matriks - Chandra Novtiar, S.Si., M.Si.

MATRIKS
A. DEFINISI MATRIKS
Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada
beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu
peubah. Nama matriks menggunakan huruf besar seperti A, B, C dst. Sedangkan anggota
(elemen) dari matriks yang berupa huruf dituliskan menggunakan huruf kecil. Tanda
yang digunakan untuk mengurung elemen-elemen matriks menggunakan tanda
atau
.
Contoh 1.1:
A=
;
B=
;
C=
;
D=(5)
Elemen-elemen matriks pada garis horizontal disebut dengan baris, dan elemen-elemen
pada garis vertical disebut dengan kolom. Ukuran dari suatu matriks yang disebut dengan
Dimensi atau Ordo ditentukan oleh banyaknya baris di kali dengan banyaknya kolom
yang ada didalam suatu matriks.
Contoh 1.2:
E=
baris
kolom
Tanda kurung matriks
Nama Matriks
Pada Matriks E mempunyai 3 baris dan dan 2 kolom yaitu
adalah baris kedua dan
kolom pertama dan
adalah baris pertama,
adalah baris ketiga, sedangkan
adalah
adalah kolom kedua. Sehingga dimensi atau ordo dari matriks E
adalah 3x2 (dibaca: tiga kali dua).
Notasi A =
, untuk menyatakan matrik secara umum dan menunjukkan letak suatu
elemen matriks. Dengan i menunjukkan letak baris dan j menunjukkan letak kolom.
Contoh 1.3
A=
Perhatikan matriks A, elemen
sedangkan elemen
adalah elemen pada baris pertama kolom kedua;
adalah elemen pada baris kedua kolom ketiga, dan seterusnya.
Sehingga matriks A mempunyai 4 baris dan 3 kolom, dimensi dari A adalah 4x3 dapat
ditulis dengan A4x3.
Sehingga bentuk umum dari suatu matriks adalah sebagai berikut:
A=
Matriks A di atas mempunyai m baris dan n kolom. Dalam notasi yang lebih singkat, A
dapat ditulis dengan:
A=(
dimana i = 1, 2, 3, …., m
j = 1, 2, 3, …., n
sehingga dimensi A adalah mxn yang bisa ditulis dengan Amxn.
B. JENIS – JENIS MATRIKS (Bagian I)
1. Matriks Baris dan Matriks Kolom
Matriks Baris adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja.
Matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja.
Contoh 1.4 :
A=
B=
adalah matriks baris berdimensi 1x3
adalah matriks kolom berordo 2x1
2. Matriks Persegi (Square Matriks)
Suatu matriks A =
disebut sebagai matrik persegi (matriks bujur sangkar) bila i
= j = 1, 2, 3 ,… n. atau dengan kata lain banyaknya baris dan banyaknya kolom suatu
matriks sama. Matriks persegi mempunyai dimensi nxn. Bentuk umum dari matriks
persegi adalah sebagai berikut:
A=
Pada matriks persegi A diatas elemen
,
,
…,
disebut sebagai diagonal
utama dari matriks A. jumlah dari semua elemen-elemen diagonal dari suatu matriks
persegi disebut dengan trace.
Sehingga trace A =
+
…+
)=
3. Matriks Nol (Zero Matriks)
Suatu matriks yang semua elemennya adalah 0 (nol) disebut dengan matriks nol.
Matriks nol dilambangkan dengan O.
Contoh 1.5:
;
4. Matriks Identitas
Suatu matriks persegi yang semua elemen diagonalnya adalah 1 dan selain elemen
diagonal adalah 0 maka dinamakan matriks identitas. Matriks identitas biasanya
dinotasikan dengan I. Karena matriks I berdimensi n, sehingga dinotasikan dengan In.
Jadi,
5. Matriks Bagian (Sub-Matriks)
Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil
dengan menghilangkan salah satu atau lebih vektor-vektor baris dan atau vektorvektor kolom yang sudah ditentukan. Matriks-matriks yang dihasilkan dari partisi
tersebut dinamakan submatriks atau matriks bagian.
