Syarat Cukup Osilasi Persamaan Diferensial Linier

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
T - 10
Syarat Cukup Osilasi Persamaan Diferensial Linier
Homogen Orde Dua Dengan Redaman
Maulana Malik, Sri Mardiyati
Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia
email : [email protected]
Abstrak—Osilasi merupakan sifat dari solusi persamaan diferensial. Penentuan
berosilasinya solusi persamaan diferensial dapat ditentukan dari persamaan diferensial
yang diberikan. Dalam teorinya, penentuan osilasi suatu persamaan diferensial
merupakan hal yang dapat membantu saat pencarian solusi dengan menggunakan
metode numerik. Pada tulisan ini dibahas beberapa syarat cukup osilasi persamaan
diferensial linier homogen orde dua dengan redaman, dimana syarat cukup osilasi
yang diberikan bergantung pada kondisi-kondisi tertentu dan juga diberikan
simulasinya sebagai pembanding.
Kata kunci: osilasi, persamaan diferensial linier orde dua dengan redaman
I.
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari beberapa kejadian bisa dimodelkan dalam bentuk suatu persamaan
matematika. Persamaan yang sering muncul dalam permasalahan fisik adalah persamaan diferensial , yaitu
suatu persamaan yang menyatakan relasi antara fungsi yang tidak diketahui dengan satu atau lebih turunanturunannya.
Setelah didapatkan bentuk persamaan diferensialnya, selanjutnya perlu dilakukan suatu proses untuk
menentukan solusinya. Secara umum, ada dua macam cara penyelesaian dalam menentukan solusi
persamaan diferensial, yaitu penyelesaian secara analitik dan penyelesaian secara numerik. Penyelesaian
secara analitik dilakukan dengan teknik deduktif logis sehingga akan diperoleh solusinya dalam bentuk
persamaan. Sedangkan penyelesaian secara numerik dilakukan dengan cara hampiran yaitu dengan
menggunakan metode-metode tertentu.
Terkadang untuk menghampiri solusi dari suatu persamaan diferensial diperlukan dugaan awal dari
kondisi solusinya. Dalam teorinya kondisi dari solusi persamaan diferensial ada dua jenis yaitu solusi yang
berosilasi dan solusi yang tidak berosilasi. Menurut Deo dan Raghavendra untuk menentukan berosilasi
atau tidaknya suatu solusi persamaan diferensial cukup dengan menganalisis persamaan diferensialnya.
Oleh karena itu pada tulisan ini penulis membahas beberapa syarat cukup yang harus dipenuhi oleh suatu
persamaan diferensial sedemikian sehingga solusinya akan berosilasi dan pada tulisan ini penulis
memberikan contoh-contoh beserta simulasinya. Adapun persamaan diferensial yang akan dianalisis
adalah persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman dikarenakan persamaan ini sering
kali muncul dalam permasalahan fisika.
II.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam pembahasan syarat cukup osilasi untuk persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan
redaman diperlukan beberapa definsi sebagai teori pendukung. Pertama-tama diberikan definisi dari
bentuk persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman.
Definisi 1. [1]
Persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan bentuk
(1)
disebut sebagai persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman dimana
fungsi sembarang yang kontinu pada
Selanjutnya diberikan definisi solusi tidak trivial dari suatu persamaan diferensial.
MT 65
dan
adalah
ISBN. 978-602-73403-1-2
Definisi 2. [1] dan [2]
Misalkan
jika
adalah solusi dari suatu persamaan diferensial. Solusi
untuk suatu
.
dikatakan solusi tidak trivial
Berikut ini diberikan definisi tentang hubungan osilasi persamaan diferensial dengan solusinya.
Definisi 3. [3]
Solusi persamaan diferensial akan berosilasi jika dan hanya jika persamaan diferensialnya berosilasi.
Selanjutnya diberikan definisi osilasi persamaan diferensial.
