Cabang-cabang Matematika Terapan
advertisement
CABANG-CABANG MATEMATIKA (MATEMATIKA TERAPAN DAN ARITMATIKA) OLEH: WA ODE ROSDALIAN (G2I1 13 005) SARNI (G2I1 13 002) ASNITA LA MBOSE (G2I1 13 004) LA ODE SALMIN (G2I1 13 003) TELY DARMAWANGSA (G2I1 13 001) PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS HALU OLEO PENDIDIKAN MATEMATIKA 2013 MATEMATIKA TERAPAN Matematika terapan merupakan cabang matematika yang terkait dengan tehnik matematika yang digunakan dalam aplikasi ilmu matematika untuk domain lain. Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis dan wilayah lainnya. (gumatika IPB,2011) Secara historis, matematika telah menjadi kebutuhan ilmu fisika yang telah mendorong perkembangan banyak bagian dari matematika, khususnya analisis. Aplikasinya kadang-kadang sulit untuk diklasifikasikan secara matematis, karena alat dari beberapa area dari matematika mungkin digunakan. Kita lebih fokus membahas bagaimana interaksi disiplin ilmu tersebut dengan matematika bukan untuk mendiskusikan sifat dasar dari disiplin ilmu tersebut. Sebagian besar area di kelompok ini secara kolektif dikenal sebagai “Matematika Fisika”. Sekarang ini, matematika semakin mutakhir dan digunakan oleh insinyur, biologi, dan ilmu sosial. Area dari penerapan matematika menurut “The Mathematical Atlas”; 1. Mekanika partikel dan sistem Mempelajari tentang dinamika dari kumpulan partikel atau benda padat, termasuk rotasi dan vibrasi benda. Menggunakan prinsip variasional (minimisasi energi) maupun persamaan diferensial. Jelas bahwa studi tentang sistem dinamika memerlukan persamaan diferensial. Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan diferensial; Lintasan peluru yang ditembakkan dari meriam mengikuti kurva yang ditentukan lewat persamaan diferensial parsial yang diturunkan dari hukum kedua Newton untuk gerakan partikel (peluru) dengan massa konstan m. Pada umumnya, gaya F tergantung kepada posisi partikel x(t) waktu t, dan demikian fungsi yang tidak diketahui x(t) muncul pada kedua ruas persamaan diferensial, seperti yang diindikasikan dalam notasi F(x(t)). Contoh sederhana lain, misalnya gaya pada pengambilan air dari sumur yang menggunakan katrol, sistem katrol melibatkan hubungan dua buah benda atau lebih yang melalui sebuah katrol. Sistem katrol terdiri atas tali, katrol dan benda. Pada bagian ini sistem katrol bekerja tanpa gesekan, Mekanika partikel, studi tentang partikel bisa digunakan oleh atlet panahan atau atlet tembak untuk keakuratan proyektil atau panah yang dilepaskan. Juga dipakai pada teknologi terapi kanker dengan hadron. Hadron merupakan salah satu klasifikasi partikel, dan saat ini teknologi terapi medis dengan menggunakan hadron (proton, antiproton, dan inti atom karbon) sudah mulai dikembangkan. Teknologi terapi ini memerlukan sumber hadron yang dapat dikontrol dengan akurat, dan teknologi untuk sumber hadron tersebut tersedia dari teknologi fisika partikel eksperimen. 2. Mekanika fluida Mempelajari tentang udara, air dan fluida lain dalam gerakan: tekanan, turbulensi, difusi, persamaan gelombang dan lainnya. Secara matematis ini termasuk studi tentang solusi dari persamaan diferensial, termasuk metode numerik (mis; metode elemen finite), meskipun pengembangan dari tehnik ini lebih tepat dengan analisis numerik. Contoh pada persamaan difusi kalor pada batang logam dengan T = suhu, menggunakan persamaan diferensial: ∇2 = 1 ππ πΌ 2 ππ Difusi kalor terjadi dari tempat yang temperaturnya lebih tinggi ke tempat yang temperaturnya lebih rendah. Jika dibatasi arah difusi hanya ke sb x saja, maka temperatur di setiap titik pada batang logam akan bergantung pada posisi x dan waktu t. Difusi kalor terjadi dari tempat yang temperaturnya lebih tinggi ke tempat yang temperaturnya lebih