FisTum2 Hal 3-25 - Direktori File UPI

KEGIATAN BELAJAR 1
REPRESENTASI MATRIKS
1.1
Ruang Hilbert " ξ " Menurut notasi dirac
1.1.1
Vektor Ket dan Vektor Bra
Setiap elemen atau vektor didalam ruang hilbert disebut vektor ket atau
ket. Ket menurut notasi dirac dinyatakan dengan simbol " " . Supaya kita dapat
membedakan suatu ket dengan ket-ket lainnya maka kedalam tanda
"
"
dimasukan atau dituliskan huruf atau angka. Sebagai contoh ket Ψ dituliskan
dengan simbol " Ψ " . Beberapa ket membentuk ruang vektor linier. Setiap
kombinasi linier dari beberapa ket juga berupa suatu vektor ket. Sebagai contoh
misalkan kita ambil dua ket " 1 " dan " 2 " juga dua bilangan kompleks
sembarang λ1 dan λ2. Kombinasi linier kedua vektor ket tersebut adalah
Ψ = λ1 1 + λ 2 2
Hasil kombinasi liniernya adalah juga berupa vektor ket. Analoginya dengan
ruang gelombang dapat dinyatakan sebagai berikut Ψ(r) ∈ ruang gelombang ↔
Ψ ∈ ruang Hilbert menurut definisi ket-ket dari suatu ensambel adalah bebas
linier atau tak bergantungan linier (linierly Independent) jika tak ada satupun dari
mereka dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari ket-ket lainnya.
Jika suatu ruang vektor mengandung paling banyak n buah vektor bebas
linier, maka dikatakan dimensi ruang ini terbatas dan jumlah dimensinya
didefinisikan sama dengan n. Jika dalam suatu ruang mengandung jumlah vektor
bebas liniernya tak terbatas maka dikatakan ruang ini memiliki jumlah dimensi
tak berhingga. Ruang vektor berdimensi tak berhingga ini dinamakan ruang
Hilbert.
Seperti yang kita ketahui dalam aljabar linier bahwa dengan setiap ruang
vektor dapat dikaitkan dengan ruang vektor rangkap (dual space vektor). Setiap
linier fungsional χ ( U ) dari ket U memiliki sifat superposisi. Linier fungsional
χ adalah suatu operasi linier yang mengasosiasikan suatu bilangan kompleks
dengan setiap ket U :
χ
U ∈ ξ →
bilangan χ ( U
)
χ (λ1 U 1 + λ 2 U 2 ) = λ1 χ ( U 1 ) + λ 2 χ ( U 2
)
Linier fungsional dan operasi linier keduanya beroperasi linier tetapi membetuk
kaitan masing-masing ket dengan bilangan kompleks. Linier fungsional
didefinisikan pada ket U ∈ ξ merupakan ruang vektor yang disebut dual space
dari ξ dan dilambangkan dengan ξ * . Elemen –elemen dari ruang vektor ξ *
menurut notasi dirac disebut vektor Bra atau Bra dan dinyatakan dengan simbol
" " . Untuk membedakan suatu vektor bra dengan bra lainnya maka kedalam
simbol itu dituliskan huruf atau angka.Contoh bra Ψ ditulis
Ψ .
menyatakan bilangan yang diperoleh dengan cara linier fungsional
bekerja pada ket Ψ ∈ ξ .
χ Ψ
χ ∈ξ *
χ ( Ψ )= χ Ψ
Simbol
itu sendiri dinamakan bracket (tanda kurung).
Secara garis besarnya ruang hilbert adalah suatu ruang vektor linier dengan
dimensi tak hingga yang memiliki produk skalar dan bersifat lengkap. Vektorvektor didalam ruang vektor linier mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
1. Jika C adalah jumlah dari a dan b maka ditulis C = a + b .
2. Perkalian suatu bilangan kompleks λ dengan suatu vektor a menghasilkan
vektor lain b dengan b = λ a
3. jika a dan b masing-masing elemen dari ruang hilbert maka ( a + b )
adalah juga elemen dari ruang hilbert (sifat tertutup terhadap penjumlahan).
4. Jika a ∈ ξ dan λ adalah skalar kompleks maka λ a ∈ ξ (sifat tertutup
terhadap perkaliandengan bilangan kompleks).
5. Terdapat elemen nol dalam ruang ξ sehingga untuk setiap a ∈ ξ berlaku
