Mekanika Newtonian

Ferawati
Mekanika
klasik
menggambarkan
dinamika partikel atau sistem partikel.
Dinamika partikel demikian, ditunjukkan
oleh hukum-hukum Newton tentang
gerak, terutama oleh hukum kedua
Newton.
Hukum ini menyatakan, "Sebuah benda
yang memperoleh pengaruh gaya atau
interaksi akan bergerak sedemikian rupa
sehingga laju perubahan waktu dari
momentum sama dengan gaya tersebut".
 Hukum-hukum gerak Newton baru memiliki arti
fisis, jika hukum-hukum tersebut diacukan
terhadap suatu kerangka acuan tertentu, yakni
kerangka acuan inersia (suatu kerangka acuan
yang bergerak serba sama - tak mengalami
percepatan).
 Prinsip Relativitas Newtonian menyatakan, "Jika
hukum-hukum Newton berlaku dalam suatu
kerangka acuan maka hukum-hukum tersebut
juga berlaku dalam kerangka acuan lain yang
bergerak serba sama relatif terhadap kerangka
acuan pertama".
 Konsep partikel bebas diperkenalkan ketika
suatu partikel bebas dari pengaruh gaya
atau interaksi dari luar sistem fisis yang
ditinjau (idealisasi fakta fisis yang
sebenarnya).
 Gerak partikel terhadap suatu kerangka
acuan inersia tak gayut (independen) posisi
titik asal sistem koordinat dan tak gayut
arah gerak sistem koordinat tersebut dalam
ruang.
 Dikatakan, dalam kerangka acuan
inersia, ruang bersifat homogen dan
isotropik.
 Jika partikel bebas bergerak dengan
kecepatan konstan dalam suatu sistem
koordinat selama interval waktu
tertentu tidak mengalami perubahan
kecepatan, konsekuensinya adalah
waktu bersifat homogen.
Prinsip Hamilton
 Jika ditinjau gerak partikel yang terkendala pada
suatu permukaan bidang, maka diperlukan adanya
gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan
mempertahankan kontak antara partikel dengan
permukaan bidang. Namun sayang, tak selamanya
gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel
dapat diketahui.
 Pendekatan Newtonian memerlukan informasi
gaya total yang beraksi pada partikel. Gaya total ini
merupakan keseluruhan gaya yang beraksi pada
partikel, termasuk juga gaya konstrain.
 Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus
terdapat gaya yang tak dapat diketahui, maka
pendekatan Newtonian tak berlaku. Sehingga
diperlukan pendekatan baru dengan meninjau
kuantitas fisis lain yang merupakan
karakteristik partikel, misal energi totalnya.
 Pendekatan ini dilakukan dengan
menggunakan prinsip Hamilton, dimana
persamaan Lagrange yakni persamaan umum
dinamika partikel dapat diturunkan dari
prinsip tersebut.
 Prinsip Hamilton mengatakan, "Dari
seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem
dinamis untuk berpindah dari satu titik ke
titik lain dalam interval waktu spesifik
(konsisten dengan sembarang konstrain),
lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis
adalah lintasan yang meminimumkan
integral waktu selisih antara energi kinetik
dengan energi potensial.".
Persamaan Lagrange
 Persamaan gerak partikel yang dinyatakan
oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh
dengan meninjau energi kinetik dan energi
potensial partikel tanpa perlu meninjau
gaya yang beraksi pada partikel.
 Energi kinetik partikel dalam koordinat
kartesian adalah fungsi dari kecepatan,
energi potensial partikel yang bergerak
dalam medan gaya konservatif adalah fungsi
dari posisi.
 Jika didefinisikan Lagrangian sebagai selisih antara energi
kinetik dan energi potensial. Dari prinsip Hamilton,
dengan mensyaratkan kondisi nilai stasioner maka dapat
diturunkan persamaan Lagrange.
 Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel
sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum,
dan mungkin waktu.
 Kegayutan Lagrangian terhadap waktu merupakan
konsekuensi dari kegayutan konstrain terhadap waktu atau
dikarenakan persamaan transformasi yang
menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum
mengandung fungsi waktu.
 Pada dasarnya, persamaan Lagrange ekivalen dengan
persamaan gerak Newton, jika koordinat yang digunakan
adalah koordinat kartesian.
Mengapa perlu formulasi
Lagrangian ?
 Dalam mekanika Newtonian, konsep gaya
diperlukan sebagai kuantitas fisis yang
berperan dalam aksi terhadap partikel.
 Dalam dinamika Lagrangian, kuantitas fisis
yang ditinjau adalah energi kinetik dan
energi potensial partikel.
 Keuntungannya, karena energi adalah
besaran skalar, maka energi bersifat invarian
terhadap transformasi koordinat.