rendah. Jika dibatasi arah difusi hanya ke sb x saja, maka temperatur di setiap titik pada batang logam akan bergantung pada posisi x dan waktu t. Studi tentang mekanika fluida banyak dipakai oleh engineering untuk mendesain jaring-jaring pipa saluran, pompa, turbin, alat-alat mekanik, pembuatan barang-barang plastik, dan lain-lain. Selain itu, ilmu tentang mekanika fluida dipakai juga pada sistem karburator kendaraan bermotor. Dalam karburator, aliran udara yang masuk ke dalam mesin akan dicampur dengan bahan bakar, sehingga mengubahnya menjadi energi. Persamaan Navier-Stokes memiliki bentuk persamaan diferensial yang menerangkan pergerakan suatu fluida. Persamaan seperti ini menggambarkan hubungan laju perubahan suatu variable terhadap variable lain. Untuk mendapat hasil dari suatu permasalahan fisika menggunakan persamaan Navier-Stokes perlu digunakan ilmu kalkulus. Secara praktis, hanya kasus-kasus sederhana yang dapat dipecahkan dengan cara ini. Untuk kasus-kasus kompleks, seperti system udara global (EL Nino) atau daya angkat udara pada sayap, penyelesaian persamaan persamaan Navier-Stokes hingga saat ini hanya mampu diperoleh dengan bantuan komputer. Mekanika fluida memegang peranan penting dalam kehidupan kita dan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan baik tanpa menggunakan persamaan matematis. 3. Optik, teori elektromagnetik Studi tentang persamaan dan evolusi gelombang elektromagnetik, termasuk topik dari interferensi dan difraksi. Selain cabang biasa dari analisis, area ini termasuk topik geometri seperti jalan dari sinar cahaya. Contohnya, cahaya yang merambat sepanjang serat optik mengalami penurunan energi secara eksponensial terhadap jaraknya. Jika P (0) adalah daya optik awal dalam serat (pada z = 0)dan P (z) adalah daya optik setelah menempuh z, maka diperoleh hubungan sebagai berikut: π(π§) = π(0)π −πΌππ§ 1 π(0) πΌπ = ππ [ ] π§ π(π§) Contoh lain penerapan matematika pada bidang ini yaitu pemantulan cahaya, perhatikan gambar di bawah ini; Menurut Prinsip Fermat letak titik O harus sedemikian rupa sehingga waktu tempuh cahaya yang melewati titik ini dari A ke B adalah minimum. Dengan kata lain lintasan yang ditempuh oleh cahaya dari A ke B haruslah minimum sehingga berdasarkan syarat dalam metode kalkulus diharuskan menuliskanya dalam kasus . Maka kita dapat ini menjadi dengan melihat gambar kita dapat menuliskan persamaan menjadi; Atau Ini adalah hukum pemantulan cahaya. Teori elektromagnetik banyak digunakan pada bidang kedokteran, aplikasi sinar-x, dan lain-lain. Gelombang elektromagnet dapat mengalami refleksi, refraksi (pembelokan), difraksi, Interferensi, dan polarisasi. Berikut adalah penerapan gelombang elektromagnetik dalam kehidupan sehari-hari; a. Sinar Gamma Sinar Gamma mempunyai daya tembus sangat tinggi, maka sinar gamma digunakan dalam berbagai bidang . antara lain : 1. Industri, untuk mengetahui struktur logam 2. Pertanian, untuk membuat bibit unggul 3. kedokteran, untuk terapi dan diagnosa ,dan 4. Farmasi, untuk sterilisasi b. Sinar - X Sinar – X mempunyai daya tembus besar . dalam bidang kedokteran sinar ini digunakan untuk membuat gambar organ tubuh bagian dalam. c. Sinar Ultraviolet Sinar Ultraviolet mempunyai daya kimia yang besar karena membentuk jasad renik . Sinar ultraviolet dipakai sebagai sterilisasi . d. Sinar Tampak Sinar ini merupakan gelombang yang sangat penting bagi makhluk hidup . dengan gelombang ini orang bisa membuat alat-alat optik . e. Sinar Inframerah Sinar ini banyak digunakan untuk penelitian struktur atom dan pemotretan rahasia . f. Radar sifat pantulan gelombang radar sangat baik, maka gelombang ini banyak digunakan untuk menetukan jarak suatu tempat dengan baik dan cepat . g. Radio gelombang radio digunakan sebagai pembawa informasi . gelombang ini dapat di pantulkan oleh lapisan ionosfer sehingga dapat mencapai daerah yang luas di bumi . 