6 BAB II LANDASAN TEORI Sebelum beralih kepada permasalahan

BAB II
LANDASAN TEORI
Sebelum beralih kepada permasalahan line digraph, dalam bab ini
akan dibahas mengenai teori dasar dan definisi yang berhubungan dengan
line digraph yang akan digunakan pada Bab III. Akan dibahas juga mengenai
metode Sequencing by Hybridization yang merupakan metode untuk
membaca suatu barisan DNA yang menggunakan konsep line digraph dalam
salah satu tahapannya.
2.1. Pengertian Graf
Suatu graf G = (V,E) merupakan himpunan (V,E) yang mengandung
himpunan tak kosong simpul V = V(G) dan himpunan busur E(G) yang
menghubungkan dua simpul pada V. Banyaknya simpul pada G dinotasikan
dengan |V| sedangkan banyaknya busur dinotasikan dengan |E|. Misalkan e
= (u,v) dimana u, v ∈ V dan busur e menghubungkan simpul u dan simpul v,
maka u dan v dikatakan saling bertetangga (adjacent). Busur e dikatakan
hadir (incident) pada simpul u dan simpul v. Busur yang menghubungkan
6
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
7
suatu simpul dengan dirinya sendiri disebut gelung (loop). G’ = (V’,E’)
dikatakan subgraf dari G = (V,E) jika V ' ⊆ V dan E ' ⊆ E .
Suatu simpul pada graf dapat digambarkan sebagai lingkaran kecil
atau titik dan busurnya digambarkan sebagai garis yang menghubungkan
sembarang dua lingkaran atau titik tadi. Pada Gambar 2.1, diberikan contoh
graf dengan lima simpul V = {v1, v2, v3, v4, v5} dan enam busur E = { e1, e2, e3,
e4, e5, e6}. Simpul v1 dan v2 dikatakan saling bertetangga karena ada busur
e1 yang menghubungkan kedua simpul tersebut, begitu juga dengan simpul
v2 dan v3. Busur e1 dikatakan hadir pada simpul v1 dan v2 sedangkan e2
dikatakan hadir pada simpul v2 dan v3.
v2 e2
v3
= simpul
= busur
e1
v1
e4
e5
e3
v5 e6
v4
Gambar 2.1 Contoh Graf
Graf berarah atau digraph D = (V,A) adalah graf dengan himpunan tak
kosong simpul V(D) dengan himpunan busur berarah A(D). Busur berarah
a ∈ A dapat direpresentasikan sebagai pasangan terurut (u,v) dimana u, v ∈ V .
Suatu busur (tak berarah) dapat dipandang sebagai busur berarah dengan
dua arah. Jika (u, v) ∈ A dengan u, v ∈ V maka simpul u dan simpul v di D
bertetangga. Pada graf berarah, busur (u, v) ∈ A digambarkan sebagai garis
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
8
berarah dari u ke v dengan u disebut titik pangkal dan v disebut titik ujung.
Sebuah graf dikatakan memiliki busur sejajar jika terdapat dua atau lebih
busur berarah yang memiliki titik pangkal dan titik ujung yang sama.
Pengertian subgraf pada graf berarah sama dengan pada graf berarah.
Pada Gambar 2.2, diberikan contoh graf berarah dengan empat simpul
V = { v1, v2, v3, v4} dan enam busur A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6}. Busur a1
menghubungkan simpul v1 dan v2 dimana v1 adalah titik pangkal dan v2
adalah titik ujung. Busur a2 dan a3 adalah busur sejajar karena kedua busur
itu memiliki sama – sama titik pangkal v3 dan titik ujung v1. Selanjutnya
dalam skripsi ini, busur yang dimaksud adalah busur berarah.
a1
v1
a3
a2
v3
v2
a4
a5
a6
v4
Gambar 2.2 Contoh Graf berarah
Sebuah lintasan Pn pada graf G merupakan suatu barisan n simpul
dan n - 1 busur v1 , e1 , v2 ,..., vn −1 , en −1 , vn , dimana ei = {vi , vi +1} ∈ E , 1 ≤ i ≤ n − 1 .
