3. sistem bilangan

19
3. SISTEM BILANGAN
Manusia purba diduga memulai bilangan dengan sistem paling sederhana sbb: 1, 2, 21,
22, 221, 222, 2221, 2222, . . . (basis dua) tetapi belum mengenal bilangan nol. Bilangan
berbasis dua modern dipakai dalam bahasa pemrograman komputer.
Pemilihan basis bilangan menyesuaikan pada alam sekitarnya, misal daun yang helainya
“dua-dua”, mata atau tangan yang kiri-kanan, jari tangan yang ada lima, dsb. Bilangan
basis 10 yang berlaku sekarang ini mengacu pada jumlah jari tangan kiri dan kanan yang
total ada 10. Bilangan berbasis 20 pernah yang mengacu pada seluruh jari tangan dan
kaki pernah berlaku di Perancis sehingga sampai sekarang masih ada istilah “quatre –
vingt” (4-vingth atau 4 “duapuluhan”) untuk mengatakan angka 80. Dalam
perdagangan kain juga ada istilah “kodi” dimana 1 kodi = 20 lembar kain. Istilah 1
dozen barang pecah belah (isinya @ 12 buah) adalah penerapan sistem bilangan
berbasis 12. Mungkin saja sistem 12-an ini mengacu pada jumlah kaki serangga yang 6.
Matematika – Bambang Triatma
20
CONTOH
Perbandingaan bilangan berbasis dua dan berbasis sepuluh.
0 0 1
1+
BASIS DUA
0 1 0
1 1 0
1+
1 1 1
BASIS SEPULUH
1+1=2
5+1=6
6+1=7
0 1 0
1+
0 1 1
0 1 1
1+
1 0 0
2+1=3
1 0 0
1+
1 0 1
3+1=4
Mengubah bilangan dari basis dua ke basis sepuluh:
111 basis dua = 1 empatan + 1 duaan + 1 satuan = (4 +
110 basis dua = 1 empatan + 1 duaan + 0 satuan = (4 +
101 basis dua = 1 empatan + 0 duaan + 1 satuan = (4 +
100 basis dua = 1 empatan + 0 duaan + 0 satuan = (4 +
011 basis dua = 0 empatan + 1 duaan + 1 satuan = (0 +
010 basis dua = 0 empatan + 1 duaan + 0 satuan = (0 +
001 basis dua = 0 empatan + 0 duaan + 1 satuan = (0 +
1 0 1
1+
1 1 0
4+1=5
2
2
0
0
2
2
0
+
+
+
+
+
+
+
1)
0)
1)
0)
1)
0)
1)
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
=
=
=
=
=
=
=
7
6
5
4
3
2
1
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
basis sepuluh
Satuan dalam basis DUA:
Satuan, Duaan, Empatan, Delapanan, Enambelasan, 32-an, 64-an, 128-an, 256-an, 512an, 1024-an dst.
20 an, 21 an, 22 an,
23 an,
24 an,
25 an, 26 an,
27 an, 28 an,
29 an,
10
2 an, dst.
Penulisan dengan simbol cuma 0 dan 1 disebut sistem biner (binary number) dan dipakai
dalam sistem memori komputer. Besar memori dalam chip komputer diukur dalam
satuan byte dimana 1024 byte = 1 kilobyte, sedangkan 1024 kilobyte = 1 megabyte,
lalu 1024 megabyte = 1 gigabyte. Sebaliknya 1 Gb = 1024 Mb, sedang 1 Mb = 1024 kb.
Karena 1024 = 210, maka 1 Gb = 210 Mb, sedang 1 Mb = 210 kb, lalu 1 kb = 1024 byte.
Sebagai gambaran, tulisan satu halaman penuh, satu spasi, pada Microsoft Word
memakan memori sebesar ≈ 10 kb atau 10 x 1024 byte.
Satuan dalam basis SEPULUH:
Satuan, Puluhan, Ratusan, Ribuan, Puluhan ribu, Ratusan ribu, dst.
100 an,
101 an,
102 an,
103 an,
104 an,
105 an,
Satuan dalam basis LIMA:
Satuan, Limaan, 25-an, 125-an,
50 an, 51 an,
52 an,
53 an,
Matematika – Bambang Triatma
625-an,
54 an,
3125-an, dst.
55 an,
dst.
dst.
21
SOAL
1. Ubahlah bilangan-bilangan basis dua berikut ini ke bilangan basis lima:
a. 1010 dua
b 11001 dua
c. 101100 dua
d. 1111001 dua
e. 10001100 dua
c. 101100111 dua
2. Selesaikan penjumlahan bilangan berbasis dua berikut ini (hasilnya tetap di basis
dua):
a. 1010 dua + 1 dua
b. 1010 dua + 10 dua
c. 1010 dua + 110 dua
c. 1010 dua +
1101 dua
3. Selesaikan pengurangan bilangan berbasis dua berikut ini (hasilnya tetap di basis
dua):
a. 1010 dua - 1 dua
b. 1010 dua - 10 dua
c. 1010 dua - 110 dua
c. 1010 dua - 1101 dua
4. Ubahlah bilangan basis 5 berikut ke basis 10: a. 10,
b. 20,
c. 241,
d. 2414,
e.