4. Termodinamika klasik, perpindahan panas Studi tentang aliran panas melalui materi, termasuk fase perubahan dan pembakaran. Secara historis, sumbernya dari deret fourier. Termodinamika klasik menggarap keadaan sistem dari sudut pandang makroskopik dan tidak membuat hipotesa mengenai struktur zat. Untuk membuat analisa termodinamika klasik kita perlu menguraikan keadaan suatu sistem dengan perincian mengenai karakteristik-karakteristik keseluruhannya seperti tekanan , volume dan temperature yang dapat diukur secara langsung. Misalnya pada persamaan Laplace, pada kasus fisika distribusi keadaan mantap termperatur dalam ruang yang dibatasi pelat semi tak hingga, maka persamaan Laplace: π 2π π 2π + =0 ππ₯ 2 ππ¦ 2 Distribusi panas pada pelat merupakan rambatan panas yang merambat secara konduksi. Panas yang dialirkan pada bagian pelat akan merambat dan terdistribusi dengan sendirinya sehingga temperatur dalam bagian pelat akan mencapai distribusi suhu yang konstan pada waktu t. Termodinamika klasik, perpindahan panas dapat kita lihat pada suatu sistem dapat berupa seperangkat mesin, refrigerant pada mesin pendingin, uap air dalam turbin, jaringan otot makhluk hidup dan sebagainya. Jika pada sistem itu dapat terjadi pertukaran energi dengan lingkungannya, misalnya melalui konduksi, maka sistem itu disebut sebagai sistem termodinamika. Sebagai contoh, perhatikan sebuah panci tertutup yang penuh berisi air. Ketika panci dipanaskan diatas kompor, energi diberikan ke dalam air melalui peristiwa konduksi. Ketika air mendidih, air mampu mengangkat tutup panci. Peristiwa ini dapat kita jumpai pada saat kita memanaskan air. Dalam peristiwa ini keadaan air berubah, karena pada saat mendidih, volume, suhu dan tekanan berubah. Proses semacam ini dikenal sebagai proses termodinamika. Dalam sistem termodinamika, kita perlu mendefinisikan sistem dengan jelas. Misalnya, pada proses pemanasan air diatas, yang dimaksud sistem adalah air, tetapi tidak termasuk panci, tutup dan kompor. 5. Teori Kuantum Studi tentang energi bahwa energi itu tidak kontinu tapi diskrit berupa paket atau kuanta yang bertentangan dengan fisika klasik yang berasumsi bahwa energi itu berkesinambungan. Studi ini solusi dari persamaan diferensial! Juga termasuk cukup banyak teori grup Lie dan teori grup kuantum, teori distribusi dan topik dari fungsi analisis, problem Yang-Mill, diagram Feynman dan sebagainya. Misalkan A adalah sebuah observabel dari sistem kuantum, dan keadaan dianggap tetap dan diberikan oleh π0 . Evolusi waktu dari observabel A diberikan oleh π΄π‘ = π(π‘) ∗ π΄π(π‘) Di mana U(t) adalah grup satu parameter dari operator uniter. Teori kuantum sangat penting dalam ilmu pengetahuan karena pada prinsipnya teori ini dapat digunakan untuk meramalkan sifat-sifat kimia dan fisika suatu zat. Kiprah mekanika kuantum di masa-masa mendatang barang kali masih akan tetap diperhitungkan. Misteri lain yang mungkin lebih besar barangkali masih tersimpan dalam teori kuantum itu. Paling tidak para ilmuwan berharap, dengan mengendarai kuantum mereka akan sampai pada tujuan mewujudkan impian berupa hadirnya perangkat fotonik serta gagasan pembuatan komputer fotonik (komputer kuantum) yang akan mencerahkan kehidupan manusia di awal milenium ketiga ini. 6. Mekanika statistika, struktur materi Studi dari sistem skala-besar dari partikel, termasuk sistem stokastik dan sistem pergeseran dan perkembangan. Mekanika statistik mempelajari prinsip-prinsip mekanika yang diterapkan pada suatu sistem banyak partikel dari segi pandang statistik untuk mencapai sifat-sifat makroskopik dari sistem. Sistem ini termasuk aplikasi teori