19 3. SISTEM BILANGAN Manusia purba diduga memulai bilangan dengan sistem paling sederhana sbb: 1, 2, 21, 22, 221, 222, 2221, 2222, . . . (basis dua) tetapi belum mengenal bilangan nol. Bilangan berbasis dua modern dipakai dalam bahasa pemrograman komputer. Pemilihan basis bilangan menyesuaikan pada alam sekitarnya, misal daun yang helainya “dua-dua”, mata atau tangan yang kiri-kanan, jari tangan yang ada lima, dsb. Bilangan basis 10 yang berlaku sekarang ini mengacu pada jumlah jari tangan kiri dan kanan yang total ada 10. Bilangan berbasis 20 pernah yang mengacu pada seluruh jari tangan dan kaki pernah berlaku di Perancis sehingga sampai sekarang masih ada istilah “quatre – vingt” (4-vingth atau 4 “duapuluhan”) untuk mengatakan angka 80. Dalam perdagangan kain juga ada istilah “kodi” dimana 1 kodi = 20 lembar kain. Istilah 1 dozen barang pecah belah (isinya @ 12 buah) adalah penerapan sistem bilangan berbasis 12. Mungkin saja sistem 12-an ini mengacu pada jumlah kaki serangga yang 6. Matematika – Bambang Triatma 20 CONTOH Perbandingaan bilangan berbasis dua dan berbasis sepuluh. 0 0 1 1+ BASIS DUA 0 1 0 1 1 0 1+ 1 1 1 BASIS SEPULUH 1+1=2 5+1=6 6+1=7 0 1 0 1+ 0 1 1 0 1 1 1+ 1 0 0 2+1=3 1 0 0 1+ 1 0 1 3+1=4 Mengubah bilangan dari basis dua ke basis sepuluh: 111 basis dua = 1 empatan + 1 duaan + 1 satuan = (4 + 110 basis dua = 1 empatan + 1 duaan + 0 satuan = (4 + 101 basis dua = 1 empatan + 0 duaan + 1 satuan = (4 + 100 basis dua = 1 empatan + 0 duaan + 0 satuan = (4 + 011 basis dua = 0 empatan + 1 duaan + 1 satuan = (0 + 010 basis dua = 0 empatan + 1 duaan + 0 satuan = (0 + 001 basis dua = 0 empatan + 0 duaan + 1 satuan = (0 + 1 0 1 1+ 1 1 0 4+1=5 2 2 0 0 2 2 0 + + + + + + + 1) 0) 1) 0) 1) 0) 1) basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh = = = = = = = 7 6 5 4 3 2 1 basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh basis sepuluh Satuan dalam basis DUA: Satuan, Duaan, Empatan, Delapanan, Enambelasan, 32-an, 64-an, 128-an, 256-an, 512an, 1024-an dst. 20 an, 21 an, 22 an, 23 an, 24 an, 25 an, 26 an, 27 an, 28 an, 29 an, 10 2 an, dst. Penulisan dengan simbol cuma 0 dan 1 disebut sistem biner (binary number) dan dipakai dalam sistem memori komputer. Besar memori dalam chip komputer diukur dalam satuan byte dimana 1024 byte = 1 kilobyte, sedangkan 1024 kilobyte = 1 megabyte, lalu 1024 megabyte = 1 gigabyte. Sebaliknya 1 Gb = 1024 Mb, sedang 1 Mb = 1024 kb. Karena 1024 = 210, maka 1 Gb = 210 Mb, sedang 1 Mb = 210 kb, lalu 1 kb = 1024 byte. Sebagai gambaran, tulisan satu halaman penuh, satu spasi, pada Microsoft Word memakan memori sebesar ≈ 10 kb atau 10 x 1024 byte. Satuan dalam basis SEPULUH: Satuan, Puluhan, Ratusan, Ribuan, Puluhan ribu, Ratusan ribu, dst. 100 an, 101 an, 102 an, 103 an, 104 an, 105 an, Satuan dalam basis LIMA: Satuan, Limaan, 25-an, 125-an, 50 an, 51 an, 52 an, 53 an, Matematika – Bambang Triatma 625-an, 54 an, 3125-an, dst. 55 an, dst. dst. 21 SOAL 1. Ubahlah bilangan-bilangan basis dua berikut ini ke bilangan basis lima: a. 1010 dua b 11001 dua c. 101100 dua d. 1111001 dua e. 10001100 dua c. 101100111 dua 2. Selesaikan penjumlahan bilangan berbasis dua berikut ini (hasilnya tetap di basis dua): a. 1010 dua + 1 dua b. 1010 dua + 10 dua c. 1010 dua + 110 dua c. 1010 dua + 1101 dua 3. Selesaikan pengurangan bilangan berbasis dua berikut ini (hasilnya tetap di basis dua): a. 