Definisi 4. [2],dan [4]
Suatu persamaan diferensial disebut berosilasi apabila terdapat solusi tidak trivial
pada
terdapat
sedemikian sehingga
.
dan untuk setiap
Dengan kata lain suatu persamaan diferensial disebut tidak berosilasi apabila untuk setiap solusi tidak
trivial
terdapat
sedemikian sehingga
pada interval
.
Setelah mengetahui beberapa definisi yang telah dibahas di atas. Berikut ini akan dibahas beberapa
syarat cukup untuk (1) sehingga persamaan tersebut akan berosilasi.
Teorema 1. [5]
Jika
pada
dan
maka (1) akan berosilasi.
Bukti :
Jika diketahui bahwa
i.
ii.
maka akan dibuktikan bahwa (1) akan berosilasi. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan
bahwa (1) tidak berosilasi maka berdasarkan Definisi 4 diperoleh bahwa setiap solusi tidak trivial
akan terdapat
sedemikian sehingga
pada interval
.
Selanjutnya definisikan fungsi
sebagai berikut
untuk setiap
(2)
dan dengan menurunkan bentuk (2) terhadap akan didapatkan
.
Kemudian dengan mengganti
pada (3) dengan
pada (1), serta mengganti
(3)
pada (3) dengan
pada (2) akan diperoleh
.
Selanjutnya dengan mengganti bentuk
pada (4) dengan
(4)
dalam (2) akan didapatkan
atau
.
maka akan didapatkan
Kemudian integralkan kedua ruas (5) pada interval
66
(5)
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
atau
.
(6)
Dengan melakukan manipulasi aljabar pada (6) akan diperoleh
atau
.
sedemikian sehingga dengan
Selanjutnya berdasarkan yang diketahui (ii) maka akan terdapat
bentuk (7) diperoleh
pada
.
(7)
(8)
Kemudian misalkan
.
Karena
maka didapatkan
(9)
yang mengakibatkan
pada
.
(10)
Selanjutnya dengan menurunkan bentuk (9) akan didapatkan
dan dapat pula dituliskan sebagai
atau
.
dan diketahui
Kemudian berdasarkan bentuk (10) yaitu
(11) nilai dari
yang berakibat
(11)
maka pada persamaan
atau dapat dituliskan juga sebagai
atau
untuk
.
(12)
Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (12) didapat
atau
.
Karena
(13)
dan berdasarkan persamaan (13) maka akan diperoleh
Akibatnya,
atau
.
Hal ini merupakan pernyataan yang kontradiksi. Sehingga pengandaian bahwa (1) tidak berosilasi salah.
Jadi haruslah (1) berosilasi. Terbukti bahwa jika
dan
Maka (1) berosilasi.
MT 67
.
ISBN. 978-602-73403-1-2
Teorema 2. [5]
Jika
pada
sedemikian sehingga
dan terdapat fungsi yang kontinu pada
yang memenuhi
dan
maka (1) akan berosilasi.
Bukti :
Jika diketahui bahwa
i.
pada
.
ii. Terdapat fungsi yang kontinu pada
sedemikian sehingga
yang memenuhi
.
iii.
maka akan dibuktikan bahwa (1) akan berosilasi. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan (1)
tidak berosilasi maka berdasarkan Definisi 4 setiap solusi tidak trivial
akan terdapat
sedemikian sehingga
pada interval
.
Selanjutnya definisikan fungsi
sebagai berikut
untuk setiap
dan dengan menurunkan (14) terhadap
(14)
akan didapatkan
atau
.
Kemudian dengan mengganti bentuk
pada (15) dengan
(15)
pada (14) akan didapatkan
atau
.
Selanjutnya subtitusikan bentuk
(16)
pada (1) ke (16) maka akan diperoleh
atau
.
68
(17)
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
Kemudian substitusikan bentuk
pada (14) ke (17) akan diperoleh
atau
.
(18)
Selanjutnya misalkan
(19)
dan subsitusikan bentuk
pada (19) ke (18) maka akan didapatkan
(20)
Dengan mengintegralkan kedua ruas (20) pada interval
maka diperoleh
atau
.