probabilitas yang memasukkan matematika untuk menangani populasi besar ke bidang mekanika yang menangani gerakan partikel atau objek yang dikenai suatu gaya. Spesifikasi tipe materi pelajaran ini termasuk fluida, kristal, logam dan padatan lainnya. Jenis distribusi statistik yang digunakan adalah Maxwell Boltzman, Bose-Einstein dan fungsi partisi. Aplikasi dari mekanika statistik, salah satunya untuk mengetahui sifat-sifat makroskopik sistem dalam keseimbangan. Bidang ini memberikan kerangka untuk menghubungkan sifat mikroskopis atom dan molekul individu dengan sifat makroskopis atau limbak (bulk) materi yang diamati sehari-hari, dan menjelaskan termodinamika sebagai produk alami dari statistika dan mekanika (klasik dan kuantum) pada tingkat mikroskopis. Mekanika statistika khususnya dapat digunakan untuk menghitung sifat termodinamika materi limbak berdasarkan data spektroskopis dari molekul individual. Sebagai contoh dari sudut pandang termodinamika klasik, orang mungkin bertanya apa itu sebuah sistem termodinamika dari molekul-molekul gas, seperti ammonia NH3 yang menentukan karakteristik energi bebas dari senyawa tersebut? termodinamika klasik tidak memberikan jawaban tersebut. Apabila kita diberikan data spektroskopi dari kumpulan molekul-molekul gas, seperti panjang ikatan, sudut ikatan, rotasi ikatan dan fleksibilitas dari ikatan-ikatan dalam NH3, kita akan melihat bahwa energi bebas tidak lain adalah hal-hal tersebut. Untuk membuktikan kebenaran ini, kita perlu menjembatani pemisah antara bidang mikroskopik dari atom-atom dan molekul-molekul dan bidang makroskopik dari termodinamika klasik. Dari fisika, mekanika statistik menyediakan semacam jembatan dengan mengajarkan kita bagaimana untuk memahami sistem termodinamika sebagai suatu kesatuan dari banyak unit. Secara lebih spesifik hal tersebut menunjukkan bagaimana parameterparameter termodinamika dari suatu sistem, seperti temperatur dan tekanan dapat diinterpretasikan dalam hubungan parameter-parameter deskriptif dari elemen utama atom-atom dan molekul-molekul. 7. Teori relativitas dan gravitasi Mempelajari geometri diferensial, analisis dan teori grup yang digunakan untuk fisika pada skala besar atau dalam situasi ekstrim (mis. black holes dan kosmologi). Misalnya pada penerapan teori relativitas umum pada persamaan gravitasi Einsten, . Pertama kali akan diturunkan solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek statik bermassa M yang diletakkan pada pusat koordinat dengan pemilihan koordinat empat dimensi berupa tiga dimensi koordinat ruang polar ( r ,π ,π ) dan satu dimensi koordinat waktu (t), hal ini merupakan penerapan dari geometri diferensial. Pada tahun 1915, Einstein menerbitkan serangkaian persamaan diferensial yang dikenal sebagai persamaan medan Einstein. Relativitas umum Einstein menggambarkan alam semesta sebagai suatu sistem geometris tiga ruang dan satu dimensi waktu. Kehadiran massa, energi, dan momentum (kuantutasi secara kolektif sebagai kepadatan massa-energi atau tekanan-energi) yang dihasilkan dalam tekukan sistem koordinat ruang-waktu. Gravitasi, oleh karena itu, merupakan sebuah pergerakan sepanjang “sederhana” atau paling tidak rute energetik sepanjang lengkungan ruang-waktu. Pada bentuk yang sederhana, dan menghilangkan matematika yang kompleks, Einstein menemukan hubungan antara kelengkungan ruang-waktu dengan kerapatan massa-energi: (Kelengkungan ruang-waktu) = (kerapatan massa-energi)*8µG/c4 Persamaan tersebut menunjukkan hubungan secara langsung, proporsional terhadap kontanta. Kontanta gravitasi G, berasal dari hukum Newton untuk gravitasi, sementara ketergantungan terhadap kecepatan cahaya, c, adalah berasal dari teori relativitas khusus. Dalam kasus nol (atau mendekati nol) (yaitu