Panjang dari lintasan didefinisikan sebagai banyaknya busur pada lintasan
tersebut. Jika ada busur en yang menghubungkan v1 dengan vn maka
lintasan ini disebut tertutup. Lintasan tertutup membentuk suatu lingkaran Cn.
Panjang dari lingkaran didefinisikan sebagai banyaknya busur pada lingkaran
tersebut. Pada graf berarah, definisi lintasan berarah (dipath) analog dengan
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
9
definisi lintasan pada graf. Hanya saja ai = (vi , vi +1 ) ∈ A . Jika ada busur
berarah an yang menghubungkan vn dengan v1, lintasan berarah tertutup
tersebut membentuk lingkaran berarah (dicycle).
Sebagai contoh Gambar pada 2.3 (a) adalah lintasan dengan lima
simpul (P5) dan panjang lintasan empat, Gambar 2.3 (b) merupakan lingkaran
dengan lima simpul (C5) dan panjang lingkaran lima. Untuk lintasan dan
lingkaran berarah bisa digambarkan seperti contoh pada Gambar 2.3 (c) dan
(d). Sedangkan pada Gambar 2.3 (e) bukan merupakan suatu lintasan
karena tidak bisa dibuat suatu barisan dengan lima simpul dan empat busur.
Gambar 2.3 (f) juga bukan merupakan suatu lingkaran.
v2
v1
v1
e1
v2
e2
v3
e3
v4
e1
e4 v5
v3
e2
e3
e5
e4
(b)
v2
v5
(a)
v1
v1
a1
v2 a
2
v3 a
3
v4 a
4
a1
v5
v4
v3
a2
a3
a5
a4
v5
(c)
(d)
v2
v1
v1
a1
v2 a
2
v3 a
3
v4 a
4
a1
v5
(e)
v3
a2
a3
a5
v5
v4
a4
(f)
v4
Gambar 2.3 (a) Graf lintasan, (b) Graf lingkaran, (c) Graf lintasan berarah, (d) Graf lingkaran
berarah, (e) Graf bukan lintasan, (f) Graf bukan lingkaran
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
10
Lintasan Hamilton adalah lintasan yang mengunjungi setiap simpul
pada graf tepat satu kali. Sedangkan jika ada satu simpul yang dikunjungi
dua kali dan simpul itu merupakan simpul awal pada lintasan maka lintasan
tersebut tertutup dan membentuk lingkaran Hamilton. Lintasan atau
lingkaran Hamilton ini belum tentu tunggal. Lintasan Euler adalah lintasan
yang mengunjungi setiap busur pada graf tepat satu kali. Sedangkan jika
simpul awalnya merupakan simpul akhir pada lintasan maka lintasan tertutup
tersebut membentuk lingkaran Euler. Lintasan atau lingkaran Euler ini juga
belum tentu tunggal. Ambil contoh pada Gambar 2.1, lintasan Hamiltonnya
adalah (v1 , e1 , v2 , e2 , v3 , e4 , v5 , e6 , v4 ) (Gambar 2.4 (a)) sedangkan lintasan
Eulernya adalah seperti pada Gambar 2.4(b)
(v5 , e3 , v1 , e1 , v2 , e2 , v3 , e4 , v5 , e6 , v4 , e5 , v3 ) .
