ (P (an ; a1 ) _ P (an ; a2 ) _
n _
n
^
P (ai ; aj )
_ P (an ; an ))
i=1 j=1
dan
9x8y P (x; y)
(P (a1 ; a1 ) ^ P (a1 ; a2 ) ^
_ (P (a2 ; a1 ) ^ P (a2 ; a2 ) ^
_
MZI (FIF Tel-U)
^ P (a1 ; an ))
^ P (a2 ; an ))
_ (P (an ; a1 ) ^ P (an ; a2 ) ^
Logika Predikat 2
^ P (an ; an ))
September 2015
15 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Secara umum, jika domain D yang ditinjau berhingga, katakanlah
D = fa1 ; a2 ; : : : ; an g, maka
8x9y P (x; y)
(P (a1 ; a1 ) _ P (a1 ; a2 ) _
^ (P (a2 ; a1 ) _ P (a2 ; a2 ) _
_ P (a1 ; an ))
_ P (a2 ; an ))
^
^ (P (an ; a1 ) _ P (an ; a2 ) _
n _
n
^
P (ai ; aj )
_ P (an ; an ))
i=1 j=1
dan
9x8y P (x; y)
(P (a1 ; a1 ) ^ P (a1 ; a2 ) ^
_ (P (a2 ; a1 ) ^ P (a2 ; a2 ) ^
^ P (a1 ; an ))
^ P (a2 ; an ))
_
_ (P (an ; a1 ) ^ P (an ; a2 ) ^
n
n
_^
P (ai ; aj )
^ P (an ; an ))
i=1 j=1
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
15 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Menentukan Nilai Kebenaran Formula Berkuantor
Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari formula-formula logika predikat berikut apabila
domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real.
1
2
3
4
5
8x8y P (x; y), dengan P (x; y) adalah pernyataan “x + y = y + x”
8x9y (x + y = 0).
9y8x (x + y = 0).
8x8y9z (x + y = z).
9z8x8y (x + y = z).
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
16 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Menentukan Nilai Kebenaran Formula Berkuantor
Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari formula-formula logika predikat berikut apabila
domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real.
1
2
3
4
5
8x8y P (x; y), dengan P (x; y) adalah pernyataan “x + y = y + x”
8x9y (x + y = 0).
9y8x (x + y = 0).
8x8y9z (x + y = z).
9z8x8y (x + y = z).
Solusi:
1
Jika P (x; y) menyatakan “x + y = y + x”, maka 8x8y P (x; y) berarti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
16 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Menentukan Nilai Kebenaran Formula Berkuantor
Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari formula-formula logika predikat berikut apabila
domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real.
1
2
3
4
5
8x8y P (x; y), dengan P (x; y) adalah pernyataan “x + y = y + x”
8x9y (x + y = 0).
9y8x (x + y = 0).
8x8y9z (x + y = z).
9z8x8y (x + y = z).
Solusi:
1
Jika P (x; y) menyatakan “x + y = y + x”, maka 8x8y P (x; y) berarti
“x + y = y + x berlaku untuk semua bilangan real x dan y”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
16 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Menentukan Nilai Kebenaran Formula Berkuantor
Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari formula-formula logika predikat berikut apabila
domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real.
1
2
3
4
5
8x8y P (x; y), dengan P (x; y) adalah pernyataan “x + y = y + x”
8x9y (x + y = 0).
9y8x (x + y = 0).
8x8y9z (x + y = z).
9z8x8y (x + y = z).
Solusi:
1
Jika P (x; y) menyatakan “x + y = y + x”, maka 8x8y P (x; y) berarti
“x + y = y + x berlaku untuk semua bilangan real x dan y”. Berdasarkan
sifat komutatif pada penjumlahan bilangan real, diperoleh
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
16 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
Menentukan Nilai Kebenaran Formula Berkuantor
Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari formula-formula logika predikat berikut apabila
domain yang ditinjau adalah himpunan bilangan real.
1
2
3
4
5
8x8y P (x; y), dengan P (x; y) adalah pernyataan “x + y = y + x”
8x9y (x + y = 0).
9y8x (x + y = 0).
8x8y9z (x + y = z).
9z8x8y (x + y = z).
Solusi:
1
Jika P (x; y) menyatakan “x + y = y + x”, maka 8x8y P (x; y) berarti
“x + y = y + x berlaku untuk semua bilangan real x dan y”. Berdasarkan
sifat komutatif pada penjumlahan bilangan real, diperoleh 8x8y P (x; y) T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
16 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
8x9y (x + y = 0) berarti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
8x9y (x + y = 0) berarti “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
yang memenuhi x + y = 0”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
8x9y (x + y = 0) berarti “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
yang memenuhi x + y = 0”. Tinjau bahwa dengan memilih y = x untuk
sembarang x yang diberikan, kita memiliki x + ( x) = 0. Dengan perkataan
lain “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y (yaitu y = x) yang
memenuhi x + y = 0” adalah pernyataan yang benar.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
3
8x9y (x + y = 0) berarti “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
yang memenuhi x + y = 0”. Tinjau bahwa dengan memilih y = x untuk
sembarang x yang diberikan, kita memiliki x + ( x) = 0. Dengan perkataan
lain “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y (yaitu y = x) yang
memenuhi x + y = 0” adalah pernyataan yang benar. Jadi
8x9y (x + y = 0) T.
9y8x (x + y = 0) berarti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
3
8x9y (x + y = 0) berarti “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
yang memenuhi x + y = 0”. Tinjau bahwa dengan memilih y = x untuk
sembarang x yang diberikan, kita memiliki x + ( x) = 0. Dengan perkataan
lain “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y (yaitu y = x) yang
memenuhi x + y = 0” adalah pernyataan yang benar. Jadi
8x9y (x + y = 0) T.
9y8x (x + y = 0) berarti “terdapat bilangan real y, sehingga untuk setiap
bilangan real x berlaku x + y = 0”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
3
8x9y (x + y = 0) berarti “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
yang memenuhi x + y = 0”. Tinjau bahwa dengan memilih y = x untuk
sembarang x yang diberikan, kita memiliki x + ( x) = 0. Dengan perkataan
lain “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y (yaitu y = x) yang
memenuhi x + y = 0” adalah pernyataan yang benar. Jadi
8x9y (x + y = 0) T.
9y8x (x + y = 0) berarti “terdapat bilangan real y, sehingga untuk setiap
bilangan real x berlaku x + y = 0”. Andaikan terdapat bilangan real y yang
memenuhi kriteria ini, maka haruslah berlaku 1 + y = 0 dan 2 + y = 0
(karena x berapapun, kita boleh mengambil x = 1 dan x = 2).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
3
8x9y (x + y = 0) berarti “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
yang memenuhi x + y = 0”. Tinjau bahwa dengan memilih y = x untuk
sembarang x yang diberikan, kita memiliki x + ( x) = 0. Dengan perkataan
lain “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y (yaitu y = x) yang
memenuhi x + y = 0” adalah pernyataan yang benar. Jadi
8x9y (x + y = 0) T.
9y8x (x + y = 0) berarti “terdapat bilangan real y, sehingga untuk setiap
bilangan real x berlaku x + y = 0”. Andaikan terdapat bilangan real y yang
memenuhi kriteria ini, maka haruslah berlaku 1 + y = 0 dan 2 + y = 0
(karena x berapapun, kita boleh mengambil x = 1 dan x = 2). Akibatnya
1+y
MZI (FIF Tel-U)
=
2 + y, sehingga didapatkan
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
3
8x9y (x + y = 0) berarti “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
yang memenuhi x + y = 0”. Tinjau bahwa dengan memilih y = x untuk
sembarang x yang diberikan, kita memiliki x + ( x) = 0. Dengan perkataan
lain “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y (yaitu y = x) yang
memenuhi x + y = 0” adalah pernyataan yang benar. Jadi
8x9y (x + y = 0) T.
9y8x (x + y = 0) berarti “terdapat bilangan real y, sehingga untuk setiap
bilangan real x berlaku x + y = 0”. Andaikan terdapat bilangan real y yang
memenuhi kriteria ini, maka haruslah berlaku 1 + y = 0 dan 2 + y = 0
(karena x berapapun, kita boleh mengambil x = 1 dan x = 2). Akibatnya
MZI (FIF Tel-U)
1+y
=
2 + y, sehingga didapatkan
1
=
2, suatu kontradiksi.