1010 dua - 1 dua b. 1010 dua - 10 dua c. 1010 dua - 110 dua c. 1010 dua - 1101 dua 4. Ubahlah bilangan basis 5 berikut ke basis 10: a. 10, b. 20, c. 241, d. 2414, e. 24410 SISTEM DECIMAL HINDU-ARAB Simbol bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 disebut digit. Notasi bilangan desimal misalnya: 312 = 3 ratusan + 1 puluhan + 2 satuan = (3 x 100) + (1 x 10) + (2 x 1) = (3 x 102) + (1 x 101) + (2 x 100) Perkalian dan pembagian bilangan berpangkat (exponent): am x an = a(m+n) Misal 23 x 24 = 2(3+4) = 27 = 128 (bahasa di komputer =2^7) am = a ( m− n ) n a 1 . 8 Misal 1 27 27 ( 7 −4) 3 = = 8, Jika m < n, contohnya: = 2 = 2 ( 7 −10) = 2 −3 = 3 = 2 4 10 2 2 2 ALASAN BILANGAN BERPANGKAT (EKSPONEN): Tahun 1858 seorang kolektor barang antik asal Scotlandia, A. Henry Rhind membeli naskah kuno terbuat dari daun Papyrus, yang mula-mula ditemukan di reruntuhan bangunan kuno di Thebes. Naskah itu sekarang disimpan di British Museum (Inggris), isinya latihan matematika dari Egyptian (Mesir). Naskah itu kemudian terkenal sebagai The Rhind Papyrus. Seorang sejarawan bernama Moritz Cantor menerjemahkan soal no.79 pada naskah tersebut dan menemukan isinya mengenai alasan bilangan berpangkat sbb: Di suatu desa ada rumah sebanyak 7. Tiap rumah ada kucing sebanyak 7 ekor. Tiap kucing makan tikus sebanyak 7 ekor. Tiap tikus makan gandum sebanyak 7 bulir. Tiap bulir gandum membutuhkan pupuk sebanyak 7 wadah. Berapa total pupuk yang dibutuhkan oleh desa tersebut? Jawabnya sbb: Rumah 7 = 71 = 7 Kucing 7x7 = 72 = 49 Tikus 7x7x7 = 73 = 343 Gandum 7 x 7 x 7 x 7 = 74 = 2,401 Pupuk 7x7x7x7x7 = 75 = 16,807 TOTAL 19,607 Soal mirip di atas juga ditemukan di tulisan Leonardo Fibonacci (1170-1250) yang kemudian terkenal sebagai deret Fibonacci. BILANGAN DENGAN BERBAGAI BASIS SELAIN SEPULUH CONTOH 1. Nyatakan Bilangan 13 basis sepuluh ke dalam basis lima, tujuh, dan delapan. a. Bilangan basis lima terdiri atas : . . . , Seratusduapuluhlimaan, Duapuluhlimaan, Limaan, dan Satuan. Andai ada 13 butir kelereng, kelereng tersebut harus dikelompokkan ke dalam : Limaan dan Satuan. 13 = 2 Limaan + 3 Satuan, oleh sebab itu 13 basis sepuluh = 23 basis lima. b. Bilangan basis tujuh terdiri atas: . . . , Empatpuluhsembilanan, Tujuhan, dan Satuan. Andai ada 13 butir telur, telur tersebut harus dikelompokkan ke dalam: Tujuhan dan Satuan. 13 = 1 Tujuhan + 6 Satuan, oleh sebab itu 13 basis sepuluh = 16 basis tujuh. Matematika – Bambang Triatma 22 c. Bilangan basis delapan terdiri atas: . . . , Enampuluhempatan, Delapanan, dan Satuan. Andai ada 13 batang pensil, pensil tersebut harus dikelompokkan ke dalam: Delapanan dan Satuan. 13 = 1 Delapanan + 5 Satuan, oleh sebab itu 13 basis sepuluh = 15 basis delapan. Selanjutnya 13 basis sepuluh cukup ditulis 13 sepuluh , 16 basis tujuh cukup ditulis 16 ., dst. tujuh CONTOH 1 Tulislah bilangan-bilangan basis lima dan delapan berikut ke dalam basis sepuluh (notasi desimal). a. 432 lima b. 312 delapan. JAWAB: a. 432 lima = 4 duapuluhlimaan + 3 limaan + 2 satuan = 4 x (25) + 3 x (5) + 2 x (1) = 4 x 52 + 3 x 51 + 2 x 50. (Catatan 50 = 1, semua bilangan ) = 100 + 15 +2 = 117 (Catatan 50 = 1, semua bilangan kecuali nol, jika dipangkatkan 0 hasilnya = 1) b. 312 delapan = = = = = 3 enampuluhempatan + 1 delapanan + 2 satuan 3 x (64) + 1 x (8) + 2 x (1) 3 x 82 + 1 x 81 + 2 x 80 192 +8 +2 202 Matematika – Bambang Triatma