a + 0 = a
6. untuk setiap a ∈ ξ ada inversnya a ' sedemikian hingga a + a ' = 0
7. Berlaku hukum-hukum algebra untuk ket dalam ruang ξ
a. α + β = β + α sifat komutatif
b.
c.
d.
(α + β )+ γ
a (b α ) = ab α
(a + b) α
= α +(β + γ
) sifat asosiatif
sifat asosiatif terhadap perkalian
= a α + b α sifat distributif
e. a ( α + β ) = a α + a β sifat distributif
Hubungan Antara Ket Dan Bra
Anda sudah mempelajari bagaimana perkalian skalar dari dua vektor
dinotasikan dan dijabarkan dalam ruang gelombang pada modul pengantar fisika
kuantum. Berikutnya akan kita pelajari bagaimana hal itu dinotasikan dalam
notasi dirac. Produk skalar atau perkalian skalar dua vektor ket ϕ dan Ψ
dalam ruang gelombang.dituliskan dengan
dirac dituliskan dengan ϕ Ψ atau
( ϕ , ψ ),
sedangkan dalam notasi
(ϕ ,
Ψ )= ϕ Ψ
dengan demikian dapat kita lihat bahwa dalam ruang ξ perkalian skalar adalah
antilinier terhadap vektor pertama. Sebagai contoh bila ϕ merupakan kombinasi
linier dari ϕ 1 dan ϕ 2 , ϕ = λ1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 maka perkalian skalarnya dengan
Ψ adalah
(λ
1
ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 , Ψ ) = λ1* ( ϕ 1 , Ψ ) + λ*2 ( ϕ 2 , Ψ ) = (λ1* ϕ 1 + λ*2 ϕ 2 ) Ψ
Maka untuk sembarang Ψ berlaku
λ1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 ⇒ λ1* ϕ 1 + λ*2 ϕ 2
Jadi dengan demikian perubahan dari ket ke Bra hubungannya antilinier. Sebagai
catatan jika λ adalah bilangan kompleks dan Ψ adalah suatu ket maka
λ Ψ = λΨ . Bila kita ubah ket λΨ menjadi bra maka λΨ = λ* Ψ yang
menunjukan bahwa hubungan antara ket dan bra adalah antilinier.
SIFAT-SIFAT PERKALIAN SKALAR
a.
ϕ Ψ = Ψϕ
b.
ϕ λ1 Ψ1 + λ 2 Ψ2 = λ1 ϕ Ψ1 + λ 2 ϕ Ψ2
c.
λ1ϕ 1 + λ 2ϕ 2 Ψ = λ1 ϕ 1 Ψ + λ 2 ϕ 2 Ψ
d.
Ψ Ψ real, positif, nol jika dan hanya jika Ψ = 0
*
OPERATOR LINIER
Pengertian operator sedikit banyaknya sudah anda pelajari dalam modul
pengatar fisika kuantum. Pada waktu kita mempelajari probabilitas gelombang
materi misalnya menentukan harga rata-rata, variansi dari suatu besaran dinamis
atau observable maka kita ubah dulu observable menjadi operator. Sekarang kita
akan pelajari lebih jauh tentang pengertian dan kerja suatu operator linier dalam
ruang hilbert.
Menuurt definisi operator linier adalah suatu operator yang berasosiasi dengan
setiap ket dan menghasilkan ket lain yang berbeda dengan ket semula. Sebagai
contoh misalkan suatu operator  bekerja pada suatu fungsi atau vektor Ψ ∈ ξ
maka ditulis
Aˆ Ψ = Ψ '
dimana Ψ ≠ Ψ ' . Bila Ψ
merupakan kombinasi linier dari Ψ1
Ψ2 atau Ψ = λ1 Ψ1 + λ 2 Ψ2 maka:
Aˆ Ψ = Aˆ (λ1 Ψ1 + λ 2 Ψ2 ) = Aˆ λ1 Ψ1 + Aˆ λ 2 Ψ2 = λ1 Aˆ Ψ1 + λ 2 Aˆ Ψ2
dan
dari persamaan itu dapat kita lihat bahwa kerja suatu operator pada suatu fungsi
hubungannya linier.
Perkalian dua operator linier  dan B̂ ditulis Aˆ Bˆ dan didefinisikan sebagai
berikut:
( Aˆ Bˆ ) Ψ = A( B Ψ )
Artinya bila operator Aˆ Bˆ bekerja pada suatu fungsi maka operator B̂ terlebih
dahulu dikerjakan pada Ψ hingga menghasilkan ket lain Ψ ' = B Ψ , baru
kemudian operator  bekerja pada
lagi misalnya:
Ψ'
dan akan menghasilkan ket yang lain
Ψ '' = A Ψ ' .
Secara singkat dapat diungkapkan sebagai berikut:
( Aˆ Bˆ ) Ψ = Aˆ ( Bˆ Ψ ) = Aˆ Ψ ' = Ψ ''
bila anda bertanya, ”mengapa urutannya harus seperti itu”? ya, itu disebabkan
karena pada umumnya Aˆ Bˆ tidak sama dengan Bˆ Aˆ atau pada umumnya dua