v2 e2
v3
v2 e2
e1
v1
v3
e1
v1
e4
e5
e3
e4
e5
e3
v5 e6
v4
v5 e6
v4
Gambar 2.4 (a) lintasan Hamilton, (b) lintasan Euler
Suatu adjoint G’ dari graf G, adalah suatu graf dimana tiap simpul
pada G’ merupakan busur pada G dan dua simpul pada G’ bertetangga jika
dan hanya jika busur yang bersesuaian pada graf G memiliki titik akhir yang
sama. Sedangkan adjoint D’ dari graf berarah D, merupakan graf berarah
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
11
dimana tiap simpul pada D’ merupakan busur pada D dan terdapat busur dari
simpul u ke v pada D’ jika dan hanya jika titik ujung dari busur u sama
dengan titik pangkal busur v pada graf D. Selanjutnya adjoint dari suatu graf
ditulis sebagai adjoint saja. Sebagai contoh pada Gambar 2.5 diberikan
suatu graf (a) dan adjointnya (b). Graf pada Gambar 2.5(a) memiliki 5 busur
sehingga pada adjointnya akan terdapat 5 simpul. Akan ada busur dari
simpul e1 ke e2 karena pada graf D titik ujung e1 sama dengan titik pangkal e2
yakni simpul v2. Semua busur akan terbentuk dengan cara yang serupa,
sehingga menghasilkan adjoint seperti pada Gambar 2.5 (b).
e2
e3 v3
e1
v1
v2
e2
e3
e1
e4
e5
v4
(a)
v5
e5
e4
(b)
Gambar 2.5 (a) Graf asal D, (b) Adjoint D’
Telah dibahas sebelumnya hubungan antara suatu graf dengan adjoint
dimana adjoint dibentuk dari graf yang diketahui. Hal yang sebaliknya juga
dapat dilakukan. Jika terdapat suatu adjoint D’ maka graf D dapat dibentuk
dengan cara setiap simpul di D’ dijadikan busur pada D dan terbentuk simpul
pada D jika busur pada D’ menghubungkan simpul yang berkorespondensi
pada busur di D. Graf D ini disebut sebagai graf asal dari D’. Misalkan graf
pada Gambar 2.6(a) merupakan suatu adjoint D’, untuk memperoleh graf
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
12
asal D bentuk semua busur yang berkoresponden dengan simpul di D’.
Misalkan untuk busur v1 dan v2 di D, karena simpul v1 dan v2 di D’ terhubung
oleh e1 maka akan ada simpul yang merupakan titik ujung v1 dan titik pangkal
v2. Lakukan untuk semua busur maka akan terbentuk graf asalnya seperti
Gambar 2.6 (b). Pada Gambar 2.6 (a) diperoleh lintasan Hamilton
(v1 , e1 , v2 , e2 , v3 , e3 , v5 , e6 , v4 ) sedangkan pada Gambar 2.6 (b) diperoleh lintasan
Euler (v1 , v2 , v4 , v3 , v5 ) .
v2 e2
v3
v5
e1
v1
e3
e5
e4
v1
v4
v3
v2
v5 e6 v4
(a)
(b)
Gambar 2.6 (a) Line digraph D’, (b) Graf asal D
Setelah membahas tentang teori graf, selanjutnya akan dibahas suatu
metode yang dapat digunakan untuk mengenali barisan dari suatu untai DNA.
Salah satu tahapan pada metode ini menggunakan teori graf sebagai alat
bantu.
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
13
2.2. Sequencing by Hybridization
Tubuh makhluk hidup tersusun atas molekul – molekul DNA. DNA
adalah asam nukleat yang mengandung materi genetik dan berfungsi untuk
mengatur perkembangan biologis seluruh bentuk kehidupan secara seluler.
Suatu rantai DNA tersusun atas fosfat, gula dan 3 x 109 pasang nukleotida.
Nukleotida atau basa nitrogen terdiri dari adenine (A), guanine (G), timin (T),
dan cytosin (C). Jika dilihat di bawah mikroskop, molekul DNA terlihat seperti
dua pita yang terangkai (double helix) yang dihubungkan oleh suatu ikatan
hidrogen. Saat DNA dipanaskan, ikatan hidrogen ini akan hilang dan
menyisakan dua pita tunggal.
Satu pita tunggal dibentuk oleh barisan nukleotida. Barisan nukleotida
tidak mudah dikenali. Dibutuhkan suatu proses untuk mengenali suatu
barisan nukleotida dari suatu DNA atau disebut dengan barisan DNA, salah
satunya adalah dengan metode Sequencing by Hybridization (SBH). Metode
ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1988 [Pev01].