Contoh 1.6 :
Diketahui matriks M =
diperoleh matriks bagian
dengan menghilangkan vektor kolom ketiga
. Menghilangkan vektor baris pertama dan vektor
kolom kedua diperoleh matriks bagian
dan seterusnya. Berapa banyaknya
matriks bagian dari M?
Contoh 1.7:
Andaikan matriks persegi Q=
dan kolom kedua diperoleh submatriks
. Menghilangkan vektor baris kedua
. Menghilangkan vektor baris pertama
dan ketiga serta vektor kolom pertama dan ketiga diperoleh submatriks (2) dan
seterusnya.
Perhatikan bahwa diagonal matriks Q=
submatriks
tetap menjadi diagonal pada
dan (2) . Submatriks yang diperoleh disebut dengan matriks
bagian utama (submatriks principal). Sehingga
dan (2) disebut sebagai
submatriks principal. Submatriks principal yang lain dari matriks Q adalah
dan (6).
C. Operasi Matriks
1. Kesamaan Dua Matriks
Definisi: Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran atau
dimensi yang sama dan elemen-elemen yang berpadanan sama.
Dalam notasi matriks, jika A = (
dan B = (
mempunyai ukuran yang sama
maka A=B jika dan hanya jika
, atau secara ekuivalen,
untuk
semua i dan j.
Contoh 1.8:
Diketahui matriks B=
, C=
D=
Jika x = 5, maka B=C, tetapi untuk nilai x yang lainnya matriks B dan C tidak sama.
Tidak ada nilai x yang membuat B = D karena B dan D mempunyai ukuran atau
dimensi yang berbeda.
2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Definisi: jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran (berdimensi) sama, maka
jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen A
dengan elemen-elemen B yang letaknya bersesuaian, dan selisih A-B adalah matriks
yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B
yang letaknya bersesuaian. Matriks-matriks yang berukuran berbeda tidak dapat
ditambahkan atau dikurangkan.
Contoh 1.9:
Andaikan A =
, B=
A+B =
+
A-B =
-
, C=
=
=
=
=
Perhatikan bahwa matriks A dan B masing-masing berdimensi 3x2 sehingga dapat
dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dan matriks hasil
operasinya juga tetap berdimensi 3x2. Tidak dapat dilakukan operasi penjumlahan
B+C sebab dimensi kedua matriks tidak sama.
Andaikan dua buah matriks A = (
,B=(
dan C = (
yang dapat dilakukan
operasi penjumlahan memenuhi sifat-sifat:
a. Komutatif; A+B = B+A
Bukti:
b. Asosiatif; (A+B)+C = A + (B+C)
Bukti:
c. Identitas Penjumlahan
Untuk setiap matriks A = (
berdimensi mxn selalu ada matriks nol (0)
berdimensi mxn, demikian sehingga: A+0 = 0+A = A. matriks 0 ini disebut
matriks identitas penjumlahan.
Bukti:
d. Invers Aditif (invers penjumlahan)
Untuk setiap matriks A = (
berdimensi mxn selalu ada matriks -A = (sedemikian hingga A + (-A) = (-A) + (A) = 0, dimana 0 adalah matriks nol yang
berdimensi sama dengan matriks A. Matriks “-A” disebut dengan lawan atau
negatif dari matriks A, atau invers penjumlahan dari A.
Dari sifat yang terakhir ini, dapat dipahami bahwa jika dua matriks A dan B yang
mempunyai dimensi yang sama, maka: A-B = A + (-B). jadi mengurangi matriks
A dengan matriks yang lain adalah sama saja menambah matriks A tersebut
dengan negatif dari matriks yang lain.
3. Perkalian Skalar
Definisi: jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang scalar, maka hasil
kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan c.
