11 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika sebagai

11
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai bahasa simbol yang bersifat universal memegang peranan penting
dalam perkembangan suatu teknologi. Matematika sangat erat hubungannya dengan
kehidupan
nyata.
Banyak
penyelesaian
masalah-masalah
kehidupan
nyata
membutuhkan metode-metode matematika.
Persoalan yang muncul dalam bidang fisika matematika sering dapat
diturunkan ke dalam suatu persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan
salah satu cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih
turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga
melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta. Persamaan ini diperkenalkan pertama kali
oleh Leibniz pada tahun 1676. Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model
matematika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak
hukum-hukum alam dan hipotesa-hipotesa dapat diterjemahkan kedalam persamaan
yang mengandung turunan melalui bahasa matematika. Sebagai contoh, turunanturunan dalam fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan sedangkan dalam
geometri sebagai kemiringan.
Persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu persamaan diferensial
biasa(ordinary differential equation) dan persamaan diferensial parsial(partial
differential equation). Persamaan diferensial biasa didefinisikan sebagai suatu
persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan biasa suatu fungsi yang tidak
Universitas Sumatera Utara
12
diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas. Sedangkan persamaan diferensial
parsial didefinisikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih
turunan parsial suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas.
Persamaan diferensial Sturm-Liouville adalah persamaan diferensial biasa
berorde dua yang diperkenalkan oleh ahli matematika Jacques C.F Sturm(1803-1855)
dan Joseph Liouville (1809-1882). Persamaan diferensial ini dapat diselesaikan
dengan menggunakan metode numerik. Sasaran akhir dari analisis numerik yang
dilakukan dalam metode numerik adalah diperolehnya metode yang terbaik untuk
memperoleh jawaban yang berguna dari persoalan matematika.
Metode numerik yang digunakan untuk persamaan diferensial biasa dan
merupakan metode yang akurat untuk sebagian besar kasus adalah metode RungeKutta. Namun metode ini memiliki orde suku lebih tinggi yang mengakibatkan
perhitungan-perhitungan yang lebih rumit dan lebih mendalam walaupun hasilnya
akan memiliki galat yang kecil. Karena perhitungannya yang rumit maka digunakan
metode yang lain yaitu metode euler. Metode euler merupakan metode yang paling
sederhana dan paling efisien (paling sedikit memerlukan step untuk mendapatkan
hasil) tetapi memiliki galat yang besar.
Pada penelitian ini akan ditentukan kriteria-kriteria yang harus dipenuhi dalam
menyelesaikan persamaan diferensial Sturm-Liouville dengan menggunakan metode
euler.
1.2 Masalah Penelitian
Persamaan diferensial difokuskan pada penentuan penyelesaian dari persamaan
diferensial. Ada banyak persamaan diferensial yang sulit diperoleh bentuk
penyelesaiannya. Dalam hal ini, penyelesaian persamaan diferensial dengan
menerapkan metode numerik tertentu.
Universitas Sumatera Utara
13
Terdapat banyak metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Hal
yang terpenting adalah memperhitungkan ketelitian dari hasil yang diperoleh. Dengan
demikian permasalahan dari penelitian ini adalah kriteria-kriteria apa saja yang harus
dipenuhi dalam menyelesaikan persamaan diferensial Sturm-Liouville dengan
menggunakan metode euler.
1.3 Tujuan Penelitian
Secara umum tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan kriteria-kriteria yang
harus dipenuhi dalam menyelesaian persamaan diferensial Sturm-Liouville dengan
menggunakan metode Euler.
1.4 Manfaat penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk membantu penyelesaian fungsi – fungsi rumit dalam
hal persamaan differensial Sturm – Liouville yang dapat dimanfaatkan oleh para
matematikawan dan fisikawan serta menambah literatur dalam bidang persamaan
differensial orde dua yang dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan permasalahan di
bidang matematika khususnya dan dalam bidang ilmu – ilmu lain secara umum.