operator tidak komut. Contoh-contoh operator linier misalnya:
1.
perkalian dengan bilangan kompleks λ
Ψ λ =λ Ψ
a.
c.
Ψ λ =λ Ψ
Aˆ λ Ψ = λAˆ Ψ
d.
ϕ λ Ψ =λ ϕ Ψ
b.
2.
proyeksi pada Ψ
misalkan Ψ ∈ ξ adalah ket yang ternormalisasi yaitu Ψ Ψ = 1. Kita tinjau
operator P̂Ψ yang didefinisikan sebagai berikut:
P̂Ψ = Ψ Ψ
Selanjutnya kita operasikan operato-operator tersebut pada sembarang ket
Ψ ∈ ξ sebagian berikut:
P̂Ψ ϕ = Ψ Ψ ϕ
ternyata menghasilkan ket yang berbanding lurus dengan Ψ dengan koefisien
perbandingannya berupa perkalian skalar antara ϕ
dan Ψ yaitu Ψ ϕ Arti
geometris dari P̂Ψ adalah proyeksi orthogonal sembarang ket pada ket Ψ .
Operator proyeksi ini P̂ mempunyai sifat idempoten yaitu Pˆ 2 = Pˆ .
Ψ
Ψ
contoh: buktikan bahwa Pˆ = PˆΨ
2
Ψ
Ψ
Jawab
PˆΨ2 = PˆΨ PˆΨ = Ψ Ψ Ψ Ψ
Karena Ψ Ψ = 1 = 1 maka
PˆΨ2 = Ψ Ψ = PˆΨ
3. Proyeksi Ke Suatu Sub ruang (Sub Space)
Misalkan ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ,......, ϕ q adalah q buah vektor ternormalisasi yang satu
sama lain saling tegak lurus(orthogonal).
Vektor-vektor yang ternormalisasi dan orthogonal dinamakan vektor orthonormal.
Maka perkalian skalarnya dapat diungkapkan sebagai berikut.
ϕ i ϕ j = δ ij
δ ij adalah fungsi delta kroneker yaitu harganya sama dengan satu bila i = j dan
nol yang lainnya atau
= 1 bila i = j
δ ij
= 0 bila i ≠ j
Kita bisa menyatakan bahwa kumpulan q buah vektor tersebut berada disuatu
subruang dari ruang hilbert. Subruang vektor tersebut direntangkan (span) oleh q
buah vektor dan dilambangkan dengan ξ q Misalakan P̂q = adalah operator linier
yang didefinisikan oleh Pˆ = ∑ ϕ ϕ . Kita operasikan operator tersebut pada
q
i
i
sembarang ket Ψ ∈ ξ maka
q
Pˆ Ψ = ∑ ϕ i ϕ i Ψ
i =1
= ϕ 1 ϕ 1 Ψ + ϕ 2 ϕ 2 Ψ + ϕ 3 ϕ 3 Ψ + ...... + ϕ q ϕ q Ψ
Ternyata menghasilakan superposisi linier dari proyeksi Ψ ke dalam berbagai
variasi ϕ i . yang tidak lain adalah proyeksi Ψ kedalam subruang ξ q .
KERJA SUATU OPERATOR LINIER PADA VEKTOR BRA
Relasi yang mendifinisikan kerja suatu operator linier  pada bra ϕ ∈ ξ
dapat didituliskan sebagai berikut
ϕ Aˆ Ψ = ϕ Aˆ Ψ
(
)
(
)
operator linier  yang bekerja pada bra ϕ menghasilkan bra baru ϕ ' dimana
ϕ ≠ ϕ ' dan hubungannya adalah linier (correspondence linier). Sekarang mari
kita tinjau kombinasi linier yang dinyatakan oleh ϕ 1 dan ϕ 2 sebagai berikut:
ϕ = λ1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2
Berdasarkan definisi diatas
ϕ Aˆ Ψ = ϕ Â Ψ
(
)
(
)
= (λ1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2
)(Aˆ Ψ )
= λ1 ϕ 1 ( Aˆ Ψ ) + λ 2 ϕ 2 ( Aˆ Ψ )
= λ1 ( ϕ 1 Aˆ ) Ψ + λ 2 ( ϕ 2 Aˆ ) Ψ
jika Ψ adalah sembarang ket maka
ϕ Aˆ = λ ϕ Aˆ + λ ϕ Aˆ
1
1
2
2
yang menyatakan bahwa bra ϕ Â adalah bra sebagai hasil dari operasi linier Â
pada ϕ . Berdasarkan apa yang sudah diuraikan diatas ada dua hal penting yang
harus kita perhatikan yaitu:
1. penempatan tanda kurung dalam simbol yang mendefinisikan elemen matrik .
 antara ϕ dan Ψ tidak penting
ϕ A Ψ = ( ϕ A) Ψ = ϕ ( A Ψ
)
2. cara penulisan yang menyatakan operator  bekerja pada ϕ adalah ϕ  .
Bila anda menuliskan  ϕ
maka penulisan seperti itu bukan menyatakan
kerja operator  pada ϕ tapi hanyalah perkalian antara  dan ϕ . Bila
ϕ  bekerja pada Ψ maka hasilnya  ϕ Ψ berupa operator.
OPERATOR HERMITIAN ADJOINT Â + DARI OPERATOR LINIER Â
Hermitian adjoint dari suatu operator linier  didefinisikan sebagai berikut:
Aˆ
Ψ 