24410
SISTEM DECIMAL HINDU-ARAB
Simbol bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 disebut digit.
Notasi bilangan desimal misalnya:
312 = 3 ratusan + 1 puluhan + 2 satuan
= (3 x 100) + (1 x 10) + (2 x 1)
= (3 x 102) + (1 x 101) + (2 x 100)
Perkalian dan pembagian bilangan berpangkat (exponent):
am x an = a(m+n) Misal 23 x 24 = 2(3+4) = 27 = 128 (bahasa di komputer =2^7)
am
= a ( m− n )
n
a
1
.
8
Misal
1
27
27
( 7 −4)
3
=
=
8,
Jika
m
<
n,
contohnya:
=
2
= 2 ( 7 −10) = 2 −3 = 3 =
2
4
10
2
2
2
ALASAN BILANGAN BERPANGKAT (EKSPONEN):
Tahun 1858 seorang kolektor barang antik asal Scotlandia, A. Henry Rhind membeli
naskah kuno terbuat dari daun Papyrus, yang mula-mula ditemukan di reruntuhan
bangunan kuno di Thebes. Naskah itu sekarang disimpan di British Museum (Inggris),
isinya latihan matematika dari Egyptian (Mesir). Naskah itu kemudian terkenal sebagai
The Rhind Papyrus. Seorang sejarawan bernama Moritz Cantor menerjemahkan soal
no.79 pada naskah tersebut dan menemukan isinya mengenai alasan bilangan
berpangkat sbb:
Di suatu desa ada rumah sebanyak 7. Tiap rumah ada kucing sebanyak 7 ekor. Tiap
kucing makan tikus sebanyak 7 ekor. Tiap tikus makan gandum sebanyak 7 bulir. Tiap
bulir gandum membutuhkan pupuk sebanyak 7 wadah. Berapa total pupuk yang
dibutuhkan oleh desa tersebut? Jawabnya sbb:
Rumah
7
= 71 =
7
Kucing
7x7
= 72 =
49
Tikus
7x7x7
= 73 =
343
Gandum
7 x 7 x 7 x 7 = 74 = 2,401
Pupuk
7x7x7x7x7
= 75 = 16,807
TOTAL
19,607
Soal mirip di atas juga ditemukan di tulisan Leonardo Fibonacci (1170-1250) yang
kemudian terkenal sebagai deret Fibonacci.
BILANGAN DENGAN BERBAGAI BASIS SELAIN SEPULUH
CONTOH 1.
Nyatakan Bilangan 13 basis sepuluh ke dalam basis lima, tujuh, dan
delapan.
a. Bilangan basis lima terdiri atas : . . . , Seratusduapuluhlimaan, Duapuluhlimaan,
Limaan, dan Satuan.
Andai ada 13 butir kelereng, kelereng tersebut harus dikelompokkan ke dalam : Limaan
dan Satuan.
13 = 2 Limaan + 3 Satuan, oleh sebab itu 13 basis sepuluh = 23 basis lima.
b. Bilangan basis tujuh terdiri atas: . . . , Empatpuluhsembilanan, Tujuhan, dan Satuan.
Andai ada 13 butir telur, telur tersebut harus dikelompokkan ke dalam: Tujuhan dan
Satuan.
13 = 1 Tujuhan + 6 Satuan, oleh sebab itu 13 basis sepuluh = 16 basis tujuh.
Matematika – Bambang Triatma
22
c. Bilangan basis delapan terdiri atas: . . . , Enampuluhempatan, Delapanan, dan Satuan.
Andai ada 13 batang pensil, pensil tersebut harus dikelompokkan ke dalam: Delapanan
dan Satuan.
13 = 1 Delapanan + 5 Satuan, oleh sebab itu 13 basis sepuluh = 15 basis delapan.
Selanjutnya 13
basis sepuluh
cukup ditulis 13
sepuluh
, 16
basis tujuh
cukup ditulis 16
., dst.
tujuh
CONTOH 1
Tulislah bilangan-bilangan basis lima dan delapan berikut ke dalam basis
sepuluh (notasi desimal). a. 432 lima
b. 312 delapan.
JAWAB:
a. 432
lima
= 4 duapuluhlimaan + 3 limaan + 2 satuan
= 4 x (25)
+ 3 x (5)
+ 2 x (1)
= 4 x 52
+ 3 x 51
+ 2 x 50.
(Catatan 50 = 1, semua bilangan )
= 100
+ 15
+2
= 117
(Catatan 50 = 1, semua bilangan kecuali nol, jika dipangkatkan 0 hasilnya = 1)
b. 312
delapan
=
=
=
=
=
3 enampuluhempatan + 1 delapanan + 2 satuan
3 x (64)
+ 1 x (8)
+ 2 x (1)
3 x 82
+ 1 x 81
+ 2 x 80
192
+8
+2
202
Matematika – Bambang Triatma