Logika Matematika

Logika Matematika
Rukmono Budi Utomo
30115301
Pengampu: Prof. Dr. Taufiq Hidayat
March 16, 2016
1 Logika
Logika berasal dari kata Yunani kuno (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika merupakan salah
satu cabang dalam ilmu filsafat yang merupakan cabang ilmu yang mempelajari filosofi
terhadap sesuatu hal. Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme atau dalam
bahasa Latin(logica scientia) atau ilmu ilmu pengetahuan yang mempelajari kecakapan
untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur. Ilmu di sini mengacu pada kemampuan
rasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk
mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan tersebut
bisa juga diartikan dengan masuk akal.
Selain sebagai ilmu pengetahuan, logika juga dapat dipandang sebagai cabang filsafat yang praktis. Makna dari Praktis di sini memberi arti bahwa logika dapat dipraktikkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika digunakan untuk melakukan pembuktian.
Logika mengatakan yang bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang
matematika. Logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran.
Logika sebagai matematika murni, matematika adalah logika yang tersistimatisasi,
matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur menggunakan simbolsimbol matematik (logika simbolik). Logika tersistimatisasi dikenalkan oleh Galenus dan
Sextus Empiricus.
2 Asal-Usul Logika
Asal-Usul Perkembangan Logika dapat dikelompokkan dalam beberapa masa di bawah
ini:
1
• Masa Yunani Kuno
Logika dimulai sejak Thales (624 SM - 548 SM), filsuf Yunani pertama yang
meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta.Thales mengatakan
bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alam
semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif. Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica.
Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhe
alam semesta dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu. Dalam logika
Thales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkan dari:
*Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan
*Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia
*Air jugalah uap
*Air jugalah es
Dengan demikian menurut Thales, air adalah jiwa dari segala sesuatu,
yang berarti, air adalah arkhe alam semesta.
• Abad pertengahan dan logika modern
Pada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.Thomas Aquinas 12241274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika. Lahirlah
logika modern dengan tokoh-tokoh seperti Petrus Hispanus (1210 - 1278), Roger
Bacon (1214-1292),Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logika
baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian,
William Ocham (1295 - 1349).
Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh
Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (16321704) dalam An Essay Concerning Human Understanding, Francis Bacon (1561 1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya Novum
Organum Scientiarum dan J.S. Mills (1806 - 1873) dalam bukunya System of
Logic
3 Manfaat Berfikir Dengan Logika
Beberapa manfaat atau kegunaan apabila dapat berfikir secara logika antara lain:
• Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional,
kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
• Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
• Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
mandiri.
2
• Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asasasas sistematis
• Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis ,lurus, metodis dan analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang
4 Logika Matematika
Logika matematika merupakan salah satu cabang logika yang mengandung kajian matematis logika. Secara matematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.
Logika matematika termasuk salah satu ilmu matematika yang banyak diaplikasikan
dalam kehidupan sehari-hari seperti kepolisian, pengadilan, jaksa, hakim yang menggunakan logika matematika untuk menganalisis suatu kasus atau permasalahan. Dalam
logika matematika akan dibahas bagaimana nilai kebenaran dari suatu pernyataan, ingkaran atau negasi, kesetaraan hingga penarikan kesimpulan yang sah dari beberapa
pernyataan atau keadaan.
5 Pernyataan Dalam Matematika
Dalam logika matematika, pernyataan-pernyataan kemudian disajikan dalam bentuk
simbol. Berikut ini pernyataan-pernyataan yang terdapat dalam logika matematika :
• Negasi
Negasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinya mengingkari suatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan dengan lambang ∼ yang berarti tidak
atau bukan. Jika suatu pernyataan menyatakan sapi adalah hewan berkaki empat
maka negasinya adalah sapi bukan hewan berkaki empat. Dalam tabel kebenaran
matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P
B
S
∼P
S
B
Tabel 1: kebenaran Matematika Negasi
P : Sapi adalah hewan berkaki empat (B)
∼ P : Sapi bukanlah hewan berkaki empat (S)
• Konjungsi
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung
dan atau disimbolkan dengan ∧. Pernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar
jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu
pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah. Dalam
3
tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P
B
B
S
S
Q
B
S
B
S
P ∧Q
B
S
S
S
Tabel 1: kebenaran Matematika Konjungsi
Dalam konjungsi, dua buah pernyataan P dan Q bernilai benar (B) apabila baik
pernyataan P dan Q keduanya bernilai benar. Apabila ada salah satu dari P atau
Q bernilai salah (S), maka konjungsi dari P dan Q bernilai salah. Contoh konjungsi dari dua pernyataan yang benar adalah:
P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)
Q :Hewan Herbivora adalah pemakan rumput (B)
P ∧ Q : Sapi adalah hewan herbivora dan sapi adalah pemakan rumput
Untuk contoh konjungsi dua buah pernyataan P dan Q yang tidak benar (Salah)
cukup diberikan salah satu atau kedua pernyataan dari P dan Q
• Disjungsi
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung
atau yang disimbolkan dengan ∨. Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi.
Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka
pernyataan disjungsi juga bernilai benar. Dalam tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P
B
B
S
S
Q
B
S
B
S
P ∨Q
B
B
B
S
Tabel 2: kebenaran Matematika Disjungsi
Dalam disjungsi, dua buah pernyataan P atau Q bernilai salah (S) apabila baik
pernyataan P dan Q keduanya bernilai Salah. Apabila ada salah satu dari P atau
Q bernilai salah (S), maka konjungsi dari P dan Q tetap bernilai Benar, apalagi
4
baik P dan Q keduanya bernilai Benar, maka konjungsi P dan Q pastilah bernilai
benar. Contoh disjungsi dari dua pernyataan yang bernilai benar adalah:
Contoh 1. P dan Q benar
P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)
Q :Hewan Herbivora adalah pemakan rumput (B)
P ∨ Q : Sapi adalah hewan herbivora atau sapi adalah pemakan rumput
(B)
Contoh 2. Salah satu P atau Q bernilai benar
Misal hanya P benar
P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)
Q :Hewan Sapi Hewan yang dapat terbang (S)
P ∨ Q : Sapi adalah hewan Herbivora atau sapi hewan yang dapat terbang (B)
Perlu diperhatikan bahwa untuk contoh 1, karena P dan Q keduanya bernilai
benar, maka tidak perlu diragukan lagi bahwa konjungsi P dan Q tentulah bernilai
benar. Untuk contoh 2, meskipun pernyataan Q bernilai salah, sedangkan P adalah
pernyataan yang benar, tetap saja konjungsi P dan Q dalam contoh ini tetap
bernilai benar, hal ini dikarenakan sifat atau yang memberikan beberapa pilihan
kebenaran atas beberapa pernyataan. Apabila ada salah satu dari pilihan dalam
pernyataan-pernyataan tersebut yang bernilai benar, maka tentu saja disjungsi
dari pernyataan-pernyataan yang diberikan adalah benar. Apabila pilihan dari
pernyataan-pernyataan yang diberikan semuanya salah, tentu saja tidak mungkin
menghasilkan disjungsi yang benar, untuk itu dua buah pernyataan P dan Q yang
salah tentu saja menghasilkan disjungsi yang salah.
• Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan
dengan kata hubung makayang disimbolkan dengan →. Misal P → Q dibaca Jika
P maka Q. Dalam tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai
berikut
P
B
B
S
S
Q
B
S
B
S
P →Q
B
S
B
B
Tabel 3: kebenaran Matematika Implikasi
5
Dalam implikasi, dua buah pernyataan Jika P maka Q bernilai salah (S) apabila Pernyataan pertama (P ) (anteseden) bernilai benar dan pernyataan kedua
(Q) (konsekuen) bernilai salah. Selain dari kondisi di atas, maka implikasi dari P
maka Q bernilai benar. Contoh implikasi dari dua pernyataan yang bernilai salah
adalah:
Contoh1
P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)
Q :Hewan Sapi Hewan yang dapat terbang (S)
P ∨ Q : Jika Sapi adalah hewan Herbivora maka sapi hewan yang dapat
terbang (B)
Implikasi dari dua buah pernyataan di atas benilai salah, karena anteseden (P )
bernilai benar, konsekuen(Q) bernilai salah yang tentu saja menghasilkan pernyataan implikasi yang salah. Berdeda dengan kebalikannya, apabila anteseden
bernilai salah, namun konsekuen bernilai benar, maka menghasilkan implikasi yang
benar. Hal demikian dapat terjadi karena terlepas apapun nilai kebenaran dari
anteseden apabila menghasilkan konsekuen yang benar, maka implikasinya adalah
benar.
Contoh 2
P :Sapi adalah Hewaninvertebrata(B)
Q :Sapi adalah Hewan pemakan rumput (S)
P ∨ Q : Jika Sapi adalah hewan invertebrata maka sapi adalah hewan
pemakan rumput (B)
Selanjutnya untuk kondisi yang lain, dengan penalaran yang baik, kita akan dapat
menerima bahwa meski pernyataan P dan Q salah, implikasinya benar.
• Biimplikasi
Biimplikasi merupakan bentuk kompleks dari implikasi yang berarti jika dan hanya
jika dan disimbolkan dengan ↔ . P ↔ Q dibaca P jika dan hanya jika Q.Dalam
tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P
B
B
S
S
Q
B
S
B
S
P ↔Q
B
S
S
B
Dalam biimplikasi, dua buah pernyataan P jika dan hanya jika Q bernilai salah
(S) apabila ada salah satu dari pernyataan-pernyataan tersebut yang bernilai
salah, hal demikian dapat kita terima dalam logika. Apabila baik P dan Q keduanya bernilai benar maka biimplikasi dari kedua pernyataan tersebut tentulah
bernilai benar dan ini pun dapat kita terima secara logika, namun yang menjadi
perhatian adalah apabila baik P dan Q keduanya bernilai salah justru nilai biimpikasinya benar. Bagimana penjelasannya?.