 Dalam kondisi tertentu, tidaklah mungkin
atau sulit menyatakan seluruh gaya yang
beraksi terhadap partikel, maka pendekatan
Newtonian menjadi rumit pula atau bahkan
tak mungkin dilakukan. Oleh karena itu,
pada perkembangan berikutnya dari
mekanika, prinsip Hamilton berperan
penting karena ia hanya meninjau energi
partikel saja.
Mekanika Lagrangian
 Kita mengenal tentang Mekanika
Newtonian. Mekanika Newtonian adalah
salah satu alat untuk menganalisis gerak
suatu sistem.
 Mekanika Newtonian menghubungkan
suatu besaran vektor yang bernama Gaya
untuk menganalisis perubahan momentum.
Mekanika Newtonian menggunakan 3
Hukum untuk menganalisis gerak sistem.
 Namun, seringkali (karena gaya adalah besaran
vektor) kita kesulitan dalam menggambar arah
gaya tersebut, apalagi jika sistemnya rumit dan
banyak anak sistemnya. Mekanika Newtonian
menjadi rawan kesalahan.

Untuk mempermudah analisis, seseorang
bernama Joseph Louis Lagrange membuat suatu
metode analisis yang menghubungkan perubahan
momentum dengan konservasi energi mekanik
yang dimiliki sistem.
 Ada beberapa kondisi dimana kita dapat
menggunakan Mekanika Lagrangian (lama),
yaitu sistem yang kita amati hanya boleh
dipengaruhi oleh gaya konservatif (berarti
punya energi potensial).
 Seperti di Mekanika Newtonian, setelah
menggunakan Mekanika Lagrangian, kita
akan mendapatkan beberapa set persamaan
differensial yang akan digunakan untuk
menganalisis gerak sistem tersebut.
 Mekanika Lagrangian yang lama, digunakan untuk sistem
yang dipengaruhi gaya konservatif saja. Namun kemudian
Rayleigh mengusulkan memperluas konsepnya supaya bisa
menganalisis gaya disipatif juga (misalnya gaya gesek).

Mekanika Lagrange menggunakan beberapa persamaan
dan cara pakai:
*Pastikan dulu sistem tersebut dapat dianalisis
menggunakan Mekanika Lagrangian.
Untuk sementara, kita menggunakan Mekanika Lagrangian
lama, yang hanya menganalisis sistem yang dipengaruhi
gaya konservatif (punya energi potensial) saja.
 dokumen mekanika.doc
Paradigma Mekanika
Newtonian vs Lagrangian:
Reduksionisme vs Holisme
 Untuk dapat membuat perbandingan antara
mekanika Newtonian dan mekanika
Lagrangian dengan baik, maka perlu
dilakukan telisik secara mendasar terhadap
cara pandang keduanya. Perbandingan yang
baik tidak dapat dicapai hanya dengan
menyajikan contoh-contoh penyelesaian
atas kasus fisis yang sama yang coba
diselesaikan dengan cara ala Newton dan ala
Lagrange.
 Cara pandang keduanya perlu
diungkap sebab cara pandang inilah
yang menuntun bagaimana sebuah
fenomena fisis seharusnya dipandang
dan akhirnya dengan cara bagaimana
harus diselesaikan. Cara pandang ini
oleh Thomas S. Kuhn disebut sebagai
paradigma (Kuhn, 2002). Upaya telisik
akan dimulai dari objek kajian fisika.
 Fisika memiliki objek kajian yang amat
luas, mulai dari skala jagad gumulung (
microcospics scale, mikroskopis),
tempat bagi atom dan zarah-zarah
dasariah hidup, sampai skala jagad
gumelar(macroscopics scale,
makroskopis), tempat bagi tata surya,
bintang dan galaksi bertebaran.
 Dalam kajiannya, objek yang sedang diamati
disebut sebagai sistem fisis. Untuk mempelajari
kaitan sebab akibat di alam semesta ini, tentu
amatlah sukar bagi fisikawan ketika harus
berhadapan langsung dengan sistem fisis yang
sedemikian besar.
 Maka diambillah satu jalan keluar yang diharap
merupakan upaya win-win solution, sistem fisis
itu hanya merupakan suatu cuplikan kecil saja dari
keseluruhan. Cuplikan sudah dianggap mewakili
keseluruhan, orang bilang ini namanya pars
prototo.
 Dari sini perdebatan mulai berkembang.
Ada yang bersuara bahwa semua sistem
yang ada ini saling kait mengait. Ibarat
jaring-jaring, satu simpul ditarik, yang lain
akan merasakan getarannya. Paham yang
percaya bahwa semua sistem saling
mempengaruhi merupakan paham holisme
(holistik).