→
Ψ' = A Ψ
b
b
b
Ψ →
Ψ ' = Ψ Aˆ +
Aˆ +
hubungan. Ψ ' = Ψ Â + adalah linier.
Contoh : buktikan bahwa hubungan Ψ ' = Ψ Â + adalah linier dan  + adalah
operator linier.
Jawab : telah kita ketahui bahwa hubungan antara bra dan ket adalah anti linier.
λ1 Ψ1 + λ 2 Ψ2 = λ1* Ψ1 + λ*2 Ψ2
λ1* Aˆ Ψ1 + λ*2 Aˆ Ψ2 = λ 1* Ψ1' + λ*2 Ψ2'
= λ 1 Ψ1' + λ 2 Ψ2'
= λ 1 Ψ1 Aˆ + + λ 2 Ψ2 Aˆ +
= (λ 1 Ψ1 + λ 2 Ψ2 ) Aˆ +
jadi dengan demikian hubungan Ψ ' = Ψ Â + adalah linier (perhatikan baris ke
3 dan ke 4)dan  + (hermitian adjoint dari  ) berupa operator linier.
Berdasarkan uraian diatas maka. Â + .adalah operator linier yang didefinisikan oleh
rumusan
Ψ ' = Aˆ Ψ ↔ Ψ ' = Ψ Aˆ +
Bila ϕ adalah ket sembarang ϕ ∈ ξ dan dengan menggunakan sifat-sifat
perkalian skalar maka selalu kita tuliskan
*
Ψ' ϕ = ϕ Ψ
Berdasarkan definisi  + diatas kita dapat menuliskan
*
Ψ A+ ϕ = ϕ A Ψ
Ungkapan tersebut berlaku untuk semua ϕ
dan Ψ . Satu hal yang perlu
anda catat adalah bahwa bila operator linier  dikeluarkan dari simbol bra maka
haruslah diganti dengan adjoint nya  + dan ditempatkan disebelah kanan bra.
Atau
ΨAˆ = Ψ Aˆ +
Beberapa sifat operator Hermitian Adjoint
( )
( )
3. (Aˆ + Bˆ ) = Aˆ
4. (Aˆ Bˆ ) = Bˆ Aˆ
+
1. Aˆ + = Aˆ
+
2. λAˆ = λ* Aˆ +
+
+
; λ adalah bilangan kompleks
+
+
+ Bˆ +
+
sifat no 4 menunjukan bahwa hermitian adjoint dari perkalian skalar dua operator
adalah sama dengan perkalian hermitian adjoint masing-masing operator tapi
dengan urutan dibalik.
( )
+
Soal: Buktikanlah bahwa Aˆ Bˆ = Bˆ + Aˆ +
Jawab
ϕ = ÂBˆ Ψ
Misalkan
dengan Ψ ' = B̂ Ψ
'
ˆ
=AΨ
Kita ubah ket ϕ menjadi bra ϕ maka menurut definisi
( )
ϕ = Ψ Aˆ Bˆ
+
………………………………………………*
= Ψ ' Aˆ +
karena Ψ ' = B̂ Ψ maka Ψ ' = Ψ B̂ +
jadi
ϕ = Ψ Bˆ + Aˆ + ………………………………………………………..**
( )
+
dari persamaan * dan ** diperoleh Aˆ Bˆ = Bˆ + Aˆ +
Hal lain yang perlu juga nada perhatikan adalah bahwa definisi operator hermitian
adjoint dapat juga dituliskan sebagai berikut
Aˆ +ϕ Ψ = ϕ Aˆ Ψ
yang artinya bahwa dalam perkalian skalar dua vektor suatu operator dapat pindah
dari satu ruang ke ruang lainnya tapi dengan mengubahnya terlebih dahulu
dengan hemitian adjointnya.
HERMITIAN ADJOINT DALAM NOTASI DIRAC
Telah kita tunjukan bahwa hermitian adjoint dari perkalian dua vektor sama
dengan perkalian hermitian adjoint dari masing-masing operator dengan
menukarkan letaknya. Sekarang marilah kita buktikan bahwa:
( Ψ ϕ )+ = ϕ Ψ
bukti
+
U (Ψ ϕ ) V = V (Ψ ϕ ) U
[
= V Ψ
= ΨV
]
*
ϕ U
*
U ϕ
= U ϕ ΨV
= U ( ϕ Ψ )V
dengan demikian: ( Ψ ϕ ) = ϕ Ψ
Jadi dalam notasi Dirac, operasi hermitian adjoint mengikuti aturan sebagai
berikut: untuk memperoleh hermitian adjoint dari setiap pernyataan yang terdiri
dari konstanta, kets, bra dan operator ialah
1. mengganti konstanta dengan konjugasi kompleksnya
2. mengganti kets dengan bra yang berkaitan
3. mengganti bra dengan kets yang berkaitan
+
4. mengganti operator dengan hermitian adjointnya
Contoh Soal
1.
tentukanlah hermitian adjoint dari pernyataan berikut
λ U Aˆ V Ψ ϕ
jawab
dalam pernyataan tersebut λ dan U Aˆ V adalah bilangan dan Ψ ket ϕ
adalah bra. Hermitian adjoint pernyataan tersebut menurut aturan diatas adalah
+
λ U Aˆ V Ψ ϕ = λ* V Aˆ + U ϕ Ψ
(
)
2. Tentukanlah Hermitian adjoint dari pernyataan berikut
λ | u ⟩⟨ v | w⟩
Jawab
Dalam pernyataan tersebut λ dan ⟨ v | w⟩ adalah bilangan dan | u⟩ adalah suatu
ket. Hermitian adjiont dari pernyataan tersebut adalah