Dalam notasi matriks, jika A = (
, maka cA = c (
Contoh 1.10:
Untuk matriks-matriks:
A=
2A = 2
, B=
=
, C=
(-1)B = (-1)
=
=
Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks:
a. Andaikan k dan s adalah skalar dan A = (
(k+s) A = kA + sA
Bukti:
b. Andaikan k skalar dan A = (
serta B = (
matriks, maka:
adalah dua matriks yang
berdimensi sama, maka:
k (A+B) = kA +kB
Bukti:
c. Andaikan k dan s skalar serta matriks A = (
, maka:
K (sA) = (ks) A
Bukti:
d. Andaikan k skalar, dan matriks A = (
, maka kA = Ak
Bukti:
e. Jika skalar k =1, maka 1A = A
Sehubungan dengan sifat ini maka (-1) A = -A
4. Perkalian Matriks
Definisi: jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka
hasil kali AB adalah matriks m x n yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai
berikut. Untuk mencari elemen dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari
matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari
baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.
Andaikan matriks baris A = (
Jika AB = C, maka:
dan matriks B =
C=(
=(
C = AB =
Perhatikan bahwa dimensi matriks A adalah 1xn dan dimensi dari matriks kolom B
adalah nx1 sehingga matriks C= AB mempunyai dimensi 1x1.
Untuk matriks yang bukan matriks baris atau matriks kolom, operasinya adalah
sebagai berikut.
Andaikan A=
, dan B=
Atau:
A=(
; i = 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …,p
B=(
; i = 1, 2, 3, … p; j= 1, 2, 3, … n
AB = C = (
; i = 1, 2, 3, …, m; j= 1, 2, 3,…, n. Dimana:
=
Dua matriks dapat dilakukan operasi perkalian jika banyaknya elemen dari matriks
baris A harus sama dengan banyaknya elemen dari matriks kolom B. Oleh karena itu
perkalian matriks sering juga disebut dengan perkalian baris kali kolom.
Contoh 1.11:
Diketahui D=
, E=
Hitunglah DE dan ED!
DE =
=
=
ED =
=
Apa yang dapat disimpulkan dari contoh 1.11?
Sifat-sifat perkalian matriks:
Andaikan A = (
,B=(
dan C = (
adalah matriks-matriks yang dimensinya
sesuai untuk perkalian dan penjumlahan, maka perkalian matriks bersifat:
a. Distributif
1) A (B+C) = AB + AC distributif kiri
2) (A+B) C = AC +BC
distributif kanan
Bukti
b. Asosiatif; A(BC) = (AB) C
Bukti
D. JENIS – JENIS MATRIKS (Bagian II)
1. Matriks Eselon
Matriks A, untuk A = (
berdimensi mxn disebut matriks eselon baris atau
matriks eselon jika dan hanya jika memenuhi sifat:
a. Setiap baris yang semua elemennya nol terletak sesudah baris yang mempunyai
elemen tidak nol
b. Pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang
pertama harus terletak dikolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya.
Elemen tidak nol pertama dari suatu baris disebut unsure utama atau elemen pivot.
Contoh 1.12:
A=
; B=
Elemen yang dilingkari menunjukkan elemen pivot.
2. Matriks Segitiga
a. Matriks Segitiga Atas
Matriks A, untuk A = (
berdimensi nxn dan elemen-elemen
= 0 untuk i > j
disebut dengan matriks segitiga atas. Atau dengan kata lain Matriks segitiga
atas merupakan matriks persegi dengan semua elemen di bawah diagonalnya
adalah . Secara umum matriks segitiga atas berbentuk:
Contoh :
Misalkan
b. Matriks Segitiga Bawah
Matriks A = (
berdimensi nxn dan elemen-elemen
= 0 untuk i < j disebut
dengan matriks segitiga bawah. Atau dengan kata lain Matriks segitiga bawah
merupakan matriks persegi dengan semua elemen di atas diagonalnya adalah .