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
3
8x9y (x + y = 0) berarti “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
yang memenuhi x + y = 0”. Tinjau bahwa dengan memilih y = x untuk
sembarang x yang diberikan, kita memiliki x + ( x) = 0. Dengan perkataan
lain “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y (yaitu y = x) yang
memenuhi x + y = 0” adalah pernyataan yang benar. Jadi
8x9y (x + y = 0) T.
9y8x (x + y = 0) berarti “terdapat bilangan real y, sehingga untuk setiap
bilangan real x berlaku x + y = 0”. Andaikan terdapat bilangan real y yang
memenuhi kriteria ini, maka haruslah berlaku 1 + y = 0 dan 2 + y = 0
(karena x berapapun, kita boleh mengambil x = 1 dan x = 2). Akibatnya
1+y
=
2 + y, sehingga didapatkan
1
=
2, suatu kontradiksi.
Jadi tidak ada bilangan real y yang memenuhi x + y = 0 untuk sembarang
nilai x.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
2
3
8x9y (x + y = 0) berarti “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y
yang memenuhi x + y = 0”. Tinjau bahwa dengan memilih y = x untuk
sembarang x yang diberikan, kita memiliki x + ( x) = 0. Dengan perkataan
lain “untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y (yaitu y = x) yang
memenuhi x + y = 0” adalah pernyataan yang benar. Jadi
8x9y (x + y = 0) T.
9y8x (x + y = 0) berarti “terdapat bilangan real y, sehingga untuk setiap
bilangan real x berlaku x + y = 0”. Andaikan terdapat bilangan real y yang
memenuhi kriteria ini, maka haruslah berlaku 1 + y = 0 dan 2 + y = 0
(karena x berapapun, kita boleh mengambil x = 1 dan x = 2). Akibatnya
1+y
=
2 + y, sehingga didapatkan
1
=
2, suatu kontradiksi.
Jadi tidak ada bilangan real y yang memenuhi x + y = 0 untuk sembarang
nilai x. Dengan perkataan lain 9y8x (x + y = 0) F
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
17 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
8x8y9z (x + y = z) berarti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
8x8y9z (x + y = z) berarti “untuk setiap bilangan real x dan bilangan real
y, ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
8x8y9z (x + y = z) berarti “untuk setiap bilangan real x dan bilangan real
y, ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z”. Berdasarkan sifat
penjumlahan bilangan real, yaitu sifat: jika x dan y adalah bilangan real,
maka x + y juga bilangan real,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
8x8y9z (x + y = z) berarti “untuk setiap bilangan real x dan bilangan real
y, ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z”. Berdasarkan sifat
penjumlahan bilangan real, yaitu sifat: jika x dan y adalah bilangan real,
maka x + y juga bilangan real, maka berlaku “untuk setiap bilangan real x
dan bilangan real y, ada bilangan real z (yaitu z = x + y) yang memenuhi
x + y = z”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
5
8x8y9z (x + y = z) berarti “untuk setiap bilangan real x dan bilangan real
y, ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z”. Berdasarkan sifat
penjumlahan bilangan real, yaitu sifat: jika x dan y adalah bilangan real,
maka x + y juga bilangan real, maka berlaku “untuk setiap bilangan real x
dan bilangan real y, ada bilangan real z (yaitu z = x + y) yang memenuhi
x + y = z”. Oleh karena itu 8x8y9z (x + y = z) T.
9z8x8y (x + y = z) berarti
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
5
8x8y9z (x + y = z) berarti “untuk setiap bilangan real x dan bilangan real
y, ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z”. Berdasarkan sifat
penjumlahan bilangan real, yaitu sifat: jika x dan y adalah bilangan real,
maka x + y juga bilangan real, maka berlaku “untuk setiap bilangan real x
dan bilangan real y, ada bilangan real z (yaitu z = x + y) yang memenuhi
x + y = z”. Oleh karena itu 8x8y9z (x + y = z) T.
9z8x8y (x + y = z) berarti “ada bilangan real z sehingga untuk setiap
pasang bilangan real x dan y berlaku x + y = z”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
5
8x8y9z (x + y = z) berarti “untuk setiap bilangan real x dan bilangan real
y, ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z”. Berdasarkan sifat
penjumlahan bilangan real, yaitu sifat: jika x dan y adalah bilangan real,
maka x + y juga bilangan real, maka berlaku “untuk setiap bilangan real x
dan bilangan real y, ada bilangan real z (yaitu z = x + y) yang memenuhi
x + y = z”. Oleh karena itu 8x8y9z (x + y = z) T.
9z8x8y (x + y = z) berarti “ada bilangan real z sehingga untuk setiap
pasang bilangan real x dan y berlaku x + y = z”. Andaikan terdapat
bilangan real z yang memenuhi kriteria ini, maka haruslah berlaku 1 + 2 = z
dan 2 + 3 = z (karena x dan y sembarang, maka kita boleh mengambil (1; 2)
sebagai pasangan pertama dan (2; 3) sebagai pasangan kedua).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
5
8x8y9z (x + y = z) berarti “untuk setiap bilangan real x dan bilangan real
y, ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z”. Berdasarkan sifat
penjumlahan bilangan real, yaitu sifat: jika x dan y adalah bilangan real,
maka x + y juga bilangan real, maka berlaku “untuk setiap bilangan real x
dan bilangan real y, ada bilangan real z (yaitu z = x + y) yang memenuhi
x + y = z”. Oleh karena itu 8x8y9z (x + y = z) T.
9z8x8y (x + y = z) berarti “ada bilangan real z sehingga untuk setiap
pasang bilangan real x dan y berlaku x + y = z”. Andaikan terdapat
bilangan real z yang memenuhi kriteria ini, maka haruslah berlaku 1 + 2 = z
dan 2 + 3 = z (karena x dan y sembarang, maka kita boleh mengambil (1; 2)
sebagai pasangan pertama dan (2; 3) sebagai pasangan kedua). Akibatnya
z = 3 dan z = 5, suatu kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
5
8x8y9z (x + y = z) berarti “untuk setiap bilangan real x dan bilangan real
y, ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z”. Berdasarkan sifat
penjumlahan bilangan real, yaitu sifat: jika x dan y adalah bilangan real,
maka x + y juga bilangan real, maka berlaku “untuk setiap bilangan real x
dan bilangan real y, ada bilangan real z (yaitu z = x + y) yang memenuhi
x + y = z”. Oleh karena itu 8x8y9z (x + y = z) T.
9z8x8y (x + y = z) berarti “ada bilangan real z sehingga untuk setiap
pasang bilangan real x dan y berlaku x + y = z”. Andaikan terdapat
bilangan real z yang memenuhi kriteria ini, maka haruslah berlaku 1 + 2 = z
dan 2 + 3 = z (karena x dan y sembarang, maka kita boleh mengambil (1; 2)
sebagai pasangan pertama dan (2; 3) sebagai pasangan kedua). Akibatnya
z = 3 dan z = 5, suatu kontradiksi.
Jadi tidak ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z untuk setiap pasang
bilangan real x dan y.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
4
5
8x8y9z (x + y = z) berarti “untuk setiap bilangan real x dan bilangan real
y, ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z”. Berdasarkan sifat
penjumlahan bilangan real, yaitu sifat: jika x dan y adalah bilangan real,
maka x + y juga bilangan real, maka berlaku “untuk setiap bilangan real x
dan bilangan real y, ada bilangan real z (yaitu z = x + y) yang memenuhi
x + y = z”. Oleh karena itu 8x8y9z (x + y = z) T.
9z8x8y (x + y = z) berarti “ada bilangan real z sehingga untuk setiap
pasang bilangan real x dan y berlaku x + y = z”. Andaikan terdapat
bilangan real z yang memenuhi kriteria ini, maka haruslah berlaku 1 + 2 = z
dan 2 + 3 = z (karena x dan y sembarang, maka kita boleh mengambil (1; 2)
sebagai pasangan pertama dan (2; 3) sebagai pasangan kedua). Akibatnya
z = 3 dan z = 5, suatu kontradiksi.
Jadi tidak ada bilangan real z yang memenuhi x + y = z untuk setiap pasang
bilangan real x dan y. Oleh karena itu 9z8x8y (x + y = z) F
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
18 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
4
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
5
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
6
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
19 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Formula Tertutup
Formula Tertutup
Suatu formula logika predikat dikatakan sebagai formula tertutup bila seluruh
variabel yang terdapat pada formula tersebut adalah variabel terikat. Sebagai
contoh, bila P adalah predikat biner, x dan y adalah variabel, serta a dan b
adalah elemen pada domain yang ditinjau, maka formula 8x9y P (x; y),
8x P (x; b), dan P (a; b) adalah formula tertutup, sedangkan 8x P (x; y), P (x; b),
dan P (a; y) bukan formula tertutup.