λ | u ⟩⟨ v | w⟩ + = λ* ⟨u | ⟨ w | v⟩
OPERATOR HERMITIAN
Suatu operator disebut Hermitian bila sama dengan hermitian adjointnya atau
∧
∧ +
∧
bila A = A maka operator A adalah Hermitian. Untuk operator Hermitian
berlaku
1.⟨ψ | A | ϕ ⟩ = ⟨ϕ | A | ψ ⟩ *
untuk semua | ϕ ⟩.dan. | ψ ⟩
∧
∧
2.⟨ A ϕ | ψ ⟩ = ⟨ϕ | Aψ ⟩
1.2. REFRESENTASI DAN BASIS
Anda sebaiknya mengingat kembali
pengertian-pengertian basis dan
komponen vektor dari suatu vektor didalam ruang vektor Cartesian, sebelum
mempelajari bagian modul . hai itu dimaksudkan supaya anda dapat melihat
analogo antara ruang Cartesian dan ruang Hilbert untuk pengertian basis dan
komponen
Vektor dan operator dijabarkan ke dalam basis-basisnya oleh bilanganbilangan. Vektor dijabarkan dalam komponen-komponennya sedangkan operatir
dijabarkan oleh elemen-elemen matriknya. Dua hubungan antar basis dalam
notasi Dirac ialah relasi Orthonormalisasi dan relasi Cosure.
a. Relasi Ortonormalisasi
Suatu set ket diskrit {| u i ⟩} atau set ket kontinu {| wα ⟩} disebut ortonormal jika
ket-ket tersebut memenuhi relasi sebagai berikut
⟨ ui | u j ⟩ = δ ij
Set diskrit
⟨ wα | wα ' ⟩ = δ (α − α ' )
Set kontinu
Produk skalar set diskrit menghasilkan fungsi delta Kronecker δ ij . Dan
produk skalar set kontinu menghasilkan fungsi delta Dirac δ (α − α ' ) .
b. Relasi Closure
Suatu set ket diskrit {| u i ⟩} atau set ket kontinu {| wα ⟩} merupakan basis
dalam ruang Hilbert jika setiap ket | ψ ⟩ ∈ . Dapat dijabarkan secara unik ke
dalam | u i ⟩ . Atau | wα ⟩ . Yaitu
| ψ = ∑ ci | u i ⟩
diskrit
| ψ ⟩ = ∫ dα .c(α ) | wα ⟩
kontinu
Pada persamaaan tersebut CI dan C (α) masing-masing menyatakan
komponen dari vektor ket | ψ ⟩ . Ci adalah komponen | ψ ⟩ dalam basis
diskrit | u i ⟩ dan C(α). Adalah komponen dari | ψ ⟩ . Dalam kontinu | wα ⟩
untuk menentukan komponen suatu vektor ket dalam dilakukan cara
sebagai berikut : kalikan atau produkskalarkan | ψ ⟩ . Dengan baris lalu
integrasikan meliputi seluruh ruang
⟨ u j | ψ ⟩ = ⟨u j | ∑ c i | u i ⟩ = ∑ c i ⟨u j | u i ⟩
i
⇔= ∑ ci δ ji
untuk i = j
i
⇔= c j
Cj adalah komponen ke Cj dari vektor ket | ψ ⟩ dengan cara yang sama
komponen ke CI dari vektor ket | ψ ⟩ adalah ⟨u i | ψ ⟩ = ci
Bila pada persamaan | ψ ⟩ = ∑ ci | u i ⟩ … harga CI nya digantikan dengan
⟨u i | ψ ⟩ = ci …. Maka diperoleh | ψ ⟩ = ∑ ⟨u i | ψ ⟩ | u i ⟩ = ∑ | u i ⟩⟨ u i | ψ ⟩
i
i
coba anda perhatikan kedua ruas persamaan di atas supaya ruas kiri
sama dengan ruas kanan maka haruslah dipenuhi
∑ | ui ⟩⟨ui | = I
i
Hubungan tersebut di namakan relasi Closure dengan I menyatakan
Operator identitas.
Pada basis kontinu bila pada persamaan
| ψ ⟩ = ∫ dα .c(α ) | wα ⟩
harga C(α)nya kita gantikan dengan ⟨ wα | ψ ⟩
maka diperoleh:
| ψ ⟩ = ∫ dα.⟨ wα | ψ ⟩ | wα ⟩ = ∫ dα | wα ⟩⟨ wα | ψ ⟩
Persamaan tersebut akan benar bila dipenuhi
∫ dα Wα Wα = 1
Hubungan tersebut juga dinamakan relasi closure dengan 1 menyatakan
operator identitas .
Jadi dengan demikian representasi dalam ruang keadaan dapat
dinyatakan sebagai berikut:
Set diskrit {U i
}
Set kontinu {Wα
}
U i U j = δ ij
Wα Wα ' = δ (α − α ' )
∑U
∫ dα Wα
i
Ui =1
i
Wα = 1
Representasi Matriks Kets dan Bra
Dalam basis
{U },
i
vektor kets dijabarkan oleh suatu set komponen-
komponennya yaitu oleh sejumlah bilangan C i = U i Ψ . Bilangan-bilangan
tersebut disusun secara vertikal membentuk matriks kolomnya.
 U1 Ψ 
 C1 