 Sebaliknya, ada yang berpendapat bahwa
cuplikan itu tidak akan sedikitpun
mempengaruhi sistem yang lain. Perubahan
satu sistem tidak akan memberi dampak
pada sistem yang lain. Karenanya, ini
disebut sebagai sistem. Paham ini dikenal
sebagai reduksionisme. Dengan kata lain,
reduksionisme percaya bahwa suatu sistem
yang besar dapat dipecah menjadi sistem
kecil-sistem kecil.
 Cara pandang Newton adalah cara pandang
yang reduksionis. Cara pandang ini berakar
dari metode Descartes yang bersifat analitik.
Metode itu terdiri atas pemecahan masalah
menjadi potongan-potongan kecil dan
penyusunan kembali potongan-potongan itu
dalam tatanan logisnya. Descartes sering
disebut-sebut sebagai orang pertama yang
berhasil mencari hubungan antara persamaan
aljabar dengan geometri. Descartes
membangunnya melalui sebuah sistem
koordinat yang kemudian disebut koordinat
Kartesian.
 Newton memandang bahwa alam semesta, tempat
di mana semua fenomena fisis ini terjadi,
merupakan ruang berdimensi 3 dari geometri
Euclid klasik. Bagi Newton ruang adalah absolut.
Seluruh perubahan dalam fenomena fisis itu
digambarkan dalam dimensi yang terpisah, yakni
waktu, yang juga bersifat absolut. Dalam
pandangan Newton, unsur-unsur dunia yang
bergerak dalam ruang absolut dan waktu absolut
ini adalah partikel-partikel materi. Gerak partikel
disebabkan oleh kekuatan gravitasi yang dalam
pandangan Newton, bergerak secara serempak
dalam suatu rentang jarak tertentu.
 Dalam pandangan Newton, semua
fenomena fisis dapat direduksi menjadi
gerak partikel benda, yang disebabkan oleh
kekuatan tarik-menarik, gaya gravitasi.
Pengaruh gaya ini pada partikel atau benda
lain digambarkan secara matematis oleh
persamaan gerak Newton, yang kemudian
menjadi dasar bagi seluruh mekanika klasik.
Persamaan ini dianggap yang
"bertanggungjawab" atas semua perubahan
yang teramati dalam dunia fisik.
 Secara sederhana, pandangan Newton dapat
diringkas, bahwa alam semesta terdiri dari
partikel-partikel benda. Antar partikel-partikel
ini terjadi interaksi melalui apa ayang disebut
sebagai kekuatan antarpartikel atau gaya. Adanya
kekuatan partikel ini akhirnya menciptakan
hukum gerak. Dalam kaitannya dengan makalah
ini, maka hukum gerak tersebut merupakan
hukum kedua Newton,
 yakni : F = m a
 dengan F adalah gaya, a adalah massa partikel
benda dan a adalah percepatan sistem.
 Pada dasarnya, hampir semua interaksi
dalam mekanika klasik dapat
disederhanakan dan diselesaikan
dengan persamaan ini. Oleh karena
itu, salah ciri khas mekanika
Newtonian selain reduksionis adalah
adanya gaya-gaya yang bekerja dalam
sistem tersebut.
 Pandangan Newton bahwa sebuah sistem fisis
dapat diselesaikan persamaan geraknya dengan
melakukan reduksi sebagai titik-titik materi
kemudian dikembangkan oleh Bernoulli melalui
konsep usaha maya dan d'Alembert yang terkenal
sebagai asas d'Alembert.
 Dalam pandangan ini, sistem fisis tidak dipandang
sebagai sistem titik-titik materi lagi, tetapi sebagai
sistem mekanik, yakni sistem dimana gerakan
bagian-bagiannya saling berkaitan, tak bebas satu
sama lain. Upaya yang dilakukan oleh Lagrange
bersandar pada hasil kerja Bernoulli dan
d'Alembert.
 Untuk menyelesaikan sistem fisis yang
dipandang sebagai sistem mekanik ini,
Lagrange tetap menggunakan hukum kedua
Newton sebagai pijakan awal, kemudian
dilakukan perumuman sampai didapat
persamaan Lagrange
 L = T – V, Penurunan persamaan Lagrange
sudah banyak disajikan dalam berbagai
pustaka seperti Goldstein (1980), Fowles
(2002) dan Soedojo (2002).
 Berdasarkan 2 persamaan di atas dapat dikenali
dengan mudah bahwa mekanika Lagrange
memiliki beberapa ciri yakni tidak lagi
mengindahkan gaya-gaya yang bekerja dalam
sistem mekanik, hanya berkepentingan dengan
besaran skalar tenaga (kinetik dan potensial),
memandang sistem mekanik sebagai satu
kesatuan sehingga untuk menyelesaikannya tidak
dipecah menjadi kepingan-kepingan kecil seperti
dalam mekanika Newtonian.
 Karena itu, cara pandang Lagrangian merupakan
cara pandang yang holistik terhadap suatu sistem
mekanik (holisme).