6
Hakikat biimpikasi dari P jika dan hanya jika Q sejatinya adalah merupakan
gabungan dua implikasi yakni Jika P maka Q dan Jika Q maka P . Menurut
impikasi jika kedua pernyataan salah, maka nilai implikasinya benar, dan menurut
konjungsi dua pernyataan yang benar adalah benar, denan demikian jelaslah alasan
mengapa dua pernyataan salah P dan Q, maka biimplikasinya adalah benar.
6 Ekuivalensi Dalam Logika Matematika
Dalam Logika Matematika antara satu pernyataan dengan pernyataan lain dapat memiliki nilai kebenaran yang sama. Kondisi ini disebut sebagai nilai kesetaraan atau ekuivalensi yang merupakan pernyataan-pernyataan bernilai sama atau bermakna sama. Kesetaraan atauekuivalensi dilambangkan dengan ≡. Beberapa pernyataan dalam logika
matematika yang sama atau saling ekuivalensi antara lan adalah:
• ∼ (P ∧ Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q
• ∼ (P ∨ Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q
• P →Q≡∼Q→∼P
• ∼ (P → Q) ≡ (P ∧ ∼ Q)
• ∼ (P ↔ Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) ∨ (Q ∧ ∼ P )
Pembuktian kesamaan atau ekuivalensi di atas dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran
matematika
P
B
B
S
S
Q
B
S
B
S
∼P
S
S
B
B
∼P ∧∼Q
S
S
S
B
∼Q
S
B
S
B
P ∧Q
B
S
S
S
∼Q→∼P
B
S
B
B
P ∨Q
B
B
B
S
∼ (P ∧ Q)
S
B
B
B
∼ (P ∨ Q)
S
S
S
B
P ∧∼Q
S
B
S
S
∼ (P → Q)
S
B
S
S
∼ (P ↔ Q)
S
B
B
S
P →Q
B
S
B
B
P ↔Q
B
S
S
B
∼P ∨∼Q
S
B
B
B
(P ∧ ∼ Q) ∨ (Q ∧ ∼ P )
S
B
B
S
Dalam tabel kebenaran logika matematika di atas, terbukti sifat kesamaan atau ekuivalensi yang beberapa pernyataan matematika yakni ∼ (P ∧ Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q, ∼ (P ∨
Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q, P → Q ≡ ∼ Q → ∼ P , ∼ (P → Q) ≡ (P ∧ ∼ Q), dan ∼ (P ↔ Q) ≡
(P ∧ ∼ Q) ∨ (Q ∧ ∼ P )
7
7 Penarikan Kesimpulan
Dalam Logika matematika terdapat beberapa cara untuk menarik kesimpulan dari premispremis yang diketahui. Macam cara penarikan kesimpulan tersebut antara lain:
• Modus Ponen
Jika diketahui Premis pertama (P1 ) adalah jika P maka Q dan premis kedua (P2 )
adalah P , maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan Q, atau secara
matematis dapat disajikan sebagai berikut
P1 : P → Q
P2 : P
KesimpulanQ
Contoh
P1 : Jika hari libur tiba, maka Rani akan berlibur ke Bandung
P2 : Hari libur tiba
Kesimpulan: Rani akan berlibur ke Bandung
• Modus Tollen
Jika diketahui Premis pertama (P1 ) adalah jika P maka Q dan premis kedua (P2 )
adalah ∼ Q, maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan ∼ P , atau
secara matematis dapat disajikan sebagai berikut
P1 : P → Q
P2 :∼ Q
Kesimpulan∼ P
Contoh
P1 : Jika hari ini hujan, maka Rani tidak berlibur ke Bandung
P2 : Rani berlibur ke Bandung
Kesimpulan: Hari ini tidak hujan
• Silogisme
Jika diketahui Premis pertama (P1 ) adalah jika P maka Q dan premis kedua (P2 )
adalah jika Q maka R, maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan jika
P maka R, atau secara matematis dapat disajikan sebagai berikut
P1 : P → Q
P2 : Q → R
KesimpulanP → R
Contoh
P1 : Jika hari ini tidak hujan hujan, maka Rani berlibur ke Bandung
P2 : Jika Rani berlibur ke Bandung, maka ia akan mengunjungi Gedung Sate
Kesimpulan: Jika Hari ini tidak Hujan, maka Rani akan mengunjungi Gedung
Sate
8 Referensi
• https://id.wikipedia.org/wiki/Logika dikutip 16 maret 2015 pukul 11.15 wib
8
• http://wahid-hambali.blogspot.co.id/2013/04/sejarah-perkembangan-logika-pengantar.html dikutip
16 maret 2015 pukul 11.20 wib
• http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-logika-matematika.html dikutip
16 maret 2015 pukul 11.40 wib
9