Secara umum matriks segitiga bawah berbentuk:
Contoh:
3. Matriks Diagonal
Matriks A, untuk A = (
berdimensi nxn dan elemen-elemen
= 0 untuk i > j dan
i < j disebut dengan matriks diagonal. Suatu matriks yang memenuhi sifat matriks
segitiga atas maupun segitiga bawah disebut matriks diagonal. Atau dengan kata lain
suatu matriks persegi yang semua elemen selain diagonalnya adalah 0 dinamakan
matriks diagonal. Matriks Diagonal dinotasikan dengan D. Secara umum matriks
segitiga atas berbentuk:
Perhatikan bahwa semua elemen-elemen diluar posisi elemen diagonal nilainya 0
(nol)
Contoh 1.13:
B=
4. Matriks Identitas
Dari matriks diagonal D =
jika nilai
=
dimana k adalah sebuah skalar, maka matriks ini disebut
matriks skalar. Jika k= 1 maka matriks dinamakan matriks identitas.
Contoh 1.14:
S=
, matriks skalar. Untuk k = 1
I=
, matriks identitas berdimensi 4
Secara umum matriks I berdimensi n, dinotasikan dengan:
Matriks-matriks I dinamakan matriks identitas untuk perkalian matriks karena untuk
sembarang matriks A berdimensi mxn selalu ada matriks identitas untuk perkalian dengan A,
sedemikian hingga IA = AI = A (coba buktikan!)
5. Matriks Komutatif, Idempoten dan Periodik
Dua matriks persegi A = (
dan B = (
yg berdimensi sama disebut komutatif
(commute) jika berlaku AB = BA. Sebaliknya, disebut anti komutatif (anticommute) jika berlaku AB = - BA.
Matriks persegi A = (
yang berlaku Ak+1 = A, dengan k bilangan bulat positif,
disebut matriks periodik. Untuk k = 1, berarti A2 = A, maka A disebut matriks
idempoten. Matriks persegi A = (
yang berlaku Ap = 0, untuk p bilangan bulat positif
disebut matriks nilpoten.
Contoh:
1. Andaikan matriks B =
B2=
=
B3=B2B=
=
=B
Tampak bahwa B3= B2+1= B ini berarti matriks B adalah periodic dengan periode 2.
2. Matriks E =
E2= EE =
=
=E
Tampak bahwa E2= E, berarti matriks E adalah matriks idempoten.
3. Matriks F =
F2= FF =
F3=F2F =
=
=
Karena F3= O, maka F adalah nilpoten indeks 3
=O
6. Matriks Invers
Andaikan A = (
dan B = (
dua matriks persegi berdimensi sama sehingga
berlaku :
AB = BA = I, maka B disebut invers A ditulis dengan B = A-1. Atau A invers B
ditulis dengan A = B-1.
Dengan demikian bentuk:
AB = BA = I
A A-1= A-1A=I atau juga B-1B=B B-1=I
Suatu matriks yang mempunyai invers disebut matriks yang invertible atau matrik
non singular.
Contoh:
Matriks
dan
saling invers, sebab:
=
=I
Andaikan invers dari matriks A adalah A-1 dan invers dari matriks B adalah B-1 maka
berlaku sifat (AB) -1= B-1 A-1.
7. Transpose Matriks
Transpose matriks diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom seletak, atau
sebaliknya. Transpose dari matriks biasanya dinotasikan dengan .
Dalam notasi adalah sebagai berikut:
A=
AT =
dimana
Misalkan
=
dengan
Transpose dari , yaitu
Dengan demikian bila matriks A =
akan berdimensi nxm.
berdimensi mxn, maka matriks AT =(
Contoh :
Misalkan
maka transpose dari
adalah
Dari definisi transpose matriks tersebut diturunkan beberapa sifat yang berhubungan
dengan transpose matriks, yaitu:
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (AB)T = BT AT
Bukti:
8. Matriks Simetri dan Matriks Simetri Miring
Andaikan A =
adalah matriks persegi berdimensi n. Matriks A dikatakan
Matriks simetri yang memenuhi
.
Contoh :
Misalkan
maka
Sedangkan untuk matriks A =
. Berarti matriks A adalah matriks simetri.
adalah matriks persegi berdimensi n. Matriks A
dikatakan Matriks simetri miring yang memenuhi
. Karena
untuk setiap I dan j. khusus untuk diagonal (i=j), maka
artinya elemen diagonal suatu matriks miring adalah berupa bilangan
yang sama dengan negatifnya, bilangan tersebut adalah bilangan 0.