Interpretasi
Interpretasi dari suatu formula logika predikat adalah pemberian nilai kebenaran
terhadap formula tersebut. Berbeda dengan formula pada logika proposisi,
interpretasi formula logika predikat juga ditentukan oleh domain atau semesta
pembicaraan yang ditinjau. Interpretasi atau nilai kebenaran untuk formula logika
predikat hanya terde…nisi untuk formula tertutup saja.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
20 / 43
Substitusi Variabel
Substitusi Variabel
Misalkan A adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta
pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi A [x
d] berarti
formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x
dengan d pada formula A.
Contoh
Misalkan A adalah formula “2x 5” dan B adalah formula “y 2 2”. Jika
domain pembicaraan yang ditinjau adalah f0; 1; 2g maka kita memiliki
A [x
0] adalah formula
Substitusi Variabel
Substitusi Variabel
Misalkan A adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta
pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi A [x
d] berarti
formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x
dengan d pada formula A.
Contoh
Misalkan A adalah formula “2x 5” dan B adalah formula “y 2 2”. Jika
domain pembicaraan yang ditinjau adalah f0; 1; 2g maka kita memiliki
A [x
0] adalah formula “2 (0)
5”, kemudian A [x
2] adalah formula
Substitusi Variabel
Substitusi Variabel
Misalkan A adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta
pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi A [x
d] berarti
formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x
dengan d pada formula A.
Contoh
Misalkan A adalah formula “2x 5” dan B adalah formula “y 2 2”. Jika
domain pembicaraan yang ditinjau adalah f0; 1; 2g maka kita memiliki
A [x
0] adalah formula “2 (0)
“2 (2) 5”
B [y
1] adalah formula
5”, kemudian A [x
2] adalah formula
Substitusi Variabel
Substitusi Variabel
Misalkan A adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta
pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi A [x
d] berarti
formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x
dengan d pada formula A.
Contoh
Misalkan A adalah formula “2x 5” dan B adalah formula “y 2 2”. Jika
domain pembicaraan yang ditinjau adalah f0; 1; 2g maka kita memiliki
A [x
0] adalah formula “2 (0)
“2 (2) 5”
B [y
2
1] adalah formula “(1)
5”, kemudian A [x
2] adalah formula
2”, kemudian B [y
2] adalah formula
Substitusi Variabel
Substitusi Variabel
Misalkan A adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta
pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi A [x
d] berarti
formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x
dengan d pada formula A.
Contoh
Misalkan A adalah formula “2x 5” dan B adalah formula “y 2 2”. Jika
domain pembicaraan yang ditinjau adalah f0; 1; 2g maka kita memiliki
A [x
0] adalah formula “2 (0)
“2 (2) 5”
2
B [y
2
“(2)
1] adalah formula “(1)
2”
A [y
1] adalah formula
5”, kemudian A [x
2] adalah formula
2”, kemudian B [y
2] adalah formula
Substitusi Variabel
Substitusi Variabel
Misalkan A adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta
pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi A [x
d] berarti
formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x
dengan d pada formula A.
Contoh
Misalkan A adalah formula “2x 5” dan B adalah formula “y 2 2”. Jika
domain pembicaraan yang ditinjau adalah f0; 1; 2g maka kita memiliki
A [x
0] adalah formula “2 (0)
“2 (2) 5”
2
B [y
2
“(2)
1] adalah formula “(1)
2”
A [y
1] adalah formula “2x
5”, kemudian A [x
2] adalah formula
2”, kemudian B [y
2] adalah formula
5”, kemudian A [y
2] adalah formula
Substitusi Variabel
Substitusi Variabel
Misalkan A adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta
pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi A [x
d] berarti
formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x
dengan d pada formula A.
Contoh
Misalkan A adalah formula “2x 5” dan B adalah formula “y 2 2”. Jika
domain pembicaraan yang ditinjau adalah f0; 1; 2g maka kita memiliki
A [x
0] adalah formula “2 (0)
“2 (2) 5”
B [y
2
“(2)
A [y
“2x
B [x
2
1] adalah formula “(1)
2”
1] adalah formula “2x
5”
0] adalah formula
5”, kemudian A [x
2] adalah formula
2”, kemudian B [y
2] adalah formula
5”, kemudian A [y
2] adalah formula
Substitusi Variabel
Substitusi Variabel
Misalkan A adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta
pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi A [x
d] berarti
formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x
dengan d pada formula A.
Contoh
Misalkan A adalah formula “2x 5” dan B adalah formula “y 2 2”. Jika
domain pembicaraan yang ditinjau adalah f0; 1; 2g maka kita memiliki
A [x
0] adalah formula “2 (0)
“2 (2) 5”
B [y
2
“(2)
2
1] adalah formula “(1)
2”
5”, kemudian A [x
2] adalah formula
2”, kemudian B [y
2] adalah formula
A [y
“2x
1] adalah formula “2x
5”
5”, kemudian A [y
2] adalah formula
B [x
0] adalah formula “y 2
2”, kemudian B [x
1] adalah formula
Substitusi Variabel
Substitusi Variabel
Misalkan A adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta
pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi A [x
d] berarti
formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x
dengan d pada formula A.
Contoh
Misalkan A adalah formula “2x 5” dan B adalah formula “y 2 2”. Jika
domain pembicaraan yang ditinjau adalah f0; 1; 2g maka kita memiliki
A [x
0] adalah formula “2 (0)
“2 (2) 5”
B [y
2
“(2)
2
1] adalah formula “(1)
2”
5”, kemudian A [x
2] adalah formula
2”, kemudian B [y
2] adalah formula
1] adalah formula “2x
5”
5”, kemudian A [y
2] adalah formula
B [x
0] adalah formula “y 2
2
“y
2”
2”, kemudian B [x
1] adalah formula
A [y
“2x
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Notasi Interpretasi
Misalkan D adalah domain yang ditinjau dan A adalah suatu formula logika
predikat, notasi ID (A) menyatakan interpretasi dari formula A yang ditinjau pada
domain D. Selanjutnya ID (A) = T berarti formula A diinterpretasikan benar
oleh interpretasi I yang ditinjau pada domain D, dan ID (A) = F berarti formula
A diinterpretasikan salah oleh interpretasi I yang ditinjau pada domain D.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
22 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Misalkan A adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau,
dan I adalah interpretasi yang terde…nisi untuk setiap formula atom yang muncul
di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan sebagai berikut
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
23 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Misalkan A adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau,
dan I adalah interpretasi yang terde…nisi untuk setiap formula atom yang muncul
di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan sebagai berikut
Jika A = P (d1 ; d2 ; : : : ; dn ) untuk di (1 i n) pada domain yang ditinjau,
maka ID (A) = ID (P (d1 ; d2 ; : : : ; dn )) = T bila d1 ; d2 ; : : : ; dn berrelasi dan
memberikan nilai kebenaran sesuai dengan de…nisi predikat P .
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
23 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Misalkan A adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau,
dan I adalah interpretasi yang terde…nisi untuk setiap formula atom yang muncul
di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan sebagai berikut
Jika A = P (d1 ; d2 ; : : : ; dn ) untuk di (1 i n) pada domain yang ditinjau,
maka ID (A) = ID (P (d1 ; d2 ; : : : ; dn )) = T bila d1 ; d2 ; : : : ; dn berrelasi dan
memberikan nilai kebenaran sesuai dengan de…nisi predikat P .
Jika A = T, maka ID (A) = ID (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
ID (A) = ID (F) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
23 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Misalkan A adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau,
dan I adalah interpretasi yang terde…nisi untuk setiap formula atom yang muncul
di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan sebagai berikut
Jika A = P (d1 ; d2 ; : : : ; dn ) untuk di (1 i n) pada domain yang ditinjau,
maka ID (A) = ID (P (d1 ; d2 ; : : : ; dn )) = T bila d1 ; d2 ; : : : ; dn berrelasi dan
memberikan nilai kebenaran sesuai dengan de…nisi predikat P .
Jika A = T, maka ID (A) = ID (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
ID (A) = ID (F) = F.