ruang hampa), ruangwaktu berbentuk datar. Gravitasi klasik adalah kasus khusus untuk manifestasi gravitasi pada medan gravitasi lemah, dimana bentuk c4 (denominator yang sangat besar) dan G (nilai yang sangat kecil) membuat koreksi kelengkungan kecil. Sekali lagi, Einstein tidak tidak keluar dari topik. Dia bekerja keras dengan geometri Riemannian (geometri non Euclidean yang dikembangkan oleh matematikawan Bernhard Riemann beberapa tahun sebelumnya), meskipun ruang yang dihasilkan adalah 4 dimensi Lorentzian bermacam-macam daripada geometri Riemann ketat. Namun, karya Riemann sangat penting bagi persamaan medan Einstein. Untuk analogi relativitas umum, pertimbangkan bahwa kamu membentangkan sebuah seprai atau suatu lembaran yang datar dan elastik. Sekarang kamu meletakkan sesuatu dengan berat yang bervariasi pada lembaran tersebut. Jika kita menempatkan sesuatu yang sangat ringan maka bentuk seprai akan sedikit lebih turun sesuai dengan berat benda tersebut. Tetaoi jika kamu meletakkan sesuatu yang berat, maka akan terjadi kelengkungan yang lebih besar. Asumsikan terdapat benda yang berat berada pada lembaran tersebut, dan kamu meletakkan benda lain yang lebih ringan di dekatnya. Kelengkungan yang diciptakan oleh benda yang lebih berat akan menyebabkan benda yang lebih ringan “terpeleset” disepanjang kurva ke arah kurva tersebut, karena benda yang lebih ringan mencoba untuk mencapai keseimbangan sampai pada akhirnya benda tersebut tidak bergerak lagi (dalam kasus ini, tentu saja terdapat pertimbangan lain, misalnya bentuk dari benda tersebut, sebuah bola akan menggelinding, sedangkan kubus akan terperosot, karena pengaruh gesekan atau semacamnya). Hal ini serupa dengan bagaimana relativitas umum menjelaskan gravitasi. Kelengkungan dari cahaya bukan karena beratnya, tetapi kelengkungan yang diciptakan oleh benda berat lain yang membuat kita tetap melayang di luar angkasa. Kelengkungan yang diciptakan oleh bumi membuat bulan tetap bergerak sesuai dengan orbitnya, tetapi pada waktu yang sama, kelengkungan yang diciptakan bulan cukup untuk mempengaruhi pasang surut air laut. 8. Astronomi dan astrofisika Merupakan ilmu mekanika yang berhubungan dengan angkasa, secara matematis, bagian dari mekanika partikel, aplikasi dalam area ini kelihatan pada struktur, evolusi, dan interaksi dari bintang-bintang dan galaksi. Area ini berhubungan dengan mekanika partikel yang menggunakan persamaan diferensial. Astronomi adalah ilmu tertua yang dimiliki oleh manusia. Dimulainya astronomi yang berdasarkan perhitungan matematis dan ilmiah dipelopori oleh bangsa Babilonia. Mereka menemukan bahwa gerhana bulan memiliki siklus yang teratur, disebut siklus saros. Mengikuti jejak astronom-astronom Babilonia, kemajuan demi kemajuan kemudian dicapai oleh astronom Yunani Kuno yang sedari awal bertujuan untuk menemukan penjelasan yang rasional dan berbasis fisika untuk fenomena-fenomena angkasa. Astronomi merupakan ilmu yang mengungkapkan apaapa saja yang terjadi di jagad raya. Ilmu yang meneliti objek tak tersentuh, yaitu benda-benda langit seperti bintang, planet, komet, nebula, galaksi, matahari, bulan, gugus bintang dan berbagai fenomena alam yang terjadi di luar angkasa. Astronomi digunakan dalam sistem penanggalan. Astronomi mempelajari tanda-tanda di luar atmosfer bumi beserta sifat kimia dan fisika yang dimiliki benda tersebut sedangkan astrofisika mempelajari tentang sifat fisik, tingkah laku, proses pergerakan benda-benda langit dan fenomena yang terjadi. Beberapa contoh proses yang ditelaah oleh astronomi dan astrofisika; Proses Fisik Alat Eksperimen Model Teoritis Yang dijelaskan/diprediksi Gravitasi Teleskop radio Fusi Nuklir Spektroskop Sistem gravitasi Lahirnya sebuah tata yang mandiri bintang Evolusi