Contoh :
C=
; CT =
=-
= -C
Karena CT= -C maka C adalah matriks simetri miring.
9. Conjugate Matriks
Misalkan adalah matriks dengan elemen-elemen dalam matriksnya merupakan
bilangan kompleks. Untuk bilangan kompleks z = a+bi maka conjugate bilangan
kompleks z dinotasikan dengan =
. Conjugate dari adalah
. Jadi conjugate dari conjugate bilangan kompleks adalah
dirinya sendiri.
Andaikan A adalah suatu matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks, maka
conjugate dari matriks dinotasikan dengan adalah suatu matriks yang diperoleh
dengan mencari conjugate dari setiap elemen-elemen matriks A.
Contoh:
A=
;
Andaikan A =
dan B =
bilangan kompleks,
skalar dengan
dan
adalah matriks-matriks yang mempunyai elemen
masing-masing conjaget dari A dan B, serta k adalah
adalah conjugate dari k, maka:
a.
b.
c.
d.
e.
notasi untuk transpose dari conjugate (conjugate dari transpose) suatu
matriks A adalah AH. Jadi dalam hal ini AH =
atau AH =
.
10. Matriks Hermitian dan Skew Hermitian
Matriks persegi A =
berdimensi n dikatakan Matriks Hermitian jika dan hanya
jika berlaku AH= A. berdasarkan definisi tersebut matriks A adalah hermitian jika
unsure-unsurnya berlaku hubungan
untuk setiap i dan j. Khusus untuk
elemen diagonal, i=j maka haruslah
yang berarti menggambarkan suatu
bilangan yang sama dengan conjugatenya. Jadi elemen diagonal dari matriks
hermitian adalah bilangan real.
Contoh:
Tunjukkan bahwa A =
adalah hermitian!
Solusi:
=A
Matriks persegi A =
berdimensi n dikatakan Matriks Skew Hermitian jika dan
hanya jika berlaku AH=- A. berdasarkan definisi tersebut matriks A adalah hermitian
jika unsure-unsurnya berlaku hubungan
untuk setiap i dan j. Khusus
untuk elemen diagonal, i=j maka haruslah
yang berarti menggambarkan
suatu bilangan yang sama dengan negatif conjugatenya. Jadi elemen diagonal dari
matriks hermitian adalah bilangan 0 atau bilangan imajiner.
Contoh:
Tunjukkan bahwa C =
adalah skew hermitian!
Solusi:
= -C
11. Matriks Ortogonal
Matriks persegi A =
berdimensi n disebut Matriks ortogonal jika dan hanya
jika memenuhi AAT=I=ATA. Disisi lain pada pembahasan tentang matriks invers,
untuk matriks persegi A yang non-singular maka ada invers A, ditulis
sehingga
berlaku
Contoh:
Tunjukkan bahwa matriks B =
Solusi:
matriks orthogonal!
BT=
B BT =
=
=I
Jadi B adalah matriks orthogonal.
12. Matriks Uniter
Matriks persegi A =
kompleks. Matriks
berdimensi n dengan elemen matriks adalah bilangan
disebut Matriks uniter jika berlaku AHA= I = AAH.
Sehubungan dengan matriks invers maka matriks uniter adalah matriks yang
mempunyai invers sana dengan conjugate transposenya
AH .
Contoh:
Tunjukkan bahwa matriks C =
adalah uniter!
Solusi:
; CH =
CHC=
=
=I
CCH=
=
=I
Jadi, C adalah uniter.
13. Matriks Normal
Matriks persegi A =
berdimensi n yang memenuhi AAT= ATA (untuk anggota-
anggota A adalah bilangan real); atau AHA=AAH (untuk anggota-anggota A adalah
dari bilangan kompleks) disebut matriks normal. Berdasarkan pengertian tersebut
jelas bahwa matriks orthogonal dan matriks uniter adalah salah satu contoh dari
matriks normal.
Contoh:
Apakah matriks A =
matriks normal?
Solusi:
AT=
A AT=
=
ATA =
=
Jadi, A adalah matriks normal.