 
 U2 Ψ 
C2 


 
 U 3 Ψ  atau  C 3 
 .......... 
 .... 


. 
 ........... 
 
C 


 i
 Ui Ψ 
Vektor bra
ϕ
dalam basis
{U }
i
dapat diungkapkan sebagai berikut
ϕ = ∑ ϕ U i U i . Telah kita pelajari sebelumnya bahwa kita selalu dapat
menempatkan operator identitas 1 antara ϕ dan Ψ
perkalian skalar:
ϕ Ψ = ϕ 1 Ψ = ∑ ϕ U i U i Ψ = ∑ bi* C i
dalam pernyataan
Komponen – komponen dari ϕ yaitu ϕ U i disusun secara horizontal
membentuk matriks baris (mempunyai satu baris dan kolom yang tak berhingga)
( ϕ U 1 ϕ U 2 ϕ U 3 ........ ϕ U i )
Anda sekarang dapat membuktikan sendiri bahwa ϕ Ψ menyatakan perkalian
matriks yaitu matriks baris yang dinyatakan oleh ϕ dan matriks kolom yang
dinyatakan oleh Ψ . Hasilnya adalah matriks satu baris satu kolom yaitu berupa
suatu bilangan.
DIAGONALISASI SUATU OPERATOR
Misalkan basis orthogonal ℜ terdiri dari nilai eigen –nilai eigen dari operator
hermitian Ĝ :
Gˆ U i = g U i
Elemen matrik dari operator Ĝ adalah:
U j Gˆ U i = U j g U i
G ji = g U j U i
G ji = gδ ji
Bila kita jabarkan kedalam elemen matriknya maka
 g 1 00........ 


 0 g 2 0........ 
 00 g ........ 
3


 ................ 
jadi jabaran matriks dari suatu operator dalam basis berupa fungsi eigen dari
operator itu adalah berbentuk matriks diagonal. Sebagaimana telah Anda pelajari
sebelumnya bahwa suatu ket dijabarkan menjadi matriks kolom . Demikian juga
representasu fungsi-fungsi eigen U i adalah berupa sederetan koefisien {a qi }
yang disusun secara vertikal atau berupa matriks kolom dalam jabaran
U i = ∑ a ij U j
Bila kita kalikan dari sebelah kiri dengan U q maka:
U q U i = ∑ a ij U q U j
j
δ qi = ∑ a ij δ qj
j
untuk j = q maka δ qq = 1
δ qi = a qi
Jadi repersentasi matriks dari vektor eigen ** adalah vektor kolom
(matriks kolom) dengan hanya satu elemennyayang tidak nol yaitu di baris ke i.
 a1(1)  1 

  
 a2 (1)   0 
 (1)   
0
U1 →  a3  =  
. 
⋅   
⋅  . 

  . 
⋅   
U2
 a1( 2 )   0 

  
 a2 ( 2)  1 
 (2)   
0
→  a3  =  
. 
⋅
  
⋅
 . 

  . 
⋅
  
 a1( 3)   0 

  
 a2 ( 3 )   0 
 ( 3)   
1
U 3 →  a3  =  
. 
⋅
  
⋅
 . 

  . 
⋅
  
 a1( 4 )   0 


 a ( 4)   0 
 2( 4 )   0 
a   
U 4 →  3  = 1 
( 4)
 a4   0 
 (4)   
 a5   . 
⋅
  

 . 
Representasi matrik untuk persamaan nilai eigen dapat diungkapkan sebagai
berikut :
Gˆ U i = g i U i
U j Gˆ U i = U j U i
Kita gunakan relasi klosure dam ditempatkan di samping operator Ĝ :
U j Gˆ 1 U i = U j U i
∑U
j
Gˆ 1 U K U K U i = g i U j U i
K
∑G
jk
ak
(i )
= gi a j
(i )
K
Untuk i = 3 bentuk matriks persamaan diatas adalah :
 g1 0 0 0 . . .  0 
 0

 
 
 0 g 2 0 0 . . .  0 
 0
 0 0 g 0 . . . 1 
1 
3

  = g1  
. . . .
 0 
 0

 
 
. . . .
 . 
. 
. 
. . . .
 . 
 

 
Anda masih ingat bagaimana menentukan besar atau panjamng suatu vektor
dalam ruang kartesian ?. demikian pula dalam ruang Hilbert kita dapat
menentukan panjang suatu vektor ψ dalam ruang Hilbert menurut notasi Dirac
diungkapkan oleh :
ψ = ψ ψ = ψ ψ = ∑ ψ Vi U i ψ
2
i
= ∑ ai ai
*
i
= ∑ ai
2
i
Contoh :
Buktikan bahwa panjang vektor basis orthonormal Vi adalah Satu
Jawab :
Vi = U i U i = ∑ a j a j
2
*( i )
(i )
Uj Uj
i
2
δ ii = ∑ a j( i ) δ ii
j
1= ∑ aj
(i ) 2
j
Misalkan untuk i = 4 representasi matriksnya adalah :
U4 = U4 U4
0
 
0
0
 
1 
= (0 0 0 1 0 . . . )  = 1
0
. 
 
. 
. 
 
Berdasarkan apa yag telah kita bahas sebelumnya, maka disimpulkan bahwa
oprator Ĝ adalah diagonal dalam basis{ U i }.
Gij = gi δji
Atau equivalen dengan :
U j Gˆ U i = g i U j U i
Kalikan kedua ruas dengan jumlah
∑U
j
, maka :
j
∑U
j
U j Gˆ U i = g i ∑ U j U j U i
j
j
(
1 Ĝ U j = g i J U j
)
1 Ĝ U j − gi J U j = 0
atau Ĝ U j = gi U j
Dengan demikian kita peroleh jika operator Ĝ diagonal dalam basis B maka
basis B adalah terdiri dari vektor eigen – vektor eigen dari Ĝ. Jadi permasalah
menemukan nilai eigen dari suatu operator equivalen dengan menemukan basis
yang mendiagonalkan operator.
1.3. SIFAT MATRIKS ELEMENTER.
Suatu operator  dapat dijabarkan dalam basis { U i } yang diasosiasikan
oleh sederatan bilagan yang didefinisikan oleh :
Aij = U j Aˆ U i
Bilangan tersebut bergantung pada dua indeks an dapat disusun dalam matriks
persegi. Menurut perjanjian indeks pertama mununjukkan baris dan indeks kedua
menyatakan kolom. Jadi dalam basis { U i } operator  dapat dijabarkan oleh
matriks :
 A11 A12 A13 . . . A1 j 


 A21 A22 A23 . . . A2 j 


.