Bagaimana berpijar, bintang bagaimana logam terbentuk Big Bang Teleskop (Dentuman besar) Luar Alam angkasa Hubble Fluktuasi kuantum semesta Usia alam semesta yang mengembang Inflasi kosmik Masalah kerataan alam semesta Keruntuhan Astronomi sinar-x gravitasi Relativitas umum Sekumpulan lubang hitam di pusat galaksi andromeda 9. Teori sistem, kontrol Ini adalah studi matematika dari struktur dinamika kompleks dalam teknik mesin. Seseorang dapat mencoba tes matematika atau statistika untuk identifikasi sistem, yaitu, untuk menarik kesimpulan hukum evolusi yang menentukan sistem. Seseorang dapat mencoba sistem kontrol, yaitu, untuk menentukan input yang tepat (mis. Kondisi awal untuk persamaan diferensial) sehingga sistem menunjukkan output yang diinginkan; misalnya ini digunakan pada bidang “robotic”. Jelasnya sistem analisis dan kontrol membutuhkan alat dari persamaan diferensial dan analisis fungsional, statistika, dan diferensial geometri (dalam kasus dari Kontrol Optimal). Analisis sistem kontrol memiliki sistem komponen yang tersusun dari komponen, maka analisis harus dimulai dari deskripsi matematika tiap komponen. Setelah model matematika kesuluruhan sistem diturunkan maka cara analisis digunakan . Contoh penerapan teori kontrol optimal pada pengadaan bahan mentah suatu perusahaan dengan harga yang terus berfluktuasi dan kapasitas gudang yang terbatas, misalnya pada suatu perusahaan pasti akan terus berkompetisi untuk meningkatkan produktivitas total melalui optimasi waktu, aliran kuantitas bahan mentah,, dan biaya. Harga bahan mentah yang berfluktuasi dan kapasitas gudang yang terbatas mendorong perusahaan-perusahaan untuk meningkatkan efisiensi pada pengadaan bahan mentah. Untuk menjawab hal itu digunakan teori kontrol optimal dalam menyelesaikan permasalahan optimasi dinamik pada pengadaan bahan mentah. teori kontrol optimal diterapkan untuk memodelkan biaya pengadaan secara just in time yang dikombinasikan dengan kebijakan pergudangan dan penundaan. 10. Biologi dan ilmu alam lainnya Ilmu untuk mencari pola matematis di lingkungan termasuk pada Kimia, Biologi, Genetika, dan Obat-obatan (Farmasi). Dalam kimia dan biokimia, jelas bahwa teori graf, diferensial geometri, dan persamaan diferensial memainkan peran. Biologi (termasuk taksonomi dan archaeobiologi) menggunakan statistika inferensi dan alat matematis lainnya. Grafik pertumbuhan eksponensial untuk melihat laju pertumbuhan untuk manusia, hewan, dan tumbuhan, serta grafik pertumbuhan logistik sangat penting dalam biologi. Misalnya, Model pertumbuhan logistik secara umum dapat dituliskan ππ π = π (1 − ) π ππ‘ πΎ Dimana N adalah kerapatan populasi, a adalah laju pertumbuhan instrintik dan K adalah titik jenuh (saturation level). Jika laju pertumbuhan suatu mahluk hidup meningkat maka grafik solusi untuk kasus K > π0 , a > 0 dapat dilihat pada gambar (gambar grafik pertumbuhan fungsi logistic naik); Grafik fungsi ini merupakan fungsi monoton naik yang memberikan penafsiran bahwa populasi akan terus bertambah dan tidak pernah berkurang. Untuk populasi dimana K < π0 , a > 0 grafik solusinya diilustrasikan pada gambar (grafik pertumbuhan fungsi logistic menurun); Grafik fungsi ini adalah fungsi monoton turun yang menggambarkan bahwa populasi akan terus berkurang dan tidak akan pernah bertambah. Model pertumbuhan logistik mengasumsikan bahwa pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium) yang mana pada titik ini jumlah kematian dan kelahiran dianggap sama, sehingga grafiknya mendekati konstan (zero growth). 