Metode SBH ini terbagi menjadi dua tahapan, tahapan biokimia dan
tahapan komputasional. Pada tahapan biokimia, DNA akan diolah secara
biokimia. Pengolahan ini akan menghasilkan fragmen – fragmen pendek
berukuran tertentu yang disebut dengan oligonukleotida. Himpunan semua
oligonukleotida ini disebut dengan spektrum. Diberikan suatu DNA yang
belum diketahui. DNA ini direpresentasikan dalam array berukuran l yang
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
14
terkandung pada barisan DNA, namun urutannya belum diketahui pada
barisan tesebut. Untuk sebuah barisan s dengan panjang n, terdapat
sebanyak n – l +1 oligonukleotida dengan panjang l karena untuk barisan
dengan panjang n jika dibentuk suatu fragmen pendek dengan panjang l
dimana barisannya harus berurut maka akan ada sebanyak n – l fragmen
ditambah dengan satu fragmen dengan panjang l yang terakhir. Sehingga
banyaknya elemen di spektrum adalah n – l +1 dengan kondisi bahwa tidak
ada oligonukleotida yang muncul lebih dari sekali dalam barisan.
Pada tahapan komputasional, array dari fragmen – fragmen pendek ini
digunakan untuk membaca barisan DNA secara utuh. Terdapat beberapa
metode untuk membaca barisan yang terbentuk. Di antaranya dengan
menggunakan metode SSP (Shortest Superstring Problem) yakni suatu
masalah dimana jika diberikan sekumpulan untai s1, s2, .., sn, rangkai untai –
untai tersebut sehingga menghasilkan satu untai s yang mengandung s1,
s2, .., sn sebagai subuntai, sedemikian sehingga panjang dari s minimum.
Selain itu, juga dapat digunakan metode TSP (Traveling Salesman Problem)
yakni dengan mendefinisikan overlap (si, sj) sebagai panjang dari bagian
paling kanan si yang sama dengan bagian paling kiri sj, bentuk graf dengan n
simpul yang mewakili n untai s1, s2, .., sn dan busurnya adalah overlap (si, sj)
antara simpul si dan simpul sj dan solusinya adalah jarak terpendek untuk
mengunjungi tiap simpul tepat satu kali. Cara lain adalah dengan
menggunakan lintasan Hamilton atau Euler seperti yang akan digunakan
dalam skripsi ini.
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
15
Pada skripsi ini akan digunakan bantuan teori graf untuk mendapatkan
barisan DNA yang utuh. Untuk dapat melakukan hal itu, akan dibentuk suatu
graf dengan simpul sebanyak elemen pada spektrum dan busur berarah yang
menghubungkan antar dua simpul dibentuk dengan aturan tertentu. Graf
tersebut disebut graf DNA. Pembentukan simpul dan busur ditetapkan
sedemikian rupa sehingga kemungkinan rangkaian DNA yang utuh dapat
diperoleh dengan mencari lintasan Hamilton pada graf tersebut. Oleh karena
itu, masalah mencari barisan DNA dari spektrum dimodelkan menjadi
masalah mencari lintasan Hamilton pada graf DNA.
2.3. Pembentukan Graf DNA
Graf DNA adalah suatu graf berarah, sebut graf H dengan simpul
menyatakan spektrum. Sedangkan untuk busurnya, terdapat busur antara
dua simpul, dari x ke y jika k-1 nukleotida paling kanan dari simpul x sama
dengan k-1 nukleotida paling kiri dari y, dengan k menyatakan panjang
spektrum. Graf yang terbentuk adalah graf yang keterhubungan antar
simpulnya tidak banyak karena aturan pembentukan busur tadi.