Jika A = 8x B untuk suatu formula B, maka ID (A) = ID (8x B) = T
apabila ID (B [x
d]) = T untuk setiap d pada domain pembicaraan D.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
23 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Aturan Semantik Logika Predikat
Misalkan A adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau,
dan I adalah interpretasi yang terde…nisi untuk setiap formula atom yang muncul
di A. Interpretasi untuk A dide…nisikan sebagai berikut
Jika A = P (d1 ; d2 ; : : : ; dn ) untuk di (1 i n) pada domain yang ditinjau,
maka ID (A) = ID (P (d1 ; d2 ; : : : ; dn )) = T bila d1 ; d2 ; : : : ; dn berrelasi dan
memberikan nilai kebenaran sesuai dengan de…nisi predikat P .
Jika A = T, maka ID (A) = ID (T) = T. Kemudian jika A = F, maka
ID (A) = ID (F) = F.
Jika A = 8x B untuk suatu formula B, maka ID (A) = ID (8x B) = T
apabila ID (B [x
d]) = T untuk setiap d pada domain pembicaraan D.
Jika A = 9x B untuk suatu formula B, maka ID (A) = ID (9x B) = T
apabila ID (B [x
d]) = T untuk suatu d pada domain pembicaraan D.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
23 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
I (A) = I (:B) = :I (B) =
.
F, jika I (B) = T
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
24 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
I (A) = I (:B) = :I (B) =
.
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
24 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
I (A) = I (:B) = :I (B) =
.
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
Jika A = B _ C, untuk suatu formula B dan C, maka
F, jika I (B) = I (C) = F
I (A) = I (B _ C) = I (B) _ I (C) =
T, lainnya
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
24 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
I (A) = I (:B) = :I (B) =
.
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
Jika A = B _ C, untuk suatu formula B dan C, maka
F, jika I (B) = I (C) = F
I (A) = I (B _ C) = I (B) _ I (C) =
T, lainnya
Jika A = B C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
.
F, jika I (C) = I (C)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
24 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
I (A) = I (:B) = :I (B) =
.
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
Jika A = B _ C, untuk suatu formula B dan C, maka
F, jika I (B) = I (C) = F
I (A) = I (B _ C) = I (B) _ I (C) =
T, lainnya
Jika A = B C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
.
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula B dan C, maka I (A) =
F, jika I (B) = T namun I (C) = F
I (B ! C) = I (B) ! I (C) =
.
T, lainnya
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
24 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Jika A = :B, untuk suatu formula B, maka
T, jika I (B) = F
I (A) = I (:B) = :I (B) =
.
F, jika I (B) = T
Jika A = B ^ C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C) = T
I (A) = I (B ^ C) = I (B) ^ I (C) =
.
F, lainnya
Jika A = B _ C, untuk suatu formula B dan C, maka
F, jika I (B) = I (C) = F
I (A) = I (B _ C) = I (B) _ I (C) =
T, lainnya
Jika A = B C, untuk suatu formula B dan C, maka
T, jika I (B) 6= I (C)
I (A) = I (B C) = I (B) I (C) =
.
F, jika I (C) = I (C)
Jika A = B ! C, untuk suatu formula
F,
I (B ! C) = I (B) ! I (C) =
T,
Jika A = B $ C, untuk suatu formula
B dan C, maka I (A) =
jika I (B) = T namun I (C) = F
.
lainnya
B dan C, maka
T, jika I (B) = I (C)
I (A) = I (B $ C) = I (B) $ I (C) =
.
F, jika I (B) 6= I (C)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
24 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Latihan
Tentukan interpretasi dari formula-formula logika predikat berikut bila domain
yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g.
1
2
8x (P (x) _ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
8xP (x) _ 8xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
3
9x (P (x) ^ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
4
9xP (x) ^ 9xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
25 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Latihan
Tentukan interpretasi dari formula-formula logika predikat berikut bila domain
yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g.
1
2
8x (P (x) _ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
8xP (x) _ 8xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
3
9x (P (x) ^ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
4
9xP (x) ^ 9xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
Solusi:
1
8x (P (x) _ Q (x)) berarti:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
25 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Latihan
Tentukan interpretasi dari formula-formula logika predikat berikut bila domain
yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g.
1
2
8x (P (x) _ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
8xP (x) _ 8xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
3
9x (P (x) ^ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
4
9xP (x) ^ 9xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
Solusi:
1
8x (P (x) _ Q (x)) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau Q (x)” atau
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
25 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Latihan
Tentukan interpretasi dari formula-formula logika predikat berikut bila domain
yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g.
1
2
8x (P (x) _ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
8xP (x) _ 8xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
3
9x (P (x) ^ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
4
9xP (x) ^ 9xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
Solusi:
1
8x (P (x) _ Q (x)) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau Q (x)” atau “untuk setiap bilangan bulat x, berlaku x bilangan ganjil
atau x bilangan genap”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
25 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Latihan
Tentukan interpretasi dari formula-formula logika predikat berikut bila domain
yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g.
1
2
8x (P (x) _ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
8xP (x) _ 8xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
3
9x (P (x) ^ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
4
9xP (x) ^ 9xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
Solusi:
1
8x (P (x) _ Q (x)) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau Q (x)” atau “untuk setiap bilangan bulat x, berlaku x bilangan ganjil
atau x bilangan genap”. Misalkan c adalah sembarang bilangan bulat pada
domain Z, maka IZ (P (c) _ Q (c)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
25 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Latihan
Tentukan interpretasi dari formula-formula logika predikat berikut bila domain
yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g.
1
2
8x (P (x) _ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
8xP (x) _ 8xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
3
9x (P (x) ^ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
4
9xP (x) ^ 9xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
Solusi:
1
8x (P (x) _ Q (x)) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau Q (x)” atau “untuk setiap bilangan bulat x, berlaku x bilangan ganjil
atau x bilangan genap”. Misalkan c adalah sembarang bilangan bulat pada
domain Z, maka IZ (P (c) _ Q (c)) = T, akibatnya
IZ (8x (P (x) _ Q (x))) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
25 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
Latihan
Tentukan interpretasi dari formula-formula logika predikat berikut bila domain
yang ditinjau adalah himpunan bilangan bulat Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g.
1
2
8x (P (x) _ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
8xP (x) _ 8xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
3
9x (P (x) ^ Q (x)), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
4
9xP (x) ^ 9xQ (x), dengan P (x) : “x adalah bilangan ganjil” dan Q (x) :
“x adalah bilangan genap”
Solusi:
1
8x (P (x) _ Q (x)) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau Q (x)” atau “untuk setiap bilangan bulat x, berlaku x bilangan ganjil
atau x bilangan genap”. Misalkan c adalah sembarang bilangan bulat pada
domain Z, maka IZ (P (c) _ Q (c)) = T, akibatnya
IZ (8x (P (x) _ Q (x))) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
25 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Karena hal
ini tidak mungkin terjadi, maka tidak ada c 2 Z sehingga
IZ (P (c) ^ Q (c)) = T, akibatnya IZ (9x (P (x) ^ Q (x))) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
4
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Karena hal
ini tidak mungkin terjadi, maka tidak ada c 2 Z sehingga
IZ (P (c) ^ Q (c)) = T, akibatnya IZ (9x (P (x) ^ Q (x))) = F.
9xP (x) ^ 9xQ (x) berarti:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
4
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Karena hal
ini tidak mungkin terjadi, maka tidak ada c 2 Z sehingga
IZ (P (c) ^ Q (c)) = T, akibatnya IZ (9x (P (x) ^ Q (x))) = F.
9xP (x) ^ 9xQ (x) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
ada bilangan bulat x yang memenuhi Q (x)” atau
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
4
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Karena hal
ini tidak mungkin terjadi, maka tidak ada c 2 Z sehingga
IZ (P (c) ^ Q (c)) = T, akibatnya IZ (9x (P (x) ^ Q (x))) = F.
9xP (x) ^ 9xQ (x) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
ada bilangan bulat x yang memenuhi Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang
merupakan bilangan ganjil dan ada bilangan bulat x yang merupakan
bilangan genap”. Kita memiliki IZ (P (1)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
4
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Karena hal
ini tidak mungkin terjadi, maka tidak ada c 2 Z sehingga
IZ (P (c) ^ Q (c)) = T, akibatnya IZ (9x (P (x) ^ Q (x))) = F.
9xP (x) ^ 9xQ (x) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
ada bilangan bulat x yang memenuhi Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang
merupakan bilangan ganjil dan ada bilangan bulat x yang merupakan
bilangan genap”. Kita memiliki IZ (P (1)) = T, akibatnya IZ (9xP (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
4
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Karena hal
ini tidak mungkin terjadi, maka tidak ada c 2 Z sehingga
IZ (P (c) ^ Q (c)) = T, akibatnya IZ (9x (P (x) ^ Q (x))) = F.