Kemudian dengan mengganti bentuk
pada (21) dengan bentuk
(21)
pada (19) maka didapatkan
atau
(22)
Berdasarkan yang diketahui (iii) maka akan terdapat
akan diperoleh
sedemikian sehingga dengan persamaan (22)
untuk
MT 69
.
(23)
ISBN. 978-602-73403-1-2
Kemudian misalkan
untuk
Karena diketahui
maka
.
(24)
pada (23) bernilai positif serta bentuk
sedemikian sehingga akan didapatkan
dan dengan menggunakan (24) diperoleh hubungan
untuk
.
(25)
Selanjutnya dengan menurunkan (24) terhadap akan didapatkan
(26)
atau
(27)
dan dengan melakukan manipulasi aljabar pada (27) maka akan diperoleh
.
Kemudian karena diketahui
,
dan telah didapatkan
serta bentuk
,
(28)
maka pada (28) bentuk
akibatnya
(29)
dan berdasarkan hubungan (25) maka (29) menjadi
atau
.
Dengan mengintegralkan kedua ruas (30) pada interval
(30)
didapat
atau
.
Selanjutnya berdasarkan hubungan (25) didapatkan
didapatkan
(31)
maka dengan menggunakan (31) akan
Akibatnya,
atau
.
Hal ini kontradiksi dengan (ii). Sehingga pengandaian bahwa (1) tidak berosilasi salah. Jadi haruslah (1)
berosilasi. Sehingga telah terbukti bahwa (1) berosilasi.
III.
CONTOH DAN SIMULASI
Contoh 1
Misalkan diberikan persamaan diferensial linier homogen orde dua
,
.
Berdasarkan Teorema 1 persamaan diferensial di atas berosilasi karena :
terpenuhi yaitu
dan
terpenuhi yaitu
70
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
.
Dengan menggambarkan solusi dari persamaan diferensial dengan menggunakan Mathematica yang
diberikan pada Contoh 1 maka dapat diperoleh grafik sebagai berikut
.
GAMBAR 1. GRAFIK SOLUSI
Berdasarkan Gambar 1 terlihat bahwa grafik yang dihasilkan berosilasi. Hal ini sesuai dengan hasil
perhitungan Contoh 1 dengan menggunakan Teorema 1.
Contoh 2
Seperti pada Contoh 1 persamaan yang diberikan berosilasi karena memenuhi persyaratan Teorema 2,
yaitu :
terpenuhi karena
.
Pilih
dan
terpenuhi karena
.
dan
terpenuhi karena
.
IV.
SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas, kesimpulan yang dapat diambil yaitu bahwa syarat cukup osilasi
persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman adalah bila persamaan tersebut
memenuhi syarat-syarat tertentu yang telah dinyatakan dalam Teorema 1 dan Teorema 2 dan juga hasil
simulasi yang diperoleh sesuai dengan hasil analisis dengan menggunakan Teorema 1 dan Teorema 2.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]
[3]
W.E. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Fourth edition, John Wiley
& Sons (Asia). 2001.
S.G. Deo and V. Raghavendra, Ordinary Differential Equations and Stability Theory, Tata McGraw-Hill Publishing Company
Limited, New Delhi, India. 1993.
S.R. Grace,”Oscillation Criteria For Third Order Non Linear Delay Differential Equations With Damping”, Opuscula Math.
35. no. 4. (2015). pp. 485–497.
MT 71
ISBN. 978-602-73403-1-2
[4]
[5]
E.M. Ellabbasy and W.W. Elhaddad, “Oscillation of Second Order Nonlinear Differential Equations with Damping Term”,
Electronic Journal of Qualitative of Diferential Equations , No. 25. (2007). pp. 1-19.
H.K. Abdullah, “A Note the oscillation of second order differential equations”, Journal Czechoslovak Mathematical. vol.54.
(2004). pp. 949-954.
72