Untuk spektrum dengan panjang 3 {TCA, CAC, ACA, CAG, AGG}
yang diperoleh pada tahapan biokimia, spektrum tersebut akan menjadi
simpul pada graf H (Gambar 2.7(a)). Untuk pembentukan busurnya,
perhatikan simpul TCA dan CAC karena 2 nukleotida paling kanan dari TCA
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
16
sama dengan 2 nukleotida paling kiri dari CAC yakni CA maka terbentuk
busur yang menghubungkan TCA ke CAC. Perhatikan juga simpul CAG dan
AGG karena 2 nukleotida paling kanan dari CAG sama dengan 2 nukleotida
paling kiri dari AGG yakni AG maka terbentuk busur yang menghubungkan
CAG ke AGG, semua busur dibentuk dengan cara yang serupa sehingga graf
H yang terbentuk akan seperti pada Gambar 2.7(b). Barisan DNA dapat
dibentuk dengan mencari lintasan hamilton pada graf H, pada contoh 2.7(b)
lintasan Hamilton yang terbentuk adalah TCA-CAC-ACA-CAG-AGG sehingga
barisan DNA yang terbentuk adalah TCACAGG.
CAC
ACA
CAC
ACA
TCA
TCA
CAG
AGG
CAG
(a)
AGG
(b)
Gambar 2.7 (a) Simpul pada graf DNA, (b) Contoh graf DNA
Namun pencarian lintasan Hamilton membutuhkan waktu ekponensial.
Dari analisis algoritma diketahui bahwa waktu pencarian lintasan Euler
adalah polinomial. Untuk mengurangi kompleksitas pencarian barisan DNA
yang utuh dari eksponensial ke polinomial, graf H dapat ditransformasikan
menjadi graf baru, sebut saja graf G, dimana graf H adalah line digraph dari
graf G tersebut. Graf G disebut sebagai graf asal dari H.
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
17
Proses pembentukan graf berarah G dari graf berarah H adalah
sebagai berikut, tiap simpul pada graf H menjadi busur pada graf G (jadi
busur pada graf G berkorespondensi dengan spektrum). Busur ini
menghubungkan simpul dengan label k-1 paling kiri dan k-1 paling kanan
nukleotida dari oligonukleotida yang bersesuaian dengan busurnya. Misalkan
untuk graf DNA H pada Gambar 2.7(b), simpul pada graf H akan menjadi
busur pada graf G (Gambar 2.8 (a)). Busur – busur yang terbentuk akan
menghubungkan simpul dengan label 2 nukleotida paling kiri dan 2 nukleotida
paling kanan dari busur tersebut. Misalkan untuk busur CAG, busur ini akan
menghubungkan simpul CA dan simpul AG. Seterusnya pembentukan
simpul ini berlaku untuk tiap busur. Graf G yang terbentuk akan seperti pada
Gambar 2.8(b).
TCA
CAC
TCA
TC
CAC
CA
ACA
ACA
CAG
AC
CAG
AGG
(a)
AG
AGG
GG
(b)
Gambar 2.8 (a) Busur pada graf asal, (b) Graf asal dari graf DNA pada Gambar 2.7(a)
Dari graf G pada Gambar 2.8(b), lintasan Euler yang diperoleh juga
TCA-CAC-ACA-CAG-AGG sama dengan lintasan Hamilton yang diperoleh
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008
18
dari graf H pada Gambar 2.7(b) sehingga akan terbentuk barisan DNA yang
sama, yakni TCACAGG .
Graf DNA merupakan suatu line digraph sehingga permasalahannya
adalah bagaimana mengenali suatu line digraph dan merubahnya menjadi
graf asalnya dengan kompleksitas polinomial sehingga mencari barisan DNA
yang utuh dapat dilakukan dalam waktu polinomial. Untuk itu perlu dipelajari
sifat – sifat pada line digraph sehingga dapat ditentukan kompleksitas dari
transformasinya lewat sifat – sifat ini. Namun dalam skripsi ini yang dibahas
hanya mengenai sifat – sifat line digraph yang berlaku secara umum pada
sembarang graf serta cara untuk mengenali line digraph dan membentuk graf
asalnya saja, tidak sampai membahas solusi dari masalah pencarian barisan
DNA secara utuh.
Sifat-sifat Line..., Juwita Wichapraditha, FMIPA UI, 2008