9xP (x) ^ 9xQ (x) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
ada bilangan bulat x yang memenuhi Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang
merupakan bilangan ganjil dan ada bilangan bulat x yang merupakan
bilangan genap”. Kita memiliki IZ (P (1)) = T, akibatnya IZ (9xP (x)) = T.
Kemudian IZ (Q (2)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
4
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Karena hal
ini tidak mungkin terjadi, maka tidak ada c 2 Z sehingga
IZ (P (c) ^ Q (c)) = T, akibatnya IZ (9x (P (x) ^ Q (x))) = F.
9xP (x) ^ 9xQ (x) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
ada bilangan bulat x yang memenuhi Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang
merupakan bilangan ganjil dan ada bilangan bulat x yang merupakan
bilangan genap”. Kita memiliki IZ (P (1)) = T, akibatnya IZ (9xP (x)) = T.
Kemudian IZ (Q (2)) = T, akibatnya IZ (9xQ (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
4
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Karena hal
ini tidak mungkin terjadi, maka tidak ada c 2 Z sehingga
IZ (P (c) ^ Q (c)) = T, akibatnya IZ (9x (P (x) ^ Q (x))) = F.
9xP (x) ^ 9xQ (x) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
ada bilangan bulat x yang memenuhi Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang
merupakan bilangan ganjil dan ada bilangan bulat x yang merupakan
bilangan genap”. Kita memiliki IZ (P (1)) = T, akibatnya IZ (9xP (x)) = T.
Kemudian IZ (Q (2)) = T, akibatnya IZ (9xQ (x)) = T. Oleh karena itu
IZ (9xP (x) ^ 9xQ (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
2
3
4
8xP (x) _ 8xQ (x) berarti: “untuk setiap bilangan bulat x berlaku P (x)
atau untuk setiap bilangan bulat x berlaku Q (x)” atau “setiap bilangan
bulat x adalah bilangan ganjil atau setiap bilangan bulat x adalah bilangan
genap”. Kita memiliki IZ (8xP (x)) = F karena IZ (P (2)) = F. Kemudian
kita juga memiliki IZ (8xQ (x)) = F karena IZ (Q (1)) = F. Akibatnya
IZ (8xP (x) _ 8xQ (x)) = IZ (8xP (x)) _ IZ (8xQ (x)) = F _ F = F.
9x (P (x) ^ Q (x)) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan ganjil dan
bilangan genap”. Misalkan c adalah bilangan bulat yang memenuhi kriteria
ini, maka c adalah bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Karena hal
ini tidak mungkin terjadi, maka tidak ada c 2 Z sehingga
IZ (P (c) ^ Q (c)) = T, akibatnya IZ (9x (P (x) ^ Q (x))) = F.
9xP (x) ^ 9xQ (x) berarti: “ada bilangan bulat x yang memenuhi P (x) dan
ada bilangan bulat x yang memenuhi Q (x)” atau “ada bilangan bulat x yang
merupakan bilangan ganjil dan ada bilangan bulat x yang merupakan
bilangan genap”. Kita memiliki IZ (P (1)) = T, akibatnya IZ (9xP (x)) = T.
Kemudian IZ (Q (2)) = T, akibatnya IZ (9xQ (x)) = T. Oleh karena itu
IZ (9xP (x) ^ 9xQ (x)) = IZ (9xP (x)) ^ IZ (9xQ (x)) = T ^ T = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
26 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
4
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
5
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
6
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
27 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika predikat
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
28 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika predikat
1
A dikatakan absah (valid) jikka A benilai benar (T) untuk interpretasi
apapun pada sembarang domain yang ditinjau. Dalam hal ini A juga
dikatakan sebagai suatu tautologi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
28 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika predikat
1
A dikatakan absah (valid) jikka A benilai benar (T) untuk interpretasi
apapun pada sembarang domain yang ditinjau. Dalam hal ini A juga
dikatakan sebagai suatu tautologi.
2
A dikatakan terpenuhi (satis…able) jikka terdapat setidaknya sebuah
interpretasi I dan sebuah domain D yang dapat membuat A bernilai
benar (T).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
28 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika predikat
1
A dikatakan absah (valid) jikka A benilai benar (T) untuk interpretasi
apapun pada sembarang domain yang ditinjau. Dalam hal ini A juga
dikatakan sebagai suatu tautologi.
2
A dikatakan terpenuhi (satis…able) jikka terdapat setidaknya sebuah
interpretasi I dan sebuah domain D yang dapat membuat A bernilai
benar (T).
3
A dikatakan kontradiksi/ tak dapat terpenuhi (contradictory/ unsatis…able)
jikka A benilai salah (F) untuk interpretasi apapun pada sembarang
domain yang ditinjau.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
28 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Keabsahan (Validity), Keterpenuhan (Satis…ability), dan
Kontradiksi
De…nisi
Misalkan A adalah sebuah formula logika predikat
1
A dikatakan absah (valid) jikka A benilai benar (T) untuk interpretasi
apapun pada sembarang domain yang ditinjau. Dalam hal ini A juga
dikatakan sebagai suatu tautologi.
2
A dikatakan terpenuhi (satis…able) jikka terdapat setidaknya sebuah
interpretasi I dan sebuah domain D yang dapat membuat A bernilai
benar (T).
3
A dikatakan kontradiksi/ tak dapat terpenuhi (contradictory/ unsatis…able)
jikka A benilai salah (F) untuk interpretasi apapun pada sembarang
domain yang ditinjau.
4
A dikatakan contingency jikka A tidak absah dan tidak juga kontradiksi.
Berbeda dengan keabsahan, keterpenuhan, ataupun kontradiksi pada logika
proposisi, pembuktian keabsahan, keterpenuhan, maupun kontradiksi pada logika
predikat tidak selamanya dapat dilakukan dengan tabel kebenaran.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
28 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) = T
dan ID (8xQ (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) = T
dan ID (8xQ (x)) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) = T
dan ID (8xQ (x)) = T.
3
Misalkan d adalah sembarang elemen di D. Berdasarkan nomor 2, haruslah
berlaku ID (P (d)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) = T
dan ID (8xQ (x)) = T.
3
Misalkan d adalah sembarang elemen di D. Berdasarkan nomor 2, haruslah
berlaku ID (P (d)) = T dan ID (Q (d)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) = T
dan ID (8xQ (x)) = T.
3
Misalkan d adalah sembarang elemen di D. Berdasarkan nomor 2, haruslah
berlaku ID (P (d)) = T dan ID (Q (d)) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) = T
dan ID (8xQ (x)) = T.
3
4
Misalkan d adalah sembarang elemen di D. Berdasarkan nomor 2, haruslah
berlaku ID (P (d)) = T dan ID (Q (d)) = T.
Dari hasil nomor 3 diperoleh
ID (P (d) ^ Q (d)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) = T
dan ID (8xQ (x)) = T.
3
4
Misalkan d adalah sembarang elemen di D. Berdasarkan nomor 2, haruslah
berlaku ID (P (d)) = T dan ID (Q (d)) = T.
Dari hasil nomor 3 diperoleh
ID (P (d) ^ Q (d)) = ID (P (d)) ^ ID (Q (d)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) = T
dan ID (8xQ (x)) = T.
3
4
Misalkan d adalah sembarang elemen di D. Berdasarkan nomor 2, haruslah
berlaku ID (P (d)) = T dan ID (Q (d)) = T.
Dari hasil nomor 3 diperoleh
ID (P (d) ^ Q (d)) = ID (P (d)) ^ ID (Q (d)) = T untuk sembarang d 2 D.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Keabsahan pada Logika Predikat
Contoh
Jika P dan Q adalah predikat uner, maka
8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi. Akan dibuktikan
bahwa kebenaran pada 8xP (x) ^ 8xQ (x) mengakibatkan kebenaran pada
8x (P (x) ^ Q (x)).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x) ^ 8xQ (x)) = T, maka diperoleh ID (8xP (x)) = T
dan ID (8xQ (x)) = T.
3
4
5
Misalkan d adalah sembarang elemen di D. Berdasarkan nomor 2, haruslah
berlaku ID (P (d)) = T dan ID (Q (d)) = T.
Dari hasil nomor 3 diperoleh
ID (P (d) ^ Q (d)) = ID (P (d)) ^ ID (Q (d)) = T untuk sembarang d 2 D.
Jadi ID (8x (P (x) ^ Q (x))) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
29 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Buktikan bahwa 8x (P (x) ^ Q (x)) ! 8xP (x) ^ 8xQ (x) adalah suatu tautologi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
30 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) = T, maka diperoleh ID (P (d)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) = T, maka diperoleh ID (P (d)) = T untuk setiap
d 2 D.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) = T, maka diperoleh ID (P (d)) = T untuk setiap
d 2 D.