1.5 Tinjauan Pustaka
Penelitian untuk menyelesaikan persamaan diferensial Sturm-Liouville telah banyak
dilakukan. Wilfred Kaplan (1981)menyelesaikan persamaan Sturm-Liouville untuk
mencari fungsi dan nilai eigen. Fungsi dan nilai eigen dicari agar persamaan
diferensial mempunyai solusi tidak nol sehingga memenuhi kondisi batas. Ciprian G.
Gal(2005) menyelesaikan operator Sturm-Liouville dengan kondisi batas secara
umum. Kondisi batas linear umum meliputi u ", u ', dan u dari batas {a,b}sehingga
operator Sturm-Liouville dari {a,b}mempunyai perluasan self-adjoint khusus di
sebuah ruang Hilbert.
Universitas Sumatera Utara
14
Suatu persamaan differensial dapat dinyatakan sebagai berikut:
dy
= f (t , y )
dt
y (a) = α
a ≤ t ≤ b,
(1.5.1)
Metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Deret Taylor dapat digunakan untuk
menghasilkan deret sebagai penyelesaian dari suatu persamaan diferensial. Dalam
beberapa hal ada kemungkinan menghasilkan deret yang lengkap dan dalam hal-hal
lain tidak mungkin untuk memperoleh deret yang lengkap. Deret Taylor dapat
digunakan dalam cara lain untuk memperoleh suatu hampiran dalam nilai
penyelesaian dari suatu masalah nilai awal pada nilai-nilai dari x tertentu.
Metode Euler dapat dipandang sebagai hampiran dari deret Taylor dengan
menyertakan hanya dua suku pertama dari deret. Dalam hal umum, jika deret Taylor
dihampiri oleh
y ( x0 ) + y '( x0 )h + ... +
y (l ) ( x0 ) l
h
l!
(1.5.2)
dikatakan bahwa hampiran itu adalah suatu hampiran Taylor orde l. Menurut
ketentuan ini, metode Euler adalah hampiran Taylor orde 1. (Finizio & Ladas,1982)
Misalnya, fungsi y (t ) adalah fungsi yang kontinu dan memiliki turunan dalam
interval [a,b]. Maka dalam deret Taylor
y (ti +1 ) = y (ti ) + (ti +1 − ti ) y '(ti ) +
(ti +1 − ti ) 2 ''
y (ξi )
2
(1.5.3)
karena h = (ti +1 − ti ) maka
y (ti +1 ) = y (ti ) + hy '(ti ) +
h 2 ''
y (ξi )
2
(1.5.4)
dan karena y (t ) memenuhi persamaan diferensial (1.5.1), diperoleh
y (ti +1 ) = y (ti ) + h
dy
h 2 ''
(ti ) +
y (ξi ) (1.5.5)
2
dt
y (ti +1 ) = y (ti ) + hf (ti , y (ti )) +
h 2 ''
y (ξi )
2
(1.5.6)
Universitas Sumatera Utara
15
Metode Euler dibangun dengan pendekatan wi ≈ y (ti ) untuk i = 1, 2,3,..., n dengan
mengabaikan suku terakhir yang terdapat pada persamaan (2). Jadi metode Euler
dinyatakan sebagai
w0 = α
wi +1 = wi + hf (t i , wi )
(1.5.7)
Dimana i = 0,1,2,..., n − 1. (Supriyanto,2006)
1.6 Metodologi Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.Melakukan studi dari buku, jurnal dan artikel di internet yang berhubungan
dengan persamaan diferensial Sturm-Liouville dan Metode Euler.
2.Menyelesaikan persamaan diferensial orde dua dengan metode Euler
3.Menentukan langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Sturm-Liouville
4.Menentukan kriteria-kriteria yang harus dipenuhi dalam menyelesaikan
persamaan diferensial Sturm-Liouville dengan metode Euler.
5. Kesimpulan dari hasil penelitian.
Universitas Sumatera Utara