A=
.



.

A A A . . . A 
ij
 i1 i 2 i 3

ˆ
ˆ
Bagaimana perkalian dua operator, misalnya AB dijabarakan kedalam matriks
dalam basis { U i } ? untuk itu kita gunakan definisi diatas, yaitu :
U Aˆ Bˆ U = ( AB)
j
i
ij
Atau bisa juga dijabarkan sebagai berikut :
U j Aˆ Bˆ U i = U j Aˆ 1 Bˆ U i
= ∑ Ui A U K U K A U j
K
= ∑ AiK BKj
K
Penjabaran matriks dari ψ ' = Â ψ
Bagaimana caranya apabila kita ingin merepresentasikan hasil operasi
suatu opertor pada suatu ket dalam basis { U i } ?
ψ ' = Â ψ
Untuk itu kita kalikan skalar dari sebelah kiri dengan basis U i , maka :
Ui ψ ' = Ui Aψ
Kemudian gunakan relasi closure atau operator identitas dan tempatkan
disamping A
U i ψ ' = U i A 1ψ = ∑ U i A U j U j ψ
j
Jadi pernyataan matrik untuk ψ ' = Â ψ adalah bahwa matrik kolom ψ ' sama
dengan perkalian dengan matriks kolom yang dinyatakan oleh ψ
persegi yang dinyatakan oleh A, yaitu :
 a1 '   A11 A12 A13 . . . A1 j  a1 
 
 
 a2 '   A21 A22 A23 . . . A2 j  a2 
 
.  .
 . 
 =
 . 
.  .

 
 
 . 
.  .
 a '   A A A . . . A  a 
 i   i1 i 2 i 3
ij  i 
dan matriks
Penjabaran matriks untuk ϕ A ψ
Pada pembahasan sebelumnya sudah kita sebutkan bahwa pernyataan
ϕ Âψ adalah berupa bilangan. Sekarang akan kita lihat bagaimana cara
menjabarkannya. Dalam basis { U i } dapat dituliskan :
ϕ Aˆ ψ = ϕ 1 Aˆ 1ψ
= ∑∑ ϕ ui ui A u j u j ψ
i
j
= ∑∑ ai *Aij a j
i
j
Secara matriks dapat dituli8skan sebagai berikut :
 A11 A12 A13 . . . A1j a1 

 
 A21 A22 A23 . . . A2 j a2 

 
.

. 
ˆ
ϕ Aψ = a1 *a2 *...ai *
.
. 

 
.
. 
 A A A . . . A aj 
ij  
 i1 i2 i3
= a1 *(A11a1 + A12a2 + . . . + A1jaj )
+ a2 *(A21a1 + A22a2 + . . . + A2 j aj )
+ aj *(Ai1a1 + Ai2a2 + . . . + Aijaj )
ϕ Âψ = sebuah bilangan
•
Perkalian skalar dua fungsi gelombang
Dalam basis { U i } perkalian skalar dua fungsi gelombang ψ dan ψ’ dapat
direpresentasikan secara matriks sebagai berikut :
ψ ψ' = ψ 1ψ'
= ∑ ψ ui ui ψ '
i
= ∑ ai ai '
*
i
 a1 ' 
 
 a2 ' 
 
*
*
* .
= a1 a2 ... ai  
. 
 
. 
a ' 
 i 
(
)
= sebuah bilangan
• Invers dari operator
Invers dari operator  datuliskan Â-1 dan mempunyai sifat Â-1 = ÂÂ-1 =
1
Contoh :
 a1 b 

Bila Aˆ = 
 c a2 
Maka Aˆ =
1
bc − a1a2
 − a1 b

 c − a2



Bukti
 − a2 b  a1 b 



 c − a1  c a 2 
 − a2 a1 + bc − a2b + ba2
1

=
cb − a2 a
bc − a1a2  ca1 − a1c
1 0 

= 
 0 1
Aˆ −1 Aˆ =
1
bc − a1a2



=1
•
Transpose dari operator Â
Transpose dari  dituliskan ÂT. Elemen – elemen matriks dari ÂT
diperoleh dengan mencerminkan Aij pada diagonal mayor dari matriks Â.
(ÂT)ij = Aji
Atau dengan cara mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
Contoh :
Tentukanlah transpose dari operator matriks berikut :
a b c


ˆ
A = d e f 
g h i 


a d g


T
Aˆ =  b e h 
c f i 


Pada matriks tersebut a c i membentuk mayor doagonal. b c f dicerminkan
terhadap mayor doagonal ini sehingga menempati tempat d g h dan d g h
menempati tempat b c f.
•
Simetriks dan anti simetriks
Jika  simetrik maka berkalu  = ÂT
Contoh :
1 2 5 