3
Andaikan ID (9x:P (x)) = T, maka
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) = T, maka diperoleh ID (P (d)) = T untuk setiap
d 2 D.
3
Andaikan ID (9x:P (x)) = T, maka terdapat c 2 D sehingga
ID (:P (c)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) = T, maka diperoleh ID (P (d)) = T untuk setiap
d 2 D.
3
Andaikan ID (9x:P (x)) = T, maka terdapat c 2 D sehingga
ID (:P (c)) = T, akibatnya ID (P (c)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) = T, maka diperoleh ID (P (d)) = T untuk setiap
d 2 D.
3
Andaikan ID (9x:P (x)) = T, maka terdapat c 2 D sehingga
ID (:P (c)) = T, akibatnya ID (P (c)) = F.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) = T, maka diperoleh ID (P (d)) = T untuk setiap
d 2 D.
3
4
Andaikan ID (9x:P (x)) = T, maka terdapat c 2 D sehingga
ID (:P (c)) = T, akibatnya ID (P (c)) = F.
Dari nomor 2 juga diperoleh ID (P (c)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) = T, maka diperoleh ID (P (d)) = T untuk setiap
d 2 D.
3
4
Andaikan ID (9x:P (x)) = T, maka terdapat c 2 D sehingga
ID (:P (c)) = T, akibatnya ID (P (c)) = F.
Dari nomor 2 juga diperoleh ID (P (c)) = T (karena d pada nomor 2 berlaku
sembarang, maka kita boleh mengambil d = c).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Pembuktian Kontradiksi pada Logika Predikat
Contoh
Jika P adalah predikat uner, maka 8xP (x) ! 9x:P (x) adalah suatu
kontradiksi. Akan dibuktikan bahwa kebenaran pada 8xP (x) tidak mungkin
mengakibatkan kebenaran pada 9x:P (x).
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (8xP (x)) = T, maka diperoleh ID (P (d)) = T untuk setiap
d 2 D.
3
4
5
Andaikan ID (9x:P (x)) = T, maka terdapat c 2 D sehingga
ID (:P (c)) = T, akibatnya ID (P (c)) = F.
Dari nomor 2 juga diperoleh ID (P (c)) = T (karena d pada nomor 2 berlaku
sembarang, maka kita boleh mengambil d = c).
Hasil nomor 3 dan 4 bertentangan, akibatnya tidak mungkin ada interpretasi
I dan domain D yang menyebabkan ID (8xP (x) ! 9x:P (x)) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
31 / 43
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
Latihan
Buktikan bahwa 9x:P (x) ! 8xP (x) adalah suatu kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
32 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
4
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
5
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
6
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
33 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
De…nisi
Misalkan A dan B adalah dua formula logika predikat:
Formula A dan B dikatakan setara atau ekuivalen (logically equivalent) jika
formula
A$B
merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan A B atau A , B.
Formula B dikatakan sebagai konsekuensi logis (logical consequence) dari A jika
formula
A!B
merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan A ) B.
Tidak seperti pada logika proposisi, untuk menunjukkan konsekuensi logis maupun
kesetaraan logika antar dua formula pada logika predikat kita tidak dapat
menggunakan tabel kebenaran.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
34 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Contoh
Misalkan P dan Q adalah predikat uner. Sebelumnya kita telah membuktikan
bahwa 8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi, akibatnya
berlaku 8xP (x) ^ 8xQ (x) ) 8x (P (x) ^ Q (x)).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
35 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Contoh
Misalkan P dan Q adalah predikat uner. Sebelumnya kita telah membuktikan
bahwa 8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi, akibatnya
berlaku 8xP (x) ^ 8xQ (x) ) 8x (P (x) ^ Q (x)).
Kemudian karena 8x (P (x) ^ Q (x)) ! 8xP (x) ^ 8xQ (x) juga merupakan
tautologi (buktikan!), maka berlaku 8x (P (x) ^ Q (x)) ) 8xP (x) ^ 8xQ (x).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
35 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Contoh Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Contoh
Misalkan P dan Q adalah predikat uner. Sebelumnya kita telah membuktikan
bahwa 8xP (x) ^ 8xQ (x) ! 8x (P (x) ^ Q (x)) adalah suatu tautologi, akibatnya
berlaku 8xP (x) ^ 8xQ (x) ) 8x (P (x) ^ Q (x)).
Kemudian karena 8x (P (x) ^ Q (x)) ! 8xP (x) ^ 8xQ (x) juga merupakan
tautologi (buktikan!), maka berlaku 8x (P (x) ^ Q (x)) ) 8xP (x) ^ 8xQ (x).
Dari dua hasil ini diperoleh 8xP (x) ^ 8xQ (x) , 8x (P (x) ^ Q (x)), atau juga
dapat ditulis 8xP (x) ^ 8xQ (x) 8x (P (x) ^ Q (x)).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
35 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Latihan
Buktikan bahwa jika P dan Q adalah predikat uner, maka
9xP (x) _ 9xQ (x) 9x (P (x) _ Q (x)).
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
36 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Latihan
Buktikan bahwa jika P dan Q adalah predikat uner, maka
9xP (x) _ 9xQ (x) 9x (P (x) _ Q (x)).
Solusi: Kita akan membuktikan bahwa 9xP (x) _ 9xQ (x) ) 9x (P (x) _ Q (x))
dan 9x (P (x) _ Q (x)) ) 9xP (x) _ 9xQ (x).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
36 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Latihan
Buktikan bahwa jika P dan Q adalah predikat uner, maka
9xP (x) _ 9xQ (x) 9x (P (x) _ Q (x)).
Solusi: Kita akan membuktikan bahwa 9xP (x) _ 9xQ (x) ) 9x (P (x) _ Q (x))
dan 9x (P (x) _ Q (x)) ) 9xP (x) _ 9xQ (x).
Bukti bahwa 9xP (x) _ 9xQ (x) ) 9x (P (x) _ Q (x)) diserahkan kepada
pembaca sebagai latihan.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
36 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Latihan
Buktikan bahwa jika P dan Q adalah predikat uner, maka
9xP (x) _ 9xQ (x) 9x (P (x) _ Q (x)).
Solusi: Kita akan membuktikan bahwa 9xP (x) _ 9xQ (x) ) 9x (P (x) _ Q (x))
dan 9x (P (x) _ Q (x)) ) 9xP (x) _ 9xQ (x).
Bukti bahwa 9xP (x) _ 9xQ (x) ) 9x (P (x) _ Q (x)) diserahkan kepada
pembaca sebagai latihan.
Akan ditunjukkan bahwa 9x (P (x) _ Q (x)) ) 9xP (x) _ 9xQ (x), atau dengan
perkataan lain 9x (P (x) _ Q (x)) ! 9xP (x) _ 9xQ (x) suatu tautologi,
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
36 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
Latihan
Buktikan bahwa jika P dan Q adalah predikat uner, maka
9xP (x) _ 9xQ (x) 9x (P (x) _ Q (x)).
Solusi: Kita akan membuktikan bahwa 9xP (x) _ 9xQ (x) ) 9x (P (x) _ Q (x))
dan 9x (P (x) _ Q (x)) ) 9xP (x) _ 9xQ (x).
Bukti bahwa 9xP (x) _ 9xQ (x) ) 9x (P (x) _ Q (x)) diserahkan kepada
pembaca sebagai latihan.
Akan ditunjukkan bahwa 9x (P (x) _ Q (x)) ) 9xP (x) _ 9xQ (x), atau dengan
perkataan lain 9x (P (x) _ Q (x)) ! 9xP (x) _ 9xQ (x) suatu tautologi, dengan
cara membuktikan bahwa kebenaran 9x (P (x) _ Q (x)) mengakibatkan kebenaran
untuk 9xP (x) _ 9xQ (x).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
36 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) = T atau ID (Q (d)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) = T atau ID (Q (d)) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) = T atau ID (Q (d)) = T.
Jika ID (P (d)) = T, maka ID (9xP (x)) =
3
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) = T atau ID (Q (d)) = T.
Jika ID (P (d)) = T, maka ID (9xP (x)) = T, akibatnya apapun nilai dari
ID (9xQ (x)), kita memiliki
ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) =
3
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) = T atau ID (Q (d)) = T.