11. Teori permainan, ekonomi, sosial dan perilaku Termasuk psikologi, sosiologi, dan ilmu-ilmu sosial lainnya. Ilmu tentang perilaku (termasuk Linguistik) menggunakan tehnik statistik. Ekonomi dan keuangan juga menggunakan statistika, khususnya analisis deret-ukur; beberapa topik seperti teori voting lebih ke kombinatorial. Kategori ini juga termasuk teori permainan, yang sebenarnya bukan mengenai permainan melainkan tentang optimisasi; yang mengarah pada hasil yang optimal. Teori Permainan adalah suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai persaingan. Teori ini dikembangkan untuk menganalisa proses pengambilan keputusan dari situasi persaingan yang berbeda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan. Contoh aplikasi teori permainan; 1. Kontrak dan program tawar menawar serta keputusan-keputusan penetapan harga. 2. Dua pebisnis yang saling bersaing dapat menggunakan teori permainan untuk menentukan strategi yang paling baik untuk mencapai tujuannya. 3. Militer juga bisa menggunakan teori permainan untuk menentukan strategi militer yang paling baik untuk memenangkan konlik dengan negara asing 4. Investor bisa menggunakan teori permainan untuk menentukan strategi terbaik ketika bersaing dengan investor lain dalam sebuah lelang obligasi pemerintah Pada bidang ekonomi dan bisnis teori teori permainan adalah metode utama yang digunakan dalam ekonomi matematika dan bisnis untuk pemodelan perilaku bersaing. Pengaplikasiannya termasuk beragam fenomena ekonomi dan pendekatan, seperti lelang, tawar-menawar, merger & akuisisi harga, pembagian yang adil, duopolies, oligopoli, pembentukan jaringan sosial, agent berbasis komputasi ekonomi, ekuilibrium umum, desain mekanisme, dan sistem voting, dan seluruh wilayah yang luas seperti ekonomi eksperimental, perilaku ekonomi, ekonomi informasi, organisasi industri, dan ekonomi politik. ARITMATIKA Aritmatika merupakan cabang Ilmu matematika yang paling tua yang mempelajari operasi dasar bilangan, cabang ilmu ini lebih dikenal dengan sebutan ilmu hitung. Kata "aritmatika" sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan. Ada empat operasi dasar aritmetika antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Keempatnya sering dipakai manusia dalam kehidupan sehari-hari. Perhitungan dalam aritmatika dilakukan menurut suatu urutan operasi yang menentukan operasi aritmatika yang mana lebih dulu dilakukan. Namun demikian, banyak orang yang lebih suka menggunakan alat-alat seperti kalkulator, komputer, atau sempoa untuk melakukan perhitungan aritmatika. Perkembangan terakhir di Indonesia berkembang mempelajari aritmatika dengan bantuan metoda jarimatika, yakni menggunakan jari-jari tangan untuk melakukan operasi kali, bagi, tambah dan kurang. Salah satu contoh dari arimatika adalah barisan dan deret. Misalkan U1, U2,U3,…, Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmatika, maka π1 + π2 + π3 + β― + ππ disebut deret aritmatika, dengan; ππ = π + (π − 1)π Aritmatika yang meliputi barisan aritmatika, barisan aritmatika, deret aritmatika dan deret geometri, aplikasinya dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi atau laba rugi suatu usaha. DAFTAR PUSTAKA Rusin, Dave, 2000, The Mathematicals Atlas, University of Texas, http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/index.html Perpustakaan Cyber, 2013, Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika, Mei 2013, http://perpustakaancyber.blogspot.com Wikipedia, 2013, Area of Mathematics, http://en.m.wikipedia.org/wiki/Areas_of_mathematics Wikipedia, 2013, Arimetika Cepat, http://en.m.wikipedia.org/wiki/Aritmetika_cepat Gumatika IPB, 2011, Matematika Terapan, http://gumatika.ipb.ac.id/2011/03/03/matematika-terapan/, 3 Maret 2011. Setyoko, Kurniawan Dedy, 2009, Gambaran Umum Teori Relativitas Einsten, http://kurniafisika.wordpress.com/2009/10/03/gambaran-umum-teori-relativitaseinstein/ Wikipedia, 2013, Mekanika http://en.m.wikipedia.org/wiki/Mekanika_statistik/ Statistik,