 =  2 4 - 6 
5 - 6 3 


Transposenya adalah :
1 2 5 


T
Aˆ =  2 4 - 6 
5 - 6 3 


Jadi  = ÂT dikatakan antisimetriks jika ÂT = Â
•
Trace dari operator Â
Trace dari operator  adalah jumlah seluruh elemen – elemen diagonalnya,
dituliskan :
Tr Aˆ = ∑ Aii
i
Contoh :
1 2 5 


Bila  =  2 4 - 6  tentukanlah Trace dari Â
5 - 6 3 


Jawab :
Tr  = 1 + 4 + 3 = 8
•
Hermitian adjoint dari Â
Hermitian adjoint dari  dapat ditulis Â+. Â+ dibangun dengan cara pertama
membentuk kompleks konungate dari A dan kemudian mentransposenya atau
:
Â+ = Â*T
Contoh :
 - 2i 4 6 


Bila  =  7
5 3i 
2
- i 8 

Tentukanlah hermitian adjoint dari Â
Jawab :
Aˆ + = Aˆ ∗T
*T
T
 - 2i 4 6 
 2i 4 6   2i 7 2 



 

5 3i  =  7
5 - 3i  =  4
5 i 
= 7
2
2
- i 8 
i 8   6 - 3i 8 


Jadi dengan demikian elemen – elemen matriks dari Â+ diberikan oleh :
(Â+)ij = (Aij)*
Atau secara lebih eksplisit :
U i Aˆ +U j = U j Aˆ U i
*
= Aˆ U i U j
•
Hermitian
Jika Â+ =  maka dikatakan bahwa  adalah hermitian atau setara dengan
itu. (Â+)ij = Âij dengan menggunakan persamaan sebelumnya
(Âij)* = Âij
atau Â*T = Â
•
Uniter
Jika hermitian adjoint Û+ dari operator Û dama dengan Û-1 yaitu invers
dari Û atau Û+ = Û-1 maka dikatakan bahwa Û adalah uniter. Elemen – elemen
matriks dari Û memenuhi relasi :
(Û+)ij = (Û-1)ij
(Ûji)* = (Û-1)ij
Û*T = Û-1
Untuk operator uniter berlaku :
Û Û+ = 1
(Û Û+)ij = δij
∑U ik (U jk )* = δ ij
K
Contoh :
Tunjukkanlah bahwa jika Û uniter maka nilai eigen an dari Û adalah 1
Jawab :
Uϕ n = anϕ n
Uˆϕ n Uˆϕ n = ϕ n Uˆ +Uϕ n = ϕ n Uˆ −1Uϕ n
= ϕn 1 ϕn = ϕn ϕn
Maka
an* an = | an |2 = 1
Berdasarkan apa yang telah kita pelajari diatas, maka sifat – sifat matriks
dapat diringkas sebagai berikut :
MATRIKS
Simetriks
Anti simetriks
Orthogonal
Real
Imajiner murni
Hermitian
Anti hermitian
Uniter
Singular
DEFINISI
 = ÂT
 = -ÂT
 = Â-1T
 = Â*
 = -Â*
 = Â+
 = -Â+
 = (Â+)-1
Det A = 0
ELEMEN MATRIKS
Aij = Aji
Aii = 0 ; Aij = -Aji
(ATA)ij = δij
Aij = A*ij
Aij = i Bij ; Bij real
Aij = A*ji
Aij = -A*ji
(A+A)ij = δij
LATIHAN
1. misalkan { U i } adalah basis orthonrmal lengkap dari ruang Hilbert B.
tunjukkanlah bahwa operai identitas 1 mempunyai representasi :
I = ∑ Ui Ui
i
2. tentukanlah fungsi gelombang ψ(K) daral representasi momentum untuk partikel
bermassa m dalam medan gaya homogen F = (Fo, 0, 0)
3. a). tunjukkanlah bahwa  dan Û-1ÂÛ mempunyai nilai eigen yang sama.
Haruskah Û bersifat uniter pada soal tersebut hingga benar ?
b). jika vektor eigen dari  adalah φn, bagaimana vektor eigen untuk Û-1ÂÛ ?
4. jika Û adalah uniter dan  Hermitian, tunjukkanlah bahwa ÛÂÛ-1 adalah juga
Hermitian !
5. tinjau dekomposisi sembarang operator uniter U berikut :
Uˆ + Uˆ +
Uˆ − Uˆ +
Uˆ =
+i
= Aˆ + iBˆ
2
2i
a). Tunjukkanlah bahwa  dan B̂ adalah Hermitian
b). Tunjukkanlah bahwa [Â, B̂ ] = [Â, Û] = [B,U] = 0
6. suatu operator * direpresentasikan secara matriks sebagai berikut
2
i 2

B̂ = 
− i 2

3


a). Tunjukkanlah bahwa B̂ hermitian
b). Tentukanlah invers dari B̂
c). Tentukanlah Tr B̂
7. tentukanlah representasi matriks dari operator (Â B̂ )+ dalam basis { U i }
1 + iHˆ
8. suatu operator dinyatakan sebagai berikut Uˆ =
bila Ĥ bersifat Hermitian
1 − iHˆ
buktikanlah bahwa Û adalah uniter