Jika ID (P (d)) = T, maka ID (9xP (x)) = T, akibatnya apapun nilai dari
ID (9xQ (x)), kita memiliki
ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) = ID (9xP (x)) _ ID (9xQ (x)) = T.
3
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) = T atau ID (Q (d)) = T.
Jika ID (P (d)) = T, maka ID (9xP (x)) = T, akibatnya apapun nilai dari
ID (9xQ (x)), kita memiliki
ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) = ID (9xP (x)) _ ID (9xQ (x)) = T.
3
4
Jika ID (Q (d)) = T, maka ID (9xQ (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) = T atau ID (Q (d)) = T.
Jika ID (P (d)) = T, maka ID (9xP (x)) = T, akibatnya apapun nilai dari
ID (9xQ (x)), kita memiliki
ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) = ID (9xP (x)) _ ID (9xQ (x)) = T.
3
4
Jika ID (Q (d)) = T, maka ID (9xQ (x)) = T, akibatnya apapun nilai dri
ID (9xP (x)), kita memiliki
ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) =
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) = T atau ID (Q (d)) = T.
Jika ID (P (d)) = T, maka ID (9xP (x)) = T, akibatnya apapun nilai dari
ID (9xQ (x)), kita memiliki
ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) = ID (9xP (x)) _ ID (9xQ (x)) = T.
3
4
Jika ID (Q (d)) = T, maka ID (9xQ (x)) = T, akibatnya apapun nilai dri
ID (9xP (x)), kita memiliki
ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) = ID (9xP (x)) _ ID (9xQ (x)) = T.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
1
Misalkan I adalah sembarang interpretasi dan D adalah sembarang domain
pembicaraan.
2
Misalkan ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T, maka terdapat suatu d 2 D sehingga
ID (P (d) _ Q (d)) = T. Ini berarti ID (P (d)) = T atau ID (Q (d)) = T.
Jika ID (P (d)) = T, maka ID (9xP (x)) = T, akibatnya apapun nilai dari
ID (9xQ (x)), kita memiliki
ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) = ID (9xP (x)) _ ID (9xQ (x)) = T.
3
4
5
Jika ID (Q (d)) = T, maka ID (9xQ (x)) = T, akibatnya apapun nilai dri
ID (9xP (x)), kita memiliki
ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) = ID (9xP (x)) _ ID (9xQ (x)) = T.
Jadi bila ID (9x (P (x) _ Q (x))) = T maka ID (9xP (x) _ 9xQ (x)) = T,
sehingga 9x (P (x) _ Q (x)) ! 9xP (x) _ 9xQ (x) adalah suatu tautologi,
atau dengan perkataan lain 9x (P (x) _ Q (x)) ) 9xP (x) _ 9xQ (x).
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
37 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Bahasan
1
Kebenaran Formula Berkuantor Tunggal
2
Kebenaran Formula dengan Kuanti…kasi Dua/ Lebih Variabel
3
Interpretasi dan Semantik Formula Logika Predikat
4
Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya
5
Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika
6
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
38 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Ekuivalensi Formula Logika Predikat
Logika predikat dapat ditinjau sebagai “perluasan” dari logika proposisi, akibatnya
semua hukum ekuivalensi pada logika proposisi juga berlaku untuk logika predikat.
Contohnya, jika pada logika proposisi kita memiliki : (A ^ B) :A _ :B dan
A ! B :A _ B, untuk sembarang formula logika proposisi A dan B, maka
pada logika predikat kita juga memiliki hal yang sama. Sebagai contoh apabila P
dan Q adalah dua predikat uner, maka
9x (: (P (x) ^ Q (x)))
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
39 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Ekuivalensi Formula Logika Predikat
Logika predikat dapat ditinjau sebagai “perluasan” dari logika proposisi, akibatnya
semua hukum ekuivalensi pada logika proposisi juga berlaku untuk logika predikat.
Contohnya, jika pada logika proposisi kita memiliki : (A ^ B) :A _ :B dan
A ! B :A _ B, untuk sembarang formula logika proposisi A dan B, maka
pada logika predikat kita juga memiliki hal yang sama. Sebagai contoh apabila P
dan Q adalah dua predikat uner, maka
9x (: (P (x) ^ Q (x)))
8x (P (x) ! Q (x))
MZI (FIF Tel-U)
9x (:P (x) _ :Q (x))
Logika Predikat 2
September 2015
39 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Ekuivalensi Formula Logika Predikat
Logika predikat dapat ditinjau sebagai “perluasan” dari logika proposisi, akibatnya
semua hukum ekuivalensi pada logika proposisi juga berlaku untuk logika predikat.
Contohnya, jika pada logika proposisi kita memiliki : (A ^ B) :A _ :B dan
A ! B :A _ B, untuk sembarang formula logika proposisi A dan B, maka
pada logika predikat kita juga memiliki hal yang sama. Sebagai contoh apabila P
dan Q adalah dua predikat uner, maka
9x (: (P (x) ^ Q (x)))
8x (P (x) ! Q (x))
9x (:P (x) _ :Q (x))
8x (:P (x) _ Q (x))
Hal yang membedakan ekuivalensi pada logika proposisi dengan ekuivalensi pada
logika predikat adalah aturan untuk negasi formula berkuantor.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
39 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Negasi Kuantor Universal
Kita akan menetentukan negasi dari kalimat berikut: “setiap mahasiswa Teknik
Informatika mengambil kuliah Logika Matematika”.
Kalimat di atas dapat ditranslasikan ke logika predikat sebagai 8x P (x), dengan
domain D untuk x adalah himpunan seluruh mahasiswa Teknik Informatika dan P
adalah predikat uner “mengambil kuliah Logika Matematika”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
40 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Negasi Kuantor Universal
Kita akan menetentukan negasi dari kalimat berikut: “setiap mahasiswa Teknik
Informatika mengambil kuliah Logika Matematika”.
Kalimat di atas dapat ditranslasikan ke logika predikat sebagai 8x P (x), dengan
domain D untuk x adalah himpunan seluruh mahasiswa Teknik Informatika dan P
adalah predikat uner “mengambil kuliah Logika Matematika”.
Negasi dari 8x P (x) adalah formula yang bernilai benar tepat ketika
8x P (x) bernilai salah. Ingat kembali bahwa ketika 8x P (x) salah, maka
terdapat setidaknya satu x 2 D yang membuat P (x) salah.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
40 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Negasi Kuantor Universal
Kita akan menetentukan negasi dari kalimat berikut: “setiap mahasiswa Teknik
Informatika mengambil kuliah Logika Matematika”.
Kalimat di atas dapat ditranslasikan ke logika predikat sebagai 8x P (x), dengan
domain D untuk x adalah himpunan seluruh mahasiswa Teknik Informatika dan P
adalah predikat uner “mengambil kuliah Logika Matematika”.
Negasi dari 8x P (x) adalah formula yang bernilai benar tepat ketika
8x P (x) bernilai salah. Ingat kembali bahwa ketika 8x P (x) salah, maka
terdapat setidaknya satu x 2 D yang membuat P (x) salah.
Mengingat 8x P (x) salah tepat ketika 9x :P (x) benar, maka diperoleh
:8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
40 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Negasi Kuantor Universal
Kita akan menetentukan negasi dari kalimat berikut: “setiap mahasiswa Teknik
Informatika mengambil kuliah Logika Matematika”.
Kalimat di atas dapat ditranslasikan ke logika predikat sebagai 8x P (x), dengan
domain D untuk x adalah himpunan seluruh mahasiswa Teknik Informatika dan P
adalah predikat uner “mengambil kuliah Logika Matematika”.
Negasi dari 8x P (x) adalah formula yang bernilai benar tepat ketika
8x P (x) bernilai salah. Ingat kembali bahwa ketika 8x P (x) salah, maka
terdapat setidaknya satu x 2 D yang membuat P (x) salah.
Mengingat 8x P (x) salah tepat ketika 9x :P (x) benar, maka diperoleh
:8x P (x) 9x :P (x) .
Akibatnya negasi dari kalimat di atas adalah “ada mahasiswa Teknik Informatika
yang tidak mengambil kuliah Logika Matematika”
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
40 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Negasi Kuantor Eksistensial
Selanjutnya kita akan menentukan negasi dari kalimat berikut: “ada mahasiswa
Teknik Informatika yang mengambil kuliah Metode Formal”.
Misalkan kalimat di atas kita translasikan ke logika predikat sebagai 9x P (x),
dengan domain D untuk x adalah himpunan seluruh mahasiswa Teknik
Informatika dan P adalah predikat uner “mengambil kuliah Metode Formal”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
41 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Negasi Kuantor Eksistensial
Selanjutnya kita akan menentukan negasi dari kalimat berikut: “ada mahasiswa
Teknik Informatika yang mengambil kuliah Metode Formal”.
