Nama Penulis 1, Penulis 2, Penulis 3

Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster)
Volume 01, No. 1 (2012), hal 9 – 14.
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TAK LINEAR DENGAN
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL
Rahayu, Sugiatno, Bayu Prihandono
INTISARI
Secara umum, persamaan diferensial biasa tak linear dapat diselesaikan dengan linearisasi. Namun, tidak
semua persamaan diferensial biasa tak linear dapat langsung dilinearisasi. Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear adalah metode transformasi
diferensial. Metode ini dapat digunakan tanpa linearisasi. Artikel ini membahas penyelesaian persamaan
dieferensial biasa tak linear yaitu persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial
untuk menentukan solusinya. Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi
diferensial dilakukan dengan mentrasnformasikan persamaan sesuai dengan definisi transformasi
diferensial. Dengan mensubstitusikan setiap bilangan bulat positif dan bilangan 0 pada transfromasi
diferensial, diperoleh nilai transformasi yang kemudian disubstitusikan pada invers transformasi
diferensial. Invers yang diperoleh merupakan solusi dari persamaan diferensial. Hasil penelitian
menunjukkan bahwa metode transformasi diferensial merupakan metode alternatif untuk menyelesaikan
persamaan diferensial biasa tak linear tanpa linearisasi.
Kata Kunci: linearisasi, persamaan diferensial Riccati, transformasi diferensial.
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari, tidak jarang ditemui permasalahan yang dapat dirumuskan dalam
bentuk persamaan diferensial biasa tak linear. Pada umumnya, persamaan diferensial biasa tak linear
diselesaikan dengan linearisasi terlebih dahulu untuk selanjutnya diselesaikan dengan metode
pernyelesaian persamaan diferensial linear. Pada tahun 1986, Zhou memperkenalkan suatu metode
yang dapat diterapkan pada persamaan tak linear tanpa linearisasi. Metode ini telah banyak diterapkan
untuk menyelesaikan berbagai persamaan, diantaranya masalah Planar Bratu dimensi satu [1],
persamaan diferensial Riccati [2], masalah Cauchy Reaction-Diffusion [3], masalah Goursat [4], dan
Dispersive Long-Wave Equation [5]. Pada artikel ini, metode transformasi diferensial akan diterapkan
untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear yaitu persamaan diferensial Riccati orde
satu dan orde dua.
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji sifat-sifat transformasi diferensial dan mempelajari
langkah-langkah menentukan penyelesaian persamaan diferensial biasa tak linear dengan metode
transformasi diferensial serta menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear dengan metode
transformasi diferensial.
Rangkaian penelitian yang dilakukan oleh penulis diawali dengan mempelajari definisi dan sifatsifat transformasi diferensial, serta langkah-langkah penyelesaian persamaan diferensial biasa tak
linear orde satu dan orde dua dengan metode transformasi diferensial, kemudian menerapkan metode
transformasi diferensial pada persamaan diferensial Riccati.
Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial dilakukan
dengan mentransformasikan persamaan diferensial Riccati sesuai dengan sifat-sifat transformasi
diferensial. Nilai awal dari persamaan diferensial biasa yang telah diketahui ditransformasikan sesuai
dengan definisi transformasi diferensial. Diambil setiap k suatu bilangan bulat positif dan bilangan 0,
kemudian disubstitusikan pada transformasi diferensial dari persamaan diferensial Riccati hingga
diperoleh suatu nilai transformasi. Nilai-nilai yang diperoleh disubstitusikan pada invers transformasi
diferensial. Invers transformasi diferensial yang diperoleh merupakan solusi dari persamaan
diferensial Riccati.
9
10
RAHAYU, SUGIATNO DAN B. PRIHANDONO
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL
Transformasi diferensial merupakan suatu langkah iteratif untuk memperoleh solusi analitik deret
Taylor dari persamaan diferensial [6]. Transformasi diferensial diperkenalkan pertama kali oleh Zhou
pada tahun 1986 untuk menyelesaikan permasalahan nilai awal yang linear dan tak linear pada analisis
sirkuit listrik.
Definisi dasar dari transformasi diferensial untuk suatu fungsi yang analitik pada domain D yaitu
fungsi yang mempunyai turunan pada setiap titik di persekitaran domain D yang dinyatakan dalam [6]
sebagai berikut.
dengan
merupakan fungsi asli dan
merupakan fungsi transformasi. Suatu fungsi
dapat dinyatakan dalam bentuk deret Taylor, yaitu
Berdasarkan
, maka
di
menjadi
yang disebut sebagai invers transformasi diferensial. Dari
dapat dikatakan bahwa konsep dari
transformasi diferensial diturunkan dari deret Taylor [1].
Berdasarkan
dan
dapat ditentukan sifat-sifat operasi dari transformasi diferensial, yaitu
sebagai berikut.
Sifat 1. Penjumlahan dan Pengurangan
Jika
, maka
.
Bukti:
Turunan ke- dari
adalah:
Dengan mengalikan kedua ruas dengan
Sifat 2. Perkalian dengan Konstanta
Jika
, maka
Bukti:
Turunan ke- dari persamaan
Jika dikalikan kedua ruas dengan
, diperoleh:
, untuk
konstanta.
untuk
suatu konstanta adalah:
maka diperoleh:
Sifat 3. Turunan Pertama
Jika
Bukti:
, maka
.
Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Tak Linear Dengan Metode Transformasi Diferensial
Turunan ke-
dari
adalah
Jika kedua ruas dikalikan dengan
maka akan diperoleh:
Selanjutnya akan dikalikan ruas kanan dengan
.
Sifat 4. Turunan KeJika
, maka
.
Bukti:
Turunan ke-
dari
adalah:
Jika dikalikan kedua ruas dengan
maka diperoleh:
Selanjutnya, ruas kanan dikalikan dengan
Sifat 5. Perkalian
Jika
Bukti:
Turunan ke-
, maka
dari
Jika dikalikan kedua ruas dengan
adalah:
maka diperoleh:
sehingga diperoleh:
11
12
RAHAYU, SUGIATNO DAN B. PRIHANDONO
Sifat 6. Perkalian
Jika
fungsi
, maka
Bukti:
Dimisalkan
Sehingga
Berdasarkan sifat 5 diperoleh
.
dengan
Sehingga
Sifat 7. Fungsi Varibel Bebas
Jika
Bukti:
Turunan ke-
, maka
dari
adalah:
Kedua ruas dikalikan dengan , sehingga diperoleh:
i. Untuk
ii. Untuk
Ambil sebarang
.
Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Tak Linear Dengan Metode Transformasi Diferensial
13
Sifat 8. Fungsi Konstanta
Jika
, maka
Bukti:
Turunan ke- dari
Untuk
,
Untuk
adalah:
,
Pada artikel ini, penggunaan transformasi diferensial digunakan untuk menyelesaikan persamaan
diferensial biasa tak linear orde satu dan orde dua. Salah satu contoh persamaan diferensial biasa tak
linear adalah persamaan diferensial Riccati. Persamaan diferensial Riccati merupakan dasar dari
persamaan diferensial biasa tak linear yang membentuk banyak persamaan dalam berbagai bidang
misalnya matematika dan fisika. Penamaan Riccati diambil dari nama akhir seorang matematikawan
Italia yang bernama Jacopo Fransesco Riccati.
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TAK LINEAR ORDE SATU
Salah satu contoh bentuk persamaan diferensial Riccati adalah
dengan nilai awal
.
Berdasarkan sifat transformasi diferensial, diperoleh:
1. Transformasi diferensial dari
adalah
2. Tranformasi diferensial dari
3. Transformasi diferensial dari
4. Transformasi diferensial dari
(sifat 3).
berdasarkan sifat 2 adalah
berdasarkan sifat 5 adalah
.
berdasarkan sifat 8 adalah
Sehingga diperoleh transfromasi dari
, berdasarkan sifat 1 yaitu
Berdasarkan
diperoleh transformasi diferensial dari nilai awal yaitu
Substitusi setiap nilai
pada
menghasilkan nilai-nilai berikut.
,
Berdasarkan
,
,
,
. Selanjutnya,
,
, diperoleh
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TAK LINEAR ORDE DUA
Persamaan diferensial biasa tak linear orde dua yang akan diselesaikan dengan metode transformasi
diferensial adalah persamaan diferensial Riccati orde dua berikut.
14
dengan nilai awal
Transformasi dari
RAHAYU, SUGIATNO DAN B. PRIHANDONO
dan
adalah
.
Transformasi nilai awalnya adalah
Substitusi nilai
pada
,
dan
menghasilkan
,
,
.
,
,
Sehingga diperoleh
PENUTUP
Pada penelitian ini, metode transformasi diferensial diterapkan untuk menyelesaian persamaan
diferensial biasa tak linier yaitu persamaan diferensial Riccati orde satu dan orde dua. Hasil penelitian
menunjukkan bahwa metode transformasi diferensial merupakan suatu metode alternatif untuk
menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear tanpa linearisasi.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Hasan, I.H.A.H and Ertürk, V.S. Applying Differential Transformation Method to the OneDimensional Planar Bratu Problem. Int. J. Contemp. Math. Sciences. 2007; 30(2):1493-1504.
[2] Biazar, J. and Eslami. M. Differential Transformation Method for Quadratic Riccati Differential
Equation. International Journal of Nonlinear Science. 2010; 4(9):444-447.
[3] Othman, M.I.A. and Mahdy, A.M.S. Differential Transformation Method and Variation Iteration
Method for Cauchy Reaction-Diffusion Problems. Journal of Mathematics and Computer
Science. 2010; 2(1):61-75.
[4] Taghvafard, H. and Erjaee, G. H. Two-Dimensional Differential Transform Method for Solving
Linear and Non-linear Goursat Problem. International Journal of Information and Mathematical
Sciences. 2010; 6:100-103.
[5] Mohamed, M. A., Comparison Differential Transformation Technique with Adomian
Decomposition Method for Dispersive Long-Wave Equations in (2+1)-Dimensions. Application
and Applied Mathematics: An International Journal (AAM). 2010 Jun; 1(5):148-166.
[6] Attarnejad, R. and Shahba, A. Application of Differential Transform Method in Free Vibration
Analysis of Rotating Non-Prismatic Beams. World Applied Sciences Journal. 2008; 5(4):441448.
Rahayu
: Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, [email protected]
Sugiatno
: Jurusan Matematika PMIPA FKIP UNTAN, Pontianak, [email protected]
Bayu Prihandono : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, [email protected]