Misalkan kalimat di atas kita translasikan ke logika predikat sebagai 9x P (x),
dengan domain D untuk x adalah himpunan seluruh mahasiswa Teknik
Informatika dan P adalah predikat uner “mengambil kuliah Metode Formal”.
Negasi dari 9x P (x) adalah formula yang bernilai benar tepat ketika
9x P (x) bernilai salah. Ingat kembali bahwa ketika 9x P (x) salah, maka
semua x 2 D membuat :P (x) berlaku.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
41 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Negasi Kuantor Eksistensial
Selanjutnya kita akan menentukan negasi dari kalimat berikut: “ada mahasiswa
Teknik Informatika yang mengambil kuliah Metode Formal”.
Misalkan kalimat di atas kita translasikan ke logika predikat sebagai 9x P (x),
dengan domain D untuk x adalah himpunan seluruh mahasiswa Teknik
Informatika dan P adalah predikat uner “mengambil kuliah Metode Formal”.
Negasi dari 9x P (x) adalah formula yang bernilai benar tepat ketika
9x P (x) bernilai salah. Ingat kembali bahwa ketika 9x P (x) salah, maka
semua x 2 D membuat :P (x) berlaku.
Mengingat 9x P (x) salah tepat ketika ketika 8x :P (x) benar, maka
diperoleh :9x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
41 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Negasi Kuantor Eksistensial
Selanjutnya kita akan menentukan negasi dari kalimat berikut: “ada mahasiswa
Teknik Informatika yang mengambil kuliah Metode Formal”.
Misalkan kalimat di atas kita translasikan ke logika predikat sebagai 9x P (x),
dengan domain D untuk x adalah himpunan seluruh mahasiswa Teknik
Informatika dan P adalah predikat uner “mengambil kuliah Metode Formal”.
Negasi dari 9x P (x) adalah formula yang bernilai benar tepat ketika
9x P (x) bernilai salah. Ingat kembali bahwa ketika 9x P (x) salah, maka
semua x 2 D membuat :P (x) berlaku.
Mengingat 9x P (x) salah tepat ketika ketika 8x :P (x) benar, maka
diperoleh :9x P (x) 8x :P (x) .
Akibatnya negasi dari kalimat di atas adalah “semua mahasiswa Teknik
Informatika tidak mengambil kuliah Metode Formal”.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
41 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Hukum De Morgan Untuk Kuantor
Misalkan P adalah predikat uner yang kebenarannya ditinjau pada domain
berhingga D = fa1 ; a2 ; : : : ; an g. Kita memiliki
8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
42 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Hukum De Morgan Untuk Kuantor
Misalkan P adalah predikat uner yang kebenarannya ditinjau pada domain
berhingga D = fa1 ; a2 ; : : : ; an g. Kita memiliki
8x P (x)
:8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
P (a1 ) ^ P (a2 ) ^
^ P (an )
Logika Predikat 2
September 2015
42 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Hukum De Morgan Untuk Kuantor
Misalkan P adalah predikat uner yang kebenarannya ditinjau pada domain
berhingga D = fa1 ; a2 ; : : : ; an g. Kita memiliki
8x P (x)
:8x P (x)
MZI (FIF Tel-U)
P (a1 ) ^ P (a2 ) ^
: (P (a1 ) ^ P (a2 ) ^
^ P (an )
^ P (an ))
Logika Predikat 2
September 2015
42 / 43
Ekuivalensi Formula Logika Predikat: Negasi Formula Berkuantor
Hukum De Morgan Untuk Kuantor
Misalkan P adalah predikat uner yang kebenarannya ditinjau pada domain
berhingga D = fa1 ; a2 ; : : : ; an g. Kita memiliki
8x P (x)
:8x P (x)
P (a1 ) ^ P (a2 ) ^
: (P (a1 ) ^ P (a2 ) ^
:P (a1 ) _ :P (a2 ) _
9x :P (x)
^ P (an )
^ P (an ))
_ :P (an ) [dengan sifat De Morgan]
Dengan cara serupa kita juga memiliki :9x P (x) 8x:P (x). Sifat
:8x P (x) 9x :P (x) dan :9x P (x) 8x :P (x) dinamakan hukum De
Morgan untuk kuantor.
MZI (FIF Tel-U)
Logika Predikat 2
September 2015
42 / 43
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
5.
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
5.
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
:8x x2 > 0
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
5.
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
:8x x2 > 0
9x : x2 > 0
9x x2
0
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
5.
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
9x : x2 > 0
9x x2
0
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
5.
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
9x : x2 > 0
9x x2
8y : (y + 1 6= 2)
0
8y (y + 1 = 2)
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
5.
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
3
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
:8x9y (xy = 1)
9x : x2 > 0
9x x2
8y : (y + 1 6= 2)
0
8y (y + 1 = 2)
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
5.
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
3
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
:8x9y (xy = 1)
9x : x2 > 0
9x x2
8y : (y + 1 6= 2)
9x:9y (xy = 1)
0
8y (y + 1 = 2)
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
5.
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
3
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
:8x9y (xy = 1)
9x : x2 > 0
9x x2
8y : (y + 1 6= 2)
9x:9y (xy = 1)
0
8y (y + 1 = 2)
9x8y : (xy = 1)
9x8y (xy 6= 1)
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
5.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
3
4
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
:8x9y (xy = 1)
9x : x2 > 0
:9x8y (x + y 6= 1)
9x x2
8y : (y + 1 6= 2)
9x:9y (xy = 1)
0
8y (y + 1 = 2)
9x8y : (xy = 1)
9x8y (xy 6= 1)
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
5.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
3
4
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
:8x9y (xy = 1)
9x : x2 > 0
:9x8y (x + y 6= 1)
9x x2
8y : (y + 1 6= 2)
9x:9y (xy = 1)
0
8y (y + 1 = 2)
9x8y : (xy = 1)
8x:8y (x + y 6= 1)
9x8y (xy 6= 1)
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
5.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
3
4
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
:8x9y (xy = 1)
9x : x2 > 0
:9x8y (x + y 6= 1)
8x9y (x + y = 1)
9x x2
8y : (y + 1 6= 2)
9x:9y (xy = 1)
0
8y (y + 1 = 2)
9x8y : (xy = 1)
8x:8y (x + y 6= 1)
9x8y (xy 6= 1)
8x9y : (x + y 6= 1)
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
5.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
3
4
5
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
9x : x2 > 0
8y : (y + 1 6= 2)
:8x9y (xy = 1)
:9x8y (x + y 6= 1)
8x9y (x + y = 1)
:8x8y
2
(xy)
9x x2
0
9x:9y (xy = 1)
0
8y (y + 1 = 2)
9x8y : (xy = 1)
8x:8y (x + y 6= 1)
9x8y (xy 6= 1)
8x9y : (x + y 6= 1)
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
5.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
3
4
5
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
9x : x2 > 0
8y : (y + 1 6= 2)
:8x9y (xy = 1)
:9x8y (x + y 6= 1)
8x9y (x + y = 1)
:8x8y
2
(xy)
9x x2
0
8y (y + 1 = 2)
9x:9y (xy = 1)
9x8y : (xy = 1)
8x:8y (x + y 6= 1)
9x:8y
(xy)
0
2
0
9x8y (xy 6= 1)
8x9y : (x + y 6= 1)
Latihan Negasi Formula Berkuantor
Latihan
Berikan formula logika predikat yang merupakan negasi dari formula-formula
berikut tanpa memakai negasi yang berada di depan kuantor.
1. 8x x2 > 0
4. 9x8y (x + y 6= 1)
2.
3.
5.
9y (y + 1 6= 2)
8x9y (xy = 1)
8x8y
2
(xy)
0
Solusi:dengan hukum De Morgan untuk kuantor, kita memiliki
1
2
3
4
5
:8x x2 > 0
:9y (y + 1 6= 2)
9x : x2 > 0
8y : (y + 1 6= 2)
:8x9y (xy = 1)
:9x8y (x + y 6= 1)
8x9y (x + y = 1)
:8x8y
9x9y
2
(xy)
2
9x x2
0
(xy) > 0
8y (y + 1 = 2)
9x:9y (xy = 1)
9x8y : (xy = 1)
8x:8y (x + y 6= 1)
9x:8y
(xy)
0
2
0
9x8y (xy 6= 1)
8x9y : (x + y 6= 1)
2
9x9y : (xy)
0